3. Obliczanie sił wewnętrznych w ramach płaskich i przestrzennych. Sporządzanie wykresów 3.1

Zadanie 1.

Dane są dwa warianty ramy płaskiej obciążonej jak na rysunku. Wyznaczyć reakcje w podporach A i B oraz sporządzić wykresy sił wewnętrznych: siły normalnej, siły tnącej i momentu gnącego. Na wykresach określić położenie wszystkich charakterystycznych punktów, tj. miejsc zerowych, ekstremów i in. Dla ww. punktów podać wartości sił wewnętrznych. Porównać wyniki uzyskane w obu wariantach.

DANE

q ; l; P=2ql; M =ql²

a) b)

Rys. 1.

WARIANT I (rys. 1a)

Ramę uwalniamy z więzów (rys. 2) i wyznaczamy reakcje.

A 0

ix x

P R P

Σ = − + = (1)

A B 0

iy y

P R R ql

Σ = − − = (2)

Pozostałe równania piszemy dla lewej i prawej strony ramy uwzględniając fakt, że moment w przegubie C jest równy zeru.

CP B 0

M = −R l M⋅ + = (3)

L

C A A 2 A 0

x y 2l

M =M −R ⋅ −l R ⋅ + ⋅ + ⋅ =l P l ql (4)

Po przekształceniach otrzymujemy

Ax 2

R = =P ql

A_y B 2

R =R +ql ql ql= + = ql

2

B M ql

R ql

l l

= = =

2

A A A

2 2 2 2 2

2 2

4 2 2 7

2 2

x y ql

M R l R l P l

ql ql ql ql ql

= + − − =

= + − − =

Rys. 2.

Ax 2

R = ql RAy=2ql RB=ql _A 7 ² M =2ql

Ramę dzielimy na 5 przedziałów (rys. 3) i wyznacza- my siły wewnętrzne.

Spody przyjmujemy wewnątrz ramy.

• Przedział AD: 0 x≤ ₁≤ l Siły normalne

1 A

( ) y 2

N x = −R = − ql ściskanie

Wartości na krańcach przedziału Punkt A: N x( ₁=0)= −2ql Punkt D: N x( 1= = −l) 2ql Siły tnące

1 A

( ) x 2 T x =R = ql

wartość stała, dodatnia, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie rosła

Wartości na krańcach przedziału ^{Rys. 3.}

Punkt A: T x( ₁=0) 2= ql Punkt D: T x( 1= =l) 2ql Momenty gnące

1 A A 1 7 2 1

( ) 2

x 2

M x = −M +R ⋅ = −x ql + ql x zależność liniowa, funkcja rosnąca Wartości na krańcach przedziału Punkt A: ( ₁ 0) 7 ²

M x = = −2ql

Punkt D: ( 1 ) 7 ² 2 ² 3 ²

2 2

M x = = −l ql + ql = − ql

• Przedział DE: l ≤x₂ ≤2l Siły normalne

2 A

( ) y 2

N x = −R = − ql ściskanie

Wartości na krańcach przedziału Punkt D: N x( ₂ = = −l) 2ql Punkt E: N x( ₂ =2 )l = −2ql Siły tnące

1 A

( ) x 2 2 0

T x =R − =P ql− ql =

wartość zero, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie stała

Wartości na krańcach przedziału Punkt D: T x( ₂ = =l) 0

Punkt E: T x( ₂ =2 ) 0l =

Momenty gnące

2 A A 2 2

2 2

2 2

2

( ) ( )

7 2 2 2

2 23

M x M R x x P x l

ql ql x ql x ql ql

= − + ⋅ − ⋅ − =

= − + − + =

= − wartość stała

Wartości na krańcach przedziału Punkt D: ( 2 ) 3 ²

M x = = −l 2ql Punkt E: ( ₂ 2 ) 3 ²

M x = l = −2ql

• Przedział EC: 0 x≤ ₃ ≤ l Siły normalne

3 A

( ) x 2 2 0

N x =R − =P ql− ql= Wartości na krańcach przedziału Punkt E: N x( ₃=0) 0=

Punkt C: N x( ₃= =l) 0 Siły tnące

3 A 3 3

( ) _y 2

T x =R −q x = ql q x−

zależność liniowa, funkcja malejąca Wartości na krańcach przedziału Punkt E: T x( 3 =0) 2= ql

