Spistreści R.Murawski,K.Świrydowicz, Wstępdoteoriimnogości ,Wyd.NaukoweUAM,Poznań2006. Teoriawniniejszymskrypciezostałaopracowananapodstawieksiążki:

(1)

Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki:

R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań 2006.

Spis treści

0 Alfabet grecki 2

1 Rachunek zdań 2

1.1 Podstawowe definicje . . . 2

1.2 Wybrane tautologie rachunku zdań . . . 3

1.3 (kpn) . . . 3

1.4 Zadania . . . 4

2 Rachunek predykatów 7 2.1 Podstawowe definicje . . . 7

2.2 Wybrane tautologie rachunku predykatów . . . 8

2.3 Zadania . . . 9

3 Algebra zbiorów 11 3.1 Teoria . . . 11

3.1.1 Podstawowe definicje i fakty . . . 11

3.1.2 Działania na zbiorach . . . 12

3.2 Zadania . . . 14

4 Relacje 15 4.1 Teoria . . . 15

4.1.1 Podstawowe definicje . . . 15

4.1.2 Relacje binarne i ich własności . . . 15

4.1.3 Relacje równoważności . . . 16

4.2 Zadania . . . 17

5 Funkcje 19 5.1 Teoria . . . 19

5.1.1 Podstawowe definicje . . . 19

5.1.2 Operacje na funkcjach . . . 19

5.1.3 Obrazy i przeciwobrazy . . . 20

5.2 Zadania . . . 21

6 Relacje porządkujące 23 6.1 Częściowy porządek . . . 23

6.1.1 “Elementy wyróżnione” . . . 23

6.2 Dobry porządek . . . 24

6.3 Zadania . . . 26

(2)

0 Alfabet grecki

A, α alfa H, η eta N, ν ni T, τ tau

B, β beta Θ, θ, ϑ theta Ξ, ξ ksi Υ, υ ypsilon Γ, γ gamma I, ι jota O, o omikron Φ, φ, ϕ phi [fi]

∆, δ delta K, κ kappa Π, π pi X, χ chi

E, ε epsilon Λ, λ lambda P, ρ, % rho Ψ, ψ psi

Z, ζ dzeta M, µ mi Σ, σ sigma Ω, ω omega

1 Rachunek zdań

1.1 Podstawowe definicje

1. Zdanie w sensie logicznymto wyrażenie oznajmujące, które jest na tyle jednoznaczne, by móc określić czy jest ono prawdziwe lub fałszywe.

2. Wartości logiczne: prawda (oznaczamy symbolem 1) i fałsz (oznaczamy symbolem 0).

3. Język logiki: składnikami języka logiki są zdaniowe symbole elementarne (oznaczane przez p, q, r, p1, p2, . . . itd., tzw. zmienne zdaniowe), spójniki dwuargumentowe: koniunkcji ∧, alternatywy ∨, implikacji →, równoważności ↔ oraz spójnik jednoargumentowy: negacji ¬ zwane spójnikami logicznymi i nawiasy (, ), [, ].

4. Formuła języka rachunku zdań:

Definicja 1.1. (i) Każda zmienna zdaniowa jest formułą języka rachunku zdań.

(ii) Jeśli ϕ, ψ są formułami języka rachunku zdań, to napisy ¬(ϕ), (ϕ) ∧ (ψ), (ϕ) ∨ (ψ), (ϕ) → (ψ), (ϕ) ↔ (ψ) są formułami języka rachunku zdań.

(iii) nie ma innych formuł języka rachunku zdań poza zmiennymi zdaniowymi i takimi formułami, które powstają dzięki zastosowaniu reguły (ii).

5. Schemat zdania wyrażony w języku rachunku zdańto formuła powstająca ze zdania przez konsekwentne zastąpienie zdań prostych zmiennymi zdaniowymi, a spójników międzyzdaniowych odpowiednimi spójnikami logicznymi.

6. Tautologia rachunku zdańlub prawo logiczne rachunku zdań to formuła języka rachunku zdań, która przy dowolnej interpretacji zmiennych zdaniowych zmienia się w zdanie prawdziwe.

7. Spójniki logiczne:

Tabelki, które określają sens poszczególnych spójników logicznych:

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

p ¬p

1 0

0 1

p q p/q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

8. Symbolika beznawiasowa/prefiksowa/Łukasiewicza

N C K A E

¬ → ∧ ∨ ↔

Część zadań pochodzi z materiałów opracowanych przez dr A. Iwaszkiewicz-Rudoszańską, dra B. Bzdęgę, prof. UAM dra hab. Ł. Pańkowskiego, dr I. Bondecką-Krzykowską oraz dr K. Rybarczyk-Krzywdzińską

(3)

9. Warunek konieczny i dostateczny

Definicja 1.2. Niech prawdziwe będzie zdanie warunkowe „jeśli p, to q”. Wówczas to, o czym mówi zdanie pjest warunkiem wystarczającym dla tego, o czym mówi zdanie q, a to o czym, mówi q , jest warunkiem koniecznym dla tego, o czym mówi p. Mówi się wtedy skrótowo, że p jest warunkiem dostatecznym dla q, a q warunkiem koniecznym dla p.

10. Schemat wnioskowania wyrażony w języku rachunku zdań to para uporządkowana < X, φ >, gdzie X jest zbiorem formuł rachunku zdań, a φ jest formułą. Jeśli X = {φ1, φ₂, . . . , φ_n}to schemat wnioskowania można zapisać jako:

< {φ1, φ2, . . . , φn}, φ >

lub φ₁, φ₂, . . . , φ_n

φ , a częściej jeszcze używa się zapisu φ1

φ2

...

φn

φ

Formuły φ1, φ2, . . . , φn nazywamy schematami przesłanek, a formułę φ schematem wniosku.

Definicja 1.3. Schemat < {φ1, φ2, . . . , φn}, φ >jest niezawodny wtedy i tylko wtedy, gdy [(φ1)∧(φ2)∧. . .∧

(φn) ⇒ (φ)] jest tautologią. Niezawodne schematy wnioskowania nazywa się również regułami logicznymi.

1.2 Wybrane tautologie rachunku zdań

1. p → p prawo tożsamości

2. p ∨ ¬p prawo wyłączonego środka

3. ¬(p ∧ ¬p) prawo sprzeczności

4. ¬¬p ↔ p prawo podwójnej negacji

5. (p → q) ↔ (¬q → ¬p) prawo transpozycji

6. ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) pierwsze prawo De Morgana 7. ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) drugie prawo De Morgana

8. (p → q) ↔ (¬p ∨ q) definicja implikacji za pomocą alternatywy i negacji 9. (p → q) ↔ ¬(p ∧ ¬q) definicja implikacji za pomocą koniunkcji i negacji 10. ¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q) prawo negowania implikacji

11. (p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)) prawo przekształcenia równoważności na implikacje 12. (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) prawo przemienności koninkcji

13. (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) prawo przemienności alternatywy 14. (p ∧ (q ∧ r)) ↔ ((p ∧ q) ∧ r) prawo łączności koniunkcji 15. (p ∨ (q ∨ r)) ↔ ((p ∨ q) ∨ r) prawo łączności alternatywy

16. p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy 17. p ∨(q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji 18. (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) prawo sylogizmu hipotetycznego

19. (p ↔ q) ∧ (q ↔ r) → (p ↔ r) sylogizm hipotetyczny koniunkcyjny dla równoważności 20. ((p ∧ q) → r) → (p → (q → r)) prawo eksportacji

21. (p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r) prawo importacji

1.3 (kpn)

Formuła jest w koniunkcyjnej postaci normalne (kpn), jeśli ma postać: (ϕ1) ∧ (ϕ2) ∧ . . . ∧ (ϕn) oraz dla dowolnego i = 1, 2, . . . , n, ϕi jest alternatywą elementarną (tzn. ma postać: (ψi1) ∨ (ψi2) ∨ . . . ∨ (ψimi), gdzie ψ_ik jest zmienną zdaniową lub jej negacją (literałem)).

