3. Pochodne - definicja i obliczanie

(1)

3.07pt

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)3. Pochodne - definicja i obliczanie 1 / 30

(2)

3. Pochodne - definicja i obliczanie

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

(3)

3.07pt

1 Motywacja

2 Definicja

3 Obliczanie pochodnych

4 Pochodne wyższych rzędów

(4)

Pochodna - motywacja

Pochodna jest narzędziem do mierzenia chwilowej prędkości zmian wartości danej funkcji. Jest to bardzo wygodne narzędzie, gdyż po pierwsze dzięki niej możemy uzyskać wiele kluczowych informacji o funkcji, której wzór już znamy, a po drugie, możemy zapisać różne wymagania dotyczące funkcji szukanej, gdy mamy tylko wiedzę o prędkości jej zmian.

(5)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykłady fizyczne

Wiele wielkości fizycznych w danej chwili (nie mówimy o wartościach średnich) jest tak naprawdę pochodnymi innych wielkości:

Prędkość - pochodna funkcji drogi od czasu.

Przyspieszenie - pochodna prędkości względem czasu.

Siła działająca na ciało - pochodna pędu względem czasu, albo pracy względem przesunięcia.

Moc - pochodna pracy względem czasu.

Natężenie prądu - pochodna funkcji przepływającego ładunku względem czasu.

Siła elektromotoryczna - pochodna strumienia wektora indukcji magnetycznej względem czasu.

(6)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykłady fizyczne

(7)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykłady fizyczne

(8)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykłady fizyczne

(9)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykłady fizyczne

(10)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykłady fizyczne

(11)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykłady fizyczne

(12)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykład ekonomiczny 1

W rozdziale o granicach analizowaliśmy koszt krańcowy jako

chwilową prędkość wzrostu średniego kosztu w zależności od wielkości produkcji.

Jak za chwilę zobaczymy, też jest to tak naprawdę pochodna. Podobnie jest z innymi, kluczowymi dla ekonomii wartościami krańcowymi podaży, popytu, użyteczności, przychodu, dochodu itp.

(13)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykład ekonomiczny 1

chwilową prędkość wzrostu średniego kosztu w zależności od wielkości produkcji. Jak za chwilę zobaczymy, też jest to tak naprawdę

pochodna.

Podobnie jest z innymi, kluczowymi dla ekonomii wartościami krańcowymi podaży, popytu, użyteczności, przychodu, dochodu itp.

(14)

Pochodna jako prędkość zmiany - przykład ekonomiczny 1

chwilową prędkość wzrostu średniego kosztu w zależności od wielkości produkcji. Jak za chwilę zobaczymy, też jest to tak naprawdę

pochodna. Podobnie jest z innymi, kluczowymi dla ekonomii wartościami krańcowymi podaży, popytu, użyteczności, przychodu, dochodu itp.

(15)

Przykład ekonomiczny 2: elastyczność

Innym ważnym pojęciem ekonomicznym ściśle związanym z pochodną jest elastyczność.

Przykładowo, elastycznością cenową popytu nazywa się iloraz popytu krańcowego (ze względu na cenę) i popytu średniego (na jednostkę ceny). Wiemy z poprzedniego rozdziału (efekt Laffera), że przy wzroście ceny, przychód może maleć. Elastyczność w pewien sposób odpowiada na pytanie, czy przychód maleje, czy rośnie przy wzroście ceny: szczegółową analizę zobaczymy w dalszej części wykładu.

(16)

Przykład ekonomiczny 2: elastyczność

Innym ważnym pojęciem ekonomicznym ściśle związanym z pochodną jest elastyczność. Przykładowo, elastycznością cenową popytu nazywa się iloraz popytu krańcowego (ze względu na cenę) i popytu średniego (na jednostkę ceny).

Wiemy z poprzedniego rozdziału (efekt Laffera), że przy wzroście ceny, przychód może maleć. Elastyczność w pewien sposób odpowiada na pytanie, czy przychód maleje, czy rośnie przy wzroście ceny: szczegółową analizę zobaczymy w dalszej części wykładu.