Punkt C: T x( ₃ = =l) 2ql q l ql− =

Momenty gnące

3

A A A 3 3 3

2 2 2 32

3

2 32

3

( )

2 2

7 4 2 2

2 2

3 2

2 2

x y

M x

M R l P l R x qx x

ql ql ql ql x qx ql ql x qx

=

= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= − + − + − =

= − + −

parabola 2-go stopnia

Wartości na krańcach przedziału Punkt E: ( 3 0) 3 ²

M x = = −2ql

Punkt C: ( 3 ) 3 ² 2 ^{2 2} 0

2 2

M x = = −l ql + ql −ql =

• Przedział BF: 0≤ x₄≤ 2l Siły normalne

4 B

( )

N x =R =ql rozciąganie

Wartości na krańcach przedziału Punkt B: N x( ₄ =0)=ql

Punkt F: N x( ₄ =2 )l =ql Siły tnące

( ) 04

T x =

wartość zero, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie stała

Wartości na krańcach przedziału Punkt B: T x( ₄ =0) 0=

Punkt F: T x( ₄ =2 ) 0l =

Momenty gnące ( ) 04

M x =

Wartości na krańcach przedziału Punkt B: M x( 4 =0) 0=

Punkt F: M x( ₄ =2 ) 0l =

• Przedział FC: 0 x≤ 5 ≤ l Siły normalne

( ) 05

N x =

Wartości na krańcach przedziału Punkt F: N x( 5=0) 0=

Punkt C: N x( ₅=0) 0= Siły tnące

5 B

( )

T x =R =ql

wartość stała, dodatnia, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie rosła

(dla kierunku x przyjętego odwrotnie ₅ niż na rys. 3 – tzn. od punktu C do F) Wartości na krańcach przedziału Punkt F: T x( ₅ =0)=ql

Punkt C: T x( 5 = =l) ql Momenty gnące

5 B 5 2 5

( )

M x =M −R x⋅ =ql −ql x

zależność liniowa, wartość momentu gnącego maleje dla kierunku x przyjętego zgodnie ₃ z rys. 3

Wartości na krańcach przedziału Punkt F: M x( ₅ =0)=ql²

Punkt C: M x( ₅ = =l) ql²−ql² = 0

Przed przystąpieniem do sporządzania wykresów sił wewnętrznych sporządzamy tabelkę, w której zestawiamy wszystkie wartości.

Punkty A D E C F B

x 0 x≤ ₁≤ l l≤x₂ ≤2l 0 x≤ ₃ ≤ l l≥ x₅ ≥ 0 2l≥x₄ ≥ 0 ( )

N x −2ql −2ql −2ql −2ql _{0 0 0 0} ql ql

( )

T x 2ql 2ql _{0 0} 2ql ql ql ql _{0 0}

( )

M x 7 ²

2ql

− 3 ²

2ql

− 3 ²

2ql

− 3 ²

2ql

− 3 ²

2ql

− 0 0 ql ² 0 0

WARIANT II (rys. 1b)

Ramę uwalniamy z więzów (rys. 4) i wyznaczamy reakcje.

A B 0

ix x x

P R R P

Σ = − − + = (1)

A B 0

iy y y

P R R ql

Σ = + − = (2)

A B 2 0

i y 2l

M R l M P l ql

Σ = ⋅ + − ⋅ − ⋅ = (3)

Ostatnie równanie piszemy dla prawej strony ramy uwzględniając fakt, że moment w przegubie C jest równy zeru.

CP B_x 2 B_y 0

M = −R ⋅ +l R ⋅ +l M = (4)

Po przekształceniach otrzymujemy

A B 7 2 9

8 8

x x

R = −R + = −P ql+ ql= ql

A B 3

4 4

y y ql

R =ql R− =ql− ql=

B 2

B 3 7

2 2 8 2 8

y x

R M ql

R ql ql

l l

= + = + =

2

B 2 3

2 2 4 2 2 4 4

y M P ql ql ql ql

R ql

l l

= − + + = − + + =

Rys. 4.

