Podstawowe pojęcia dotyczące porządków
Mateusz Rapicki 7 stycznia 2017
Relację ¬ w zbiorze X nazywamy porządkiem częściowym, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Jeśli dodatkowo zachodzi ∀x,y∈Xx ¬ y ∨ y ¬ x, to porządek ¬ nazywamy porządkiem liniowym.
Niech ¬ będzie porządkiem częściowym w X oraz niech L ⊆ X. Jeśli L jest uporządkowany liniowo przez ¬, to L nazywamy łańcuchem w zbiorze X.
Niech ¬ będzie porządkiem częściowym w X oraz niech A ⊆ X i a ∈ X. Mówimy, że a jest:
1. najmniejszy w zbiorze A, gdy a ∈ A oraz ∀x∈Aa ¬ x.
2. minimalny w zbiorze A, gdy a ∈ A oraz ¬∃x∈Ax < a.
3. ograniczeniem dolnym zbioru A, gdy ∀x∈Aa ¬ x.
4. kresem dolnym zbioru A, gdy a jest największy w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A.
Analogicznie definiujemy pojęcia największy, maksymalny, ograniczenie górne i kres górny. Zachodzą następujące łatwe własności:
1. w zbiorze A istnieje co najwyżej jeden element najmniejszy.
2. zbiór A ma co najwyżej jeden kres dolny.
3. jeśli a jest najmniejszy w zbiorze A to jest on jednocześnie jedynym elementem minimalnym w zbiorze A i kresem dolnym zbioru A.
4. jeśli porządek ¬ jest liniowy, to pojęcia elementu najmniejszego i minimalnego pokrywają się.
Analogicznie dla elementu największego, maksymalnego i dla kresu górnego.
Załóżmy, że relacje ¬X oraz ¬Y są częściowymi porządkami w X i Y odpowiednio. Bijekcję h : X → Y nazywamy izomorfizmem zbiorów częściowo uporządkowanych X i Y , gdy h zachowuje porządek, czyli
∀x1,x2∈X(x1¬X x2⇔ h(x1) ¬Y h(x2)).
Załóżmy, że relacje ¬X oraz ¬Y są częściowymi porządkami w X i Y odpowiednio. Relację częściowego porządku ¬ w zbiorze X × Y zadaną warunkiem
(x1, y1) ¬ (x2, y2) ⇔ (x1<Xx2∨ (x1= x2∧ y1¬Y y2))
nazywamy porządkiem leksykograficznym wyznaczonym przez porządki ¬Xi ¬Y. Jeśli porządki ¬X i ¬Y są liniowe, to ¬ również jest liniowy.
Załóżmy teraz, że relacja ¬ jest liniowym porządkiem w X. Mówimy, że porządek ¬ jest:
1. gęsty, gdy X ma co najmniej dwa elementy i ∀x,y∈X(x < y ⇒ ∃z∈Xx < z < y).
2. ciągły, gdy jest gęsty oraz każdy niepusty, ograniczony z góry zbiór A ⊆ X ma kres górny, a każdy niepusty, ograniczony z dołu zbiór B ⊆ X ma kres dolny.
3. dobry, gdy każdy niepusty zbiór A ⊆ X ma najmniejszy element.
1
