Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TIB
Temat lekcji: Ciąg określony rekurencyjnie Data lekcji: 26.03.2020 - lekcja 2
Wprowadzenie do tematu: Kontynuacja tematu ciągi i ich własności Instrukcje do pracy własnej:
Do tej pory mówiąc o konkretnym ciągu mieliśmy wypisane pierwsze wyrazy lub podany wyraz ogólny (𝑎𝑛). Ciąg może być podany również w postaci rekurencyjnej tz. podany jest pierwszy wyraz (lub kilka wyrazów początkowych i wzór na 𝑎𝑛+1 wyraz, podany za pomocą wyrazów poprzednich.
W ciągach podanych rekurencyjnie, żeby podać dany wyraz musimy znać poprzednie wyrazy.
Przykład 1:
Dany jest ciąg { a1= 2
an+1 = 2an+ (−1)n ; n ∈ N+ . Oblicz wyrazy a4; a5; a6 . Musimy obliczyć kolejne wyrazy:
𝑎1= 2; wstawiamy do wzoru 𝑎𝑛+1 i obliczmy 𝑎2
𝑎2= 2 ∙ 𝑎1+ (−1)1= 2 ∙ 2 − 1 = 3; teraz liczymy 𝑎3 𝑎3= 2 ∙ 𝑎2+ (−1)2= 2 ∙ 6 + 1 = 7; dalej 𝑎4
𝑎4= 2 ∙ 𝑎3+ (−1)3= 2 ∙ 7 − 1 = 13; dalej 𝑎5;
𝑎5= 2 ∙ 𝑎4+ (−1)4= 2 ∙ 13 + 1 = 27; i tak dalej jak chcemy kolejne.
Mając wzór rekurencyjny nie da się wyznaczy np. 𝑎50 bez 𝑎49.
Przykład 2.
Dany jest ciąg {a1= 0; a2= 3
an+1 = an+ an−1 ; n ≥ 2 . Wyznacz sześć początkowych wyrazów.
Można zauważyć, że kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich.
𝑎1= 0;
𝑎2= 3; teraz liczymy 𝑎3 𝑎3= 𝑎2+ 𝑎1= 3 + 0 = 3; dalej 𝑎4
𝑎4= 𝑎3+ 𝑎2 = 3 + 3 = 6; dalej 𝑎5;
𝑎5= 𝑎4+ 𝑎3= 6 + 3 = 9; i tak dalej jak chcemy kolejne.
𝑎6= 𝑎5+ 𝑎4= 9 + 6 = 15;
Praca własna:
Praca z podręcznikiem. Wykonaj zadania 1, 2, 7 str.203 obowiązkowo, zadania 3, 4, 5, 6, strona 203 dodatkowo.
Informacja zwrotna:
Spotkanie online na platformie Discord – 26.03.2020 o godz. 11.00-11.45
Przesyłanie zadań, pytań od uczniów na adres email podany wcześniej uczniom do dnia 27.03.2020 r.
Opracowała: Marzena Mrzygłód
