ALGEBRAICZNE ASPEKTY KRYPTOGRAFII LISTA 8: Kody BCH.
Niech A = {a1, ..., an} b¸edzie sko´nczonym alfabetem i LA b¸edzie j¸ezykiem nad A. Niech LB b¸edzie j¸ezykiem nad alfabetem B. Niech S ⊆ LA b¸edzie zbiorem komunikat´ow i 1-1-funkcja E : S → LB b¸edzie kodowaniem zbioru S w j¸ezyku LB. Funkcja D : LB → S (je´sli istnieje) jest odpowiednim dekodowaniem, je´sli D(E(¯a)) =
¯
a. Rozpatrzmy nast¸epuj¸acy schemat:
¯
a → E(¯a) → ...kana l...transmisyjny... → ¯b0 → D(¯b0)
¯b = E(¯a) := kod s lowa ¯a;
T : LB → LB:= funkcja b l¸edu;
¯b0 = T (E(¯a)) := kod komunikatu wyj´sciowego;
D(¯b0) := komunikat wyj´sciowy.
Kody blokowe. Niech A = {0, 1} = B. Niech Zn2 b¸edzie grup¸a wszystkich ci¸ag´ow (0,1)-warto´sciowych d lugo´sci n wzgl¸edem dodawania w Z2. (m, n)-Kodowaniem blokowym (r´ownomiernym) (m ≤ n) nazywamy funkcj¸e E : Zm2 → Zn2. Funkcja E ma rozsz- erzenie do funkcji kodowania zbioru wszystkich s l´ow o d lugo´sci postaci m · k w j¸ezyku L{0,1}.
Dla ¯a ∈ Zn2 definiujemy wag¸e w(¯a) jako ilo´s´c jedynek w ¯a. Odleg lo´sci¸a mi¸edzy wektorami d(¯a, ¯b) nazywamy wag¸e w(¯a + ¯b).
Funkcja kodowania E jest kodowaniem macierzowym je´sli dla pewnej (m × n)- macierzy C (o wsp´o lczynnikach ze zbioru Z2) wiersz E(¯a) jest r´owny ¯a · C.
M´owimy, ˙ze kodowania E i E0 : Zm2 → Zn2 s¸a r´ownowa˙zne, je´sli istnieje bijekcja E(Zm2 ) → E0(Zm2 ) zachowuj¸aca odleg lo´s´c mi¸edzy s lowami kodowymi.
1. Wykaza´c, ˙ze w wyniku (a) dowolnej permutacji wierszy macierzy koduj¸acej C, (b) permutacji kolumn macierzy C, (c) dodania do pewnego wiersza innego pomno˙zonego przez sta l¸a - otrzymamy now¸a macierz generuj¸aca kodowanie r´ownowa˙zne z kodowaniem macierzy C.
Niech funkcja kodowania E : Zm2 → Zn2 jest okre´slona przez (m × n)-macierz C. Macierz C∗ wymiaru n × (n − m) nazywa si¸e macierz¸a sprawdzania parzysto´sci (macierz¸a kontroln¸a), je´sli C · C∗ = 0 i kolumny macierzy C∗ s¸a liniowo niezale˙zne.
Uwaga 8.1. Dla ka˙zdej macierzy koduj¸acej C istnieje macierz sprawdzania parzysto´sci C∗. Wtedy dla ka˙zdego s lowa kodowego ¯w zachodzi ¯w · C∗ = ¯0. Wtedy minimalna waga niezerowego s lowa kodowego jest r´owna najmniejszej liczbie wierszy macierzy C∗, kt´ore po dodaniu do siebie daj¸a ¯0. 2
Funkcja kodowania E : Zm2 → Zn2 nazywa si¸e kodowaniem wielomianowym, je´sli dla pewnego g(x) ∈ Z2[x] (nazywanego wielomianem generuj¸acym) je´sli E(¯a) = ¯b, to bnxn−1+ ... + b1 = g(x) · (amxm−1+ ... + a1). (zak ladamy, ˙ze je´sli g(x) = gkxk+ ... + g0, to g0 6= 0 6= gk).
1
Uwaga 8.2. Kodowanie wielomianowe jest kodowaniem macierzowym. Je´sli wielomian generuj¸acy ma posta´c g(x) = gkxk + ... + g0, to odpowiednia macierz (m × (m + k)) jest r´owna :
g0 g1 g2 .. .. gk 0 .. .. 0 0 g0 g1 .. .. .. gk 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
0 .. .. .. g0 .. .. .. .. gk
2
2. Znale´z´c macierze dla wielomian´ow generuj¸acych: 1 + x i 1 + x + x2.
Uwaga 8.3. Minimalny odst¸ep mi¸edzy dwoma s lowami kodowymi jest r´owny minimalnej wadze w(a(x) · g(x)) dla ¯a ∈ Zm2 \ {¯0} (przez a(x) oznaczamy wielomian amxm−1+ ... + a1)). 2
W ka˙zdej warstwie podgrupy H = E(Zm2 ) ≤ Zn2 wybieramy element o najmniejszej wadze ¯c, g l´owny reprezentant warstwy (zak ladamy, ˙ze ¯0 reprezentuje H). Wtedy ka˙zdy wektor ¯z zbioru Zn2 ma jednoznaczne przedstawienie w postaci ¯cz+ ¯h, gdzie ¯h ∈ H i
¯
cz jest reprezentantem g l´ownym warstwy ¯z + H.
