IZ . W Ł A D Y S Ł A W T A K L I N S K I
Profesor Akademii Górniczej w Krakowie
/ W'%
MECHANIKA TEORETYCZNA
Tom II.
K I N E M A T Y K A
s«f
m-:fk;
Nakładem Sekcji Wydawniczej
Stowarzyszenia Studentów Akademii Górniczej
P ro fe s o r Akademii G órniczej w Krakowie.
• M e c h a n i k a T e o r e t y c z n a K I N S M A T Y K A
* Tom I I .
Biblioteka Jag iello ńska
100 1974 571
Nakładem S ek cji Wydawniczej
Stowarzyszenia Studentów Akademii G órniczej
K r a k ó w 1945.-
1001974571
ą
z w
R o z d z i a ł I
P O J Ę C I A P O D S T A W O W E K I N E M A T Y K I P U N K T U M A T E R I A L N E G O .
Kinematyka ro zp a tru je ruch n i .a le ż n ie od p rzy c zy n ,K tó re ten ruch wywołują. Te na d z ia ł mechaniki o g ó ln ej j e s t o p a rty w yłącznie na prawach,‘będących podstawami g e o m e t r ii.
Ruch c i a ł a badamy na podstawie zmian o d le g ło ś c i je g o punktów od punktów jakiegobądź innego c ia ła .W z a le ż n o ś c i od
te g o ,c z y to c i a ł o zn ajdu je s ię w s ta n ie spoczynku,czy te ż ru chu,nazywamy ruch p ierw szego c i a ł a b e z w z g l ę d n y m , a l bo w z g l ę d n y m .
W p ierw szych r o z d z ia ła c h będziem y rozpatryw ać w yłączn ie ruch bezw zględny.
R u c h b e z w z g l ę d n y p u n k t u p o l e g a n a k o l e j n y m p r z e s u w a n i u s i ę j e g o p o ł o ż e n i a w s p o s ó b c i ą g ł y p r z o z p o s z c z e g ó l n e p u n k t y p r z e s t r z e n i .
P o ru s za ją c y s ię punkt za k re ś la w p r z e s t r z e n i c ią g ł ą Er żywą zwaną t o r e m punktu. Tor punktu j e s t za tym geom etrycz
nym miejscem położeń punktu podczas je g o ruchu.
Gdy punkt p oru szając s ię p o z o s ta je s ta le w pewnej p ła s z czyźn ie , ruch je g o nazywamy p ł a s k i m , w wypadku p r z e - ciwnyn mówimy,że ruch punktu j e s t n i e p ł a s k i , c z y l i p r z e s t r z e n n y .Poznamy je s z c z e inny p o d z ia ł ruchu w z a le ż n o ś c i od ro d za ju toru punk tu .
Gdy to r punktu j e s t l i n i a p ro s tą ,w te d y ruch nazywamy p ro stolin iow ym , W każdym, innym wypadku mówimy,że ruch j e s t k r z y w o lin iow y .Ruch k rzy w o lin io w y ,k tó re g o torem j e s t koło,mazyvn
s ię ruchem o b r o t o w y m . ‘°uc' nazywamy e l i p t y c z - n y ni , p a r a b o 1 i c. z n y m , c y k 1 o i d a 1 n y m, ś r u b o w y m i t , p . , j e ż e l i to r j e s t e l i p ;-ą > p ara b olą , c y k l o id ą , śrubą i t.p .
Ruch punktu uważamy jako okreś l ony w tedy,gdy możemy w k aż
dym momencie w s k a z a ć p o ło że n ie je g o w p r z e s tr z e n i.C z a s l i c z y my od pewnego momentu,np.od 12 g o d z . l stycznia,uw ażając, ten mo
ment jako początkowy.Jako jednostkę czasu b ierzem y n p . l sek J e ż e l i rozpatryw any moment następu je po momencie początkovym
to l i c z b ę t sok.pom iędzy momentem początkowym,a rozp atryw a
nym uważany jako d o d a t n ią .J e ż e li zaś rozpatryw any moment wy
przedza moment p r z y ję t y jaka początkow y,w tedy l i c z b ę t sek.
pomiędzy tymi momentami uważamy,jako ujemna.- Ruch punktu możemy o k r e ś lić dwoma sposobami:
C. J . Taki jja sk i-Mc chan ika te ero tyc zna
2 -
\ f za pomooą. równań r u c h u s k o ń c z o n y o h i 2/ za pomocą t o r u i r ó w n a n i a r u c h u po- n i ę d z y d r o g ę , a c z a s o m .
Sposób p ierw szy p o le g a na typ., i ż podczas ruchu punktu M . je g o współrzędne K artezj.ąński~ /x , y , z / ry s 1. zm ien ia ją s ię w sposób c i ą g ł y z b iegiem czasu t . Więc te współrzędne x * y ,z musze być funkcjam i c ią g ły m i zmienne j n ie z a le ż n e j t , t . j ,
<gV ■
x= / t / , y= f / t / , z=X A / • • ./ V Z
♦ A x , y , z /
0
'Jest rzeczą, o c z y w is tą , i ż aby o k r e ś lić ruch punktu M / y , y » ż / , w ystarcza mieć t r z y
fu n k cje f / 1 / , f / i/ , A / t / , albowiem według n ich d la każde
go momentu czasu zn ajdziem y współrzędne punktu x » y , z , a z a -
tym wyznaćzyr-iy p o ło że n ie togo punktu M w p rze s trzo n i.R ó w nan ia / l / nazywamy r ó w - m a n i a m i r u c h u s k o ń c z o n y m i .
Zauważymy, i ż współrzędne pu tu M n ie k o n ie c zn ie m s z ą
■być prostokątnym i Kar te z jus z a , l e c z noga być wogóle dowolnymi n p .c ylin d ry czn y m i .Będziemy p r z e - . i współrzędnych K a r t e z ju s z a , jako n a jp ro s ts z y c h . E lim in u ją c czas T ż trzech, równań r u c h u / l / ,0 trzymamy równania dwu p ow ierzch n i c y -
U ' / x ,y /
Rys, 1 sążn ie uż
1 indryc znyc h r
y = f _/ x / , z = f / x / 2 / Iz
T " ' ’ “ ""2 '
p rze c in a ją c y c h s ię wzdłuż pewnej l i n i i k rzyw ej AB / r y s . 2./ . Ta kr żywa AB j e s t
w łaśnie t o r o n punktu ET / x sy , z / .
