Zadania z teorii pola I (zestaw 6 na 18 XI)
36. Lagranżjan pola skalarnego 𝜙(𝑡, 𝑥) w 1 + 1 wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego ma postać
𝐿 = 1
2( ˙𝜙2− 𝜙′ 2) − 𝑉 (𝜙) . (a) Wyprowadzić równania ruchu
(b) Pokazać, że całkowita energia 𝐸 =
∫ ∞
−∞
[ 1
2( ˙𝜙2+ 𝜙′ 2) + 𝑉 (𝜙) ]
𝑑𝑥
jest zachowana w trakcie ewolucji z danych początkowych o zwartym nośniku.
(c) Założyć, że 𝑉 = 12𝜆(𝜙2− 𝑎2)2, gdzie 𝑎 i 𝜆 są dodatnimi stałymi. Pokazać, że jeśli 𝜙 nie zależy od czasu i 𝜙(∞) = −𝜙(−∞)) = 𝑎, to 𝐸 ≥ 43√
𝜆𝑎3. (d) Pokazać, że kink 𝜙𝐾(𝑥) = 𝑎 tanh(√
𝜆𝑥) jest statycznym rozwiązaniem z energią 𝐸(𝜙𝐾) = 43√
𝜆𝑎3
(e) Zbadać liniową stabilność rozwiązania 𝜙𝐾(𝑥). W tym celu podstawić 𝜙(𝑡, 𝑥) = 𝜙𝐾(𝑥) + 𝑣(𝑡, 𝑥) do równania ruchu i wyprowadzić równanie ruchu dla perturbacji 𝑣(𝑡, 𝑥) zanied- bując wyrazy 𝑂(𝑣2). Zakładając, że 𝑣(𝑡, 𝑥) = 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑢(𝑥), sprowadzić to równanie do stacjonarnego równania Schr¨odingera i rozwiązać to równanie. Dla uproszczenia rachunków przyjąć, że numerycznie 𝜆 = 1 oraz 𝑎 = 1. Dlaczego taki wybór nie ogranicza ogólności problemu?
Uwaga: punkty (a)-(d) zostały omówione na wykładzie; na ćwiczeniach skoncentrujemy sie na punkcie (e).
37. Rozważyć teorię rzeczywistego pola skalarnego w 1 + 1 wymiarach opisaną lagranżjanem 𝐿 = 1
2( ˙𝜙2 − 𝜙′2)
− (𝜙2− 1)2, gdzie wymiar przestrzenny jest okręgiem o długości 2𝜋𝐿.
(a) Policzyć energię wzdłuż krzywej 𝜙(𝑥, 𝜇) = 1−2𝜇 (0 ≤ 𝜇 ≤ 1), która łączy dwa rozwiązania próżniowe 𝜙 = 1 i 𝜙 = −1 i pokazać, że energia osiąga maksimum dla 𝜙 = 0 (𝜇 = 1/2).
(b) Znaleźć spektrum małych zaburzeń wokół rozwiązania 𝜙 = 0.
38. Rozważyć teorię zespolonego pola skalarnego w 1 + 1 wymiarach opisaną lagranżjanem 𝐿 = 1
2 (
∣ ˙𝜙∣2− ∣𝜙′∣2)
− (∣𝜙∣2− 1)2. Pokazać, że kink 𝜙𝐾(𝑥) = tanh(𝑥) jest w tej teorii liniowo niestabilny.
Wskazówka: rozważyć perturbacje postaci 𝜙(𝑡, 𝑥) = 𝜙𝐾(𝑥) + 𝑖𝑢(𝑡, 𝑥), gdzie 𝑢 jest rzeczywiste.
39. Omówiony na wykładzie abelowy model Higgsa w 2 + 1 wymiarach jest opisany lagranżjanem 𝐿 = −1
2𝐷𝜇𝜓𝐷𝜇𝜓 − 1
16𝜋𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈− 𝜆
8(𝜓𝜓 − 𝛼2)2, 𝐷𝜇= ∂𝜇− 𝑖𝑒𝐴𝜇. Podstawić ansatz (gdzie 𝑟, 𝜙 są współrzędnymi polarnymi)
𝜓 = 𝑒𝑖𝑛𝜙𝑏(𝑟), 𝐴 = 𝑎(𝑟)𝑑𝜙 ,
do lagranżjanu i wyprowadzić równania pola dla funkcji 𝑏(𝑟) i 𝑎(𝑟). Jaka jest asymptotyka rozwiązań dla 𝑟 → 0 i 𝑟 → ∞?
A. Rostworowski
http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/
