CDCz jest to takie ciało, którego zdolność absorpcyjna a(λ, T) nie zależy od długości fali i wynosi 100%.

(1)

Jan Królikowski Fizyka IVBC 1

I.2 Promieniowanie Ciała

Doskonale Czarnego

(2)

CIAŁO DOSKONALE CZARNE (CDCz)

CDCz jest to takie ciało, którego zdolność absorpcyjna a(λ, T) nie zależy od długości fali i wynosi 100%.

Promieniowanie CDCz o temperaturze T: interesuje nas promieniowanie e-m pozostające w równowadze z CDCz (dla każdej długości fali tyle samo

promieniowania jest emitowane co absorbowane).

(3)

Prawo Stefana- Boltzmanna

Doświadczalnie odkrył Stefan 1879, wyprowadzenie: Boltzmann 1884

=

4

= ∫ ^d ^{e (} ^{, T )}

R ( T ) T

R ( T ) i

i

λ λ

σ

Gaz fotonowy w obj. V

Temperatura T

e( ,T) c u( ,T) λ = 4 λ

Promieniowanie

elektromagnetyczne zamknięte w naczyniu o lustrzanych

ściankach, zmiennej objętości V

i temperaturze T.

(4)

Wyprowadzenie Boltzmanna:

ś

ą

U Vu

I zasada termo d ynamiki : dQ dU pdV

udV V du dT

udV Vdu udV

d(Vu) pdV

dQ dT

dS ,

T T T

p

) u

(T

T

=

= +

⋅ +

+ + ⋅

= = + =

=

13 43

Energia wewnętrzna: 3

Entropia:

Pamiętamy,

ci nienie:

że entropia jest funkcj stanu zmiennych (V, T) czyli je ó ł

ł ś ó ó ść

T V

S S

dS dV dT

V T

S S

T V V T

u

T T

∂  ∂ 

   

= ∂  +∂ 

∂ ∂

∂ ∂ = ∂ ∂

∂ 

∂

2 2

4 3

j r żniczka jest zupe na:

Z zupe no ci r żniczki wynika r wno 2-gich pochodnych:

V du dT

u T .

u du u

, ,

V T T dT T

 

 ∂  ∂ 

 =   ⋅ = ⋅

   ∂  =

∂  1 4

3 4

co daje nam: czyli3

4 4

0

u(T) d u( , T) T R(T) d c u( , T) T

4

∞

= ∫ λ ⋅ λ = σ ⋅ ′ = ∫ λ ⋅ λ = σ ⋅

Wniosek z teorii

Maxwella

(5)

Przykład widma CDCz

Kosmiczne Promieniowanie Tła – pomiar z satelity COBE

T=2.7356 K

(6)

Zdolność emisyjna kwarcu

(7)

Pamiętajmy, że oprócz widm ciągłych ciała promieniują widma liniowe, pasmowe etc.

Przykładem są serie widmowe atomów wodoru.

Seria Balmera czyli przejścia z różnych poziomów do

poziomu o n=2

(8)

Model CDCz: wnęka z promieniowaniem

Wewnątrz wnęki – e-m fale stojące z węzłami na ściankach wnęki.

krawędź a

}

(9)

CDCz i wnioski z prawa Kirchhoffa

Z prawa Kirchhoffa:

e (λ, T) = f(λ, T) bo a (λ, T) =1 dla CDCz Pamiętamy, że e=(c/4)⋅u,

tak więc u (λ, T) =(c/4) f (λ, T)

Prawo Wiena

Wien udowodnił, że postać gęstości energii promieniowania CDCz jest następująca:

, gdzie F - pewna uniwersalna funkcja (inna niż f w prawie Kirchhoffa).

: zamiana zmienn

Dygresj a ych czy li F( T)

d c u( , T)d (

c ) d

u

d λ

λ = −

λ = λ

λ = ν λ

λ

ν ν

⋅

2 5

F(cT / ) c F(cT / )

( , T)d d d

(c / ) c

ν     ν

ν λ = ν    − ν    ν = ν ν

3

5 2 4

(10)

Rozkład Boltzmanna

Najbardziej prawdopodobny rozkład liczb cząstek o danych energiach dla układu N cząstek w

temperaturze T:

ś ą ó

gdzie normalizacja dana jest przez:

i N= N(E)dE

Funkcja g(E) jest gęsto ci stan w o danej energii E.

E kT

N(E) dE N e g(E) dE Z

Z g(E) e dE

−

∞

−

−∞

=

= ∫ ∫

(11)

Max Planck ok. roku

1900

(12)

c exp( c )

λ − λ

1

5 2

1

π kT λ

⁵

λ 8

hc

exp( hckT ) π

λ⁵ − λ −

8 1

1

(13)

Wzór empiryczny Plancka

c T

u ( , T )d c d

e ^λ

λ λ = λ

λ

²

−

1 5

1

1 Wzór Plancka

h c k T

h k T

u ( , T )d h c d

e

u ( , T )d h d

c e

λ

ν

λ λ = π λ

λ −

ν ν = π ν ν

−

5 3 3

8 1

1 8 1

1

(14)

Dalsze badania: znalezienie postaci f(λT) ze wzoru Wiena

Metoda:

•Wnęka z promieniowaniem o obj. V jest dobrym modelem CDCz.