Gdy ruch j e s t p ła s k i, wtedy przyjm ując tę p ła s z c zyzn ę, jako p ła szczy zn ę XOY
Zs-f;/ A 7 / > - //
/ / / A
// / ,' / / \ * // ... ..A A x , y , y
-------J. ( \
v "O
i • \ • \ i : n - ? - .. A .... 4 - 4 *-^ - ok reślim y ruch punktu W x,y/
za pomocą dwu ty lk o równań ruchu;
x -ą l/ 1 / , y =■ " f / 1 / ---- / 3/ ,
ponieważ t r z e c io równani, ruchu z=0 możemy opuścić.
E lim in u jąc z równań /3 / czas
j y=*j/ 3/ Rys . 2.
ru punktu ET / x , y /•
t , otrzymamy równanie to- y = f / x / ... /4 /.
J e ż e l i n ie będziem y unie l i wyeliminować czasu t z rów
nań /3 / , wtedy mośeny zbudować to r punktu A według p o szcze
gólnych punktów na tyn to rze .znajdujących się.Możemy te ż rów
nania /3 / uw ażać,jako równania par. metryczna toru punktu M . / x ,y / .
P r z y k ł a d I . Równania skończono ruchu są:
x= \ X ‘ t, y= . t + J i ^ p rzyczy n -X n S i S sq s ta łe .Równania toru punktu n ap i-~ -szeny:
g X 2
y " ~ x + f " • 3 7 •
Tor punktu j e s t za tyn p a r a b o l ą i ruch j e s t pa -■
r a b o llc z n y .
P r z y k ł a d I I . x = c l.c o s k t , y= a . s in k t , z = c t.
Ruch j e s t przestrzen n y,rów n an ia toru są: x' + y 2 = a?
z * -|g- a r c tg -yy- c Tor punktu j e s t w ięc l i n i ą ś r u b o w ą a san ruch ruchom śrubowym.
P r z y k ł a d I I I . Równania skończono ruchu: r = a , t , O = k t , a i k są s ta łe .Równania ruchu są w w spółrząd- nych biegunowych / r , 0~/ .Równania to ru punktu M / r ,Q / b ę d zie r - -mjr— O .T o r j e s t więc l i n i ą Cl s p ir a ln ą A rch iriedesa.
Sposób d ru g i o k re ś le n ia ruchu punktu j e s t sposobem to ru N ie c h a j b ęd zie dany t o * .Ten to r punktu nie o k r e ś la jednak
w "'"p e łn o ś c i ruchu punk tu, alb o wiem p o z o s ta je nieznanym spo- .jn ,w j a k i punkt M porusza s ię po tym to r z e .
A b y o k r e ś lić tę o k o lic zn o ść postępujem y następu jąco: o b ie r a my na to rze S’ S / r y s . 3 ./do-
^ wolny ■- -nkt O ,k tó ry uważamy, j a ko p oczątek d r o g i i przyjm u je
my jeden z kierunków na to rz e od punktu O p ocząw szy,jako u / d o d a tn i,a p rzeciw n y jako u je - n m ny/np.na ry s 3 .kieru n ek od V o ku S j e s t dod atn i ,a od O
ku S ' - u je m y / .Wtedy p o ło że n ie każdego punktu M na to rz e SS*
o k r e ś li s ię za pomocą dodat
n i e j , c z y ujemnej l i c z b y , k t ó r e j wartość bezwzględna j e s t
J ■ - równa d łu g o ś c i łuku toru SS1
’y s . 3 . od punktu O do punktu ro zp a
trywanego 3T T ę lic z b ę będziemy n a zy w a li d r o g ą , a ozna
czać js będziem y p rzez l i t e r , ę "s".Każdem u p o ło że n iu pun
k tu M poruszającemu s ię wzdłuż toru SS',możemy podporząd
kować określoną, wartość l i c z b y s , i odw rotn ie.Z b iegiem
- 4 -
czasu -położenie punktu M na torze SS5 , zmi enia s ię w sposób c i ą g ł y , a za tyn zmienia s ię w sposób c i ą g ł y droga s ,o k r e ś la
ją c a p o ło że n ie punktu ruchomego M • . j„ s j e s t fu n k cją c i ą g łą czasu ts
s = F / t / » , ... * . . . *. ../ 5- / Związek / 5/ n a z y w a n y r ó w n a n i c n r u- c Pi u p .u n k t u n a t o r z o , c z y i i k rótk o prawen d r ó g ,
Gdy d la ja k ie g o bądź ruchu są dane; / g r a fic z n ie / spoczą
tek d ro g i,k ie ru n e k d od atn i na t o r z e i prawo d r ó g } wtedy ruch punkte j e s t w zu p ełn o ści określony,poniew aż -w każdym momen
c ie czasu t p o ło że n ie punktu j e s t nam. znano.
P r z y k ł a d y ; torem punktu może być l i n i a prosta, a Ib o łukowa, a lb o l i n i a 1 śrubowa^ równania punktu ruchu na ta
rze moga byó: s = a+bt^s= a + b t+ c 4^ s-a s in k t / a , b , c i k—
- sta łe/
Ła two zdaó sobie sprawę o ch a rak terze ruchów.
