Równania wyjściowe dla analizy przebiegów w maszynie synchronicznej

Prof. dr Władysław Kółełc, mgr inż. Władysław Paszek

Z a k ła d M aszy n E lek try czn y ch

Równania wyjściowe

dla analizy przebiegów w maszynie synchronicznej

S t r e s z c z e n ie : Niesym etria elektryczna i m agnetyczna m aszyny synchronicznej.

Równania zastępczych uzwojeń stojana i ich interpretacja fizykalna. Wprowadzenie układu jednostek stosunkowych jednolitego dla obwodów stojana i wirnika. Układ równań wyjściowych i ogólna ich dyskusja.

1. Wstęp

W m iarę n a ra s ta ją c y c h problem ów ek sp lo atacji system ów e le k tro ­ energety czny ch n ajp ierw (w o sta tn ic h dw óch dziesiątkach la t) w k ra ja c h 0 najw iększej w ytw órczości energii elek try czn ej i dużych teren ach , w y m a­

g ających pow iązania system ów i p rzem ysłu energii n a dużych odległościach, a n a stę p n ie rów nież w k ra ja c h m niejszych obserw uje się w ysuw anie an a lizy przebiegów n ieu stalo n y ch m aszy n y synchronicznej n a czoło z a ­ g adnień z teo rii m aszyn elek try czn ych . P ra ce P a rk a [1], Goriew a [2]

stanow ią tu ta j p o d staw o w y m a te ria ł źródłow y. Z agadnienia teo rii p rze ­ biegów w m aszynach sy n chronicznych nie są rozdziałem zam k n ięty m , p ro jek to w an ie i e k sp lo a tac ja d użych generato rów synchronicznych (tu rb o ­ g eneratorów i h yd rogeneratorów ) oraz system ów i linii przesyłow ych, d o sta rc z a ją sta le now ych tem a tó w do rozw iązyw ania.

Bów nież u n a s p rze p ro w ad zan a m od ern izacja oraz rozbudow a ener­

g e ty k i w y m aga zajęcia się przez ośrodki nauk ow e te o rią przebiegów w m aszynie synchronicznej. K a te d ra M aszyn E le k try cz n y c h P o litech nik i Śląskiej ju ż od szeregu la t w ysunęła te zagadnienia n a pierw szy p la n w te m a ty c e p lan ó w p ra c y naukow ej.

P rz y rozw iązyw aniu poszczególnych zagadnień, zw iązanych z a n alizą przebiegów u sta lo n y c h lu b n ieu stalo n y ch w m aszynie synchronicznej zachodzi p o trz e b a fo rm ułow ania pojęć, założeń, w ypro w ad zan ia rów nań podstaw ow ych, schem atów zastępczy ch, w arunków p o czątkow ych itp . D la dużej ilości ró żn y ch zag ad n ień z teo rii m aszyn synchronicznych 1 w spółpracy system ów m ożna opracow ać w spólne w yjściow e pojęcia, l*

4 W ładysław Kołek i Władysław Paszek

sc h em a ty zastępcze i ró w n an ia podstaw ow e. O pracow anie niniejsze p o ­ zw ala u n ik n ą ć p o w ta rz a n ia założeń w yjściow ych p rzy rozw iązyw aniu ró żn ych szczegółowych zagadnień.

Poszczególne p race K a te d ry z dziedziny m aszyn synchronicznych, zwłaszcza te, k tó re d o ty czą stan ó w n ieu stalonych p rz y uw zględnieniu n iesy m etrii elektryczn ej i m agnetycznej w irnika, będą opierać się n a rÓAynaniach w yjściow ych z pow ołaniem n a niniejszą p racę, określającą w a ru n k i, dla jak ich te ró w n an ia m ogą być zastosow ane.

2. Układ zastępczy 2-osiowy

M aszyna synch ron iczna p o siad a tw o rn ik (zwykle sto jan ) uzw ojony wielofazowo sym etrycznie. Ze względu n a pow szechne zastosow anie p rą d u trójfazow ego ogranicza się rozw ażania do m aszyn uzw ojonych 3-fazoAvo (przejście n a w ielofazow y sy m etry czn y u k ła d nie przed staw ia żad ny ch tru dn ości). S y m e tria w yk o n an ia m aszyn y pozAvala rÓAAnież analizow ać m aszynę n a m odelu dw ubiegunow ym niezależnie od rzeczyAvistej liczby biegunów m aszyny. D zięki tem u p rędkości k ąto w e elek try czn a i m ech a­

niczna są sobie równe.

M agneśnica (zwykle w irnik) W ykazuje ogólnie niesym etrię dwuosioArą e lek try czn ą i m agn ety czną. P rz y cz y n a n iesy m etrii elektrycznej leży ^avk o ­ nieczności zasilania elektro m agn esu m agneśnicy p rąd e m stały m , a więc p rz y pom ocy uzw ojenia jednofazow ego (dla każdego sym etrycznego wielo­

fazowego uzw ojenia s to ja n a jednofazow e uzw ojenie w irn ik a je s t niesy­

m etryczne).

M e sy m e tria m ag n ety czn a pochodzi z różny ch przeAATodności m agne­

ty cz n y c h d la stru m ie n ia zależnie od położenia osi stru m ien ia względem osi uzw ojenia w zbudzenia. W irniki cylindryczne (turbogeneratorów ) o uzw ojeniu w zbu dzen ia rozłożonym w y kazują stosunkow o u ¡(w ielką a sy m e trię m ag n ety czn ą, ta k że najw iększa różnica przew odności m agne­

ty cz n e j w y stę p u ją c a w 2 osiach w zajem nie p ro sto p ad ły ch nie przek racza k ilk u p ro cen t. Po zw ala to p rak ty c zn ie uw ażać te w irniki za m agnetycznie sym etry czne (niem niej n iesy m etria elek try czn a nie m oże po zostać p o ­ m inięta).

