Związek między potencjałem
a natężeniem pola elektrycznego
Ryszard J. Barczyński, 2020
Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego
Jeszcze o potencjale pola elektrycznego
Co prawda potencjał wprowadziliśmy rozważając energię potencjalną, ale zwróćmy uwagę na to, że energia potencjalna układu ładunków
i potencjał pola elektrycznego różnią się bardzo.
Energia potencjalna jest równoważna pracy wykonanej przy tworzeniu układu ładunków (jest to jedna liczba).
Możemy ją traktować jako energię zmagazynowaną w układzie.
Potencjał pola elektrycznego to pole skalarne określone w każdym punkcie przestrzeni.
Potencjał pola elektrycznego
Znajdziemy teraz zależność między natężeniem pola elektrycznego a jego potencjałem.
Rozważmy pod uwagę mały przyrost potencjału pomiędzy bardzo bliskimi punktami (x, y, z) i (x+dx, y+dy, z+dz).
Możemy go zapisać jako:
d = ∂
∂ x dx ∂
∂ y dy ∂
∂ z dz
Potencjał pola elektrycznego
Z drugiej strony
d = ∂
∂ x dx ∂
∂ y dy ∂
∂ z dz
d =−E ds
równanie pierwsze otrzymamy jeżeli w drugim wyrazimy
natężenie pola elektrycznego przez pochodne cząstkowe potencjału w poszczególnych kierunkach:
E=− x ∂
∂ x − y ∂
∂ y − z ∂
∂ z
Potencjał pola elektrycznego
Wektor utworzony z pochodnych cząstkowych potencjału w poszczególnych kierunkach nazywa się zwykle gradientem
(i oznacza literką nabla):
E=− x ∂
∂ x − y ∂
∂ y − z ∂
∂ z =−∇
∇ = x ∂
∂ x y ∂
∂ y z ∂
∂ z
Zależność między potencjałem i natężeniem pola elektrycznego możemy teraz zapisać tak
Potencjał pola elektrycznego
Do zagadnienia potencjalności pola podchodzi się czasami
“od strony potencjału”, czyli tak:
Pole wektorowe E(r) nazywamy potencjalnym jeżeli istnieje pole skalarne φ(r),
zwane potencjałem tego pola, takie że
E=− x ∂
∂ x − y ∂
∂ y − z ∂
∂ z =−∇
Potencjał pola
elektrycznego
Gradient pola skalarnego
policzony w każdym punkcie
przestrzeni wygeneruje nam pole wektorowe, którego wektory będą skierowane w stronę maksymalnego wzrostu danego pola skalarnego, a ich wartość będzie określała stopień tego wzrostu.
∇ = x ∂
∂ x y ∂
∂ y z ∂
∂ z
Potencjał pola
elektrycznego
Warto zwrócić uwagę,
że skoro gradient skierowany jest
w stronę maksymalnego wzrostu potencjału, to minus gradient pokazuje kierunek, w którym potencjał najbardziej maleje.
Zatem natężenie pola elektrycznego będzie skierowane tam,
gdzie najbardziej maleje potencjał.
Potencjał pola elektrycznego
W ekstremach potencjału pole elektryczne zanika.
Zanika zatem i siła - mamy punkty równowagi
(trwałej w minimach energii potencjalnej i nietrwałej w maksimach).
Jeżeli w jakimś obszarze potencjał jest stały,
to zanika w nim pole elektryczne.
Do przemyślenia
na wiele sposobów można rzec to samo...
● Siła kulombowska jest zachowawcza, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku między dwoma punktami jest zawsze taka sama.
● Praca wykonana w polu elektrycznym przy przesunięciu ładunku na drodze zamkniętej jest równa zeru.
● Pole elektryczne jest potencjalne, czyli istnieje funkcja położenia f (zwana potencjałem), taka że
E r=−∇ r
Do przemyślenia
w długie zimowe wieczory
● Jak wszyscy wiemy, napięcie w sieci energetycznej naszych mieszkań wynosi 230V.
Ile elektronów musi przepłynąć między bolcami wtyczki czajnika, by zagotować litr wody? Porównaj ją z ładunkiem typowo występującym w naszych doświadczeniach elektrostatycznych.
● Półkulista czasza naładowana jest ze stałą gęstością powierzchniową s. Wykaż, że koło będące “podstawą” czaszy jest powierzchnią ekwipotencjalną.
● Czy można wytworzyć pole elektrostatyczne, w którym wektory natężenia pola elektrycznego miały by ten sam kierunek i zwrot,
a w kierunku do nich prostopadłym wartość natężenia zmieniała by się liniowo?