Aby uw idocznić ch a rak ter ruchu punktu posługujemy s ię t.z w .k r z y w a d r ó g ,c z y l i w y k r e s e m r u c h u
Odkładamy według obranej s k a li wzdłuż o s i o d c ię ty c h CK l i c z b y t , a wzdłuż o s i rzędnych OY odpowiednie w a rto ś c i s, otrzymane z prawa d r ó g / y „Ge ©me tryczn e m iejsce wyznaczonych w ton sposób punktów na p ła s z c z y źn ie XOi b ę d z ie w łaśnie k ry — w ą d ró g PP danego ruchu ..Powianie k rzyw ej dróg w w spółrzęd
nych xy otrzymamy z prawa dróg za pon ą zamiany t i s odp- w iednio p r z e z x i y.Z a tym równanie k: ywej d r ó g .,ma zasad?’
rów nania / 5/ ,b ę d zie :
y — F / yf »
W przykładach wyżej podanych krzywymi dróg odpowie
dnio są: l i n i a pro s ta , parabola i sinusoida* ic h równania;
y= a + b x , y =- a 4- bx +- cx^ i y — a , s in kx»
tW 5/
Gdy krzywa dróg j e s t wy
k r e ś lo n e g o p o s ia d a ją c to r z łatw ością, możemy badać , ruch punk tu, np-r je ż e l i krzywa
\P t % tę _ d róg ma k s z t a ł t p r z e d s ta w ia j j V v na r y s . 4 . , a torom j e s t l i n i a
pro etc, .to ruch punk tu odbywa y s ię w sposób n astęp u jący: od y p o ło ż e n ia M0 w momencie t Q
punkt M porusza s ię w lewa R y s .4 ,
....K
K r - a k
! i ii
±_ L
t 0 t2
\
do punktu ^następnie w prawo do punktu d a le j w lewo p rz e z punkt aż do punktu 1 w reszcie w prawo do punktu BIL w
momencie t^ » '
”r z a le ż n o ś c i od prawa dróg s=J/i/,ru ch punktu możemy p o d z ia łić na ruch j e d n o s t a j n y n ruch z. m i © n -
n y * R y s .5 .
t 4 5l
" M' io_ i
1.3 ®Tp jvi 0 mg
R u ch 'p 'u n k t u n a z y w a m y j e d n o s t a j - n y i , g d y d r o g i , z a k r e ś l o n e p r z e z punkt
s ą p r o p o r ' c y a l n y m i d o c z a s u , u ż y t aę.o n a i c h p r z e b - y c i e , i g d y p r ó z z t e g o r u . c h o d b y w a s i ę s t a l e w j e d n y m i
t y ra s a; m y m k i e r u n k u , J e ż e l i ch ociażb y jeden z powyższych n ie j e s t spełniony,wówczas ruch punkt$r nazywamy z m i e n n y m .
S2-
M, Kr
R o z d z i a ł 11,
J e d n o s t a j n y r u c h p u n k t u , j o g o p r a w o d r ó g i j e g o p r ę d k o ś ć .
W t y m r o z d z ia ło rozpatrzym y je d n o sta jn y ruch punkiu w zdłuż toru 1 ov,oj.nog o ,a więc wzdłuż toru p r o s to lin io w e g o . Udowodnimy przedew szystkiem następu jące tw ierd ze n ie
P r a w o d r ó g d l a j e d n o s t a
r u c h u p u n k t u w y r a ż a s i ę l i n i o w ą f u n k c j ą c z a . s u i odwrotnie r u c h p u n k t u k t ó r e g o p r a w o d r ó g w y r a ż a s i ę z a p o m o c ą l i n i o w e j f u n k c j i c z a s u , j e s t r u c h e m j e d n o s t a j n y m ,
R z e c z y w iś c ie ,n iech jo i s będą drogami odpowiada jącymi.
położeniom punktu ruohomogow momentach czasu O i tupanie waż
ruch odbywa s ię w jednym i ty m samym k ie runka, r ó ż n ic a drćg S'-s0 wzka otije na d r o g ę , odbytą p rze z punkt w c z a s ie t . A le według d e f i n i c j i ruchu je d n o s ta jn e g o , d r o g i zak reślon e p rze z punkt są p roporcjonaln ym i do c za s u ,u żytego na ic h przebyć ją więc mamy,że:
-i-• so
K>
p rz y czym v j e s t w ie lk o ś c ią s ta łą . Równa n ie / 1/ d a je ;
g =r. +• V t , ... ... ...
t "
co udowadnia pierw szą c z ę ś ć tw ierdzenia..
O dw rotnie, przypuśćmy że d la pewnego ruchu punktu pra
wo dróg j e s t dane w p o s ta c i fu n k c ji lin io w e j czasu t s = a -f b t » «»••> 1 t * . • • » • • • • • • • « •/3/ f p r z y czym a i b są s tak-.Nada jemy czasow i t dowolny p rzy r o s t t,w te d y droga s otrzyma pewien p r z y r o s t ćs. s.W sta
w iając w równanie / 3/ nowe w a rto ś c i czasu i d r o g i , o t r z y mamy;
s + s - a + b / 1 + £ t ... »•/ V t Odejmując stronami równość / 3/ od rów ności / V , a na
stępn ie d z ie lą c o trzymamy wzór prze r t otrzymamy;
4 |— - b „ . . . , ... * ... . / V . Otrzymana ró wność mówi nam', i ż droga s za k reślo n a p r z e z p u n k t -w .cią g u dowolnego czasu t j e s t proporc ja ln ą do czasu ,a więc prawo d r ó g / V ’odpowiada ruchowi je d n o s ta j—
nemu: co udowadnia druga część' tw ie r d z e ń ia .
Możemy zatym t w ie r d z ić , i ż d l a j e d n o s t a j n e g o r u c h u - p u n k t u i t y l k o d l a n i e g o p r a w o d r ó g w y r a ż a s i ę z a, p o m o c ą
_ i n i p w e j - f u n k c j i c z a s u .
r> równania /1/ w idzim y,że sQ j e s t to droga odpowiadają, ca m om .ntowi-czasu,przyjętem u jak o 50.' zątkowyj.podobne znącze.
n ie ma " a " , t » j , wyrazy wolno fu n k c ji lin io w e j,w y r a ż a ją c e j prawo d ró g je d n o sta jn e g o ouchu punkty,nazywamy d r o g ą p o c z ą t k o w ą .