W irn ik i A\delobiegunowe (g en erato ry w olnobieżne, silniki synchro­

niczne) o uzw ojeniu skup io ny m um ieszczonym n a pieńkach biegunów w y k a z u ją znaczną a sy m e trię m agn etyczn ą. N ajw iększa różnica prze- Arodności m ag n ety cznej w 2 osiach Arynosi przeciętnie 25—50°/0.

T rójfazow e uzwojeń ie s to ja n a p rz y n o rm alnie stosow anych liczbach żlobkÓAV n a biegun i fazę d aje ro zk ład p rze strz e n n y am perozw ojów każdej z faz p rak ty c zn ie sinusoidalny, ta k że w dalszym ciągu siła m agneto- m o to ry czn a u zw ojenia sto ja n a traktoAvana będzie jak o sinusoidalna

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej 5 (w w y p a d k u znaczniejszych rozbieżności rozw ażania d o ty czą p o d sta w o wej harm onicznej ro zk ład u am perozw ojów ).

Ze w zględu n a to , że — ja k poprzednio w spom niano — w irn ik nie p o siad a sy m etrii zupełnej (przez sy m etrię zu pełną rozum ie się uk ład w irnik a, k tó ry w y k azu je sy m etrię elek try c z n ą i m ag n e ty cz n ą w zględem dowolnie p rzy ję te j osi), lecz w y k azu je sy m etrię jed y n ie w zględem osi uzw ojenia w zbudzenia oraz osi do niej p ro sto p a d łe j, rów nież SMM s to ja n a w y ra ż am y w dw óch jej składow ych p o k ry w ający ch się z osiam i sy m etri w irn ik a. N a rozbicie SMM sto ja n a n a składow e w dow olnych osiach pozw ala założenie sinuso id aln e ro zk ład u am perozw ojów .

T ak ie p rzed staw ien ie SMM w p o sta c i 2 składow ych SMM odpow iada z a stą p ie n iu w ielofazow ego uzw ojenia sto ja n a 2 fik cy jn y m i jednofazow ym i uzw ojen iam i d ziałający m i w osiach sy m etrii w irn ik a oraz w irującym i w raz z nim i.

Rys. 1. Wzajemne położenie uzwojeń m aszyny synchronicznej

R y su n ek 1 p rze d staw ia ideow y o b raz uzw ojeń obw odów w irn ik a oraz fik cyjny ch uzw ojeń zastępczych.

W osi uzw ojenia w zbu d zenia D n azyw anej w dalszym ciągu osią pod łu żn ą sp rzęgają się ze sobą: uzw ojenie w zbudzenia zasilane przez pierścienie p rą d e m stały m , uzw ojenie k la tk i tłu m ią c e j podłużnej, obw ód zastępczy bloku żelaza w osi podłużnej oraz zastępcze uzw ojenie tw o rnik a.

W osi poprzecznej Q sp rzęg ają się ze sobą: uzw ojenie k la tk i tłum iącej poprzecznej, obw ód zastęp czy bloku żelaza w osi poprzecznej oraz z a stę p ­ cze uzw ojenie tw o rn ik a.

U zw ojenie w zbudzenia zasilane je s t poprzez pierścienie ślizgowe ze w zbudnicy. W czasie stan ó w n ieu sta lo n y c h p ły n ą w nim rów nież p rą d y in d u k o w an e przez zm ien iający się stru m ie ń w osi podłużnej. U zw ojenie

fi W ładysław Kołek i Władysław Paszek

k la tk i tłum iącej um ieszczane je s t w m aszynie z w irnikiem cylindrycznym w żłobkach p o d k lin am i i połąęzcgie m iędzy sobą p od kołpakam i czoło­

w ym i (kapam i). W m aszynie | e o n e biegunów ej stosuje się k la tk ę z prętów o krąg ły ch um ieszczonych w n ab ieg u n n ik ach , połączonych n a czołach pierścieniam i lu b w ycinkam i pierścieni. K lin y m etalow e m ocujące uzw o­

jenie w zbudzenia w żłobkach spełniają rów nież rolę k la tk i tłu ­ m iącej.

O bw ody tłum iące ńie są zasilane p rąd e m z zew nątrz i przew odzą jed y n ie p rą d y induk o w ane p rzy zm iennym stru m ien iu . D ziałanie ty c h p rąd ó w m oże b y ć w p rzy b liżen iu zastąp io n e odpow iednim i p rąd a m i w 2 zastępczych uzw ojeniach um ieszczonych w osi D i Q. P rz y zm ianach stru m ie n ia m usi się rów nież uw zględnić oddziaływ anie stalow ego bloku w irnika.

B lok te n zan u rzon y w polu m ag n ety czn y m zachow uje się względem zm ian p ola m agnetycznego nieco odm iennie aniżeli uzw ojenie w zbudze­

n ia w irnika. P r ą d y wirowe w y stęp u jące w chw ilach zm ian strum ienia m agnetycznego po w odują niejednoczesne zm iany stru m ien ia w poszcze­

gólnych częściach bloku. Z am y k ające się stru g i prąd ów w irow ych w p ły ­ w ają ja k zwoje zw arte w polu m ag n ety czn y m n a wielkość i zm ienność p o la m agnetycznego.

D rogi ty c h stru g p rąd ó w w irow ych nie są określone przez z góry z a ­ łożone obw ody i k s z ta łtu ją się jed y n ie p o d w pływ em rozkładu pola m agn e­

tycznego i g eo m etrycznych w ym iarów bloku. Spośród w szystkich istn ie ­ ją c y c h dróg d la s tru g p rąd ó w w irow ych m ożna w yodrębnić p rz y pom ocy a n a lizy m a te m a ty cz n e j obw ody w spółśrodkow e z osią strum ien ia w y tw a ­ rza jąc e p rzy zm ianach stru m ie n ia postaw ow e pole-oddziaływ ania (p o d sta ­ w ow a h arm oniczna). S tru g i te m ożna Avięc zastąp ić uzw ojeniam i zw ar­

ty m i w osiach D i Q. P o d o b nie i w uzw ojeniach tłu m iący ch p rz e d s ta ­ w ione n a ry su n k u 1 zastępcze zwoje re p re z e n tu ją rów nież w p o d o b n y sposób w yodrębnio n ą p odstaw ow ą h arm oniczn ą oddziaływ ania k la tk i tłu m iącej p rz y zm ianach stru m ienia.