(4)

1.4 Zadania

Zadanie 1.1. Dla podanych zdań utwórz schemat w języku rachunku zdań.

(a) Jeśli ktoś kradnie drewno w lesie lub poluje na zwierzynę łowną w okresie ochronnym, to podlega karze.

(b) Przyjąłeś fałszywe założenia lub popełniłeś błąd w rozumowaniu.

(c) Rozumiesz treść mojej wypowiedzi wtedy i tylko wtedy, gdy potrafisz wyrazić ją własnymi słowami.

(d) Jeżeli nieprawda, że twierdzenia matematyki mogą okazać się fałszywe, to nieprawda, że twierdzenia logiki mogą okazać się fałszywe.

(e) Nieprawda, że jeżeli spory filozoficzne są nierozstrzygalne, a uczeni biorą w nich udział, to filozofia hamuje postęp w nauce.

(f) Jeżeli dwa trójkąty mają parami równe boki lub parami równe kąty, to są one przystające.

(g) Jeżeli nie jest prawdą, że albo prosta l jest równoległa do prostej m albo prosta p nie jest równoległa do prostej m, to albo prosta l nie jest równoległa do prostej m, albo prosta p jest równoległa do prostej m.

(h) (2 interpretacje) Będziesz matematykiem lub będziesz informatykiem i założysz firmę komputerową.

(i) (5 interpretacji) Będziesz matematykiem lub będziesz informatykiem i założysz firmę komputerową wtedy i tylko wtedy, gdy nie poświęcisz się pracy nauczycielskiej.

Zadanie 1.2. Dla podanych zdań utwórz schemat w języku rachunku zdań.

(a) Jeśli czytasz swobodnie po angielsku, to o ile nie potrafisz mówić w tym języku, to znasz angielski biernie.

(b) Polubisz logikę i uznasz ją za łatwą, jeśli nie masz złych wspomnień z lekcji matematyki.

(c) Nie posiadasz gruntownej wiedzy o języku, jeśli słabo znasz gramatykę i nigdy nie uczyłeś się logiki.

Zadanie 1.3. Które z poniższych zdań są zdaniami w sensie logicznym?

(a) Paryż jest stolicą Francji.

(b) Wszyscy ludzie są wzrostu powyżej 1,6 m.

(c) Jutro będzie padał śnieg.

(d) Studiowanie matematyki zajmuje 5 lat.

(e) Tydzień temu Polska zdobyła brązowy medal Mistrzostw Europy.

Zadanie 1.4. Zdefiniować:

(a) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji, (b) alternatywę za pomocą implikacji i negacji,

(c) negację, koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność za pomocą dysjunkcji.

Zadanie 1.5. Zapisz podane zdania w symbolice prefiksowej (Łukasiewicza):

(a) p →(¬q → r),

(b) (p → r) → [(q → r) → (p → r)], (c) p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), (d) ¬(p ∨ ¬q) → (¬p ∨ q),

(e) p →[(¬q ∧ r) → (p ∨ q)].

Zadanie 1.6. Zapisz podane zdania w symbolice infiksowej:

(a) CCKpqrCpCqr, (b) CApqCKN rpKrq,

(c) CKpCqrCKN pqr, (d) CCpAqrCpKqr,

(e) AKCpqCprCpKqr,

(5)

(f) CAKpqrCpCN qN r.

Zadanie 1.7. Sprawdź metodą zero-jedynkową, czy podane formuły są tautologiami.

(a) p ∨ ¬p (b) p → ¬q

(c) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q) (d) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)

(e) p ∧(q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

(f) [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∨ r) ∧ (q ∨ s)]

(g) [(p ∧ r) → (q ∨ s)] → [(p → q) ∧ (r → s)]

(h) [(p ∨ q) → (q ∨ r)] ↔ [¬p → (¬q ∧ r)]

Zadanie 1.8. Sprawdź metodą skróconą, czy podane formuły są tautologiami.

(a) [(p → q) ∧ (s → ¬q)] → (s → ¬p) (b) [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] → [p ∧ (q ∨ (r ∧ s))]

(c) [(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]

(d) (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) (e) (p ∧ q → r) → (p ∧ ¬r → ¬q)

(f) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) (g) ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p

(h) (p ∧ ¬q) → (p → (¬q → ¬p)) (i) ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q

Zadanie 1.9. Czy prawdziwe są następujące zdania:

(a) Jeżeli z faktu, że wszystkie boki trójkąta ABC są równe wynika, że wszystkie kąty trójkąta ABC są równe, i trójkąt ABC ma nierówne kąty, to ma on również nierówne boki.

(b) Jeśli figura A jest czworokątem i A ma wszystkie kąty równe, to z faktu, iż A jest czworokątem wynika, że A ma wszystkie boki równe.

(c) Jeśli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 7 wynika, że a dzieli się przez 3.

(d) Jeżeli Jan nie zna logiki, to jeśli Jan zna logikę, to urodził się w IV wieku p.n.e.

(e) Jan zna logikę wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawdą jest, że nieprawdą jest, że Jan zna logikę.

Zadanie 1.10. Wskaż warunek konieczny i dostateczny.

(a) Jeżeli liczba kończy się na cyfrę 2 lub 4, to liczba jest parzysta.

(b) Każdy romb jest czworokątem.

(c) W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. (tw. Pitagorasa)

(d) Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a, b, c takie, że a²+ b² = c², to istnieje trójkąt o bokach długości a, b, c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty.

Zadanie 1.11 (studia niestacjonarne). Sprawdź niezawodność następujących wnioskowań:

(a) Jeśli Jan nie będzie grał systematycznie na loterii, to nie wygra. Jeśli Jan będzie grał systematycznie na loterii, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów. Jeśli Jan nie wygra na loterii, to też musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów. A zatem musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

(b) Jeśli Marta nie będzie schlebiała Piotrowi, to straci posadę. Jeśli Marta straci posadę, to popadnie w kłopoty finansowe. Jeśli Marta będzie schlebiała Piotrowi, to straci dobrą opinię. Zatem Marta wpadnie w kłopoty finansowe lub straci dobrą opinię.

(6)

(c) Jeżeli Artur uczy się logiki, to jeżeli jego poglądy są wewnętrznie sprzeczne, to Artur zmieni swe poglądy.

Jeśli Artur zmieni swe poglądy, to straci autorytet. Jeżeli zatem poglądy Artura są wewnętrznie sprzeczne i Artur nie uczy się logiki, to Artur nie straci autorytetu.

(d) Jeśli piękno jest wyłącznie własnością ciała, to anioły nie są piękne i idee nie są piękne. Anioły są piękne.

Zatem, jeśli idee są piękne, to piękno nie jest wyłącznie własnością ciała.

Zadanie 1.12 (studia niestacjonarne). Sprawdzić, które z poniższych formuł są tautologiami rachunku zdań spro- wadzając do kpn:

(a) (p → q) ∧ p → q

(b) [p → (q → r)] → (p ∧ q → r) (c) (p → q) ↔ (¬p → ¬q) (d) (p → q) → (r ∧ p → p ∧ q)

(e) (p → q) → (r ∧ p → r ∧ q) (f) (p → q) ↔ (¬p ∨ q) (g) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) (h) p ↔ q

(i) p ∧[q ∨ (¬p ∧ r)]

(j) p ↔[q → (q → p)]

(k) p →[q ∧ (¬p ↔ q)]

(l) p ∨[(q ∧ p) → (q ↔ ¬p)]

(7)

2 Rachunek predykatów

2.1 Podstawowe definicje

1. Nazwa indywidualnato taka nazwa, która może występować jako podmiot w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym, tj. “P jest O” (P — podmiot, O — orzecznik).