Rozpatrzmy —r a z współczynnika p r z y t ; v w równaniu /2/
i b w rów na n iu / 3/ , w sp ółczyn n ik i ^ a ją nam wartość widl — - 6 -
• • • • • O- N
koś c i,z w a n e j p ręd k ością r u c h u j e d n o ' s t a j n e — g o .Przypuśćmy tgże momentom tp i t2 odpowiadają d r o g i
3p i s2 ,w ted y równanie /2/ d aje;
Sp =• s0 + vtp i S2 =r s0 + v t2 , skąd otrzym u jem y,iż:
S9 - sp '=?- y/ t ?- tp / , c z y i i V,:--- . f o f . t 2 -tp
Przedew szystkiem zauważymy,że /6/ j e s t u ogóln ieniem r ó w n o ś c i/ l/ i , ż e /6/ wyraża to samo ó v ,c o /5/ o 13%d la
tego na za sa d zie wzroru /6 / i / możemy podać n astępu jące o k r e ś le n ie p ręd k ości ruchu je d n o sta jn e g o :p r ę d k o ś c r u c h u j e d n o s t a j n e g o j e s t t o s t o> - ■
s u n e k d r o g i , z a k r e ś l o n e j p r z e z p u n k t w c i ą g u - d o w o l n e g o c z a s u , d o , t e g o c z a s u .
J e ż e l i weźm iem y,taki je d n o sta jn y ruch punktu,że . p rz y t ? + tp =r 1 j e s t s2 - sp - 1, tr> tego ruchu równanie /6/ da nam v = 1*
ta o k o lic zn o ść w zkazu je,że j e d n o s t k a p s ę d—
k o ś c i j e s t t o p r ę d k o ś ć , t a k i e g o r u c h u j e d n o s t a j n e g o , p o d c z a s k t ó r e g o w c i ą g u j e d n o s t k i c z a s u p u nkt
zakreś l a ^rogę równą t e j j e d n o s t c e .
Z powyższego w id zim y ,r>e jedn ostka p ręd k ości j e s t jednostka z ło ż o n a , zależn ą od wyboru jedn ostek czasu i dłu g o ś ci ..mi ano w i w i e :
jednostka p r ę d k o ś ć I . T " g
0 1 x jednostka czasu 9
j e ż e l i I oznacza długość a T c za s .
W jednostkach CCrS prędkość w y ra z i s ię p r z e z GS“ ^ .
4'
Zauważymy ,że równanie /6/ p r z y t^ - t = 1 d aje
V = a o _ Sp ,
co w sk azu je,że l i c z e b n i e p r ę d k o ś ć r u—
c h u j e d n o s t a j n e g o j e s t r ó w n ą d ł i * ~ g o ś c i p r z e s u n i ę ć i a p u n k t u w c i
gtr J e d n o s t k i c z a s u .
P rę d k o ś c i ruchu jed n o stajn ego oprócz w ie lk o ś c i v na
d aje s ię je s z c z e p e w i e n . k i c u n e k«
Gdy ruch punktu j e s t p r o s to lin io w y wtedy wybieramy wel- łu g ja k i e j ś s k a li odcinek p roste j ,k t o r y b ę d zie p rz e d s ta wiać w ielk o ść p ręd k ości v , i odkładamy go od p o ło ż e n ia pun
ktu n a -ta rz e wzdłuż p r o s t e j toru w kierunku ruchu p u n k tu / / r y s . 6 „/ „Otrzymany w ten snosób w ektor MF =■ v b ę d z ie p rzed s ta w ia ł geom etryczn ie prędkość punktu M co do w ie lk o ś c i i kierunku,K ierunek wektora — p ręd k ości v nazywamy k ieru n
kiem samej p rę d k o ś c i.
Przypuśćmy t e r a z ,ż e t o i punktu M j e s t k r z y w o 1 i — g n i o w y / r y s . 7/ i^ że punkt
M j. rusza s ię w kierunku S",po—
JT n ie waż n iesk oń czen ie mały łtk
^ toru zlew a s ię ze s ty c z n ą ,p r z a - prowadzaną p rze z p oczątek t e - go łu k u ,to wektor-prędkość v
g i musimy skierować wzdłuż styka
ne j do toru SS w punkcie ET, R y s .6 . Pr ^y tym w tę s tr o n ą ,k tć r ą po
rusza s ię nasz punkt.
• W. w y p a d k u r u c h u k r z y w o l i n i o w e g o , j e d n o s t a j n e g o w e k t o r - p r ę d k o ś ć
n i e z m i e n i a s w e j '
w i e l k o ś ć i ' , l e c z z m i e n i a k i e r u n e k ^
w w y p a d k u r u c h u p r o - s
s t o l i n i o w e . g o j e d - . F
n o s t a j n e g o w e k t o r . - p r ę d k o ś ć p o z o s t a j e s t a ł y m c o d o w i e l k o ś c i i k i e r u n k u ,
,
Zauważymy jo 3 zcze',że je ż e -.
l i w równaniu /6/ moment czasu
będziem y uważać jako późnie j - s.*. R / 7 s ż y .a moment t ' wcześnie j.czy, to * y~". i * p rzy -* s > 6 otrzymamy v > 0, . a p rzy s^ - s < otrzymamy v<G,
-8 '-
W ięc p 'd c ras ruchu jed n ostajn ego w kierunku doda te. im. na r z e prędkość v j e s t d o d a tn ia ?a podczas ruchu w kierunku u >
jemnym—ujemna,.
D la tego też k i e r u n e k w e k t o r a - p r ę d k o ś c i v j e s t n i e t y l k o k i e r u n k i e m p r e d lc o ~ś c i *1 e c z i k i e r u n k i e m r u c h p u o k t u»
R o z d z i a ł 111.