(17)

Przykład ekonomiczny 2: elastyczność

Innym ważnym pojęciem ekonomicznym ściśle związanym z pochodną jest elastyczność. Przykładowo, elastycznością cenową popytu nazywa się iloraz popytu krańcowego (ze względu na cenę) i popytu średniego (na jednostkę ceny). Wiemy z poprzedniego rozdziału (efekt Laffera), że przy wzroście ceny, przychód może maleć. Elastyczność w pewien sposób odpowiada na pytanie, czy przychód maleje, czy rośnie przy wzroście ceny: szczegółową analizę zobaczymy w dalszej części wykładu.

(18)

Pochodna - definicja

Pochodna

Niech x ∈ R. Niech f będzie taką funkcją o wartościach rzeczywistych, że x wraz z pewnym swoim otoczeniem (czyli

przedziałem otwartym zawierającym x ) zawiera się w Df. Jeśli istnieje skończona (tj. różna od ±∞) granica tzw. ilorazu różnicowego:

h→0lim

f (x + h) − f (x )

h ,

to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x i oznaczamy ją symbolem f⁰(x ). Mówimy też wtedy, że f jest różniczkowalna w x .

Różniczkowalność

Funkcja f jest różniczkowalna, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny.

(19)

Pochodna - definicja

Pochodna

Niech x ∈ R. Niech f będzie taką funkcją o wartościach rzeczywistych, że x wraz z pewnym swoim otoczeniem (czyli

przedziałem otwartym zawierającym x ) zawiera się w Df. Jeśli istnieje skończona (tj. różna od ±∞) granica tzw. ilorazu różnicowego:

h→0lim

f (x + h) − f (x )

h ,

to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x i oznaczamy ją symbolem f⁰(x ). Mówimy też wtedy, że f jest różniczkowalna w x .

Różniczkowalność

Funkcja f jest różniczkowalna, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny.

(20)

Różniczkowalność z definicji - przykład

Zadanie

Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x ) = x² w dowolnym punkcie x₀ ∈ R.

f⁰(x₀) = lim

h→0

f (x₀ + h) − f (x₀)

h = lim

h→0

(x₀+ h)²− x₀²

h =

= lim

h→0

2x₀h + h²

h = lim

h→02x₀+ h = 2x₀. Stąd (x²)⁰ = 2x np. f⁰(4) = 8.

(21)

Różniczkowalność z definicji - przykład

Zadanie

f⁰(x0) = lim

h→0

f (x₀ + h) − f (x₀)

h =

h→0lim

(x₀+ h)²− x₀²

h =

= lim

h→0

2x₀h + h²

h = lim

h→02x₀+ h = 2x₀. Stąd (x²)⁰ = 2x np. f⁰(4) = 8.

(22)

Różniczkowalność z definicji - przykład

Zadanie

f⁰(x0) = lim

h→0

f (x₀ + h) − f (x₀)

h = lim

h→0

(x₀+ h)²− x₀²

h =

= lim

h→0

2x₀h + h²

h = lim

h→02x₀+ h = 2x₀. Stąd (x²)⁰ = 2x np. f⁰(4) = 8.

(23)

Różniczkowalność z definicji - przykład

Zadanie

f⁰(x0) = lim

h→0

f (x₀ + h) − f (x₀)

h = lim

h→0

(x₀+ h)²− x₀²

h =

= lim

h→0

2x₀h + h²

h =

h→0lim2x₀+ h = 2x₀.

Stąd (x²)⁰ = 2x np. f⁰(4) = 8.

(24)

Różniczkowalność z definicji - przykład

Zadanie

f⁰(x0) = lim

h→0

f (x₀ + h) − f (x₀)

h = lim

h→0

(x₀+ h)²− x₀²

h =

= lim

h→0

2x₀h + h²

h = lim

h→02x₀+ h =

2x₀.

Stąd (x²)⁰ = 2x np. f⁰(4) = 8.

(25)

Różniczkowalność z definicji - przykład

Zadanie

f⁰(x0) = lim

h→0

f (x₀ + h) − f (x₀)

h = lim

h→0

(x₀+ h)²− x₀²

h =

= lim

h→0

2x₀h + h²

h = lim

h→02x₀+ h = 2x₀. Stąd (x²)⁰ = 2x np. f⁰(4) = 8.

(26)

Ciągłość, a różniczkowalność

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w jakimś punkcie, to jest też w nim ciągła.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: istnieją funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne (tak jak w przypadku funkcji nieciągłych i ciągłych, funkcji ciągłych nieróżniczkowalnych jest „nieskończenie wiele razy więcej” niż różniczkowalnych).