3. Sprowadzenie układu 3-fazowego do układu 2-fazowego

Z astępcze uzw ojenia w osiach D i Q w irujące Avraz z w irnikiem zasilane są um yślonym i p rą d a m i ^{I d ,} i ^{I q -} W arto ść chw ilow a ty c h p rą d Ó A Y Avynika z w aru nkó w rów now ażności SMM ty ch uzw ojeń oraz SMM rzeczywistego uzw ojenia sto ja n a .

J e ż e l i w y p a d k o A c a SMM t A v o r n i k a o k r e ś l o n a je s t w a r t o ś c i ą O lw o r a z k ą t e m p o ł o ż e n i a y l i c z o n y m d o o s i Q w k i e r u n k u AviroAAra n i a w i r n i k a ( n a

ry s. 1 ⁱ 2 o z n a c z o n o strz a łk a m i p r z y j ę t e d o d a t n i e k i e r u n k i d l a o s i D \ Q),

wÓAYCzas SMM u z A Y o j e ń z a s t ę p c z y c h w ynoszą odpow iednio

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej

Od— Otw sili y,

0 Q = O i * c o s y . i

D la zw iązania sił m ag n ety czn y ch uzw ojeń zastępczych 0 Q i Od z siłam i m agn eto m o to ry czn y m i poszczególnych faz rzeczyw istego uzw ojenia sto- ja n a w yraża się 0 tw p rz y po m o cy am perozw ojów poszczególnych faz. R y ­ sunek 2 p rze d staw ia p rzestrzen n e ułożenie SMM dla w artości chw ilow ych o raz p rz y ję ty c h k ą tó w położenia w irn ik a w zględem uzw ojeń sto ja n a .

Rys. 2. Wykres przepływu twornika (stojana)

D la ry su n k u 2 oznaczono strzałk am i p rz y ję te kierunkow ości prądów tw o rn ik a i SMM (dla p rą d u do datniego SMM zgodna z p rz y ję tą strz a łk ą SMM). N a ry su n k u p rzy ję to d o d a tn ią w artość p rą d u w fazie a oraz u jem n e w arto ści w fazie b, c. K ą t a0 oznacza p o czątk ow y k ą t położenia określony k ą te m elek try czn y m m iędzy osią uzw ojenia fazy a a osią p o ­ dłu żn ą w irnika.

Poniew aż Otw je st sum ą g eom etry czn ą am perozw ojów poszczególnych faz uzw ojenia sto ja n a , zate m składow e podłużne i poprzeczne w ypadkow ej SMM są odpow iednio sum am i składow ych podłużny ch w zględnie p oprzecz­

n y ch am perozw ojów poszczególnych faz:

A

k = a , b , c ,

Od - - ^ O k D i k = a , b , c

O Q = O k Q , k = a , b , c

8 Władysław Kołek i Władysław Paszek

©D = ©a COS (a) + 0 b COS ( a - | ) + 0 c c o s ( a - ę )

© Q = 0 a sin(a) -j- 0 b sin ( a — 2n\

3")

2n\ . n . [ 4ii

©c sm ( a - —

©k — I kw, Tc = a,b,c,

t

a = a 0 -f- j codt;

dla stałej szybkości w irow ania a = a 0+ co i; w — zastępcza liczba zwojów jed n ej fazy łączonych szeregowo.

A nalogicznie do określenia w artości SMM o perujem y chwilow ym i w a r­

tościam i p rąd ó w fazow ych I a, I b, I c i uzw ojeń zastępczych I n , Iq l.

7 * = § I a cos (a ) + I b c ó s | a - y j + I c cos a —4 71

-k d( I k)k=a,b, c ,

Iq ~ ~ 3

4 n (2)

— Q {Ik)k=a, b, c • I a sin(a) + I b sin^a - ^ J + I c sin |a ^

—' Ty ^ Tc

D la uniknięcia w prow adzania długich form uł w prow adza się sym bol F d , Fq.

Z uw agi n a to , że w sy m etry czn y m stan ie u sta lo n y m w y p ad a:

I «— 7»max Sil1 (mt+ Ó)>

ki = k 6maxSin((Coi + ó - y ) ,

I C= I C sin [cot+d

oraz gdzie

4jz

~ 3 ) ’

^ am a \ ^ m a x ^ r n ia \ . ^ ni:i \ 1

(9 w — — 2 f )

*2

On "m a x — 0/i ° m a x — cm a x — @rnax imdA 7

p rzy jm u je się dla o trz y m a n ia bardziej p rzejrzy sty ch wzorów p rzy określe­

n iu p rąd ó w zastępczych w spółczynnik 2/3. W ówczas

1 Przy analizie przebiegów nieustalonych operuje się zasadniczo wartościami chw i­

low ym i prądów i napięć, zatem użyte tutaj i w dalszym ciągu symbole prądów i napięć dotyczą ich wartości chwilowych. Tam, gdzie będzie mowa o wartościach skutecznych, symbole będą dodatkowo oznaczone.

l D= l mm Sin y, i e = i max C‘OS y.

D la w yznaczenia w artości chw ilow ych w poszczególnych fazach s to ­ ja n a ze znan y ch prąd ó w zastępczych I D i I Q posłu gu jem y się ró w n a ­ niem (2) łącznie z w a ru n k ie m w iążącym : y i k = 3Io', k — a,b,c. (P rą d I 0 określa się jak o p r ą d zerowej kolejności. D la przebiegów sinusoidalnych p r ą d u tw o rn ik a odpow iada on składow ej zerowej kolejności z rozkładu n a składow e sym etryczne. D la w y p ad k u 3-przewodowego p rzy łączenia u zw ojenia sto ja n a p rą d / 0 rów na się zeru). Po przekształceniu o trz y m u je się b

Iu—Id cos (a )— Iq sin (a) -\-1a = f a( I o , Iq) lo,

Jr Io =f b( lD, lQ) -\ -I oi

(3)

Ik = fk(lD,lQ)-\~I o) k = a , b , c .