2. Nazwa generalnato taka nazwa, która może występować jako orzecznik w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym.

3. Predykat jednoargumentowy to wyrażenie, które z jedną nazwą indywidualną tworzy zdanie, np. “jest zielony”.

4. Predykat dwuargumentowyto wyrażenie, które po uzupełnieniu dwiema nazwami indywidualnymi tworzy zdanie, np. “jest bardziej zielony niż”.

5. Predykat n-argumentowyto wyrażenie, które po uzupełnieniu n nazwami indywidualnymi tworzy zdanie.

6. Symbol funkcyjnyto nazwa indywidualna, która jest zbudowana z nazw prostszych. Np. symbole funkcyjne jednoargumentowe: “ojciec...”, “starszy brat...”, sin, symbole funkcyjne dwuargumentowe: +, ·, itd.

7. Kwantyfikatoryto symbole zastępujące wyrażenia:

• “dla każdego...”, tzw. duży kwantyfikator, oznaczany ∀ (lub V),

• “istnieje...” lub “dla pewnego...”, tzw. mały kwantyfikator, oznaczany ∃ (lub W).

Definicja 2.1. Następujące symbole są znakami języka rachunku predykatów:

• a1, a₂, a₃, . . .— stałe indywiduowe

• x1, x2, x3, . . .— zmienne indywiduowe

• P1¹, P₂¹, P₃¹, . . .— predykaty jednoargumentowe

• P1², P₂², P₃², . . .— predykaty dwuargumentowe . . .

• P1ⁿ, P₂ⁿ, P₃ⁿ, . . .— predykaty n-argumentowe . . .

• F1¹, F₂¹, F₃¹, . . .— symbole funkcyjne jednoargumentowe

• F1², F₂², F₃², . . .— symbole funkcyjne dwuargumentowe . . .

• F1ⁿ, F₂ⁿ, F₃ⁿ, . . .— symbole funkcyjne n-argumentowe . . .

• ¬, ∧, ∨, →, ↔ — spójniki logiczne

• ∀, ∃ — kwantyfikatory

• ( ), [ ] — znaki pomocnicze, tj. nawiasy przecinek.

Definicja 2.2. (i) Każda zmienna indywiduowa i stała indywiduowa jest termem.

(ii) Jeśli α1, α2, . . . , αn są termami, to Fkⁿ(α1, α2, . . . , αn) jest termem (dla dowolnych k, n).

(iii) Nie ma innych termów poza wymienionymi w punkcie (i) oraz takich, które mogą powstać według reguły (ii).

Definicja 2.3. Formułą zdaniową atomowąjest każde wyrażenie postaci Pkⁿ(α1, α₂, . . . , α_n), gdzie α1, α₂, . . . , α_n są dowolnymi termami.

Definicja 2.4. (i) Każda formuła zdaniowa atomowa jest formułą zdaniową rachunku predykatów.

(ii) Jeśli φ, ψ są formułami zdaniowymi rachunku predykatów, to ¬(φ), (φ) ∧ (ψ), (φ) ∨ (ψ), (φ) → (ψ), (φ) ↔ (ψ), ∀ xi(φ) i ∃ xj(φ) są formułami zdaniowymi rachunku predykatów.

(8)

(iii) Nie ma innych formuł zdaniowych rachunku predykatów poza formułami atomowymi i takimi, które powstają dzięki zastosowaniu reguły (ii).

Definicja 2.5. Jeśli formuła ma postać ∀ xi(φ) lub ∃ xi(φ), to mówimy, że odpowiedni kwantyfikator wiąże zmienną xi.

Definicja 2.6. Wyrażenie φ w formule ∀ x(φ) oraz w ∃ y(φ) nazywamy zasięgiem odpowiedniego kwantyfikatora.

Definicja 2.7. Zmienna xi występująca w danym miejscu w formule zdaniowej jest w tym miejscu związana wtedy i tylko wtedy, gdy występuje w zasięgu kwantyfikatora, bezpośrednio po którym napisana jest zmienna xi

lub jest napisana bezpośrednio po jakimś kwantyfikatorze.

Zmienna występująca w danej formule jest związana w tej formule, gdy jest związana w każdym miejscu, w którym występuje w tej formule.

Jeśli zmienna występująca w danej formule nie jest związana w danej formule, nazywamy ją zmienną wolną.

Definicja 2.8. Zdaniem języka rachunku predykatów nazywamy formułę zdaniową nie zawierającą żadnych zmiennych wolnych.

Definicja 2.9. Tautologią rachunku predykatówalbo prawem rachunku predykatów jest formuła zdaniowa języka rachunku, prawdziwa przy dowolnym rozumieniu występujących w niej predykatów, symboli funkcyjnych, stałych indywiduowych i zmiennych.

2.2 Wybrane tautologie rachunku predykatów

1. ¬∀ x φ(x) ↔ ∃ x ¬φ(x) prawo De Morgana 2. ¬∃ x φ(x) ↔ ∀ x ¬φ(x) prawo De Morgana

3. ∀ x(φ(x) ∧ ψ(x)) ↔ ∀ x φ(x) ∧ ∀ x ψ(x) prawo rozdzielności dużego kwantyfikatora względem koniunkcji 4. ∃ x(φ(x) ∨ ψ(x)) ↔ ∃ x φ(x) ∨ ∃ x ψ(x) prawo rozdzielności małego kwantyfikatora względem alternatywy 5. ∀ x φ(x) ∨ ∀ x ψ(x) → ∀ x (φ(x) ∨ ψ(x)) prawo rozdzielności dużego kwantyfikatora względem alternatywy 6. ∃ x(φ(x) ∧ ψ(x)) → ∃ x φ(x) ∧ ∃ x ψ(x) prawo rozdzielności małego kwantyfikatora względem koniunkcji

7. ∀ x φ(x) → φ(x) dictum de omni

8. φ(x) → ∃ x φ(x) dictum de singulo

9. ∀ x φ(x) → ∃ x φ(x)

(9)

2.3 Zadania

Zadanie 2.1. W podanych wyrażeniach wskaż zasięg kwantyfikatorów:

(a) ∀ x R(x) → ∀ x ∃ y ((P (x) ∧ S(x, y)) ∨ ∃ z Q(z)) (b) ∀ x(R(x) → ∃ y (P (y) ∨ ∀ z S(y, z)))

(c) ∀ x ∀ y ∃ z(R(x, w, z) → S(x, w, y)) (d) ∀ x ∀ y ∃ z R(x, w, z) → S(x, w, y)

Zadanie 2.2. Czy następujące formuły są zdaniami języka rachunku predykatów:

(a) P₁¹(x) ∨ ∃ x ∀ z P1²(x, y) (b) ∀ x P₁¹(x) → P2¹(x)

(c) ∀ x(P1¹(x) → P2¹(x))

(d) ∃ y ∀ x(P1¹(y) ↔ ∃ z (P1²(z, y) ∨ ∀ w P2²(w, y))) Zadanie 2.3. Napisz zaprzeczenia poniższych zdań

(a) ∀ x ¬P(x) (b) ∃ x(P (x) ∨ Q(x))

(c) ∀ x ∃ y(P (y) → ∀ z R(x, z))

(d) ∃ x(P (x) ∧ ∀ y (¬P (y) ∨ ¬Q(x, y))) (e) ∃ x ∀ y ¬R(x, y)

Zadanie 2.4. Zbuduj schematy poniższych zdań w rachunku predykatów.

(a) Istnieją krasnoludki.

(b) Wszystko jest piękne.

(c) Wszyscy matematycy są muzykalni.

(d) Tylko ludzie są filozofami.

(e) Ojciec Gawła jest astronomem.

(f) Niektórzy ludzie mają koty.

(g) Nic nie jest doskonałe.