Z m i e n n y r u c h p u n k t u , j e g o p r a w o a r ó g j p r ę d k o ś ć i p r - z y s p i e s z e n i e *
W poprzednim r o z d z ia le udowodniliśm y, że cechą charakte
rystyczn a ruchu jed n o sta jn eg o j e s t lin io w a postać prawa . H ó g .D la te g o d e fin ic ję ruchu zmiennego ,podaną w końcu r o z . d z ia łu 1 , możemy za s tą p ić następując z m i e n n y r u eh p u n k t u j e s t t o t a k i r u c h , k t ó r e g o p r a w o d r ó g n i e w y r a ż a s i ę f u n k c j ą 1 1 n i o w ą c- z a s u.Badając ogólne zagad n ien ia zmien
nego ruchu punk te,będziem y wyrażać prawo dróg równaniom;
S ™ 1 / ' . . i . . . . . . o o . f l * . . O O O , 6 . o ° / ^ ]^ ,
p rzy czym R/ i/ j e s t dow olną;n ie lin io w ą funkcją, czasu*
Przypuśćm y,że w momencie czasu t punkt p o ru sza ją cy s ię wzdłuż toru 3 '5 ruchem zmiennymrji k tó reg o prawo dróg j e s t / ] / zn a jd u je s ię w punkcie M /rys„8/% po upływ ie p rzy r o s tu czasu k i t , t . j . momencie t +,;j. t punkt przesu n ął się.
w nowe p o ło że n ie ?t. P r z y - 'ą g - r o s t c z a s u .li t b ierzem y do—
i - i ...- w o ln y ,a le ta k i,a b y w ciągu
/ " mn°~o kierunek ruchu punk la
\ na to r z e n ie u le g ł zm ianie.
N Wyobraźmy sobie ^że w c i i i tegoż, toru S ' S porusza s ię
. . je s z c z e inny punkt ruchem
R y s . 81 jednostajnym i p r z y takimi, i ż w momentach 6 za su t i t + , lft ten d ru g i punkt z a j muje p o ło że n ia M i M .Ozna
c z a ją c długość łuku le r u po • M
-1 0 -
m iędzy punktami M i M p r z e z / j s,na podstawie ró w n a n ia / ’]/
będziem y mieć ;
s + Ą s = P / t + / ] i/
a po o d ję c iu stronami / ]/ , znajdziem y;
4 ^ A ,/ „ /,
d s = r / t * A V - F /i/ ..
Ponieważ d ru g i punkt porusza s ię je d n o s t a jn ie , jeg o prędkość wyznaczymy z wzoru?
V = -Z£- M
Prędkość Y wyobrażanego drugie.- o punktu względem pun
ktu p ierw szego nazywamy j e g o ś r o d -n i ą p r ę d - k o ś c i ą , o k r e s u c z a s u A. t . Możemy za tym po
w ie d z ie ć ,ż e ś r e d n i ą p r ę d k o ś c i ą p u n k — t u , p o r u s z a j ą c e g o s i ę . r u c h e m z m. l e n n y m , d a n e g o o k r e s u c z a s u n a z y w firmy-
p r ę d k o ś ć r u c h u j e d n o s t a j n e g o t a k i e g o p u n k ' t u , k t ó r y p o r u s z a j ą c s i ę w z ó ł u ż t e g o * s a m e g o t o r u , c o i p u n k t d a n y , z a j m u j e w p o c z ą t k u i k o ń c u d a n e g o o k r e s u - c z a s u j e d n a k o w e z n i m p o ł o ż e n i a .
Stwierdzamy więc,rże prędkość ś re d n ia v j e s t jed n ocześ
n ie nkcją. t i Ą t .. i że d la --óżnych momentów t i d la różnych o k resó w .cza suMi t , prędkośc v wogóle j e s t ró żn ą . Wa za sa d zie wzoru T a y 1 o r a mamy;
skąd %
t • •
Z wzoru / 3/ wniósł ujemy, że l/ v mogłoby n ie być fu n kcją czasu t,g ^ y b y F J /1/ , F" / i/ . 7b y ły b y w ielk o ścia m i sta
łymi?, a le podobnych przypuszczeń ro b ić n ie .możemy,albowiem z z a ło ż e n ia , iż F*/i/ = C p rzy czym 0 j e s t pewną s ta łą , wynika.,*e F/ t/ j e s t funkcja, lin io w ą czasu C^t + Cgsco p rz e c z y p rzyp u szczen iu zm ienności ruchu p u n k 2J y mogłoby n ie być fu n kcją p rzyrostu /czasu Ą t , gdyby b y ło F :'/V =P!,t/ l/ - a le z a ło * e n ie F " / V -0 pociąga za sobą w arunek,iż F '/'!/ - 0^
skąd F/1/ = C t + Cg co znowu p r z e c z y zm ienności ruchu.
d a' n e g o A za tym ś r e d n i a p r ę d k o ś c i
o k r e s u c z a s u j e s t j e d n o c z e ś n i e f u n k c j ą , t e g o o k r e s u c z a s u i m o m er%-
t u p . o c z ą t k o w e g o , o k r e ś l a j ą c e g o t e n o k r e s u
S-r
Obierzemy na to rze S S / r y s . 9/ do wolną je g o część,n p * . Mp i 'oznaczymy p rzez
. ' .t i “ t momenty czasu w
k tó rych punkt ruchomy z n a j
duje s ię w p o ło że n iu M, i Mg*
Ponieważ ruch punktu j e s t zmienny, j e s t r z e c z ą możliwą, i ż punkt przechodząc z -po
ł o ż e n ia M-^ w p o ło że n ie porusza s ię n ie zawsze w
■ jednym k ie runku, le c z zm ie
n ia kierunek swego ruchu.
"M-g _ P ią t e g o p o d zie lim y okres o z a - K S j L 5/,
/ ... * '
su t -t_ na ta k ie c z ę ś c i
2 . n ,
T
R y s . 9 .
\ + / a ■/
aby w cią gu k ażd ej z n ich punkt n ie zm ien ia ł k ieru n ku swego ruchu.
Z a k ła d a ją c,żes
T_ V ,
o t r z y jm y , iż' t. = T + / Ą i , . n v v n- Średnie prędkości , . . . „
» /'.ini/ p , . . . ./:;„/ i/ j/^jdą n.otip
dla. ok..vi cw ioanio
CZd, su
Ttekł *•»>■?, Hecrhanike "oc orz tyczna
i r ^ ' X 8//1 F r I*/ i/i l i _ / T I7 ~ ---- --- »
/ c ^ i /.