D la u nikn ięcia w p ro w ad zan ia długich form uł w prow adza się sym bol f a,fb,fc, w zględnie /*; k = a,b,c.

W zo ry pow yższe uw zględ niają ew en tu aln ą obecność składow ej zero­

wej kolejności p rą d u w uzw ojeniu 3-fazow ym przyłączonym w układzie 4- przew odow ym .

W dalszym ciągu rozw ażań p rzyjm ow ać się będzie, gdy specjalnie n ie zaznaczono inaczej, jedy n ie 3-przew odow e przyłączen ie sto ja n a i w zw iązku z ty m p o m ija się składnik

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej 9

1 W zory (3) na I a , I b , I c wynikają z następujących związków geometrycznych p o ­ m iędzy wektorem na płąszczyźnie a jego rzutami na osie sym etrycznie dzielące płasz­

czyznę:

I. W ektor płaski M jest sumą geom etryczną rzutów na układ osi sym etrycznych (rys. 3 a)

3/ =

II. Gdy

\ M ’a\ = \ M ' b\ = \ M c \ —M 0, wówczas

M a + M ' b+ M c = 0 (rys. 3b).

III. W ektor M może być uważany za sumę 2 układów wektorów osiowych, z k tó­

rych jeden jest układem składowych osiowych wektora M (punkt I), a drugi dowolnym układem wektorów osiowych o jednakowej wartości liczbowej (punkt II).

I b = l D COS ^<x — y j - I Q sin — - 3

I c= Id cos I a 4 71 _{T ■ i}

ZoSin a —

10 W ładysław Kołek i Władysław Paszek

Obliczone pow yżej SMM tw o rn ik a w spółdziałają w raz z SMM w irn ik a

av w y tw a rz an iu stru m ien ia. P rz y z ało żen iu .m ały ch nasyceń w obwodzie m ożna p rz y jm u ją c liniow ą zależność stru m ien ia od SMM rozw ażać o d ­ dzielnie strum ienie w obydw u osiach.

a) b) c )

Rys. 3. Rzutowanie wektora na osie sym etrycznie dzielące płaszczyznę

Rys. 4.

R y su n ek 4 p rzed staw ia m odel sprzężonych ze sobą obwodów elek try cz­

n y c h sto ja n a i w irnika, n a k tó ry m zaznaczono p rz y ję te kierunkow ości napięć, prąd ó w i liniozwojów. P rz y przyjęciu ty c h kierunkow ości o trz y m u ­ jem y zależność m iędzy p rąd e m i napięciem uzw ojenia sto ja n a i uzw o­

jen ia w zbudzenia

uzw. twornika

Kierunkowości napięć, prądów i liniozwojów zastępczego obwodu stojana i wirnika

uzw. wzbudzenia

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej 11

k ^ ( k = a , b , c ) j

7 __ dWw

Jw~- dt (4)

Założono p rz y ty m rów ne o pory czynne Ii we w szystkich fazach uzw ojenia sto ja n a . Liniozw oje xIJk poszczególnych faz sk ła d a ją się z linio/w ojów pola głównego (Wgk) oraz liniozw ojów rozproszenia (Wsk)

Liniozw oje rozproszenia p ro p o rcjo n aln e są do w artości chwilowej p r ą d u fazy i in d u k cy jno ści rozproszenia

Z a k ład a się (podobnie ja k dla oporności czynnych) jednakow e in d u k ­ cyjności rozproszenia we w szystkich fazach. Liniozw oje główne w y raża się za pom ocą stru m ie n ia podłużnego i poprzecznego p rz y p rzyjęciu sinusoidalnego ro zk ład u przestrzennego pola (przy niesinusoidalnym roz­

kład zie pola rozw ażania d o ty czą pierw szej harm onicznej).

S tru m ień <bD w zględnie <1>Q w ytw o rzo ny je s t przez w ypadkow y p rz e ­ p ły w w irn ik a i sto ja n a w osi podłużnej albo w osi poprzecznej:

gdzie — oznacza liczbę zwojów rów now ażnego uzw ojenia skupionego d la 1 harm onicznej po uw zględnieniu w spółczynnika uzw ojenia, zatem

= k = a,b,c.

Wsk= L s I k, k — a,b,c.

Wga = w [ 0 D cos (a) — 0 Q sin {a)] = wfa(<PD,<PQ)

^ gk = w f k( 0 D, 0 Q), k = a , b , c ,

lI/k= w f k ( 0 d 1$ q) I k L s, k — a,b,c.

P o d staw ia ją c I k ze w zoru (3) o trz y m am y

Wk = wfk( 0 D, ®q) + L sv'fk(I D, I Q) = f k (W<PD+ L s I DW0Q-\-LsI Q), k = a,b,c. (5) W p ro w a d za m y :

’PD— W0 D~\~I dLsi I ’ Q = W 0 q - \ - I q L s ,

W k ^ f k ^ D ^ o ) , k = a , b , c .

(6)

W staw iam y z a te m do w zoru (4):

12 W ładysław Kołek i Władysław Paszek

P o d staw ia m y za I a w arto ść ze w zoru (3):

Ua = ( w Qc o - ^ - I DR^ cos (a) - ( - ' F Dc o - ^ - 7 q e ) sin (a).

Analogicznie

U„,UC.