(h) Niektórzy ludzie kochają wszystkich.

(i) Wszyscy ludzie się kochają.

(j) Nie wszystko jest złotem co się świeci.

(k) Ktoś zwiedził wszystkie kontynenty.

(l) Każdy człowiek ma ojca i matkę.

(m) Każdy student zdał pewien egzamin.

(n) Ktoś nie jest uczciwy.

(o) Wszyscy są uczciwi.

(p) Nie ma nikogo, kto byłby uczciwy.

(q) Nie wszyscy są uczciwi.

(r) Wszyscy są nieuczciwi

(s) Pewien mężczyzna jest ojcem.

(t) Niektórzy mężczyźni nie są ojcami.

(u) Wszyscy ojcowie są mężczyznami.

(v) Tylko ojcowie są mężczyznami.

(w) Wszystkie kobiety są matkami.

(x) Żadna kobieta nie jest mężczyzną.

(10)

(y) Tylko osoby nie będące matkami są ojcami.

(z) Wszyscy wykładający logikę są złośliwi i wymagający.

(a1) Nie ma niezłośliwych wykładowców logiki, którzy dbaliby o dobro studentów.

(b1) Żaden wykładowca logiki, który dba o dobro studentów, nie jest złośliwy.

(c1) Tylko wykładowcy logiki są złośliwi i wymagający.

(d1) Niektórzy wykładowcy logiki dbają o dobro studentów, mimo że są złośliwi lub wymagający.

(e1) Nikt, kto albo jest wymagający albo dba o dobro studentów, nie wykłada logiki.

(f1) Tylko wykładowcy logiki lub filozofii dbają o dobro studentów.

Zadanie 2.5. Napisz schematy następujących zdań:

(a) Istnieje co najmniej jedna mrówka.

(b) Istnieje co najwyżej jedna mrówka.

(c) Istnieje dokładnie jedna mrówka.

(d) Istnieją co najmniej dwie mrówki.

(e) Istnieją co najwyżej dwie mrówki.

(f) Istnieją dokładnie dwie mrówki.

(g) Istnieją dokładnie trzy mrówki.

Zadanie 2.6. Zakładając, że zmienne x, y ∈ R i korzystając z predykatów =, <, ≤, a także symboli funkcyjnych +, ·, zapisz następujące zdania:

(a) Funkcja f(x) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

(b) Funkcja f(x) ma co najwyżej jedno miejsce zerowe.

(c) Funkcja f(x) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

(d) Funkcja f(x) ma co najmniej dwa miejsca zerowe.

(e) Funkcja f(x) ma dokładnie dwa miejsca zerowe.

Zadanie 2.7. Stosując kwantyfikatory o ograniczonym zakresie, przy założeniach poczynionych w poprzednim zadaniu, mając dodatkowo do dyspozycji predykat n ∈ N (n jest liczbą naturalną), zapisz następujące zdania:

(a) Ciąg (an) jest rosnący.

(b) Ciąg (an) przyjmuje wartości dodatnie.

(c) Ciąg (an) jest od pewnego miejsca stały.

(11)

3 Algebra zbiorów

3.1 Teoria

3.1.1 Podstawowe definicje i fakty

1. Zasada ekstensjonalności: Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie te same elementy.

Symbolicznie możemy zapisać:

A= B ↔ ∀ x (x ∈ A ↔ x ∈ B).

2. Zbiory A i B są różne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje obiekt x taki, że jest on elementem zbioru A, ale nie należy do zbioru B lub na odwrót. Symbolicznie:

A 6= B ↔ ∃ x [(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)].

3. Relacja inkluzji/zawierania się zbiorówoznaczamy symbolem ⊆. Definiujemy ją następująco:

A ⊆ B ↔ ∀ x(x ∈ A → x ∈ B).

Lemat 3.1. Relacja inkluzji ma następujące własności:

(i) zwrotność, tzn. A ⊆ A,

(ii) antysymetria, tzn. A ⊆ B ∧ B ⊆ A → A = B, (iii) przechodniość, tzn. A ⊆ B ∧ B ⊆ C → A ⊆ C.

4. Inkluzja właściwaoznaczana (. Definiujemy ją następująco:

A ( B ↔ A ⊆ B ∧ A 6= B.

Lemat 3.2. Relacja inkluzji właściwej ma następujące własności:

(i) przeciwzwrotność, tzn. ¬(A ( A),

(ii) przeciwsymetria, tzn. A ( B → ¬(B ( A), (iii) przechodniość, tzn. A ( B ∧ B ( C → A ( C.

5. Zbiór pusty ∅definiujemy następująco:

∅:= {x : x = x ∧ x 6= x}.

UWAGA 1. Zauważmy, że dla każdego zbioru A, mamy:

∅ ⊆ A.

6. Zbiór potęgowy zbioru Ato rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru A. Oznaczamy symbolem P(A) lub 2^A.

7. Mając dwa elementy a, b ∈ A możemy utworzyć parę uporządkowaną (a, b) o poprzedniku a i następ- niku b.

8. Dwie pary uporządkowane (a, b) i (c, d) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.

9. Niech A i B będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Iloczynem kartezjańskim albo produktem karte- zjańskim zbiorów A i Bnazywamy zbiór

A × B:= {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

10. Jeśli zbiory A i B są skończone np. m i n-elementowe odpowiednio, to iloczyn A × B ma m · n elementów.

(12)

3.1.2 Działania na zbiorach Definicja 3.1.

1. Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór A ∪ B spełniający następujący warunek:

x ∈ A ∪ B ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B, czyli A ∪ B := {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

2. Przekrojem/iloczynem/częścią wspólną zbiorów A i B nazywamy zbiór A ∩ B spełniający warunek:

x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B, czyli A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

3. Różnicą zbiorów A i Bnazywamy zbiór A \ B spełniający warunek:

x ∈ A \ B ↔ x ∈ A ∧ x /∈ B, czyli A \ B := {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.

4. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór A ÷ B spełniający warunek:

x ∈ A ÷ B ↔(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B),

czyli A ÷ B := {x : (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}. Zatem A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

5. Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, wtedy i tylko wtedy, gdy:

A ∩ B= ∅.

6. Dopełnieniem zbioru Aw zbiorze (względem zbioru) (uniwersum) U nazywamy zbiór A⁰ spełniający rów- ność:

A⁰= U \ A = {x ∈ U : x /∈ A}.

Lemat 3.3. Jeśli zbiory A i B są podzbiorami ustalonego zbioru U, to A ∪ B, A ∩ B, A \ B oraz A ÷ B są także zawarte w U, czyli zbiór potęgowy P(U) jest zamknięty ze względu na działania sumy ∪, przekroju ∩, różnicy \ oraz różnicy symetrycznej ÷.

Twierdzenie 3.1.

1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące własności:

A \(B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) oraz A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) zwane prawami De Morgana.

2. Jeśli U jest danym uniwersum oraz zbiory A i B są zawarte w U, to B \ A = B ∩ A⁰. 3. Dla dowolnych podzbiorów ustalonego uniwersum U zachodzą następujące równości:

(1) A ∪ B = B ∪ A, (1’) A ∩ B = B ∩ A,

(2) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, (2’) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, (3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), (3’) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

(4) A ∪ ∅ = A, (4’) A ∩ U = A,

(5) A ∪ U = U, (5’) A ∩ ∅ = ∅,

(6) ∅⁰= U, (6’) U⁰= ∅,

(7) (A ∪ B)⁰= A⁰∩ B⁰, (7’) (A ∩ B)⁰= A⁰∪ B⁰. Prawa (7) i (7’) nazywamy prawami De Morgana.

