Seria: T R A N SPO R T z. 38 N r k o l. 1433
A ndrzej W ILK T om asz M A TY JA
ROZKŁADY CIŚNIENIA W POŁĄCZENIACH SKURCZOWYCH W IEŃCÓW ZĘBATYCH
S treszczen ie. W pracy przedstaw iono m etodę w yznaczania ciśnienia w cisku w połą
czeniach skurczow ych w ieńców zębatych. W ykorzystano elem enty kontaktow e typu węzel- linia system u COSM O S/M
INTERFERENCE PRESSURE PATTERNS IN THERMOCOMPRESSION BONDING OF THE TOOTHED RIM
S u m m a ry . The m ethod of calculation the interference pressure in therm o-com pression bonding o f the toothed rim with wheel was presented. The gap node-to-line contact elem ents of system C O SM O S/M was used.
1. W PR O W A D Z E N IE
M etoda konstruow ania kól zębatych z nasadzanym i skurczow o w ieńcam i, opracowana przez M ullera i K łusa [1], w ymaga w yznaczenia rozkładów naprężeń na pow ierzchni połą
czenia skurczow ego, które w ykorzystyw ane są następnie do oceny odporności złącza na po
ślizg. N aprężenia te traktow ać m ożna jako superpozycję naprężeń w yw ołanych siłami mię- dzyzębnym i oraz naprężeń pochodzących od wcisku.
D otychczas w zastosow aniach praktycznych ciśnienie w cisku obliczano w edług kla
sycznych w zorów w ytrzym ałości m ateriałów . W ieniec zębaty traktow ano jak o pierścień o grubości liczonej od dna w rębów. W przypadku cienkich w ieńców spodziew ać m ożna się znacznej nierów nom iem ości rozkładu ciśnienia w cisku (w kierunku obw odow ym połączenia), spow odow anej zm ienną sztyw nością w ieńca, w yw ołaną przez nacięte na w ieńcu zęby. D late
go celow e je st opracow ania skutecznej metodyki w yznaczania rzeczyw istych w artości ciśnie
nia w cisku oraz w yw ołanego w ciskiem stanu naprężenia w wieńcu.
134 A. W ilk , T. M atyja
W pracy analizow ano m ożliw ość w ykorzystania elem entów kontaktow ych M ES do m odelow ania zagadnienia w cisku w ieńca. Przedstaw iono m odel strukturalny w ieńca zębatego osadzonego na kole oraz m etodę rozw iązania problem u przy użyciu m odułu N ST A R Systemu C O SM O S/M . W yniki proponow anej m etody obliczeń zaprezentow ano na w ybranym przy
kładzie.
2. M O D E L O W A N IE W C ISK U ZA PO M O C Ą ELEM EN TÓ W K O N TA K T O W Y C H MES
Do m odelow ania w ykorzystano m oduł analizy zagadnień nieliniow ych N ST A R Syste
m u C O SM O S/M . M oduł N STA R m iędzy innym i pozw ala badać zagadnienia kontaktow e za p o m o cą je d n o w ęzłow ych elem entów kontaktow ych typu szczelina (ang. „gap”), kojarzonych ze zbiorem linii (w zagadnieniach 2D - gap node-to-line contact elem ent [2]) lub pow ierzchni kontaktu (w zagadnieniach 3D). Program autom atycznie oblicza w stępną (przed obciążeniem ) w ielkość szczeliny w elem entach w ęzeł-linia (w ęzeł-pow ierzchnia) na podstaw ie w prow a
dzonej geom etrii układu. Z agadnienia nieliniow e, jak im i są problem y kontaktow e, rozw iązy
w ane są m e to d ą przyrostow ą z w ykorzystaniem funkcji opisujących zm iany obciążenia ze
w nętrznego w czasie (ang.’’tim e curve”). Podczas obciążania struktury, w w yniku kolejnych iteracji kontaktow ych, ustala się, które elem enty (szczeliny) są zam knięte, tzn. odpow iadające im fragm enty pow ierzchni stykają się i działają na siebie siłam i kontaktow ym i (w oblicze
niach m o żn a uw zględnić tarcie w edług m odelu C oulom ba). Ze w zględu na zastosow anie m etody przyrostow ej zbieżność rozw iązania oraz jeg o dokładność zależy od tego, czy zasto
sow ana siła rośnie na tyle wolno, aby w ęzły m ogły „stopniow o” przem ieszczać się po po
w ierzchni kontaktu.