/ A b / 2 . ? { * + / ,A t / 2 j - t f . * f
\ - ~ T ^ r 2, * — — T - t T - ---
-1 2 -
o o • o •
f A s / f ! t + /2:\ t f \ - y / r /
' ' n u. n n..J ' ___ n
- = ~ ~ ~ 7 " " ^ 7 ;
ponieważ p ręd k o ści T ^ , . . . . V n w o g ó ln o ś c i n ie są sobie ró w n e,to pur%t wyobrażany p oru szają cy s ię w ciągu każdego
okresu czasu / A t / ^ , / ki t / g , ... / A t / n równomier
nie' z prędkościam i w yżej nąpisanymi ,musi w końcu każdego o - kresu zm ieńiaó gwałtownie swą p ręd i ść .Zatym ruch tego pun
ktu w c ią g u czasu od momentu do t^ b ę d zie zmiennym,a
w ciągu każdego okresu /.ki t / ... ./ /A t / n - je d n o s t a j- nym .B iorąc n astępn ie -pod uwagę,że dany punkt r z e c z y w is t y w momenta ch czasu T _ , T - , T ,T , t zajm uje na t o -
1 2 7 3 n-1 n 2
rz e te same p o ło że n ia co i punkt wyobrażony, wniosku Jemy, że p r z y zw iększan iu l i c z b y n okre sów / ,-A, t ci V n d zm n iejsżan iu Jednoczesnym samych okresów w g r a n ic y punkt v y - obrażony b ę d zie zawsze zaimował p o ło ż e n ie zgódne z p o ło ż e niem punktu r z e c z y w is te g o . Więc z m i e n n y r u c h p u n k t u m o ż e m y u w a ż a ó J a k o z ł o ż o n y z n i e s k o ń c z e n i e d u ż e j l i c z b y k o l e i n y c h r u c h . ó w j e d n o s t a j n y c h z p o ś r ó d , k t ó r y c h k a ż d y t r wa n i e s k o ń c z e n i e k r ó t k o , P r ę d k o ś ć d a n e g o p u n k t u w d a n e j c h w i l i n a z y w a m y j e g o ś r e d n i ą p r ę d k o ś ć w c i ą g u n i e s k ę ń c z e n i e m a ł e g o o k r e s u c z a s u , k t ó r y t e n m o m e n t z a w i e r a ,
Oznacza ją c p rzez v prędkość danego punktu w c h w ili t ,możemy na p is a ć ,ż e ;
. ,r . -4 s _ . 5* / t + k i t f / 1 / /•■, f
v =■ lim V — l i a - lim — 1---t t --- -* • • • •/ 4- /
t* i t;
a wprowadzając znakowania rachunku różn iczkow ego /będziemy mieć;
V as
at - ^ 5 / 1 / /• 5 /
t . j * p -r ę d k o ś ć p u n k t u w d a n e j e h wi ~ l i w y r a ż a s i ę j a k o p i e r w s z ą -p o-
c h o a m ą d r o g i w z g l ę d e m c z a s u *
Równanie / 5 / nazywamy r ó w n a n i a m p r ę d — k o ś -c i p u n k t u r u g. h o m e g o .
W r o z d z ia le 11 ,badając- ruch je d n o s ta jn y ,z n a le ź liś m y w y.ażen ie / 5/ je g o prędkość w 1~* C hem ie mamy wzór na prędkość ruchu zmiennego w danej c h w ili v =■ łatw o za
uważyć i żerównanie p ierw sze j e s t wypadkiem szczególnym dru
g ie g o równania: ,rz e c z y w iś c io prawo dróg d la ruchu je d n o s ta j
nego j e s t s — a ę. b t , skąd z je d n e j stron y
b/1 + • t / - / a + b t / f --- — b , t
a ' z d r u g ie j stron y - - --- — / a b t / * =• b c , b . d . o . d t
'RLatego te ż n astępn ie d la każdego ruchu równanie pręd
k o ś c i będziem y p isać następu jąco:
v =■ ds
d t =■ a / V ,
p r z y czym v oznacza prędkość w danej c h w ili o p ro w a d za ją c p o ję c ie p ręd k o ś c i punktu w d a n e j o h w ili ?3S6gpatrywalA6ay -. f pewien punkt wyobraźcnyyp oru sza ją cy s ię je d n o s t a jn ie,l e c z
n ie wzdłuż toru pumktuS1 S , .vS> luo.Ł wzdłuż c ię c iw y łuku f t S z p ręd k ością;
5 > " ' .... p! _ JM 1 _ .
R y s «1 0 , N
mamy wtedy szerefe rów n ości;
ry s o10.
m
v= lim V
=■ lim *—
lim MMi
kit MMi / \
Mn MIL
\/
F2 u j im
MfL
,:A t
lim Ó t Pb
V - j T U
o ■ Hi
-1 4 -
p iorw szy czynnik otrzymanego ilo c z y n u równa się, 1 -na zasa
d z ie • rachunku różn iczk ow ego,a czynnik d ru g i j e s t lim V J , w i ę c "nr lim. V :'c; Wid zimy za tym,
i ż prędkość punktu w danej c h w ili jo e t n ie ty lk o g ra n ic ą
średn ie j pr ędkośc i 'ruchu je d no sta jnego wzdłuż danego to r u , a l e j e s t ta ;kże, g ra n ic ą • ś r e d n ie j ipręd koś c i ruchu je d no sta jnego wzdłuż' c ię c iw y da
nego toru . Innymi, słowy7,każdy rui .i punktu możemy uważać, ja ko zło żo n y z n iesk oń czen ie duż e j I ic z o y .. r ucho w n ie sk oń- c z e n ie małych i jedn ostajn ych przyczym te o s ta tn ie mogą/być p ro s to -Iu b krzyw oliniow e®
Aby uw idocznić < jak zm ienia
s ię w ielkość' p ręd k o ści z b iegiem -
czasu'posługu jem y s ię t Qzw„ - . Rys d l * ••
k r z y w ą s z y b k o ś c i , c z y l i w y k ,r o s e m p r ; ę f f k o ś c i ; odkładamy według obranej s k a li na o s i o d c ię ty c h OT p oszczególn e w a rto ś ci czasu t ,a na o s i r z ę dnych OT odpowiednie W artości pochodnej ds
. i // - : f * / V • d t f • • ...