(13)

4. Jeśli A⁰ = B, to B⁰= A, gdzie A, B są zawarte w pewnym uniwersum U.

5. Dodawanie i mnożenie zbiorów są działaniami idempotentnymi, tzn. dla dowolnego zbioru A zachodzi: A∪A = Aoraz A ∩ A = A. Spełnione są też następujące pochłaniania:

A ∪(A ∩ B) = A oraz A ∩ (A ∪ B) = A.

6. Mamy następujące inkluzje:

A ∩ B ⊆ A i A ∩ B ⊆ B oraz

A ⊆ A ∪ B i B ⊆ A ∪ B.

7. Dla dowolnych zbiorów A i B następujące warunki są równoważne:

(i) A ⊆ B, (ii) A ∪ B = B, (iii) A ∩ B = A.

(14)

3.2 Zadania

Zadanie 3.1. Obliczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A oraz A ÷ B dla następujących zbiorów : (a) A= {{a, {b}}, c, {c}, {a, b}}, B = {{a, b}, c, {b}}

(b) A= [0, 1) ∪ {5} ⊂ R, B = (−∞, 0) ∪ [1, 5) ⊂ R (c) A= {x ∈ N : 2 | x}, B = {x ∈ N : 2 | (x + 1)}

(d) A= {x ∈ N : x < 3}, B = {x ∈ N : x ≥ 3}

(e) A= {x ∈ R : x < 2}, B = {x ∈ N : x < 2}

(f) A= {x ∈ R : x < 3}, B = {x ∈ R : x < 2}

(g) A= (−5, 2) ∪ {3} ⊂ R, B = {−3} ∪ [1, ∞) ⊂ R

Zadanie 3.2. Zbadaj, czy pomiędzy zbiorami A i B zachodzi w którąś ze stron relacja inkluzji:

(a) A= ∅, B = {a, b}

(b) A= {a}, B = {{a}}

(c) A= {x ∈ N : x³>3}, B = {x ∈ N : x³>7}

(d) A−zbiór kwadratów, B−zbiór równoległoboków Zadanie 3.3. Udowodnij następujące implikacje:

(a) A ⊆ B → A ∩ C ⊆ B ∩ C (b) A ⊆ B → A ∪ C ⊆ B ∪ C (c) A ⊆ B → C \ B ⊆ C \ A

Zadanie 3.4. Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności uzasadnij, że zachodzą następujące równości zbiorów:

(a) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C) (b) A \(B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

(c) A \(B ∪ C) = (A \ B) \ C (d) (A \ B) ∩ C⁰= A ∩ (B ∪ C)⁰

(e) A ÷ B= (A ∪ B) \ (A ∩ B) (f) A ∩(B ÷ C) = (A ∩ B) ÷ (A ∩ C) (g) A ∩(B \ A) = ∅

Zadanie 3.5. Znajdź iloczyn kartezjański A × B oraz B × A następujących zbiorów:

(a) A= {a, b}, B = {a, c, d}

(b) A= {x ∈ R : 0 < x ≤ 1}, B = {x ∈ R : 0 ≤ x < 2}

(c) A= {x ∈ R : 0 < x}, B = {x ∈ R : 0 < x}

(d) A= {x ∈ R : x < 1 ∧ 1 < x}, B = {x ∈ R : 0 < x²}

(e) A= {x ∈ R : 0 < x < 1 ∨ 2 < x ≤ 3}, B = {x ∈ R : 1 < x ≤ 2 ∨ 3 < x ≤ 4}

Zadanie 3.6. Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności uzasadnij, że zachodzą następujące równości zbiorów:

(a) A ×(B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (b) A ×(B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (c) A ×(B \ C) = (A × B) \ (A × C) (d) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)

(e) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)

(f) (A × B) \ (C × D) = [(A \ C) × B] ∪ [A × (B \ D)]

(15)

4 Relacje

4.1 Teoria

4.1.1 Podstawowe definicje

Definicja 4.1. Niech n ≥ 2. Relacja n-członowa to dowolny zbiór, którego elementami są n-ki uporządkowane.

Relacja n-członowa R jest relacją w zbiorze X, gdy R ⊆ X × . . . × X

| {z }

n

.

Gdy n = 2, to relację nazywmy binarną, gdy n = 3, to nazywmy ją relacją ternarną.

4.1.2 Relacje binarne i ich własności Niech R będzie relacją binarną.

UWAGA 2. Zamiast pisać hx, yi ∈ R, piszemy:

xRy.

Definicja 4.2. Niech R ⊆ X × Y . Dziedziną lewostronną lub po prostu dziedziną relacji R nazywamy zbiór:

DR:= {x ∈ X : ∃ y (xRy)}, a dziedziną prawostronną lub przeciwdziedziną nazywamy zbiór:

D_R^∗ := {y ∈ Y : ∃ x (xRy)}.

Definicja 4.3 (Własności relacji binarnych w zbiorze X). Niech R ⊆ X × X. Mówimy, że R jest:

1. zwrotna, gdy ∀ x ∈ X (xRx),

2. przeciwzwrotna, gdy ∀ x ∈ X ¬(xRx),

3. niezwrotna, gdy ¬∀ x ∈ X (xRx) lub równoważnie ∃ x ∈ X ¬(xRx), 4. symetryczna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy → yRx),

5. przeciwsymetrycznalub asymetryczna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy → ¬yRx), 6. antysymetryczna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy ∧ yRx → x = y),

7. przechodnia, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X ∀ z ∈ X (xRy ∧ yRz → xRz), 8. spójna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy ∨ yRx ∨ x = y),

9. diagonalna, gdy ∀ x ∈ X [xRx ∧ ∀ y ∈ X (y 6= x → ¬xRy ∧ ¬yRx)], 10. totalna, gdy ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X (xRy).

Definicja 4.4 (Operacje na relacjach binarnych). Niech R, S ⊆ X × X.

1. Suma relacji R i S— R ∪ S jest określona następująco:

x(R ∪ S)y ↔ xRy ∨ xSy.

2. Przekrój relacji R i S— R ∩ S jest określony następująco:

x(R ∩ S)y ↔ xRy ∧ xSy.

3. Różnica relacji R i S — R \ S jest określona następująco:

x(R \ S)y ↔ xRy ∧ ¬xSy.

(16)

4. Różnica symsetryczna relacji R i S — R ÷ S jest określona następująco:

x(R ÷ S)y ↔ (xRy ∧ ¬xSy) ∨ (xSy ∧ ¬xRy).

5. Dopełnienie relacji R— R⁰ jest określone następująco:

x(R⁰)y ↔ ¬xRy.

6. Złożenielub iloczyn względny relacji R i S — R ◦ S, to relacja określona następująco:

x(R ◦ S)y ↔ ∃ z ∈ X (xRz ∧ zSy).

Definicja 4.5. Konwersemlub relacją odwrotną do relacji R ⊆ X × X jest relacja ˘Rokreślona wzorem:

x ˘Ry ↔ yRx

4.1.3 Relacje równoważności

Definicja 4.6. Niech R ⊆ X × X. R jest relacją równoważności, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Definicja 4.7. Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X i niech x ∈ X. Klasą abstrakcji lub klasą równoważnościelementu x względem relacji R jest zbiór zdefiniowany następująco:

[x]R:= {y ∈ X : xRy}.

Twierdzenie 4.1. Niech R będzie relacją równoważności w niepustym zbiorze X. Wtedy dla dowolnych elementów x, y ∈ X:

1. x ∈[x]R,

2. [x]R= [y]R wtedy i tylko wtedy, gdy xRy, 3. jeśli [x]R6= [y]R, to [x]R∩[y]R= ∅.

Twierdzenie 4.2(Zasada abstrakcji). Każda relacja równoważności R w niepustym zbiorze X ustala podział zbioru X na rozłączne i niepuste podzbiory (klasy abstrakcji) w taki sposób, że dwa elementy x, y zbioru X należą do tego samego podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy xRy.