A 9

x 8

R = ql _A

y ql4

R = _B 7

x 8

R = ql _B 3

y 4 R = ql Ramę dzielimy na 5 przedziałów (rys. 5) i wyznacza-

my siły wewnętrzne.

Spody przyjmujemy wewnątrz ramy.

• Przedział AD: 0 x≤ ₁≤ l Siły normalne

1 A

( ) ^y 4

N x = −R = −ql ściskanie

Wartości na krańcach przedziału Punkt A: ( 1 0)

4 N x = = −ql Punkt D: ( 1 )

4 N x = = −l ql

Siły tnące

1 A 9

( ) ^x 8

T x =R = ql

Rys. 5.

wartość stała, dodatnia, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie rosła

Wartości na krańcach przedziału Punkt A: ( ₁ 0) 9

T x = = 8ql Punkt D: ( 1 ) 9

T x = =l 8ql

Momenty gnące

1 A 1 9 1

( ) ^x 8

M x =R ⋅ =x ql x

zależność liniowa, funkcja rosnąca Wartości na krańcach przedziału Punkt A: M x( 1 =0) 0=

Punkt D: ( 1 ) 9 ² M x = =l 8ql

• Przedział DE: l≤ x₂ ≤2l Siły normalne

2 A

( ) ^y 4

N x = −R = −ql ściskanie

Wartości na krańcach przedziału Punkt D: ( ₂ )

4 N x = = −l ql Punkt E: ( ₂ 2 )

4 N x = l = −ql

Siły tnące

2 A 9 7

( ) 2

8 8

T x =R x− =P ql− ql= − ql

wartość stała, ujemna, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie malała Wartości na krańcach przedziału

Punkt D: ( ₂ ) 7 T x = = −l 8ql Punkt E: ( ₂ 2 ) 7

T x = l = −8ql Momenty gnące

2 A 2 2

2 2

2 2 2

( ) ( )

9 2 2 7 2

8 8

M x R x x P x l

ql x ql x ql ql x ql

= ⋅ − ⋅ − =

= − + = − +

zależność liniowa, funkcja malejąca Wartości na krańcach przedziału

Punkt D: ( 2 ) 7 ² 2 ² 9 ²

8 8

M x = = −l ql + ql = ql Punkt E: ( 2 2 ) 7 ² 2 ^{2 2}

4 4

M x = l = − ql + ql = ql

• Przedział EC: 0 x≤ ₃ ≤ l Siły normalne

3 A 9 7

( ) 2

8 8

N x =R x− =P ql− ql= − ql ściskanie

Wartości na krańcach przedziału Punkt E: ( ₃ 0) 7

N x = = −8ql Punkt C: ( 3 ) 7

N x = = −l 8ql Siły tnące

3 A 3 3

( ) ^y 4

T x =R −q x = ql −q x

zależność liniowa, funkcja malejąca Wartości na krańcach przedziału Punkt E: ( ₃ 0)

4 T x = = ql

Punkt C: ( ₃ ) 3

4 4

T x = =l ql −ql= − ql Miejsce zerowe

3 3

( ) 0

4l T x = ⇔ x =

Momenty gnące

3 A A 3 3 3

2 2 32

3

2 2

3 3

( ) 2

2

9 2

4 4 2

4 4 2

x y x

M x R l P l R x qx

ql qx

ql ql x

ql qlx qx

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

= − + − =

= + −

parabola 2-go stopnia, ekstremum o wartości

2 2 2

max 3 9 2

4 4 16 32 32

ql ql ql

M ⎛⎜⎝x =l ⎞⎟⎠= + − = ql Wartości na krańcach przedziału

Punkt E: ( ₃ 0) ² 4 M x = = ql

Punkt C: ( ₃ ) ^{2 2 2} 0

4 4 2

ql ql ql

M x = =l + − =

• Przedział BF: 0≤x₄≤ 2l Siły normalne

4 B 3

( ) ^y 4

N x = −R = − ql ściskanie

Wartości na krańcach przedziału Punkt B: ( ₄ 0) 3

N x = = −4ql Punkt F: ( 4 2 ) 3

N x = l = −4ql

Siły tnące

4 B 7

( ) ^x 8

T x =R = ql

wartość stała, dodatnia, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie rosła