(27)

Ciągłość, a różniczkowalność

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w jakimś punkcie, to jest też w nim ciągła.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: istnieją funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne (tak jak w przypadku funkcji nieciągłych i ciągłych, funkcji ciągłych nieróżniczkowalnych jest „nieskończenie wiele razy więcej” niż różniczkowalnych).

(28)

Różniczkowalność z definicji - przykład 2

Zadanie

Zbadać z definicji różniczkowalność funkcji f (x ) = |x | w punkcie x₀ = 0.

f⁰(0) = lim

h→0

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0

|h| h

h→0lim⁺

|h|

h = 1; lim

h→0⁻

|h|

h = −1. Zatem f⁰(0) = limh→0 |h|

h nie istnieje (bo granice jednostronne są różne).

(29)

Różniczkowalność z definicji - przykład 2

Zadanie

f⁰(0) = lim

h→0

f (0 + h) − f (0)

h =

h→0lim

|h| h

h→0lim⁺

|h|

h = 1; lim

h→0⁻

|h|

h = −1. Zatem f⁰(0) = limh→0 |h|

(30)

Różniczkowalność z definicji - przykład 2

Zadanie

f⁰(0) = lim

h→0

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0

|h|

h

h→0lim⁺

|h|

h = 1; lim

h→0⁻

|h|

h = −1. Zatem f⁰(0) = limh→0 |h|

(31)

Różniczkowalność z definicji - przykład 2

Zadanie

f⁰(0) = lim

h→0

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0

|h|

h

h→0lim⁺

|h|

h = 1; lim

h→0⁻

|h|

h = −1.

Zatem f⁰(0) = limh→0 |h|

(32)

Różniczkowalność z definicji - przykład 2

Zadanie

f⁰(0) = lim

h→0

f (0 + h) − f (0)

h = lim

h→0

|h|

h

h→0lim⁺

|h|

h = 1; lim

h→0⁻

|h|

h = −1.

Zatem f⁰(0) = limh→0 |h|

(33)

Różniczkowalność funkcji elementarnych

Funkcje elementarne są różniczkowalne w każdym przedziale otwartym, zawartym w dziedzinie danej funkcji.

Różniczkowalność działań na funkcjach

Jeśli dwie funkcje są różniczkowalne w swoich dziedzinach, to ich suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie są różniczkowalne w swoich dziedzinach.

Jak widzieliśmy na poprzednim slajdzie, intuicyjnie można

różniczkowalność kojarzyć z „gładkością” wykresu, brakiem ostrych

„załamań” (takich, jak ma |x | w 0).

(34)

Różniczkowalność funkcji elementarnych

Różniczkowalność działań na funkcjach

(35)

Różniczkowalność funkcji elementarnych

Różniczkowalność działań na funkcjach

(36)

Podstawowe wzory

Wzory na pochodne kilku podstawowych funkcji znajdują się w tabelce poniżej:

Pochodne kilku najważniejszych funkcji: (c, r ∈ R)

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(37)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡

0 1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(38)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0

1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(39)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1

rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(40)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1}

cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(41)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x

− sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(42)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x − sin x

a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(43)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a

e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(44)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x

1 x ln a

1 x

Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(45)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹

1 x

(46)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x

(47)

Podstawowe wzory

f (x ) ≡ c x x^r sin x cos x a^x e^x log_ax ln x f⁰(x ) ≡ 0 1 rx^{r −1} cos x − sin x a^xln a e^x _{x ln a}¹ ¹_x Do bardziej skomplikowanych funkcji potrzebujemy dodatkowych twierdzeń.

(48)

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Dla dowolnych funkcji różniczkowalnych f , g zachodzą następujące wzory:

[f (x ) ± g (x )]⁰ = f⁰(x ) ± g⁰(x ) dla λ ∈ R [λ · f (x)]⁰ = λ · f⁰(x )

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

[f (g (x ))]⁰ = f⁰(g (x )) · g⁰(x ) (f⁻¹)⁰(x ) = _f0(f⁻¹¹(x ))

(49)

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) ± g (x )]⁰ = f⁰(x ) ± g⁰(x )

dla λ ∈ R [λ · f (x)]⁰ = λ · f⁰(x )

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

[f (g (x ))]⁰ = f⁰(g (x )) · g⁰(x ) (f⁻¹)⁰(x ) = _f0(f⁻¹¹(x ))