Dekodowanie D(¯z) = E−1(¯z − ¯cz) nazywamy dekodowaniem poprzez g l´ownych reprezentant´ow warstw.
Uwaga 8.4. W dekodowaniu poprzez g l´ownych reprezentant´ow warstw mini- malna odleg lo´s´c od ¯z do elementu zbioru H jest r´owna w(¯cz). 2
Niech C∗ b¸edzie macierz¸a sprawdzania parzysto´sci. Iloczyn ¯w · C∗ nazywa si¸e syndromem s lowa ¯w ∈ Zn2.
3. (a) Pokaza´c, ˙ze istnieje naturalna bijekcja mi¸edzy zbiorem syndrom´ow a g l´ownymi reprezentantami warstw.
(b) Wykaza´c, ˙ze warstwa, kt´orej syndromem jest ¯v, zawiera wektor o wadze r wtedy i tylko wtedy gdy pewna kombinacja r wierszy macierzy C∗ jest r´owna ¯v.
————————————————————
Je´sli podzbi´or F ⊂ K cia la K tworzy cia lo wzgl¸edem dzia la´n cia la K (to implikuje 0, 1 ∈ F ), to m´owimy , ˙ze F jest podcia lem cia la K i K jest rozszerzeniem cia la F .
Twierdzenie 8.5. Ka˙zde cia lo K zawiera podcia lo najmniejsze F , kt´ore nie zawiera w la´sciwych podcia l (jest cia lem prostym). Je´sli char(K) = 0, to F jest izomorficzne z Q; je´sli char(K) = p > 0, to F jest izomorficzne z Zp. 2
Je´sli K jest rozszerzeniem cia la F , to K tworzy przestrze´n liniow¸a nad F . Wymiar tej przestrzeni nazywamy stopniem K nad F i oznaczamy przez [K : F ].
Cia lo K jest rozszerzeniem prostym cia la F , je´sli istnieje c ∈ K \ F taki, ˙ze ka˙zde podcia lo zawieraj¸ace F i c zawiera K (piszemy K = F (c)).
Twierdzenie 8.6. Je´sli K = F (c) jest rozszerzeniem stopnia n, to c jest pier- wiastkiem wielomianu nierozk ladalnego m(x) nad cia lem F stopnia n i K jest izomor- ficzne z F [x]/(m(x)) 2
Twierdzenie 8.7. Niech g(x) b¸edzie nierozk ladalnym wielomianem nad F . W´owczas F [x]/(g(x)) jest prostym rozszerzeniem cia la F o pierwiastek wielomianu g(x). 2
2
4. Ile element´ow ma F = Z2[x]/(x2+ x + 1) ? Poda´c tabel¸e mno˙zenia i dodawania w F .
Twierdzenie 8.8. Niech K b¸edzie cia lem sko´nczonym i char(K) = p.
(a) Wtedy |K| = pn, gdzie n jest stopniem K nad Zp. (b) Niech q := |K|. Wtedy xq− x = Πa∈K(x − a).
(c) Grupa multyplikatywna wszystkich niezerowych element´ow jest cykliczna (gen- erowana przez jeden element) i jej generator okre´sla K jako rozszerzenie proste cia la Zp. Odpowiedni wielomian m(x) (patrz 8.6) jest pierwotny. 2
Cia lo o q elementach oznaczamy przez Fq.
Fakt: F16 := Z2[x]/(x4+ x3+ 1) jest cia lem 16-elementowym. Wielomian x15− 1 rozk lada si¸e na wielomiany minimalne nad F2 w nast¸epuj¸acy spos´ob:
(x + 1)(x4+ x + 1)(x4+ x3+ x2+ x + 1)(x2+ x + 1)(x4 + x3+ 1).
5. Pokaza´c, ˙ze w powy˙zszym przedstawieniu F16element odpowiadaj¸acy warstwie x + (x4+ x3+ 1) generuje grup¸e multyplikatywn¸a.
Kody Bosego, Chaudhuriego, Hocquenghema. Niech d b¸edzie liczb¸a natu- raln¸a, p b¸edzie liczb¸a pierwsz¸a, q = ps i d + 1 ≤ qr. Niech c b¸edzie generatorem grupy multyplikatywnej cia la qr-elementowego Fqr. Niech mi(x) b¸edzie wielomianem mini- malnym dla ci nad cia lem Fq, gdzie i < d. Wtedy najmniejsza wsp´olna wielokrotno´s´c g(x) = N W W (m1(x), ..., md−1(x)) generuje kod, w kt´orym s lowa kodowe (nad alfa- betem Fq) maj¸a d lugo´s´c qr− 1.
Twierdzenie 8.9. Minimalna odleg lo´s´c mi¸edzy s lowami kodowymi kodu BCH generowanego wielomianem g(x) jest co najmniej r´owna d. 2
Przyk lad: Niech q = p = 2, n = 15 i d = 5. Wielomian m(x) = x4+ x3+ 1 jest wielomianem pierwotnym dla cia la F16. Wielomian g(x) = m1(x)m3(x) = x8+ x4+ x2+ x + 1 jest odpowiednim wielomianem koduj¸acym (7, 15)-kod BCH.
6. Pokaza´c, ˙ze dla q = p = 2, n = 15 i d = 3 odpowiednie (11, 15)-kodowanie BCH jest r´ownowa˙zne z (11, 15)-kodowaniem Hamminga.
7. Znale´z´c wielomiany generuj¸ace wszystkie kody BCH dla q = p = 2 i n = 63.
3
