Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 8.
8 grudnia 2016
Zadania
1. Wyznacz równanie prostej stycznej do krzywej:
y = x4, w punkcie x= 1,
x22 +y42 = 1 w punkcie (1,√ 2).
2. Oblicz pochodne funkcji:
f(x) = (x+ 1 x− 1)3 g(x) = 3sin x h(x) = (1 + x)√x
3. Korzystając z Tw. Lagrange’a udowodnij, że dla każdych liczb a, b takich, że 0< a < b zachodzi:
b− a b < lnb
a< b− a a .
4. Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz granice:
x→0lim ex− 1
sin x ,
x→1lim
x2015− 1 x− 1 ,
x→∞lim ex x3.
5. Zbadać, jaki prostokąt ma największe pole wśród wszystkich prostokątów o obwodzie 1.
Zadanie domowe
Niech funkcja f będzie zadana następująco:
f(x) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x2+ 3x
x+ 5 dla x∈ (−∞, 0] ∖ {−5}
sin x
x dla x∈ (0, ∞) a) Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz limx→0+f(x).
b) Zbadaj ciągłość funkcji f . Czy f jest ciągła w punkcie 0? Odpowiedź uzasadnij.
c) Policz pochodne funkcji f′na przedziałach(−∞, 0) ∖ {−5} oraz (0, ∞). Czy f jest różniczkowalna w punkcie x= 0?
d) Znajdź asymptoty pionowe, poziome i ukośne funkcji f .
e) Dla x< 0, znajdź lokalne ekstrema oraz przedziały monotoniczności tej funkcji.
f) Oblicz równanie prostej stycznej do wykresu f w punkcie x= −1.
1
