Na Rys.1 rozpatruje się sztywną, masywną ścianę oporową, na ogół nachyloną (∠β):

Parcie graniczne gruntu według COULOMBA-PONCELETA

1. Założenia i dane

Na Rys.1 rozpatruje się sztywną, masywną ścianę oporową, na ogół nachyloną (∠β):

1) w płaskim stanie przemieszczenia (L >>B), z możliwością odsuwania się „od gruntu” f < 0 lub (rzadziej) przemieszczania się „do gruntu”, f > 0,

2) zasypkę z gruntu niespoistego c = 0 kPa, ϕ > 0, γ > 0, na ogół o nachylonej powierzchni (∠ε), 3) warunek zniszczenia (ścięcia, czyli stanu granicznego) w postaci wyrażenia

• τ = σ⋅ tg ϕ , jeśli ścięcie następuje we wnętrzu w gruncie, ϕ = kąt tarcia wewnętrznego;

• τ = σ⋅ tg δ , jeśli ścięcie następuje na kontakcie gruntu z betonem, δ = kąt tarcia zewnętrznego,

4) po przemieszczeniu się ściany powstaje sztywny klin gruntu, trójkąt ABC o ciężarze G

[kN/m], który w stanie granicznym „ślizga się” wzdłuż odcinka AB ściany oraz wzdłuż odcinka BC na styku z pozostałą (sztywną) bryłą gruntu;

5) odcinek BC – z założenia prostoliniowy – jest nachylony do poziomu pod pewnym krytycznym kątem χ ,

6) na Rys.1 wprowadza się ogólnie kąty δ

, ponieważ bardzo ważne są znaki (zwroty), ale oczywiście tutaj jest δ

= -ϕ, δ

= δ.

Szczegóły przedstawia Rys.1, w tym dodatnie wartości wszystkich kątów β, ε, χ, δ

, (oraz δ

< 0).

Rys.1. Prezentacja graficzna;

tutaj β>0, ε>0.

Po prawej stronie pokazano wielobok sił:

pionowy wektor G

jest znany (jeśli ustalić pewną wartość kąta χ), kierunki obu wektorów E

[kN/m] oraz R [kN/m] też są znane. Można zatem rozwiązać ten trójkąt.

2. Metoda Coulomba-Ponceleta

Metoda Coulomba-Ponceleta polega na rozkładzie pionowego wektora ciężaru G

na dwa wektory E

oraz R o znanych kierunkach, Rys.1, wyznaczonych przez zaznaczone kąty; szukana jest siła E

działająca na ścianę AB, reakcja R na powierzchni ścięcia BC w gruncie nie będzie potrzebna.

+

χ A

B

C

β

ε E

R G

δ

δ

∠ = χ+δ

∠ = 90

-β-δ

L

f < 0

Od strony geometrycznej jest to typowe rozwiązywanie trójkąta o znanym jednym boku G

=G

oraz wszystkich kątach; stosuje się twierdzenie sinusów, E

= G⋅sin(χ+δ

) / sin(90

-β-δ

).

Założone wirtualne przemieszczenie ściany na rysunku w lewo (f < 0), które powoduje stan czynnego parcia, generalnie skutkuje infinitezymalnym przemieszczeniem trójkąta ABC w dół. Oba wektory E

oraz R mają zatem pewne składowe normalne (dociskające) oraz składowe styczne skierowane w dół, odpowiednio wzdłuż AB (tarcie zewnętrzne) oraz wzdłuż BC (tarcie wewnętrzne). Oznacza to, dla przyjętej umowy znakowania kątów, że:

• w stanie czynnym δ

≥ 0 (szukana siła E

leży ponad normalną do powierzchni),

• w stanie czynnym δ

< 0 (pomocnicza siła R też leży ponad normalną do powierzchni).

Zachodzi δ

= -ϕ, co wynika z definicji kąta tarcia wewnętrznego i ścinania w cienkiej warstwie BC we wnętrzu zasypki, a konkretnie ze współczynnika tarcia wewnętrznego, którym jest tg ϕ .