(dla kierunku x przyjętego odwrotnie 4

niż na rys. 5 – tzn. od punktu F do B) Wartości na krańcach przedziału Punkt B: ( 4 0) 7

T x = =8ql Punkt F: ( ₄ 2 ) 7

T x = l =8ql Momenty gnące

4 B 4 7 4

( ) ^x 8

M x = −R ⋅x = − ql x

zależność liniowa, wartość momentu gnącego maleje dla kierunku x przyjętego zgodnie 4

z rys. 5

Wartości na krańcach przedziału Punkt B: M x( ₄ =0) 0=

Punkt F: ( ₄ 2 ) 7 ² M x = l = −4ql

• Przedział FC: 0 x≤ 5 ≤ l Siły normalne

5 B 7

( ) ^x 8

N x = −R = − ql ściskanie

Wartości na krańcach przedziału Punkt F: ( 5 0) 7

N x = = −8ql Punkt C: ( ₅ ) 7

N x = = −l 8ql

Siły tnące

5 B 3

( ) ^y 4

T x = −R = − ql

wartość stała, ujemna, a więc wartość momentu gnącego w tym przedziale będzie malała (dla kierunku x przyjętego odwrotnie 5

niż na rys. 5 – tzn. od punktu C do F) Wartości na krańcach przedziału Punkt F: ( 5 0) 3

T x = = −4ql Punkt C: ( ₅ ) 3

T x = = −l 4ql Momenty gnące

5 B B 5

2 2

5

5 2

( ) 2

7 3

4 4

3 3

4 4

x y

M x R l R x M

ql ql x ql ql x ql

= − ⋅ + ⋅ + =

= − + + =

= −

zależność liniowa, wartość momentu gnącego rośnie dla kierunku x przyjętego zgodnie 5

z rys. 5

Wartości na krańcach przedziału Punkt F: ( ₅ 0) 3 ²

M x = = −4ql

Punkt C: ( ₅ ) 3 ² 3 ² 0

4 4

M x = =l ql − ql =

Przed przystąpieniem do sporządzania wykresów sił wewnętrznych sporządzamy tabelkę, w której zestawiamy wszystkie wartości.

Punkty A D E C F B

x 0 x≤ ₁≤ l l≤x₂ ≤2l 0 x≤ ₃ ≤ l l≥ x₅ ≥ 0 2l≥x₄ ≥ 0 ( )

N x

4

−ql

4

−ql

4

−ql

4

−ql 7

8ql

− 7

8ql

− 7

8ql

− 7

8ql

− 3

4ql

− 3

4ql

− ( )

T x 9

8ql 9

8ql 7 8ql

− 7

8ql

− 4

ql 3

4ql

− 3

4ql

− 3

4ql

− 7

8ql 7 8ql ( )

M x 0 9 ²

8ql 9 ²

8ql ² 4

ql ²

4

ql _{0 0} 3 ²

4ql

− 7 ²

4ql

− 0

Sposób rysowania wykresów sił wewnętrznych:

• siły normalne: ujemne – po stronie spodów,

• siły tnące: ujemne – po stronie spodów,

• momenty gnące: dodanie – po stronie spodów.

Rys. 6. Rys. 7.

Zadanie 2.

Dla ramy przestrzennej obciążonej jak na rys. 8 wyznaczyć reakcje w podporze oraz sporządzić wykresy sił wewnętrznych: siły normalnej, siły tnącej i momentu gnącego.