UWAGA 3. Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji równoważności R w zbiorze X oznacza się przez X/R.

(17)

4.2 Zadania

Zadanie 4.1. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę relacji R ⊆ N × N.

(a) xRy ↔ y= x + 1, (b) xRy ↔ y < x²,

(c) xRy ↔ y <3x.

Zadanie 4.2. Znaleźć R ◦ S, S ◦ R, R ◦ R, R ◦ S ◦ T , R ∪ S, R ∩ S, R \ S następujących relacji określonych w {a, b, c, d} × {a, b, c, d}:

R:= {(a, b), (b, a), (c, d), (d, a), (c, a)}, S:= {(a, c), (c, d), (d, d)},

T := {(a, a), (b, b), (d, c)}.

Narysować diagramy i macierze odpowiednich relacji.

Zadanie 4.3. Niech R ⊆ X². Pokazać, że:

(a) jeśli R jest asymetryczna, to R jest przeciwzwrotna.

(b) jeśli R jest przeciwzwrotna i przechodnia, to R jest asymetryczna.

Zadanie domowe 4.4. Czy relacja diagonalna jest symetryczna? Czy jest przechodnia? Czy jest antysymetryczna?

Zadanie domowe 4.5. Scharakteryzuj własności następujących relacji, określonych w zbiorze {a, b, c, d}². (a) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)},

(b) {(a, b), (b, a), (c, c)}, (c) {(a, b), (b, c), (c, a)}, (d) {(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}.

Narysuj diagramy i macierze tych relacji.

Zadanie 4.6. Złożeniem jakich relacji jest relacja (a) x(R ◦ S)y ↔ x jest teściem y,

(b) x(R ◦ S)y ↔ x jest szwagrem y (szwagier=mąż siostry).

Zadanie 4.7. Jakie własności mają relacje opisane na zbiorze ludzi:

(a) relacja bycia przeciwnej płci, (b) relacja bycia o rok starszym.

Zadanie 4.8. Wykazać, że relacja Rn przystawania modulo n, dla n ∈ N, określona w zbiorze Z wzorem:

a Rnb ↔ a ≡ b (mod n) ↔ n | a − b, dla dowolnych a, b ∈ Z

jest relacją równoważności. Wyznaczyć klasy abstrakcji tej relacji. Wypisać kilka elementów należących do klasy [−3]Rn, dla n = 5.

Zadanie 4.9. Zdefiniować relację równoważności odpowiadającą następującym podziałom zbioru A:

(a) A= {a, b, c, d, e}; podział B = {a, b, c}, C = {d, e}, (b) A= Z; podział B = N, C = {0}, D = {x ∈ Z : −x ∈ B},

(c) A= C (rozumiany jako zbiór punktów płaszczyzny R²); podział dany jest przez okręgi o środku w punkcie (0, 0) oraz punkt (0, 0).

(18)

Zadanie 4.10. Sprawdzić, że relacja R ⊂ R² jest relacją równoważności, gdzie (a) xRy ↔(x − y) ∈ Q i znaleźć [√

2]R oraz [1]R, (b) xRy ↔ ∃ z ∈ Z (x − y) = z i znaleźć [√

3]R oraz [0]R. Zadanie 4.11. Scharakteryzuj własności następujących relacji:

(a) R ⊆ N²; xRy ↔ 2 | (x + y), (b) R ⊆ N²; xRy ↔ x | y,

(c) R ⊆ Z²; xRy ↔ x = 2 ∧ y = 3,

(d) Rrelacja prostopadłości ⊥ w zbiorze P wszystkich prostych płaszczyzny Euklidesowej R². (e) R ⊆ N²× N²; (a, b)R(c, d) ↔ a + d = b + c,

(f) R ⊆ R²; xRy ↔ x²+ y²= 1, (g) R ⊆ Z²; xRy ↔ 3 | (x − y), (h) R ⊆ R²; xRy ↔ |x| = |y|,

(i) R ⊆ R²; xRy ↔ x + y = 2, (j) R ⊆ R²; xRy ↔ x − y = 2, (k) R ⊆ R²; xRy ↔ |x| + |y| = 3,

(l) R ⊆ {1, 2, . . . , 15, 16}²; xRy ↔ 4 | (x²+ y²).

Jeśli któraś z powyższych relacji jest relacją równoważności, wyznaczyć klasy abstrakcji.

(19)

5 Funkcje

5.1 Teoria

5.1.1 Podstawowe definicje

Definicja 5.1. Relację R ⊂ X × Y nazywamy funkcją, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

∀ x ∈ DR∃ y ∈ Y (xRy) oraz ∀ x ∈ DR∀ y ∈ Y ∀ z ∈ Y (xRy ∧ xRz → y = z), które możemy równoważnie zapisać jednym warunkiem:

∀ x ∈ DR∃! y ∈ Y (xRy) UWAGA 4.

• dom(f) := Df — zbiór argumentów lub dziedzina funkcji f,

• rng(f) := Df^∗ — zbiór wartości lub przeciwdziedzina funkcji f.

• Jeśli dane są dwie funkcje f, g, takie że f ⊆ g, to funkcja g nazywa się przedłużeniem funkcji f, a funkcja f obcięciemfunkcji g.

• Jeśli f ⊆ X × Y jest funkcją oraz dom(f) = X, to piszemy f : X → Y i mówimy, że f odwzorowuje lub przekształcazbiór X w zbiór Y .

Definicja 5.2. Niech f : X → Y i niech A ⊆ X. Obcięciem funkcji f do zbioru A nazywamy funkcję f_A:= f ∩ (A × Y ). (Często oznaczamy takowe obcięcie jako f|A).

Definicja 5.3. Funkcję f : X → Y nazywamy:

1. różnowartościowąlub iniekcją, gdy

∀ x1∈ X ∀ x2∈ X [x16= x2→ f(x1) 6= f(x2)].

Powyższy warunek jest równoważny następującemu warunkowi

∀ x1∈ X ∀ x2∈ X [f(x1) = f(x2) → x1= x2].

Piszemy wtedy f : X−−→ Y¹⁻¹ .

2. funkcją na zbiór Y lub suriekcją, gdy:

∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X [y = f(x)].

Piszemy wówczas f : X−→ Y^na .

3. bijekcją, gdy f jest iniekcją i suriekcją. Piszemy wtedy f : X−−→¹⁻¹

na Y. 5.1.2 Operacje na funkcjach

Definicja 5.4. Niech f : X−−→¹⁻¹

na Y. Funkcją odwrotną do funkcji f jest funkcja f⁻¹ : Y → X zdefiniowana w następujący sposób:

x= f⁻¹(y) ↔ y = f(x).

Definicja 5.5. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Złożeniem lub superpozycją funkcji f i g nazywamy funkcję g ◦ f : X → Z określoną następującym wzorem:

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

(Choć podręcznik oznacza takowe złożenie f ◦ g, gdyż oznaczenie to nawiązuje do pojęcia złożenia relacji, ponieważ składanie funkcji to nic innego jak składanie relacji f i g).

Twierdzenie 5.1. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Wówczas jeśli f i g są iniekcjami (odpowiednio suriekcjami, bijekcjami), to g ◦ f jest również iniekcją (odpowiednio suriekcją, bijekcją).

(20)

5.1.3 Obrazy i przeciwobrazy

Definicja 5.6. Niech f : X → Y i niech A ⊆ X. Obrazem zbioru A przez funkcję f nazywamy zbiór:

f~(A) := {f(x) : x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃ x ∈ A (y = f(x))}.

UWAGA 5. Zauważmy, że ~f(X) = rng(f).

UWAGA 6. Niech f : X → Y . Zauważmy, że funkcja f jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy ~f(X) = Y . Twierdzenie 5.2. Niech f : X → Y i niech A1, A₂⊆ X. Wówczas:

1. f~(A1∪ A2) = ~f(A1) ∪ ~f(A2), 2. f~(A1∩ A2) ⊆ ~f(A1) ∩ ~f(A2), 3. f~(A1\ A2) ⊇ ~f(A1) \ ~f(A2).