Wartości kąta δ

na kontakcie AB zasypki ze ścianą mogą być natomiast bardzo zróżnicowane, a nawet celowo zaprojektowane; w zależności od szorstkości powierzchni ściany jest 0 ≤ δ

≤ ϕ . Od razu widać, że:

• min δ

= 0

, co odpowiada powierzchni idealnie gładkiej (brak stycznej składowej, czyli siły tarcia),

• max δ

= + ϕ (większy kąt nie jest możliwy, ponieważ tuż obok, ale już wewnętrznie w gruncie, ten kąt wynosi maksymalnie +ϕ i tam nastąpiłoby ścięcie).

Należy wspomnieć, że hipotetycznie możliwy byłby też przeciwny znak kąta δ

(δ

< 0), w tym sensie, że podejście Ponceleta nadal pozostaje skuteczne. W praktyce mogłoby się to zdarzyć w przypadku dużych osiadań ściany na bardzo podatnym podłożu - większych niż „opadnięcie” klina ABC po lekkim odsunięciu się ściany (dotychczas zakładano jedynie translację poziomą f <0 powodującą obniżenie się trójkąta ABC). Taki przypadek wygląda jednak na znacznie mniej prawdopodobny i nie jest tutaj rozważany. Następujący wniosek ma szczególne znaczenie:

właściwy wybór znaków kąta δ

zależy od (względnej) kinematyki przesuwającego się bloku ABC i samej ściany (Wykład 5).

Umowy znakowania kątów δ nie można stosować w oderwaniu od orientacji powierzchni – linie przerywane na Rys.2 pokazują zwrot normalnej zewnętrznej do powierzchni ściany AB. Może to być źródłem nieporozumień, ponieważ dwie ściany na Rys.2 są fizycznie dokładnie takie same w sensie wartości parcia gruntu E

; nie należy sądzić, że na tych rysunkach kąty δ

są przeciwne.

W dalszej części mówi się wyłącznie o sytuacji z lewej strony, dla ustalenia uwagi.

3. Rozwiązanie Coulomba-Ponceleta dla parcia czynnego

Ukośnie liczona długość L odcinka AB na Rys.1 jest podstawowym parametrem modelu, nie jest nim pionowo liczona wysokość ściany H, ani rzędna z.

Pole trójkąta ABC o wysokości h (wystawionej w punkcie B) i o podstawie AC wynosi S = h ⋅ AC/2.

Ciężar trójkąta G

= S ⋅γ [kN/m].

Wysokość trójkąta h = BA’= L⋅sin(∠CAB) = L⋅cos(ε-β).

Z tw.sinusów dla trójkąta ABC otrzymuje się AC = L⋅sin(β-χ+90

)/sin(χ-ε).

Rys.2. Dwie w pełni równoważne sytuacje obliczeniowe dla δ

> 0.

+ +

E

E

Wielobok sił G

= E

+ R jest trójkątem i korzystając po raz drugi z tw.sinusów otrzymuje się długość wektora E

= G

⋅sin(χ-ϕ)/sin(χ-ϕ+90

-β-δ

).

Po podstawieniach:

= 1

2 ∙ ∙ ∙ −

χ ₋ ϕ _{+ 90 −} β ₋ ^{∙ − ∙}

β ₋ χ _{+ 90}

− Pozostaje do wyznaczenia nieznany kąt klina odłamu .

Coulomb, a po nim Poncelet, przyjęli – jak każdy rozsądny inżynier – że jeśli o kącie χ niczego konkretnego nie wiadomo, to trzeba przyjąć jego najgorszą wartość. Jest to takie χ

, dla którego E

będzie największe, bo siły parcia gruntu są siłami destabilizującymi. To założenie okazało się prawidłowe: faktycznie w naturze zachodzi ta zasada maksimum.

A zatem kąta χ

poszukujemy na podstawie równania dE

( χ )/d χ = 0

(trzeba byłoby jeszcze na końcu sprawdzić, czy d

E

(χ)/dχ

< 0 dla χ = χ

, ale tak rzeczywiście jest).

Ostateczne rozwiązanie E

= max{E

(χ)} = E

(χ

) jest w postaci:

= ∙ ∙ ∙ (1a) gdzie współczynnik Ponceleta dla parcia czynnego oblicza się następująco:

=

_β ^ϕ

^β

!

∙

% #&'() ϕ*+! ∙'() -./

01' 2*+! ∙01' /.23^!