(50)

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

[f (g (x ))]⁰ = f⁰(g (x )) · g⁰(x ) (f⁻¹)⁰(x ) = _f0(f⁻¹¹(x ))

(51)

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

[f (g (x ))]⁰ = f⁰(g (x )) · g⁰(x ) (f⁻¹)⁰(x ) = _f0(f⁻¹¹(x ))

(52)

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

[f (g (x ))]⁰ = f⁰(g (x )) · g⁰(x ) (f⁻¹)⁰(x ) = _f0(f⁻¹¹(x ))

(53)

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

[f (g (x ))]⁰ = f⁰(g (x )) · g⁰(x )

(f⁻¹)⁰(x ) = _f0(f⁻¹¹(x ))

(54)

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

[f (g (x ))]⁰ = f⁰(g (x )) · g⁰(x ) (f⁻¹)⁰(x ) = _f0(f⁻¹¹(x ))

(55)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

Obliczyć pochodną funkcji f (x ) = 3 · sin x +√

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+ 0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(56)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+ 0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(57)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰

= 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+ 0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(58)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+ 0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(59)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +

1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+ 0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(60)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1 2x⁻¹² −

(−1)x⁻²+ 0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(61)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+

0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(62)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+ 0 =

3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(63)

Obliczanie pochodnych - przykład 1

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

Zadanie

x −_x¹ + 2.

f⁰(x ) = (3 · sin x +√ x −1

x + 2)⁰ = 3(sin x )⁰+ (x¹²)⁰− (x⁻¹)⁰+ (2)⁰ =

= 3 cos x +1

2x⁻¹² − (−1)x⁻²+ 0 = 3 cos x + 1 2√

x + 1 x².

(64)

Obliczanie pochodnych - przykład 2

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

Zadanie

Obliczyć pochodną funkcji f (x ) = x³3^x.

f⁰(x ) = (x³· 3^x)⁰ = (x³)⁰· 3^x + x³· (3^x)⁰ = 3x²3^x + x³3^xln 3.

(65)

Obliczanie pochodnych - przykład 2

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

Zadanie

f⁰(x ) = (x³· 3^x)⁰ = (x³)⁰· 3^x + x³· (3^x)⁰ = 3x²3^x + x³3^xln 3.

(66)

Obliczanie pochodnych - przykład 2

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

Zadanie

f⁰(x ) = (x³ · 3^x)⁰

= (x³)⁰· 3^x + x³· (3^x)⁰ = 3x²3^x + x³3^xln 3.

(67)

Obliczanie pochodnych - przykład 2

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

Zadanie

f⁰(x ) = (x³ · 3^x)⁰ = (x³)⁰· 3^x + x³· (3^x)⁰ =

3x²3^x + x³3^xln 3.

(68)

Obliczanie pochodnych - przykład 2

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

Zadanie

f⁰(x ) = (x³ · 3^x)⁰ = (x³)⁰· 3^x + x³· (3^x)⁰ = 3x²3^x +

x³3^xln 3.

(69)

Obliczanie pochodnych - przykład 2

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

[f (x ) · g (x )]⁰ = f⁰(x ) · g (x ) + f (x ) · g⁰(x )

Zadanie

f⁰(x ) = (x³ · 3^x)⁰ = (x³)⁰· 3^x + x³· (3^x)⁰ = 3x²3^x + x³3^xln 3.

(70)

Obliczanie pochodnych - przykład 3

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

Zadanie

Obliczyć pochodną funkcji f (x ) = ^{ln x}_x .

f⁰(x ) = (ln x

x )⁰ = (ln x )⁰x − ln x (x )⁰

(x )² = 1 − ln x x² .

(71)

Obliczanie pochodnych - przykład 3

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

Zadanie

f⁰(x ) = (ln x

x )⁰ = (ln x )⁰x − ln x (x )⁰

(x )² = 1 − ln x x² .

(72)

Obliczanie pochodnych - przykład 3

Twierdzenia o obliczaniu pochodnych

h_{f (x )}

g (x )

i0

= ^f⁰(x )g (x )−f (x )g⁰(x ) (g (x ))²

Zadanie

f⁰(x ) = (ln x x )⁰

= (ln x )⁰x − ln x (x )⁰

(x )² = 1 − ln x x² .