Twierdzenie 5.3. Niech f : X → Y i niech A1, A₂⊆ X. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. f jest iniekcją,

2. f~(A1∩ A2) = ~f(A1) ∩ ~f(A2), 3. f~(A1\ A2) = ~f(A1) \ ~f(A2).

Definicja 5.7. Niech f : X → Y i niech B ⊆ Y . Przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f nazywamy zbiór:

f~⁻¹(B) := {x ∈ X : f(x) ∈ B}.

UWAGA 7. Zauważmy, że ~f⁻¹(Y ) = X.

UWAGA 8. Niech f : X → Y . Zauważmy, że funkcja f jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego elementu y ∈ rng(f), zbiór ~f⁻¹({y}) jest jednoelementowy.

Twierdzenie 5.4. Niech f : X → Y i niech B1, B₂⊆ Y. Wówczas:

1. f~⁻¹(B1∪ B₂) = ~f⁻¹(B1) ∪ ~f⁻¹(B2), 2. f~⁻¹(B1∩ B2) = ~f⁻¹(B1) ∩ ~f⁻¹(B2), 3. f~⁻¹(B1\ B2) = ~f⁻¹(B1) \ ~f⁻¹(B2).

Twierdzenie 5.5. Niech f : X → Y i niech A ⊆ X oraz B ⊆ Y . Wówczas:

1. f~( ~f⁻¹(B)) ⊆ B, przy czym jeśli B ⊆ rng(f), to zachodzi tutaj równość, 2. f~⁻¹( ~f(A)) ⊇ A.

(21)

5.2 Zadania

Zadanie 5.1. Czy następujące relacje są funkcjami:

(a) R ⊆ R²; xRy ↔ x²= y, (b) R ⊆ R²; xRy ↔ x = y², (c) R ⊆ R²>0; xRy ↔ x = y², (d) R ⊆ N × Z; xRy ↔ x²= y³,

(e) R ⊆ N × Z; xRy ↔ x³= y², (f) R ⊆ R²>0; xRy ↔ |y − x| = 1, (g) R ⊆ R²>0; xRy ↔ |y| − |x| = 1, (h) R ⊆ C²; xRy ↔ y = ¹⁰√

x.

Zadanie 5.2. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji f : R → R, gdzie (a) f(x) :=√

x − x², (b) f(x) := _|x+1|^x ,

(c) f(x) := log(3x²−4x + 5), (d) f(x) :=√

x −1 + 2√ 3 − x, (e) f(x) :=√

2 − x +√ 1 + x.

Zadanie 5.3. Dla danego przekształcenia f : R → R sprawdź, czy f jest iniekcją lub suriekcją. Jeśli nie jest suriekcją wyznacz obraz dziedziny.

(a) f(x) := 3^x, (b) f(x) :=

(_2x+1

x−1, dla x 6= 1, 0, dla x = 1, (c) f(x) :=(ln |x|, dla x 6= 0, 0, dla x = 0, (d) f(x) :=

( _x

x+1, dla x 6= −1, 0, dla x = −1.

Zadanie 5.4. Dla podanych funkcji f, g : R → R wyznacz f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g, jeśli (a) f(x) := x², g(x) :=

(x −1, dla x ≥ 0,

−x, dla x < 0, (b) f(x) :=

(x+ 1, dla x ≥ 0,

x², dla x < 0, g(x) :=(2x − 3, dla x ≥ 1, 1 − x, dla x < 1.

Zadanie 5.5. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Udowodnić, że jeśli g ◦ f : X → Z jest:

(a) iniekcją, to f jest iniekcją, (b) suriekcją, to g jest suriekcją,

(c) bijekcją, to f jest iniekcją a g jest suriekcją.

Zadanie 5.6. Podaj przykład zbiorów X, Y, Z oraz funkcji f : X → Y oraz g : Y → Z takich, że:

(a) g nie jest iniekcją, ale g ◦ f jest iniekcją, (b) f nie jest suriekcją, ale g ◦ f jest suriekcją.

Zadanie domowe 5.7. Niech f : X → Y będzie bijekcją. Pokazać, że:

(a) f⁻¹ jest bijekcją,

(22)

(b) f⁻¹◦ f = idX, (c) f ◦ f⁻¹= idY.

Zadanie domowe 5.8. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Pokazać, że jeśli f i g są bijekcjami, to (g ◦ f)⁻¹ = f⁻¹◦ g⁻¹.

Zadanie 5.9. Niech f : R → R będzie określone wzorem f(x) := x²−3x + 2. Znajdź: ~f([0, 1]), ~f([−2, 1]), f~⁻¹((−∞, −6]), ~f⁻¹({3, 4}), ~f({1, 2}).

Zadanie 5.10. Niech f : (N ∪ {0})²→ N ∪ {0} będzie funkcją zadaną wzorem f((x, y)) := max(x, y). Czy jest to iniekcja? Czy jest to suriekcja? Wyznacz ~f⁻¹({3}).

Zadanie 5.11. Niech f : R → R będzie określone wzorem f(x) := sin x + 1. Znajdź ~f([0,^3π₂ ]), ~f({0, π}), f~⁻¹((¹₂, ∞)), ~f⁻¹({1}), ~f⁻¹({0}), ~f⁻¹({−1}).

Zadanie 5.12. Niech Rn[t] oznacza zbiór wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia n ≥ 0. Niech f : R[t] → R[t] będzie określona wzorem f (ϕ(t)) := ϕ²(t). Wyznacz: ~f⁻¹(R4[t]), ~f⁻¹({t⁶+2t³+1}), ~f⁻¹({t²+2t+2}), f~(R0[t]), ~f({−3, 3}).

(23)

6 Relacje porządkujące

Definicja 6.1. Relacją binarną R na zbiorze X nazywamy relacją częściowo porządkującą zbiór X lub częściowym porządkiem na X, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

Definicja 6.2. Zbiór X z relacją częściowego porządku R nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym i oznaczamy go przez hX, Ri.

Definicja 6.3. Para hX, Ri jest zbiorem liniowo uporządkowanym, gdy R jest relacją częściowego porządku, a ponadto R jest spójna.

Z reguły porządek liniowy jak i częściowy oznacza się symbolem ≤.

Definicja 6.4. Relacja binarna R w zbiorze X jest silnym porządkiem lub ostrym porządkiem, gdy jest przeciwzwrotna, asymetryczna i przechodnia. Z reguły silny porządek oznaczamy symbolem <. Jeśli ponadto relacja < jest spójna, to nazwiemy ją relacją silnego (lub ostrego) porządku liniowego.

6.1 Częściowy porządek

Przykłady częściowych porządków:

• hZ, ≤i, hR, ≤i, hQ, ≤i

• hN, |i, gdzie a | b ↔ ∃ c (b = ac) dla a, b, c naturalnych,

• dla dowolnego zbioru A, hP(A), ⊆i.

Definicja 6.5. Zbiory częściowo uporządkowane hX, ≤1i, hY, ≤2isą izomorficzne, gdy istnieje bijekcja f : X → Y taka, że

∀ x1∀ x2(x1≤1x2↔ f(x1) ≤2f(x2).

Twierdzenie 6.1 (twierdzenie o reprezentacji relacji częściowo porządkujących). Każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany hX, ≤i jest izomorficzny z pewną rodziną podzbiorów zbioru X, uporządkowaną relacją inkluzji.

Definicja 6.6. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Zbiór Y ⊆ X nazywamy łańcuchem, gdy relacja ≤ jest spójna w Y .