M iejscem /geometrycznym punktów, o trzymanych w ta k i .sposób na
zywamy w y k r e s e m ' p r ę d k o ś ć i" » .'O czyw iście , j e ż e l i równanie p ręd k ości ma postać f '5 / to równanie krzywe j p ręd k o ś c i we współrzędnych XY b ę d zie ; y= T ’ / x / . Ifa r y s ,11, są podane wykresy p ręd k o ś c i ruchów,których p ra
wa dróg są wyrażone równaniami;
s = a -f b t , / b ) 0 / , s = a + b t ^ t c t 2 / b ) 0 ,c )'■ 0 / , s = a s in k t , / a \ 0 / ,.
Ody znamy prawo d ró g pewnego ruchu pu nktu,to równanie p ręd k o ś c i znajdz/iemy za pomocą różn iczk ow an ia „Odwrotnie »gd'y mary równanie p ręd k ości np„ v =• f / 1 / ,to. aby zn aleźć pra wo d ró g , musimy' wyzna -czyó -taką fu n k c ję czasu,w k t ó r e j pochodną b y ła b y f / 1 / , t . j . musimy uzna le ź ć / ' f / 1 / d t . Wiech / f / f / od t =• I- / 1 / # 0 , p rzyczy n 0 oznacza dowol
ną s t a - ł ą całkowania,W tedy mamy s =• I* / t / ' -f C .
S to su jąc to równanie do momentu początkowego o tr z y n a - sQ F / o / * C , d la tego o s ta te c z n ie s — s0+ WV'-
* /O / ... ./ 6 / .
*
J e ż e l i droga ucczątkowa i o 1 nam znaną,w tedy równanie / 6 / ro zw ią z u je c a łk o w ic ie za d a n ie , t . j . o k re ś la prawo dróg*
Jeżt A z a - ś s n ie j e s t dane--uważamy go wtedy za ćto'wolAad-,1 d la . oego równanie / 6 / d aje n iesk oń czen ie w ie le rozw rązaii,
1- jo r ó w n a n i e p r ę d k o ś c i o k r e ś l a n i e s k o ń c z e n i e w i e 1 e r u c h ó w
p u n k t u r ó ż n i ą c y e h s i ę o d s i e b i e d r o g ą p o c z ą t k o w ą ,
Czasem prędkość punktu bywa znaną -w p o s ta c i fu n k c ji d r o g i s f a n ie fu n k c ji czasu, ■, J e ż e li np\>}lV = /& Z , wtedy podobnie do poprzedniego otrzymujemy rów ności n a s tę
pujące? ,
/ /
cfs . . cis , , / ds / 4-
■fft * ; / » / . N p v * v / 0 f 7 T / 7 0 * "
o zn a -c za ją c fu n k c ję pierw otn ą d la ■ Ą. przea ‘r / ą / , ot r z y mamy,źe? / ą / _ r / o / ^ t
R ozw iązu jąc to równanie w zględem s będziem y mieś : 3 - y / 1 /
Przypuśćm y,że w momentach czasu t i t -+ g i t ruchomy • punkt zajm uje na fo r z e S ’ S p o ło że n ia M i I „W y k re ślim y p r ę d k o ść- wektor punktu w tych p o ło żen ia ch v i v * a v/g n ich geom etryczną r ó ż n ic ę v, - v ^ ,4 v w p o s ta c i w ektory FTT2 / r y s . 12, /
Ten wektor NF^ nazywamy g e o r n e t r y c z n y m p r z y r o s t e m p r ę d k o ś c i v ,
Faetępnie wykreślim y wektor MP p rzy ło żo n y w punkcie M, równe - e g ły do U f , jednakowo z nim skierowany i równy co do w ie lk o ś c i ilo r a z o w i k ł v .Otrzymany wektor będziem y oznaczać p rze z i nazywać średnim p rzysp ieszen iem punktu okresu czasu c .\ t ,
Zatym ś r e d n i m p r z y s p i e s z e n i e m p u n k t u d a n e g o . o k r e s u c z a s u n a z y w a m y w e k t o r W,, m a j ą c y p u n k t -'
' ' ~ , T e p i e n ' i a w r u c h o m y m ' p u n k c i ® , s f e i e i o w a n . y z g o d n i e z g e o m e t r y — c z n y ’m p r z y r o s t e m p r ę d k o ś c i i
r ó w n y ' i l o r a z o w. i g e o m e t r y c z n e g o p r z y r o s t u p r ę d k o ś c i d a n - e g o o k r e -
s u c z a s u i t e g o o k r e s u
F. a s t ę p ' n i e p r z y s i e s z e n i e m - w d a n e j c h w i l i n a z y w a m y g r a n i c ę d o k t ó r e j d ą ż y ś r e d n i e . p r z y s p i e s z e n i e p u n k t u , g d y o k r e s c z a s u , z a w i e r a j ą c y d a n y m o m e n t d ą ż y d o z e r a .
Gdy A t d ą ży do z e r a , i ' V zm ien ia ją c swą w ielk o ść i
"■•rerny- tążą odpowieI n :..as V do V ,a v co do w ie lk o ś c i a ą zy do zero a co do kie^unku-do pewnego kierunku. H i ' a
D la ego lim lim -•;.4 v
-W
L
p rze d s ta w i s ię za pomocą pewnego wektora MQ ,/r y s *13 / mającego punkt z a c z e p ie n ia w punkcie i f R ó w n o le g łeg o d’o k ie ranku I I '
Jednostka p r z y s p ie s z e n ia j e s t jedn ostką zło żo n ą , m ianowicie :
. . jednostka p ręd k o ś c i jedn ostka d łg o ś e i jen ostk a p r z y s p ie s z e n ia Ł -*•---- — —p—y-rx—— n —
0 - jednostka czasu jednostka cza su ^
I , T ” 2 .
Rozpa trzmy te ra z r z u ty p r z y s p ie s z e n ia n a k i e r u- n e k s t y c z n e j i n o r m a l n e j d’ o t o r u g d y r u c h p u n k t u j e s t p ł a s k i .