(1b)

Należy z dużym uznaniem odnieść się do sprawności rachunkowej J.V.Ponceleta, który jako pierwszy uporał się z tymi rachunkami już ok. 1840 roku, a nawet opracował szybką metodę graficzną

wyznaczania parcia gruntu, bo laptopa ani kalkulatora nie posiadał

.

Uwaga: niektóre materiały przyjmują inną konwencję znakowania kątów i znaki w (1b) mogą być inne.

Trzeba zachować w tym zakresie dużą ostrożność.

4. Uwagi

1. Przedstawiona wyżej metoda postępowania jest pomysłem Ch.Coulomba (1773), ale tylko w wersji uproszczonej, dla tzw. ściany Coulomba, tj. dla β = 0, ε = 0, δ

= 0, dla której χ

= 45

+ ϕ /2 i następnie K

= (1-sin ϕ )/(1+sin ϕ ) = tg

(45

- ϕ /2).

2. Metodę Coulomba można uznać za prototyp znacznie ogólniejszego podejścia wariacyjnego, gdzie poszukuje się ogólnie kształtu najniekorzystniejszej “linii granicznej” BC, czyli pewnej funkcji z(x); po znacznym zawężeniu zbioru przeszukiwanych krzywych BC do prostych, zadanie się algebraizuje, tj. poszukiwany jest tylko kąt χ , który taką prostą BC wyznacza.

3. Założenie o prostoliniowym kształcie linii poślizgu BC w granicznym stanie czynnym ma dobre potwierdzenie eksperymentalne; dla ściany Coulomba to założenie jest ścisłe, jednak pojawiają się (nie duże) krzywizny BC w sytuacjach odbiegających od ściany Coulomba.

4. Ponad 100 lat temu Műller-Breslau stosował rozwiązanie Ponceleta (1), ale przyjmując głębokość H, a nie długość L, jako wiodący parametr – wtedy =

⋅ _γ ⋅ 6 /2 . Proste podstawienie L = H/cos( β ) do (1a) pokazuje, że

=

⋅ /cos β , czyli to podejście nie wnosi niczego nowego. PN-83/B-03010.Ściany oporowe. operuje właśnie tym współczynnikiem

; mimo wszystko należy rekomendować stosowanie oryginalnej wersji Ponceleta ze współczynnikiem

γ

, bo zgodnie z sensem fizycznym prawidłowo wiąże ona parcie gruntu z miejscem L na ścianie AB, gdzie to parcie powstaje (nie ma tej cechy trochę oderwana głębokość H).

1

chyba, że kalkulator w głowie, bo był z wykształcenia matematykiem

5. Uwzględnienie obciążenia naziomu q = const

Jeśli na naziomie AC na Rys.1 występuje pewne obciążenie ciągłe, to postępowanie jest analogiczne.

Pojawia się dodatkowa siła Q [kN/m] zebrana z odcinka AC, którą należy wektorowo dodać do ciężaru G

, a następnie dokonać rozkładu wektorowej wypadkowej G

+ Q na dwa znane kierunki E

oraz R – jak poprzednio. Jeśli siła Q jest siłą pionową (tak jak G

) i pochodzi ona od pionowego obcią- żenia ciągłego q = const, to postępowanie jest szczególnie proste, bo stałe pionowe q nie zmienia krytycznego kąta klina odłamu χ

, natomiast obie siły pionowe dodają się algebraicznie G

+ Q, Rys.3.

Rys.3. Przypadek q > 0 .

Dla pionowego obciążenia równomiernego na naziomie q = const zachodzi:

G

+ Q = γ⋅ h ⋅ AC/2 + q ⋅ AC = γ * ⋅ h ⋅ AC/2, gdzie γ * = γ + 2 ⋅ q/h = γ + 2 ⋅ q/(L ⋅ cos( ε - β )) = const( χ ).

Wniosek:

zadanie o rzeczywistym klinie ABC obciążonym na odcinku AC zostało sprowadzone do zadania o nieobciążonym klinie ABC, ale o pewnym fikcyjnym ciężarze γ* > γ.