DANE P ; l

OBLICZENIE REAKCJI

Układ uwolniony z więzów przedstawiono na rys. 9. Dla przyjętego globalnego układu współrzędnych xyz równania równowagi mają postać

A =0

= ΣPix R x

A =0

= ΣPiy R y

A − =0

=

ΣPiz R z P

A − ⋅ =0

=

ΣMix M x P l

A =0

= ΣMiy M y

A =0

= ΣMiz M z

P

RAz = MAx =Pl SIŁY WEWNĘTRZNE

Przed przystąpieniem do wyznaczania sił wewnętrznych wprowadzamy lokalne układy współrzędnych xiyizi. Osie orientujemy tak, aby oś x pokrywała się z osią pręta, nato-_i miast kierunki osi yi oraz z wynikają z obro-i

tu układu współrzędnych. Spody w poszcze- gólnych fragmentach ramy przyjmujemy po ujemnej stronie osi y_i oraz z (rys. 9). _i

W układach przestrzennych wyznaczamy 6 sił wewnętrznych (rys. 10):

‰ siły normalne N(x) – mogą być dodatnie (rozciąganie) lub ujemne (ściskanie);

‰ siły tnące Ty(x) – ich linie działania są równoległe do osi y_i (płaszczyzna Πx_iy_i), mogą być dodatnie lub ujemne;

‰ siły tnące T_z(x) – ich linie działania są równoległe do osi z (płaszczyzna i Πx ), izi

mogą być dodatnie lub ujemne;

‰ momenty skręcające Ms(x) – mogą być dodatnie (zwrot zgodny ze zwrotem osi x ) _i lub ujemne (zwrot przeciwny);

Rys. 8.

Rys. 9.

‰ momenty gnące Mz(x) – ich kierunki są równo- ległe do kierunku osi z (siły tnące w płaszczyź-i

nie Πxiyi), mogą być dodatnie lub ujemne;

‰ momenty gnące My(x) – ich kierunki są równo- ległe do kierunku osi yi (siły tnące w płaszczyź- nie Πx ), mogą być dodatnie lub ujemne. izi

Po stronie spodów rysujemy:

‰ wartości ujemne siły normalnej i sił tnących;

‰ wartości dodatnie momentu skręcającego i momentów gnących.

Wykresy rysujemy w odpowiednich płaszczyznach:

‰ siły normalne N i momenty skręcające M – s

płaszczyzna Πxiyi;

‰ siły tnące T i momenty gnące y M – z

płaszczyzna Πxiyi;

‰ siły tnące T i momenty gnące z M – y

płaszczyzna Πx . izi

Rys. 10.

ROZWIĄZANIE

• Przedział ED: 0≤x₁≤l (rys. 11) Siły normalne

0 ) (x1 = N

Siły tnące P x

Ty( 1)=− 0 ) (x1 = Tz

Momenty skręcające 0

) (x₁ = M_s

Momenty gnące

1 1)

(x Px M_z =−

Wartości na krańcach przedziału 0

) 0 (x1 = = Mz

l P l x

Mz( 1 = )=− 0 ) (x₁ = M_y

Rys. 11.

• Przedział DC: 0≤x2 ≤l (rys. 12.) Siłę P redukujemy do punktu D.

Siły normalne 0 ) (x₂ = N

Siły tnące P x

Ty( 2)=− 0 ) (x2 = Tz

Momenty skręcające l

P x Ms( 2)=

Momenty gnące

2 2)

(x Px Mz =−

Wartości na krańcach przedziału 0

) 0 (x₂ = = M_z

l P l x

Mz( 2 = )=− 0 ) (x2 = My

• Przedział CB: 0≤x3≤l (rys. 13.) Siłę P redukujemy do punktu C.

Siły normalne 0 ) (x3 = N

Siły tnące P x

Ty( 3)=− 0 ) (x₃ = T_z

Momenty skręcające l

P x M_s( ₃)=

Momenty gnące l P x P x

Mz( 3)=− 3+

Wartości na krańcach przedziału l

P x

Mz( 3 = )0 = 0 ) (x3 = l = Mz

0 ) (x₃ = M_y

Rys. 12.

Rys. 13.

• Przedział BA: 0≤x4 ≤l (rys. 14.) Siłę P redukujemy do punktu B.

Siły normalne P x

N( ₄)=− Siły tnące

0 ) (x4 = Ty

0 ) (x4 = Tz

Momenty skręcające 0

) (x4 = Ms

Momenty gnące 0 ) (x₄ = M_z

l P x My( 4)=

Wartości na krańcach przedziału l

P x

My( 4 = )0 = l P l x My( 4 = )=

WYKRESY (rys. 15)

Rys. 14.

Rys. 15.