R ozpatrując kontakt pom iędzy dw om a strukturam i, zadeklarow ać trzeba je d n ą z nich jak o p o w ierzchnię kontaktow ą (ang.„target”), drugą natom iast jak o ciało stykające się z po
w ierzchnią lub ślizgające się po niej (ang.„contactor”). O bszar kontaktu zależeć będzie od w zajem nego „początkow ego” położenia struktur, zastosow anych obciążeń, w łasności m ate
riałow ych oraz innych specyficznych w arunków [2], W System ie C O SM O S/M zagadnienia kontaktow e m odelow ane m u szą być w edług następującej procedury:
1. O bszar kontaktu ciała ruchom ego („contactor”) określony je s t jak o ciąg w ęzłów siatki M E S , którym przypisano jednow ęzłow e elem enty kontaktow e „gap” .
Rys. 1. M odel w ieńca zębatego nasadzonego na koło Fig. 1. M odel o f force fitted toothed rim and wheel
2. O bszar kontaktu pow ierzchni kontaktow ej („target”) je s t zdefiniow any jak o ciąg linii kontaktow ych (w problem ach 2D ) lub pow ierzchni kontaktow ych (w problem ach 3D), które określane są przez podanie zw iązanych z nim i w ęzłów siatki M ES w ygenerow a
nej dla struktury („target”), zaw ierającej pow ierzchnię kontaktu.
3. K ażda linia kontaktow a (pow ierzchnia kontaktow a) m a określony kierunek norm alnej dodatniej, w ynikający z położenia i kolejności definiujących j ą w ęzłów (rys. 1).
4. Z akres kontaktu pom iędzy dw om a strukturam i ograniczony je st do obszaru określo
nego przez jednow ęzłow e elem enty kontaktowe. G dy usunięte zostanie ograniczenie n a przem ieszczenia struktur MES (teoria dużych odkształceń), każdy z elem entów kontaktow ych m oże w ejść w kontakt z k ażd ą z linii kontaktow ych (w ram ach tej sa
mej grupy elem entów ).
5. Linie (pow ierzchnie) kontaktow e należące do jednej grupy elem entów m uszą tw orzyć ciągłą krzy w ą (pow ierzchnie).
136 A. W ilk , T. M atyja
W p racy w łasnej [3] proponuje się zastosow anie elem entów kontaktow ych do jednocze
snego m odelow ania zagadnienia w cisku w ieńca zębatego oraz zagadnienia poślizgu obciąża
nego w ieńca po kole z uw zględnieniem tarcia. W celu m odelow ania sam ego w cisku w ystar
czy w ęzły kontaktow e, leżące na w ieńcu, um ieścić w ew nątrz obszaru koła, tak aby znalazły się one po przeciw nej stronie niż oś norm alna krzyw oliniow ego lokalnego układu w spółrzęd
nych linii kontaktow ej (rys. 1). G dy w ieniec je s t nieobciążony, nie m a potrzeby tw orzenia krzyw ej czasow ej obciążenia, a zadow alające w yniki uzyskać m ożna ju ż w pierw szym kroku analizy nieliniow ej w ykonyw anej za pom ocą program u N STA R.
3. P R Z Y K Ł A D W Y ZN A C ZA N IA CIŚN IENIA W CISK U
Z godnie z opisaną procedurą przygotow ano m odel strukturalny M ES w ieńca zębatego nasadzanego na koło, uw zględniający w stępną interferencję ciał - w cisk (rys.2). Ze w zględu na czas obliczeń w prezentow anym m odelu zastosow ano niew ielką liczbę elem entów kon
taktow ych (88 w ęzłów kontaktow ych, 43 linie kontaktow e trzyw ęzłow e) oraz nieco ponad 2600 elem entów trójkątnych (TRIA NG ). Zgodnie z zaleceniam i dokum entacji system u C O SM O S w arunkiem uzyskania popraw nego rozw iązania je s t stosow anie gęstego podziału na elem enty w obszarze kontaktu.