Z atem

Uk = f, <WJD t „ \ / d V Q

- a ? - 1 *** , k = a,b,c. (7) O trzy m a n a form uła w yrażenia dla napięcia fazowego je s t analogiczna ja k dla p rą d u fazowego I k . Z porów nania wzorów (5) i (3) w ynika:

'Rqco- ~ - I dR = U d , (8)

- coWd- ^ - I qR = U q , stą d

Uk = f k( U D, U Q), Jc — a,b,c. (9)

N apięcie TJD i UQ je s t z atem określone rz u ta m i chw ilow ych w artości napięć fazow ych n a osie D i Q. Po przek ształceniu rów nania dla w y zn a­

czenia TJD i TJQ ze zm iennych TJk o trz y m am y podobnie ja k dla p rąd ó w sto ja n a

F D= F D(TJk), k = a,b,c, FQ=Fo(TJk), k = a , b , c . Analogicznie dla F ze w zoru (5) i (6)

xFd= Fd ( F k), k = a,b,c,

F Q= F Q( F k), k = a,b,c. ^{( 10)}

D la p rz y p a d k u p rzyłączenia tw o rn ik a w układzie 4-przew odow ym i pojaw ienia się składow ej zerowej p rą d u tw o rn ik a /,, w zory (5) i (7) p rz y ­ b iera ją rozszerzoną p o stać

F k = f k( F D, F Q) + I i, L 0, k = a,b,c, Uk= f k( U D, UQ) - (^ L 0- I 0R, k = a,b,c,

gdzie L 0 — in d uk cyjn ość dla p rą d u zerowej kolejności tw ornika.

W yznaczone zależności liniozw ojów i napięć tw o rn ik a pozw alają przy uw zględnieniu obwodów w irn ik a w ykreślić elek try czn y u k ład rów no­

w ażny w 2 osiach m aszy n y synchronicznej (rys. 5).

Równania wyjściowe m aszyny synchronicznej 13 N apięcie UxD, XJxQ n a zaciskach zastępczych uzw ojeń tw o rn ik a w osi pod łu żn ej i poprzecznej określone rów naniem obw odu w ynosi

dWD

U x n = - - IdR, JxD'~ dt

TT dW° T R

u*o= ~ ~w ~ Iq

( 11)

Z p o ró w n an ia z w zorem (8) w y n ik a związek:

V xD= F D — Q = U d—E Droi,

U Xq= E Q - \ - M F D — t Q — F q to1i

p rz y czym w' pow yższych ró w n an iach oznaczono

— w ' F D= E Qlot, + 0 ) XRq= Edto t ,

ja k o siły elek tro m otoryczn e ro ta c ji w osi po dłużnej i poprzecznej.

D

(12)

Rys. 5. Schemat zastępczy uzwojeń m aszyny synchronicznej w osi podłużnej i poprzecznej

14 W ładysław Kolek i Władysław Paszek

-Równania te w y ja śn ia ją, że zastąp ienie nieruchom ego uzw ojenia sto- ja n a uzw ojeniem zastępczym w iru jący m w a z z w irnikiem w ym aga prócz uw zględnienia składow ej ZJD i UQ w ynik ających z rzu to w a n ia chwilowych w artości nap ięć n a zaciskach jeszcze uw zględnienia dodatkow ej składo­

wej b ędącej konsekw encją unieruchom ienia uzw ojenia sto ja n a w zględem w irnika. To d odatkow e napięcie ro ta c ji jest iloczynem prędkości oraz linio/w ojów w osi prostopadłej do danego uzw ojenia zastępczego, przy czym liniozw oje w jednej osi d a ją d o d a tn ią w artość siły elek tro m o to ­ rycznej ro ta c ji w osi skręconej względem osi liniozw ojów o 90° e le k try ­ cznych przeciw ko kierunkow i w irow ania.

Ilu s tru je to fizykalnie ry su n ek 6, n a k tó ry m przedstaw iono położenie jedn ej z osi w irnika zgodnie z osią fazy rzeczyw istego uzw ojenia sto ­

jan a . P rz y d o braniu takiego p o ­ łożenia napięcie indukow ane ro z­

p a try w a n e j fazy a rzeczyw istego uzw ojenia je s t rów nocześnie n a ­ pięciem uzw ojenia zastępczego, a składow e liniozw oje tej fa z y (w osi fazy oraz w osi p ro sto ­ padłej do osi fazy) są rów nocześ­

nie podłużnym i i poprzecznym i składow ym i WD i WQ.

N apięcie indukow ane fazy a ty m sam ym uzw ojenia z a stę p ­ czego w osi D je s t wyw ołane poprzecznego przez uzw ojenie te j

Rys. 6. Zgodne położenie osi podłużnej wir­

nika z osią fazy tworniką

(ro tacją) stru m ien ia przecinaniem

fazy.

D la odróżnienia od siły elektrom otorycznej ro ta c ji w prow adza się czasem pojęcie siły elektrom otorycznej tran sfo rm acji

E » u = -

E Ot ^{r = -}

d'J'n

iii ’

d V Q dt ’

(13)

pochodzącej od zm iany stru m ien ia w odnośnych osiach podłużnej i p o ­ przecznej .

R ów n ania obw odów dla uzw ojeń zastępczych m ożna wówczas w y p i­

sać w postaci:

dla uzw ojenia zastępczego w osi podłużnej

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej 15 dla u zw ojenia zastępczego w osi poprzecznej

E q = E q1t - \ - E Qto t ~

d la sta n u u stalon eg o je s t A’D(r= 0, E Qtr = 0, zatem o trz y m u je się UD= E Dtoi- I d B = o j ^ q - I d B ,

I q= Eqioi — I qB = co!Po — IdB .

Z godnie z dotychczasow ą tra d y c ją w analizie stanów u sta lo n y c h g e n e ra to ra synchronicznego sym etrycznie obciążonego określa się sk ła­

dow ą — I D jak o p r ą d pod łu żn y , oznaczając go sym bolem Td, podobnie określa się składow ą — I Q jak o p rą d poprzeczny, oznaczając go sy m bo ­ lem l q. B y su n e k 7 p rzed staw ia w y ­

k res pro m ien io w y g e n e ra to ra sy n ­ chronicznego d la s ta n u ustalonego p rz y obciążeniu sy m etry czn y m . P rz y założonych k ierunkow ościach ja k n a ry su n k u 4 o trz y m u je m y dla stan u ustalonego ró w n a n ia

Ud= E diot — I qB, E q= E qiot — I dB, gdzie

Ew ł d 5 d^,

E w — 8E M od am perozw ojów uzw ojenia w zbudzenia,

X d, X q — re a k ta n c ja synchroniczna dla osi podłużnej d względem po ­ przecznej q.