•Można łatwo obliczyć liczbę fal stojących o częstości ν (czy też długości fali λ): N(ν)= n(ν)• V

•Średnia energia fal o określonej częstości ν: <E(ν,T)>;

obliczenia wymagają znajomości rozkładu Boltzmanna i są nieco bardziej złożone.

•Klasycznie, na gruncie falowej teorii

promieniowania e-m energia fali nie zależy od ν, a tylko od amplitudy (natężenia) fali. Wtedy

<E(ν,T)>=<E(T)>.

Ostatecznie

u(ν,T)d ν= n(ν)<E(ν,T)>d ν

(15)

Obliczenie N(ν) i n(ν) = N(ν) /V (Rayleigh-Jeans)

ą ó

ś ś ą

ł

3

ędziemy badali e-m fale stoj ce we wnęce CDCz. Przyjmiemy dla prostoty rachunk w, że wnęka jest sze cianem o krawędzi a i objęto ci V=a . Na sciankach wnęki fale e-m maj

węz y, co narzuca warunki per B

ł ą ł ś

ć

x

iodycznosci tj. ca kowit liczbę /2 na odleg o ci a.

Dla fali o wektorze falowym k (k=2 / ) możemy napisa :

k_x k cos / / c λ

π λ

= α λ 2 = λ 2

k i y k

yx z

os

k cos / / cos

k cos

α

= β λ = λ β

= γ

2 2

ś

ą

x y z

Warunki periodyczno ci:

2a 2a 2a

, , , Wynika st d, że:

2a

z

x y z

/ / cos

n n n

( ) (co

λ = λ γ

= = =

λ λ λ

λ

2

2 2

ą

Ponieważ cosinusy kierunkowe dodaj się w kwadratach do jedynki dostajemy ostatecznie:

2a

=

x y z

x

s cos cos ) n n

n n

α + β + γ = + + n

λ +

2 2 2 2 2

2

y + nz

2 2

(16)

Całkowanie w przestrzeni węzłów

( )

x y z

n n n

r dr a d

c r a

c

r dr d r a d

c

 

 

=       ν =

 

 

= = ν ν

+ +

 

 

=    ν ν

 







2 2 2

3 2

2 3 2

2

3

2 1 1 2

2 3 3 3

(17)

Ile fal o częstościach pomiędzy ν a ν+d ν i różnych kierunkach wektorów falowych znajduje się we wnęce CDCz?

Należy policzyć liczbę węzłów w 1/8 warstwy kulistej o promieniu r=

i grubości dr w przestrzeni węzłów n

_i.

a c ν 2

ź ść łó

łó

ą ś ś

'

2

Wprowad my gęsto węz w N ęz w :

r

tego liczba fal stoj cych o jednej polaryzacji w przedziale czę to ci [ , + w (r)

r N '(r)dr r N '(r)dr Liczbaw

Zamieniamy zmienne : dr a d

c

Wobec d ]

π π

=

 

 

=   ν ν

ν ν ν

2 2

3 2

4

8 2

2

ś ą

ść ą

3 3

ynosi:

N( ) , za uwzględniaj c obie polaryzacje: N( )d = 8 a

c Ostatecznie gęsto fal stoj cych:

N( )d n

( )d = V

d N '(r)dV a d d

c

  π π

 

ν ν = =

ν ν ν ν ν

ν

ν ν ν ν

 

 

3

2 2

c d

= 8π₃ ν ν²

(18)

Obliczenie średniej energii <E(ν)>

ł ą ł

Ś

-EkT 0

liczby cz stek w funkcji ich energii dany jest rozk adem Boltzmanna:

N(E, T)= N gdzie Z(T)= exp(

Z

N(E,T) E dE rednia energia <E(T)>=

N

E / kT

Rozk ad

e )dE

∞

−

⋅

∫

Ś ś

ś ś

rednia energia promieniowania e-m CDCz nie zależy od często ci i

dla każdej warto ci często ci wyno -

s J

i eans

<E(T :

. Wo

)>=kT Rayleigh

ść

2 5

u( ,T)d 8

bec tego gęsto energii promieniowania wg. R-J wynosi:

= n( )<E(T)>d = u( ,T)d =8

c kT d

kT d

ν ν ν⋅ ν πν ⋅ ⋅ ν

λ λ πν ⋅ λ⋅ λ λ

2 3

ó ś

ł ś

Wz r R-J nie zgadza się z danymi do wiadczalnymi opisanymi fenomenologicznym wzorem Plancka. Potrzebne inne za ożenia przy obliczaniu <E( ,T)>:

- Atomy w ciankach to elementarne Planck

oscylato y :

r Max

ν

ó ł ą ą

ł ą

n

, kt re poch aniaj i emituj energie

E n=1,2,...Sta a h jest uniwersalna.