Mają więc bezpośrednie zastosowanie poprzednio wyprowadzone wzory i rozwiązanie jest gotowe w postaci (1), ale dla γ*. A zatem jest po prostu: = ∙

∙ ∙ , czyli

= ∙ γ _{∙ ∙ + < ∙ ∙}

, gdzie

=

(2)

6. Jednostkowe parcie czynne zasypki gruntowej Ponieważ = G H

I , a zatem H = I ⁄ I

i w efekcie:

H = γ _{∙ ∙ + < ∙}

Parcie czynne e

[kPa] przyrasta liniowo w dół ściany i na jej powierzchni ma stale nachylenie o wartości δ

do normalnej.

7. Przypadek gruntów uwarstwionych

Uwarstwionych zasypek raczej się nie stosuje (może z wyjątkiem cienkich warstw drenażowych), ale taka sytuacja ma miejsce w przypadku ścian szczelinowych i ścianek szczelnych zagłębionych w podłoże rodzime, szczególnie na górnym niekotwionym odcinku. Stosuje się prostą metodę obliczeniową, sprowadzając zagadnienie do parcia gruntu jednorodnego (2).

+

χ q A

B

C

β

ε E

R Q

δ

δ

L

∠ = χ+δ

∠ = 90

-β-δ

f < 0

Górną warstwę „1” (na odcinku AB

) traktuje się jak zasypkę jednorodną, obliczając parcie gruntu standardowo, bez uwzględniania, że poniżej punktu B

znajduje się inny grunt. Przechodząc następnie do parcia gruntu „2” na odcinku B

B

należy z punktu B

wykreślić linię równoległą do powierzchni, czyli pod kątem ε, która przybliża rzeczywistą granicę pomiędzy warstwami „1” oraz „2”.

Odległość L zaczyna się teraz mierzyć od punktu B

w kierunku B

. Kąty ε, β nie zmienią się, a zmia- nie ulegną kąty ϕ oraz δ

(jako powiązany z ϕ ). Zadanie zaczyna się na nowo od punktu B

, ale tym razem dla „2” bierze się q

zamiast poprzedniego q

dla “1”, powiększone o ciężar gruntu pomiędzy tymi liniami. To nowe q

musi być stałe i też pionowe, bo tylko takie rozwiązanie przedstawiono w (2), dlatego nowy wirtualny poziom terenu jest równoległy do poprzedniego, q

= q

+ γ

⋅ h

⋅ cos( ε ) = const.

W sumie:

parcie gruntu na A-B

-B

ma kształt dwuliniowy, jak na Rys.4; jak można się domyślać tutaj jest ϕ

> ϕ

(wyjaśnić skąd to wiadomo – są 2 powody). Analogicznie byłoby dla 3 warstw (q

= q

+ γ

⋅ h

⋅cos(ε)), dla 4 warstw itd.

Ta uproszczona metoda dobrze zgadza się z dokładniejszymi obliczeniami numerycznymi;

w sposób systematyczny trochę zawyża parcie gruntu w warstwie “2” – przy samym punkcie B

, obciążenie “naziomu” q

blisko przy ścianie jest bowiem mniejsze od q

+ γ

⋅ h

⋅ cos( ε ); część obciążeń pionowych jest już przekazywana powyżej punktu B

na ścianę poprzez tarcie.

8. Ściany o załamanym kształcie

Znaczenie metody z poprzedniego punktu jest dużo większe w przypadku ściany o profilu wielo- liniowym, Rys.5. Zasypka jest ta sama – nie zmieniają się kąty ϕ , δ , ε , a zmienia się tylko kąt β

≠ β

. Stosuje się prostą metodę obliczeniową, sprowadzając zagadnienie do odcinków ściany bez załamań profilu. Wydziela się wirtualną warstwę „1” jak poprzednio, z punktu B

.

Na tym rysunku β

> β

i parcie czynne gruntu e

też ma nieciągłość kierunku i wartości w punkcie B

(granice jednostronne funkcji). Tak samo dla 3 odcinków i więcejS q

A

B

B

„2”

„1” q

h

Rys.4. Układ dwuwarstwowy.

Obliczeniowa grubość pierwszej warstwy wynosi h

; dla “1”: q

≥ 0, γ

, ϕ

, c

= 0, h

dla “2”: q

= q

+ γ

⋅ h

⋅ cos( ε ), γ

, ϕ

, c

= 0 i postępuje się dalej, jakby ściana zaczynała się w punkcie B

.

q

A

B

q

h

Rys.5. Załamany profil ściany.