J a k w idać z tego w y k resu , z n an a z teo rii u stalo n y ch stanów sym etry cz­

nych „składow a p o d łu żn a n apięcia Udu je s t napięciem — UQ uzw ojenia zastępczego w osi poprzecznej. P o dobnie „składow a p oprzeczna n a p ię ­ cia Uqu je s t napięciem — UD uzw ojenia zastępczego w osi p odłużnej.

D la u trz y m a n ia term inologii w prow adzonej w analizie u sta lo n y c h stanÓAv g e n e ra to ra synchronicznego m ożna w prow adzić sym bol Uq w m iejsce — Ud

oraz TJd w m iejsce — TJq.

P rz y ta k im przyjęciu rzu to w an ie p rą d u n a oś d względnie q daje składow ą I d w zględnie I q, rzu to w an ie napięcia d aje składow ą Ud względ- dnie Uq.

yąPą.Ui) / ut =-“ V -V ’=_y'’

Rys. 7. Wykres wektorowy stanu u sta­

lonego m aszyny synchronicznej

16 Władysław Kołek i Władysław Paszek

4. Równania układu zastępczego

D o k ład n a an aliza przebiegów prądów , napięć i liniozwojów w poszcze­

gólnych obw odach w irn ik a w zględnie uzw ojeń zastępczych sto jan a w y­

m aga uw zględnienia poszczególnych indukcyjności w zajem nych i w łas­

nych ty c h obwodów. D la uproszczenia analizy uw zględnia się zwykle ty lk o istnienie linii sprzężonych ze w szystkim i uzw ojeniam i (s tru ­ m ień głów ny Wg) i linii rozproszenia sprzężonych ty lk o z jed n y m uzw o­

jeniem ( Ws , Wsw, Wsk, xPsF) d ecydujących w głównej m ierze o ch arakterze przebiegów .

M ożna czasam i uw zględnić rów nież linie rozproszenia Wsr nie należące do stru m ien ia głównego a sp latające się z w szystkim i uzw ojeniam i w irnika.

P rz y uw zględnieniu pow yższych założeń dochodzi się w dalszym p rze ­ kształceniu u k ład u rów now ażnego i sprow adzeniu w szystkich obwodów w irnika n ajp ierw do jednego uzw ojenia w irn ika (rys. 8), a n astęp n ie n a stro n ę uzw ojenia sto ja n a do sch em atu zastępczego przedstaw ionego n a r y ­ su n k u 9.

E ys. 8. Schemat zastępczy uzwojeń maszyny synchronicznej po sprowadzeniu do jednego uzwojenia wirnika

O znaczone n a ry su n k u 8 oporności i induk cy jno ści dotyczą w artości poszczególnych gałęzi sprow adzonych n a stro n ę jednego z obwodów w ir­

n ik a. Ze w zględu n a to , że m ierzy się p ra k ty c zn ie zawsze ty lk o p rą d w uzw ojeniu w zbudzenia, celowe je s t sprow adzenie do uzw ojenia w zbu­

dzenia. (D la osi poprzecznej sprow adza się konsekw entnie również do ilości zwojów uzw ojenia w zbudzenia). In d u k cy jn o ść rozproszeń (w y­

łącznych) p ojedynczych obwodów oznaczono L s i dodatkow ym indeksem poszczególnego obw odu.

In d u k cy jn o ść rozproszenia (łączną) w szystkich obwodów w irnika ozna­

czono L sr.

Kównania wyjściowe maszyny synchronicznej 17 In d u k cy jn o ść głów na w irn ik a oznaczona je s t n a schem acie przez L rD w zględnie L rQ.

In d u k cy jn o ść głów ną uzw ojeń zastępczych tw o rn ik a (stojana) o zna­

czono odpow iednio L aD w zględnie L aQ; M rD i M Dr oraz M rQ i M Qr o kreślają indukcyjności w zajem ne.

O kreślenie in du kcy jno ści i głów nych, i w zajem nych w ynika z p o d s ta ­ w ow ych związków m iędzy liniozw ojam i a p rąd em :

H f ® D sto i . 3 .

M rD= = — ~ w rA D = - wwrA D, (14)

w l - D -L D A

M ^ ' l J n ć i / ) w ir

M-Dr= ^ j — =

7

V J - r D i r D

Analogicznie

M rQ = M rDĄ Q-,

M Qr= M Dr- ^ .

D

A d , Aq oznacza przew odność m ag nety czn ą dla stru m ie n ia w osi D w zględnie Q. W ychodząc z p raw a O hm a dla obw odu zastępczego uzw o­

jen ia tw o rn ik a i w irn ika o trz y m u je się ró w n ania:

UD - E Dmt= - (Ls+ L aD) - E Id - - g - M Dr,

U w = L sw — ~ - |- R ' WI W - f - ( L ' r D - \ - L ' Sr D ) ■ ^ - \ - M rD — .

P o sprow adzeniu n a je d n ą stro n ę (tw ornika) o trzy m am y :

18 Władysław Kołelc i Władysław Paszek

Analogicznie o trz y m u je się dla uzw ojenia zastępczego l : - ( TJq - ®Qrot) = ( L , + L a0) + R I Q + L aQ - f ,

(16) W zory red u k cy jn e indukcyjności, oporności, napięć i p rąd ó w w irnik a w y n ik a ją bezpośrednio z p orów nania (14) i (15). J e s t widoczne, że dla tego u k ła d u sprow adzonego o statecznie do dwuuzwojeniowego tra n sfo r­

m a to ra iloczyn przek ład ni napięciow ej i prądow ej nie jest rów ny jedności i w ynosi 2/3. J e s t to n astępstw em różnej ilości faz w stojanie i w w irniku, podobnie ja k to w y stępu je w tró jfazow y m silniku asynchronicznym z w irnikiem uzw ojonym dwufazowo. Podczas g d y przek ład n ia napię-

W W 2

ciowa w ynosi — , p rze k ład n ia p rąd o w a wynosi — - .