W ykonano obliczenia naprężeń w yw ołanych w ciskiem w kole z= 30 przy grubości w ieńca g /m = l i w cisku W =0.2m, gdzie m - m oduł koła. Przyjęto w artość w spółczynnika tar
cia fj=0.15. Przeprow adzono rów nież analizę bez tarcia, która w ykazała, że w pływ tarcia na rozkład ciśnienia w cisku w rozpatryw anym zagadnieniu je s t znikom y. M apę naprężeń pro
m ieniow ych w yw ołanych w ciskiem pokazano na rys.3, natom iast m apę naprężeń redukow a
nych na rys.4.
Rys. 2. Podział w ieńca zębatego i koła na elem enty skończone Fig. 2. D iscretization o f toothed rim and w heel using finite elem ents
W prezentow anym przykładzie m odel strukturalny M ES je s t „oszczędnościow y” . Prze
prow adzenie bardziej w nikliw ej analizy w ym agałoby zastosow ania w iększej liczby elem en
tów kontaktow ych oraz zastąpienia elem entów trójkątnych (TRIA N G ) elem entam i czw oro
kątnym i (PLA N E2D ).
138 A. W ilk , T. M atyja
Rys. 3. M ap a naprężeń prom ieniow ych w yw ołanych w ciskiem (układ w spółrzędnych biegunow ych)
Fig. 3. T he m ap o f radial stress (cylindrical coordinate system )
Rys. 4. M apa n aprężeń redukow anych w yw ołanych w ciskiem . Fig. 4. T he m ap o f von M isses stress
N a ry s.5 pokazano rozkłady naprężeń w kierunku prom ieniow ym na pow ierzchni po
łączenia, które rów now ażne są ciśnieniu wcisku. W idoczny jest znikom y w pływ tarcia na uzyskane w yniki. W strefie zębów w ieńca rozkłady są bardzo nierów nom ierne, m aksym alne w artości ciśnienie osiąga pod wierzchołkam i zębów , m inim alne w pobliżu stóp. W artości uzyskane w strefie w ieńca pozbaw ionego zębów są o około 20% m niejsze niż obliczone ze w zorów w ytrzym ałości m ateriałów . Przyczyną rozbieżności m oże być zbyt m ała gęstość po
działu struktury na elementy.
Fig. 5. The distribution of interference pressure
N a ry s.6 przedstaw iono rozkłady naprężeń obw odow ych na pow ierzchni połączenia.
W tym przypadku w idoczny je st w pływ tarcia na uzyskane wyniki.
140 A. W ilk , T. M atyja
Fig. 6. T he distribution o f circum ferences stress on the surface o f bonding
4. P O D S U M O W A N IE
W przypadku cienkich w ieńców zębatych osadzonych na kole rozkłady ciśnienia w ci
sku charak tery zu ją się znaczną nierów nom iem ością. D o w yznaczania w cisku celow e je st sto
sow anie takich m etod obliczeń, które pozw olą uw zględnić rzeczyw istą geom etrię wieńca.
Przykładem m oże być m etoda przedstaw iona w pracy, w ykorzystująca elem enty kontaktow e i n ielin io w ą w ersję M ES.
L iteratura
1. M ü lle r L., K lus R.: D ie Berechnung der Schrum pfverbindung von Zahnradkränzen.
K onstruktion 16 (1964) H eft 5,s. 176-178.
2. C O SM O S/M : A dvenced M odules User Guide. V er 1.70, vol. 4, Santa M onica (C alifor
nia) 1993.
3. M atyja T.: W ytrzym ałość kół zębatych z nasadzanym i w ieńcam i z uw zględnieniem zja w i
ska p o ślizg u sprężystego. Praca doktorska, Politechnika Śląska, K atow ice 1999.
Recenzent: Dr hab. inż. A ntoni Skoć
W płynęło do R edakcji 15.10.1999 r.
A bstract
The therm ocom pression bonding o f the toothed rim w ith wheel is constructed according to m ethods o f L. M uller and R. Klaus [1]. The checking o f load capacity condition requires de
fining the patterns o f perpendicular and tangential forces (stresses) on the surface o f bonding.
It is clear that the distributions o f stress are depended on the loading force and on the value of interference (interference pressure).
The paper presents method o f calculation the interference pressure in therm ocom pression bonding o f the toothed rim with wheel. M odule N STA R o f System C O SM O S/M and the gap node-to-line contact elem ents was used.