- Liczba fal stoj cych jest taka sama jak w wyprowadzeniu R-J.

= nh ,ν

(19)

c exp( c )

λ − λ

1

5 2

1

π kT λ

⁵

λ 8

hc

exp(hckT ) π

λ⁵ λ −

8 1

1

(20)

Obliczenie <E(ν, T)> i u (ν, T) przez Plancka

( )

ą h

Wyrażenie w nawiasie pod logarytmem jest sum postępu geometrycznego z q=exp(-

n n

n

E ( , T) P ( , T) nh exp( nh kT ) d nh

E( , T) P ( , T) exp( nh kT ) d( / kT) ln exp( kT )

kT ) :

E( , T) d ln

d( / kT) exp

∞

=

ν ⋅ ν ν ⋅ − ν

< ν >= ν = − ν = − − ν

ν

< ν >= −

−

∑

⁰

∑ ∑ ∑ ¹ ∑

1 1 1

5

lub u( , T)d = 8 hc

exp( h kT ) h

h ( exp( kT ))( )

h h

( kT ) ( exp( kT )) h

exp( h kT )

Ostateczni

u( , T)d h d d

h hc

c exp( kT ) exp( T )

e

k :

− ν − ν

= ν − − =

− ν

πν ν π

ν ν = ν λ λ λ

ν λ

− − ν

= ν

ν −

− λ −

2 3

2

CDCz jest to takie ciało, którego zdolność absorpcyjna a(λ, T) nie zależy od długości fali i wynosi 100%.

I.2 Promieniowanie Ciała

Doskonale Czarnego

CIAŁO DOSKONALE CZARNE (CDCz)

CDCz jest to takie ciało, którego zdolność absorpcyjna a(λ, T) nie zależy od długości fali i wynosi 100%.

Promieniowanie CDCz o temperaturze T: interesuje nas promieniowanie e-m pozostające w równowadze z CDCz (dla każdej długości fali tyle samo

promieniowania jest emitowane co absorbowane).

Prawo Stefana- Boltzmanna

Doświadczalnie odkrył Stefan 1879, wyprowadzenie: Boltzmann 1884

=

= ∫ d e ( , T )

R ( T ) T

R ( T ) i

i

λ λ

σ

Gaz fotonowy w obj. V

Temperatura T

e( ,T) c u( ,T) λ = 4 λ

Promieniowanie

elektromagnetyczne zamknięte w naczyniu o lustrzanych

ściankach, zmiennej objętości V

i temperaturze T.

Wyprowadzenie Boltzmanna:

u(T) d u( , T) T R(T) d c u( , T) T

4

= ∫ λ ⋅ λ = σ ⋅ ′ = ∫ λ ⋅ λ = σ ⋅

Wniosek z teorii

Maxwella

Przykład widma CDCz

Kosmiczne Promieniowanie Tła – pomiar z satelity COBE

T=2.7356 K

Zdolność emisyjna kwarcu

Pamiętajmy, że oprócz widm ciągłych ciała promieniują widma liniowe, pasmowe etc.

Przykładem są serie widmowe atomów wodoru.

Seria Balmera czyli przejścia z różnych poziomów do

poziomu o n=2

Model CDCz: wnęka z promieniowaniem

Wewnątrz wnęki – e-m fale stojące z węzłami na ściankach wnęki.

krawędź a

}

CDCz i wnioski z prawa Kirchhoffa

Z prawa Kirchhoffa:

e (λ, T) = f(λ, T) bo a (λ, T) =1 dla CDCz Pamiętamy, że e=(c/4)⋅u,

tak więc u (λ, T) =(c/4) f (λ, T)

Prawo Wiena

Wien udowodnił, że postać gęstości energii promieniowania CDCz jest następująca:

, gdzie F - pewna uniwersalna funkcja (inna niż f w prawie Kirchhoffa).

: zamiana zmienn

Dygresj a ych czy li F( T)

d c u( , T)d (

c ) d

u

d λ

λ = −

λ = λ

λ = ν λ

λ

ν ν

⋅

F(cT / ) c F(cT / )

( , T)d d d

(c / ) c

ν     ν

ν λ = ν    − ν    ν = ν ν

Rozkład Boltzmanna

Najbardziej prawdopodobny rozkład liczb cząstek o danych energiach dla układu N cząstek w

temperaturze T:

ś ą ó

gdzie normalizacja dana jest przez:

i N= N(E)dE

Funkcja g(E) jest gęsto ci stan w o danej energii E.

N(E) dE N e g(E) dE Z

Z g(E) e dE

−

∞

−

−∞

=

= ∫ ∫

= ∫ ^d ^{e (} ^{, T )}

e ^λ