/Wr , 'IV ó

R y su n ek 9 przed staw ia końcow y ogólny schem at zastęp czy m aszyny synchronicznej ro zp a d a ją c y się n a sch em aty osi podłużnej i poprzecznej w zajem nie zw iązane istnieniem siły elektrom otorycznej ro ta c ji w jed n y m obwodzie zależnej od stru m ien ia w d rugim obwodzie. Często indukcyj- ności fig urujące w schem atach zastępczych przed staw ia się jak o rea k tan c je w y nikające przez form alne pom nożenie indukcyjności przez pulsację znam ionow ą (wN) generato ra.

R L s 7„ L s r n R k s J n k s r Q_

E ys. 9. Schemat zastępczy uzwojeń m aszyny synchronicznej po sprowadzeniu na stronę uzwojenia twornika

D la p rak ty czn eg o operow ania schem atem zastępczym m aszyny synchro­

nicznej w prow adza się je d n o stk i p rąd ó w i nap ięć odniesione do param etrów znam ionow ych sto ja n a g e n erato ra (w artości fazow ych m aksym alnych):

- f o d n — J a f i U o d n — i ' A / -

1 W ielkości prądów, napięć, oporności i indukcyjności figurujące w (15) i (16) przed­

stawiają wielkości sprowadzone na stronę zastępczego uzwojenia stojana.

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej 19

T ym sam ym je d n o stk a p o ch o d n a oporności i?odn= ^, N- . Dzięki tem u pa-

1 N f

ra m e try w y stęp u jące w an alizie w y ra ż ają się ty p o w y m i w ielkościam i niezależnie od wielkości m ocy m aszyny. W konsekw encji takiego p rzy jęcia je d n o stk i p rą d u i napięcia n ależy dla obw odu w zbudzenia jak o jed n o stk ę

• 3 'to

odniesienia p rą d u p rzyjm o w ać w artość I Nf • w , jak o jed n o stk ę odnie- sienią n apięcia w arto ść UNf ■ ~ , jak o jed n o stk ę oporności i in d u k cy j-W

, . , , , TJNf Iwr 2\

nosci w arto ść • I —ś • - . I Nf \w2 3/

Często ze w zględu n a w ygodę w in n y ch obliczeniach p rzy jm u je się o dm ien ną w arto ść p rą d u jak o jed n o stk ę odniesienia dla p rą d u w zbudze­

nia. T a k n p . sprow adza się często p r ą d w zbudzenia do p rą d u biegu ja ło ­ wego p rz y znam ionow ym n ap ięciu i częstotliw ości

P rz y obliczeniach term iczn y ch w ygodnie je st p rz y ją ć jak o jed n o stk ę w arto ść p rą d u w zbudzenia w w a ru n k a ch znam ionow ego obciążenia. P rz y przyjęciu jed n o stek odniesienia p rą d u dla obwodów w irnik a inn ych niż dla tw o rn ik a dla odnośnych składników w yprow adzonych rów n ań dochodzą d od atko w e w spółczynniki wyrów naw cze.

D otychczasow e rozw ażania d o prow adziły do określenia związków ilościow ych p om iędzy p rą d a m i, napięciam i i strum ieniem m aszy n y sy n ­ chronicznej. Ze zw iązków ty c h m ożna rów nież obliczyć m om en t i moc m aszy n y synchronicznej.

W ychodząc z zasad y superpozycji określa się m om ent d ziałający n a u zw ojenia tw o rn ik a oddzielnie o d składow ych stru m ien i p od łużnych i poprzecznych

M e= — — ^>q0d] (3 7 a)

(d o d atn ią w arto ść m o m en tu p rz y ję to dla k ieru n k u m om entu d ziała­

jącego n a w irn ik w k ie ru n k u przeciw nym do k ieru n k u w irow ania).

W staw iając

Od = f I dW, Iq=

&DW = X]Jpg = d) Lud , oraz

&qW = XF iQg = ( I rQ-\-IQ)LaQ, o trz y m am y

M e = — | \ L aDTQ / ro + (L„d — L„q) IqT d — I 0qT dJkq\- (3-7 b) 2*

20 Władysław Kołelc i Władysław Paszek

W yrażenie n a m o m en t m ożna również p rzedstaw ić w postaci:

M e = Xł >D ' Iq— Q Idj (17 c) k tó rą łatw o otrzy m ać z p orów nania wzorów (17a) oraz (17 c).

Poniew aż p rą d y s to ja n a i w irn ik a w yrażone są w p rz y ję ty c h poprzednio jed n o stk ach stosunkow ych, m om ent obliczony w edług w zoru m a jako jed n ostkę odniesienia w artość

W artość m o m entu w yrażo na w jed n o stk a ch stosunkow ych jest rów na w artości m ocy w yrażonej w jed n o stk a ch stosunkow ych (jed no stka odn ie­

sienia dla m ocy %UNf I Nf).

O bliczony powyżej m om ent określa m om ent elektryczn y, k tó ry w cho­

dzi w ogólne rów nanie m om entów d ziałających n a m asy w irujące zespołu m aszyny sy nchro nicznej:

M — m om ent m echaniczny d o starczo n y do u k ład u (przyjęto d o ­ d a tn ią w artość m om entu m echanicznego działającego w kie­

ru n k u w irow ania),

J — m om ent bezw ładności m as w irujących.

Jeżeli m om enty M e i M m w yrażone są w jed n o stk a ch stosunkow ych, prędkość k ąto w a co w y raża się w odniesieniu do modD=coN, wówczas mo-

W rów naniu (18) należy wówczas w staw ić T r w m iejsce J .

F izy k aln ie sta ła rozruchow a odpow iada czasowi, po k tó ry m u k ła d dochodzi do szybkości jednostkow ej p o d działaniem m o m entu je d n o stk o ­ wego idącego n a przyspieszenie m as. B-ównanie m om entu m ożna zastąpić rów naniem m ocy:

2 *

(18) gdzie

m en t bezw ładności w yraża się w p o staci stałej czasowej J - ° ^ = T r{sek),

1 N\ T

gdzie T r oznacza tzw . sta łą rozruchow ą.