6.1.1 “Elementy wyróżnione”

Definicja 6.7. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Y ⊆ X. Element x0 ∈ X jest ograniczeniem górnym zbioru Y, gdy x0 spełnia następujący warunek:

∀ y(y ∈ Y → y ≤ x0).

Analogicznie definiujemy ograniczenie dolne:

Definicja 6.8. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Y ⊆ X. Element x0 ∈ X jest ograniczeniem dolnym zbioru Y, gdy x0 spełnia następujący warunek:

∀ y(y ∈ Y → x0≤ y).

Zauważmy, że w powyższych definicjach nie wymaga się, by x0∈ Y.

Definicja 6.9. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element x0∈ X nazywamy elementem największym, gdy:

∀ x(x ∈ X → x ≤ x0).

Podobnie definiujemy element najmniejszy, mianowicie element x0 ∈ X nazywamy elementem najmniejszym, gdy:

∀ x(x ∈ X → x0≤ x).

(24)

Definicja 6.10. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech Y ⊆ X. Supremum albo kresem górnym zbioru Y nazywamy element najmniejszy w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych zbioru Y , jeśli takowy istnieje. Analogicznie, infimum albo kresem dolnym zbioru Y nazywamy element największy w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych, o ile takowy element istnieje.

Definicja 6.11. Kratąnazywamy zbiór częściowo uporządkowany hX, ≤i taki, że dla dowolnych dwóch elementów a, b ∈ X istnieje największe ograniczenie dolne (infimum) względem relacji ≤ i najmniejsze ograniczenie górne (supremum) względem tej relacji.

Definicja 6.12. Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element x0 jest elementem maksy- malnym, gdy spełnia warunek

¬∃ y(y ∈ X ∧ x0≤ y ∧ y 6= x0),

tzn. nie istnieje element większy od x0. Podobnie definiuje się element minimalny, jako taki, od którego nie istnieją mniejsze, tzn. taki x0, który spełnia następujący warunek:

¬∃ y(y ∈ X ∧ y ≤ x0∧ y 6= x0).

Lemat 6.1 (lemat Kuratowskiego-Zorna). Niech hX, ≤i będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Jeśli każdy łańcuch L ⊆ X elementów zbioru X ma ograniczenie górne, to w zbiorze X istnieje element maksymalny.

Inne, równoważne sformułowanie lematu Kuratowskiego-Zorna jest następujące:

Lemat 6.2(lemat Kuratowskiego-Zorna). Jeśli dla każdego liniowo uporządkowanego podzbioru X0zbioru częściowo uporządkowanego X istnieje ograniczenie górne, to w zbiorze X istnieje element maksymalny.

6.2 Dobry porządek

Definicja 6.13. Relację R ⊆ X × X nazywamy dobrym porządkiem, gdy R jest częściowym porządkiem takim, że

∀ Y ⊆ X, Y 6= ∅ ∃ y ∈ Y ∀ x ∈ Y (yRx),

tzn. R jest dobrym porządkiem, gdy R jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią oraz taką, że każdy niepusty podzbiór Y zbioru X ma element najmniejszy względem relacji R.

Twierdzenie 6.2(zasada indukcji). Niech hX, ≤i będzie zbiorem dobrze uporządkowanym i niech ϕ(v) będzie funkcją zdaniową o jednej zmiennej wolnej v przebiegającej zbiór X. Załóżmy, że

1. najmniejszy element zbioru X ma własność ϕ,

2. dla dowolnego elementu x ∈ X, jeśli wszystkie elementy poprzedzające x mają własność ϕ, to również element xma własność ϕ.

Wówczas każdy element zbioru X ma własność ϕ.

Wniosek 6.2.1. Jeśli ϕ jest funkcją zdaniową o dziedzinie N taką, że:

1. ϕ(1),

2. ∀ n ∈ N (ϕ(n) → ϕ(n + 1)), to ∀ n ∈ N ϕ(n).

Twierdzenie 6.3 (o dobrym uporządkowaniu; Zermelo 1904). Dla każdego zbioru X istnieje relacja ≤ dobrze porządkująca zbiór X.

Aksjomat wyboru. Dla każdej rodziny zbiorów niepustych i parami rozłącznych istnieje zbiór mający z każdym ze zbiorów tej rodziny po dokładnie jednym elemencie wspólnym (zbiór ten nazywa się selektorem).

Inne równoważne sformułowanie aksjomatu wyboru jest następujące:

(25)

Aksjomat wyboru. Dla dowolnej rodziny A zbiorów niepustych istnieje funkcja wyboru, tzn. funkcja przypo- rządkowująca każdemu zbiorowi z rodziny A pewien jego element.

Twierdzenie 6.4. Wszystkie poniższe zasady są sobie równoważne:

• aksjomat wyboru,

• twierdzenie Zermela o dobrym uporządkowaniu,

• lemat Kuratowskiego-Zorna.

UWAGA 9. Nie są to jedyne, równoważne aksjomatowi wyboru, zasady.

(26)

6.3 Zadania

Zadanie 6.1. Narysować diagramy następujących zbiorów częściowo uporządkowanych, których uniwersum stanowi zbiór {a, b, c, d}, a relację stanowią następujące pary:

(a) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (c, d)},

(b) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (b, c), (c, d), (a, d), (b, d)}, (c) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (d, c)}.

Zadanie 6.2. Poniżej narysowany jest diagram zbioru {a, b, c, d, e, f, g} częściowo uporządkowanego.

a

b c

d e f

g

Wskaż elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją). Znajdź ograniczenie dolne i górne oraz kres górny i dolny (o ile istnieją) zbioru: {b, c}.

Zadanie 6.3. Rozważmy następujące zbiory: A0 = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}, A1 = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 2}, A2= {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 3}, A3= {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 4}, A4= {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 5}, A5= {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 6}, A₆= {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 7} z relacją ⊆.

(a) Narysuj diagram relacji.

(b) Wskaż elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją).

(c) Znajdź ograniczenie dolne i górne oraz kres górny i dolny (o ile istnieją) zbiorów: {A1, A₂}, {A4, A₅, A₆}. (d) Wskaż wszystkie łańcuchy długości 3.

Zadanie 6.4. Udowodnić, że relacja podzielności | określona w zbiorze N jest relacją częściowego porządku.

(a) Znaleźć wszystkie elementy minimalne. Pokazać, że w zbiorze N \ {1} istnieje nieskończenie wiele elementów minimalnych.

(b) Pokazać, że w zbiorze N nie ma elementów maksymalnych względem |.

Zadanie 6.5. Rozważmy zbiór T = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} wraz z relacją podzielności ograniczoną do elementów tego zbioru.

(a) Narysuj diagram relacji.

(b) Wskaż elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją).

(c) Wskaż wszystkie łańcuchy długości 3.

Zadanie 6.6. W zbiorze N^N(ciągów liczb naturalnych) wprowadźmy relację R w następujący sposób:

(an)R(bn) ↔ ∀ n ∈ N (an≤ bn).

(a) Udowodnić, że zbiór N^N jest częściowo uporządkowany.

(b) Znajdź elementy: maksymalny, minimalny, najmniejszy i największy (o ile istnieją).

(c) Czy zbiór ten uporządkowany liniowo?

Zadanie 6.7. Udowodnij, że jeśli w zbiorze częściowo uporządkowanym jest element:

(a) największy, to jest on jedynym elementem maksymalnym.

(27)

(b) najmniejszy, to jest on jedynym elementem minimalnym.

Zadanie 6.8. Dlaczego zbiory hZ, ≤i, hR, ≤i nie są dobrze uporządkowane?

Zadanie 6.9. Czy zbiór wszystkich ułamków postaci _n¹, gdzie n ∈ N z relacją ≤ jest dobrze uporządkowany?

A z relacją ≥?

Zadanie 6.10. Pokazać, że porządek liniowy w zbiorze skończonym jest dobrym porządkiem.