N iech punkt ruchomy . . p o ru s za -s ię w -zdłuz toru S ! S
/ r y s 114,,,/ i w momentach czasu t i p i t zajmuje p o ło że n ie KT i „Prędkość punktu w tych
p o ło żen ia ch oznaczymy p rze z Y i Znajdziem y geom etrycz
ną r ó ż n ic ę pr ędkości /-X 7 p r z e d staw i orną wektorem. IW .Średnie p r z y s p ie s z e n ie W punktu okresu c z e , u / \ t p rze d s ta w i s ię za po® -.ą -wektora MP ,ró w n o ległego do IW , 2 aa kieg^-ż.e
T r N* hi
1!F=W = :yr - ■-/7/ R y s . i 4 <
P r z y s p ie s z e n ie p in k tu w c h w ili t je s t g ra n ic ą W i p rzed sta w ia s ię za pomocą pewnego wek fcora MQ.
Przeprowadzim y w res zc ie normalną Mn p ro sto p a d łą do s ty e z n e j MT.Ozna czmy p rz e z £ k ą t s ty c z n o ś c i łuku MM^?
p r z e z ó . \ v a le g b ra io z n ą r ó ż n ic ę p ręd k o ści v i v t . j . ____________ -i _-n_______________ _
;J4 v , p r z e z w, i w_ odpowie n i o r z u ty p rzy s p ie =
1 n
szen ia na kieru nek s ty c z n e j i n o rm a le n j.
S to su ją c do l i n i i łamanej M i do j e j zam ykającej MTC^ tw ie rd ze n ie rzu tów , o trzymamy d la “dow olnej o s i rzutów równanie:
r z u t MMI — r z u t MW +- r z u t Mff_
a le równanie / 1 / d a je:
r z u t MMI
W. -JX t , w ięc _ r z u i MW + A t ,r z u t W
skąd rz u t W — , , łr_
... r z u ’c W io - r z u t MIT
W — r— *- y
„O.. *
przechodząc do g r a n ic y znajdz1temy,iż:
. „ . rz u t Jfflf?- r z u t MET /o r r z u t w — I lia r z u t W — lim »-- y 0 „ « 0 a 0 0/ o /
i.v *»
Ponieważ osta-tanie równanie j e s t prawomocne d la k ażdój o s i rzutów -pobierzem y w początku, jako oś rzu tu styczn ą MP7 a następnie normalną Mnu
W wypadku pierwszym będziemy mieć:
r z u t w = w. .rz u t MW =• v cosi£= / v + A V ,cos t- ,rz u t MW =&■
3® 2 1
a w wypadku drugim:
r z u t w =? w^ f r z u t MM^ =- s in ę = / v +/AV s in £ 5r z u t MW=0 Wa podstawie tego „ró wnanie /8 / daje nam n astępu jące dwa równania:
r ... ... ./9 / 1 w = l i n / jL 4 _ 4 x A j d B 5- ... / l O /
n / . i t
P rz e k s z ta łc im y równanie /9 / a m ianow icie:
.— J .. 'i'
_ . !«.▼ ' . y i - c o s i:// , . Viv •>£■• 2 vsin
wt =Iirrę^.cos t -jX“ X T ~ ] = lim jt'-' s ~ " -
i ... | ••«•••“ , / U
••• W B iB .iL . / L / 2 S i V//
w.
o
./l i n cos? / - | ■ . « » n i ę
A le ponieważ /j t , i E dążą w gran icy do z e r a ?to
l ł 4 t ‘ “ S ł " * l t a e o s : - = 1 A i “ 1 > = - - - -
'*’■ ^ 1
_ w _
l i m— = -v « y.inr-'IffiL = 0
nc 1
przyczyn l i n i a V oznacza promień krzyodzny toru w rmnkcio y C crzympny za tyra zamiast równani . / 9 / up- .
a r - ” — ... k u / Ponieważ z p ś,, V — .'■’** więc
G u
,2 ...
- 18-
Podobnie przekształómy równanie /lC /:
w - l i n , sin £ a
~ \ t ■ / \ t ~
a r i i ®
MNT.
sin?::
v i ,e r /,' Z i
1 .;a v , T l CT s t o M C T t - sto ł j=v j l i * - y J ,1 1 5^
!
•f / lim ’'*; ,’-*!, i lim sin 1 A 15 -! L-.
poszczogólnm czynniki ma ją następujące; w artości:
.. . — *MM_ Ą *
s in t .. i 1 1 • ■ , . Zł v dv lim — = 1 , l t a . g j - . - , r . y W P p - a t >
lim sin' f = 0 ,
równanie /lO / przybiera postaó:
ta- —3J— » ./l3 / .
Otrzymano r ó w n a n ia / ll/ i / 13 / pozwalają o k re ślić przyspieszenie punktu w każdym momencie cza su, p oni e waz z
jednej stromy mamy, .
w . y * t 2 ♦ » B 2 j j / / ^ * / ■ £ } . . - . . .a * / .
a zdru giej strony je s t : ' r'
w = w.cos / w ,5!/ , w =- w sin / w ,T / ,s k ą d otrzymujemy:
’* " . wn
© O s / w . T / rr -- " ---- , © O S / w , n / as 111 # » . . . / l 5^.
W zór /l4- / określa wielkość p rzysp ieszen ia,a wzory / 1 5 / - jego kierunek.2 geom etrii róż niozkowej wiemy,jak
s ię wyraża promień krzywizny?mianowiciie:
1 j d x f f &f j <:'
J d t i \dt> -i _________
5 5* £ y ^2x »
dt* dt2 “ d t ‘ d t2 gdy równania toru SS1 są:
x=rjy / 1 / , y =r-[- / 1 / , /param etryczne/,
/ 2 / §:■ ’
alb o też / ar —---^--- y
gdy równanie toru S’ S je s t w p o sta ci ysc f / x f
Składową p r z y s p ie s z e n ia u »c z ę s t o nazywa s ię p rz y sp io - s z o n i e m s t y c z n y m , a sk ła dową wn —
p r z y s p i e s z e n i e , m. n o r m a l n y m .