Obliczeniowa grubość pierwszej warstwy wynosi h

(liczona pionowo odległość dwóch linii);

dla “1”: q

≥ 0, γ , ϕ , c = 0, β

, h

dla “2”: q

= q

+ γ⋅ h

⋅cos(ε), γ , ϕ , c = 0, β

i postępuje się dalej, jakby ściana zaczynała się w punkcie B

.

B

9. Parcie graniczne bierne

Chociaż teoria parcia granicznego czynnego wg Coulomba-Ponceleta dobrze sprawdza się w oblicze- niach inżynierskich i praktycznie jest stosowana w większości krajów, to jednak wymagana jest tu duża ostrożność, jeśli to samo podejście zastosować w przypadku granicznego parcia biernego.

Coulomb się tym przypadkiem nie zajmował, natomiast Poncelet wprowadził na Rys.1 następującą zmianę: skoro wciskana ściana przemieszcza się w prawo „do gruntu” (f > 0), to trójkątny sztywny klin odłamu ABC przemieści się tym razem infinitezymalnie do góry. A zatem zmienią się zwroty sił tarcia, które będą skierowane teraz do góry wzdłuż AB oraz BC, a to oznacza zmianę znaku kątów δ;

siły E

oraz R będą teraz poniżej normalnej. W szczególności δ

= +ϕ, natomiast -ϕ ≤ δ

≤ 0.

Dla obciążenia q = 0 kPa otrzymuje się wynik E

= min{E

(χ)} = E

(χ

):

M

= 1

2 ∙ ∙ ∙

gdzie współczynnik Ponceleta dla parcia biernego oblicza się następująco:

M

= ϕ ₊ β

β ₊ ^∙

1

%1 − & ϕ _{− ∙ +}

+ ∙ − 3

Na ogół nie zachodzi związek

= 1 N

, prawdziwy dla ścian Coulomba.

Jeśli ε = 0, β = 0, δ

= 0 (tzw.ściana Coulomba), to rozwiązanie jest ścisłe i ma postać zgodną z innymi teoriami, a konkretnie

=

=

= RS 45 + /2 .

Przpaderk q > 0 analizuje się jak poprzednio.

Przykład (negatywny) Niech:

ϕ = 45

(to dużo, ale zdarza się dla granitowych kruszyw łamanych, a nawet w zagęszczonym żwirze), c = 0,

δ

= -ϕ = -45

(teoretycznie możliwe na doskonale szorstkiej powierzchni ściany, β = ε = -ϕ = -45

. Te dane oznaczają, że mamy do czynienia z trójkątną pryzmą w 2D, która już sama jest w stanie granicznym, ponieważ kąt nachylenia skarpy wynosi ϕ = 45

i jest to w suchym materiale

rozdrobnionym kąt stoku naturalnego, Rys.6.

Okazuje się – wg Ponceleta – że taką pryzmę materiału niespoistego, która ledwo stoi, można obciążyć z jednej strony i to bardzo dużym obciążeniem, nawet nieskończonym

. Otrzymuje się bowiem

=

= +∞ (!). Warto przeanalizować dlaczego (w którym miejscu) ten dobry w sumie model okazuje się całkiem zawodny.

2

Problem fundamentów bezpośrednich przestałby wówczas istnieć: zamiast fundamentów o poziomej

podstawie lepiej byłoby posadawiać na takim klinie, a fundament mógłby mieć dowolnie małą szerokość B, bo nośność i tak jest nieskończona

Fig.6. Niestateczna pryzma gruntu w stanie granicznym (nachylenie jest maksymalne możliwe, równe kątowi tarcia wewnętrznego).

e

A

B ϕ ϕ

β

ε

Nie ma zastrzeżeń do rozkładu wektora ciężaru G na dwa kierunki, warunek ekstremum E

= min {E

(χ)} = E

(χ

) jest również zasadny, pozostaje zatem założenie o liniowości krzywej poślizgu BC.

Analiza Ponceleta w tym przykładzie pokazuje, że ta prosta linia BC staje się równoległa do granicy gruntu ( χ

= ε ), a zatem jej długość jest równa nieskończoności; nawet małe jednostkowe siły tarcia wzdłuż nieskończenie długiej linii poślizgu rzeczywiście prowadzą do nieskończenie dużej siły.

Wniosek:

zasadniczo PN-83/B-03010 opiera się na rozwiązaniu Ponceleta, choć w sformułowaniu Műller- Breslaua

=

=

/ cos β , dlatego norma musiała wprowadzić pewien współczynnik korekcji η ≤ 1 i zalecić stosowanie η⋅

zamiast

, aby uniknąć nadmiarowego przeszacowania prawidłowych wartości wynikających z lepszych teorii, w których krzywa BC nie jest oczywiście zakładana jako linia prosta. Oczywiście dla ściany Coulomba η =1, bo jest to rozwiązanie dokładne;

dla ścian „nie bardzo” różniących się od ściany Coulomba wartość η jest bliska jedności.

Nie ma problemu z wartościami

, ponieważ linia BC jest tutaj rzeczywiście prawie prostą, więc wiele różnych metod jest zbieżnych.

10. Graniczne parcie czynne i bierne gruntu spoistego

Stosowanie gruntów spoistych jako zasypki jest raczej wyjątkiem, ale częste są przypadki parcia czynnego i parcia biernego gruntu spoistego, który nie jest zasypką. Dotyczy to np. ścian umieszcza- nych lub wykonywanych w gruncie rodzimym (palisady, ściany szczelinowe itp.), ale przede

wszystkim dotyczy nośności fundamentów bezpośrednich (wzór Terzaghiego), dla których nośność jest wynikiem różnic pomiędzy parciem biernym i parciem czynnym.

Te ważne sytuacje dla c > 0 skutecznie analizuje – w oparciu o analogiczne rozwiązania dla c = 0 – tzw. zasada odpowiadających stanów naprężeń, będąca treścią odrębnego Wykładu 7.

11. Uwagi końcowe

1) Metoda Coulomba-Ponceleta należy do grupy metod równowagi granicznej, stosując globalnie równanie równowagi dla całego sztywnego klina odłamu o kształcie trójkąta; tym m.in. różni się od metody Coulomba-Mohra, która od początku operuje naprężeniami (tzw. metody granicznego stanu naprężenia).

2) Przedstawiony sposób postępowania jest uogólnieniem rozwiązania Coulomba z 1773r. a otrzymany wynik pokrywa się z tym pierwowzorem, jeśli ε = 0, β = 0, δ

= 0 (tzw. ściana Coulomba); jest to rozwiązanie ścisłe zarówno dla E

, jak i dla E

,

3) metoda Coulomba-Ponceleta jest metodą dobrą do szybkiej oceny parcia czynnego, w szczegól- ności opiera się ona na dosyć realistycznym założeniu, że linia ścięcia BC w stanie czynnym jest odcinkiem prostoliniowym; jednak dokładniejsze obliczenia (szczególnie dla ścian bardzo szorstkich) i obserwacje wykazują, że jest to raczej łuk o małej krzywiźnie; w przypadku ściany Coulomba tej krzywizny w ogóle nie ma, linia BC jest rzeczywiście odcinkiem prostym.

4) metoda Coulomba-Ponceleta może okazać się metodą bardzo niedokładną do oceny parcia biernego, ponieważ opiera się ona na niepewnym założeniu, że linia ścięcia BC w stanie biernym jest odcinkiem prostoliniowym; dokładniejsze obliczenia i obserwacje wykazują, że może to być łuk o dużej krzywiźnie (chociaż w przypadku wciskanej ściany Coulomba tej krzywizny w ogóle nie ma i BC jest rzeczywiście linią prostą); wartości współczynnika parcia biernego wychodzą

zazwyczaj niebezpiecznie zawyżone i zaleca się ich zmniejszenie za pomocą pewnego

współczynnika redukcyjnego η ≤ 1, czyli

= V ∙

, por. np. PN-83/B-03010; w przypadku

ściany oporowej bardzo zbliżonej do ściany Coulomba takiej korekty można nie wykonywać

( η ∼ 1), ale np. dla ścian szorstkich jest to często konieczne.