(19) lu b też w jed n o stk a ch stosunkow ych:

D o tychczasow a an aliza doprow adziła w efekcie końcow ym do w y zn a­

czenia podstaw o w ych ró w n ań w yjściow ych m aszyny synchronicznej,

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej 21 wiążących p a ra m e try zew nętrzne zarówno po stronie elektrycznej i m ech a­

nicznej z p a ra m e tra m i w ew nętrznym i elektrycznym i i m echanicznym i m asz y n y :

1) U D= + W Qc o - - j f - - I DR , (117/

2) TJ Q= — 'PD(o — IqR,

3) u ° = ~ <W ~ T°Rx (20)

4) U w= - j ^ + I wR w,(IW

5) - J - % - x . + x ~ = o -

W ystęp u jące w rów naniach -wielkości l/y, M e w yraża się za pom ocą prądó w i elem entów w ew nętrznych schem atu zastępczego:

W D = { 10+ I r D ) L aD~{-l D^sl 1Rq= ( 1 Q - \ - I r Q) L aQ-\- 1qL s ,

W0 = I 0L 0, - (21)

X

Rw = ( Id^T t r D) LaDJr L s r ' ( r ~\ ~I w 'Lswf

M e = f [^{Iod^oRd}+ { L a Q ~ Lud) IqI d~ L uD1 dIvq\-

Pow yższy u k ład rów nań Wraz z ró w n an iam i obwodów w irn ik a określa jednoznacznie pracę m aszyn y synchronicznej p rzy uw zględnieniu w a­

runków początkow ych dla poszczególnych obwodów elektrycznych oraz u k ład u m echanicznego.

W arunek początkow y dla obwodów elek trycznych stanow i ciągłość funkcji czasowej liniozw ojów a dla u k ła d u m echanicznego — ciągłość funkcji czasowej prędkości.

W rozw iązaniu powyższego u k ła d u ró w n ań m ożna w yodrębnić zw ykle 2 podstaw ow e człony. P ierw szy o kreśla tzw . sta n u sta lo n y m aszyny sy n ­ chronicznej u w aru n k o w an y zew n ętrzn y m i n arzuco ny m i p a ra m e tra m i u kładu elektrom echanicznego m aszy n y synchronicznej. Są to zw ykle napięcia sieci, napięcie w zbudzenia i m o m en t m echaniczny, prędk ość w irow ania itp . W ielkości ta k ie b ęd ą oznaczone jak o p a ra m e try n a rz u ­ cone. D rugi człon rozw iązania określa tzw . s ta n przejściow y spow odo­

w any początkow ą zm ianą k o n fig u racji u k ła d u w zględnie p a ra m etró w narzuconych.

Możliwość w yodrębnienia członu ustalonego i nieustalonego rozw ią­

zania nie jest regułą. Is tn ie ją p rzy p a d k i, gdy w aru n k i p ra c y u k ład u uniem ożliw iają osiągnięcie s ta n u ustalonego.

22 Władysław Kołek i W ładysław Paszek

Ogólne rozw iązanie podanego u kład u ró w nań jest bardzo tru d n e , gdyż prow adzi do nieliniow ych ró w n ań różniczkow ych wysokich rzędów.

(Nieliniowość rów nań w prow adza rów nanie p ią te u k ład u rów nań 20).

P rz y założeniu stałej prędkości ( y r = o ) u k ła d sprow adza się do ró w n ań , dt

liniow ych wyższych rzędów . R ozw iązanie szczególne takiego u k ład u jest zasadniczo m ożliwe n p . p rz y zastosow aniu rach u n k u operatorow ego, jednakże ze względu n a w ysoki rzą d rów n an ia również i w ty m w yp ad k u p o p rzestaje się często n a rozw iązaniach przybliżonych.

P rz y założeniu stałej prędkości w irn ik a = 0j uk ład rów nań w yjściow ych synchronicznej m aszyny przed staw ia się w p o staci o p e ra ­ torow ej po dokonaniu tran sfo rm acji obu stro n ró w n ań (20)

Ud{p) = - P ' I /d{p) + P ,I/di>- I d{p) R +o xFq(p),

Uq( P ) = ~ P ^ o i P ) + V - 1 e( P ) R - o ) ^ o i p ),

U0 ( p ) = - p ' l /0(p) - p ^ D o - I 0( p)R, U w( p ) = - p ' F w( p ) - p xł' Wo + I „ ( p ) R w,

gdzie WDo, '/yQn, ^ 0, o zn aczają w artości początkow e odnośnych linio- zwojów. P rz y narzuconych zew nętrznych p a ra m e tra c h m aszyny synch ro­

nicznej (zwykle założony przebieg napięcia Ud, Uq, U k) otrzy m u je się szu k an y przebieg (zwykle p rą d y lu b liniozwoje) w postaci operatorow ej, w ychodząc z u k ład u ró w n ań (21) i (20) oraz ró w nań obwodów w irnika d la schem atu zastępczego, w y rażo n ych operatorow o.

O trzy m an y ostatecznie przebieg w y rażon y w p o staci operatororvej p rzek ształcam y pow ro tn ie do szukanej p o staci czasowej. P rzek ształce­

nie o dw rotne do p o staci czasow ej, w y rażające się ogólnie całką Brom - w icha, w większości p rak ty c zn y c h wypadków- m ożna sprow adzić — za pom ocą ro zk ład u fun k cji operatorow ej n a ułam k i pro ste — do znanego w zoru H eavisid e’a.

W p rz y p a d k u skom plikow anej fu n k cji n arzuconych zew nętrznych p a ra m etró w m aszyny synchronicznej, np. napięcia w zbudzenia (często fu n k cja Uw(t) nie je st p o d a n a an alitycznie) dla uniknięcia bezpośredniego rozw iązyw ania całki B rom w icha m ożna posłużyć się m etod ą całki D u ­ ham ela.

M etoda t a pozw ala również w yznaczyć czasow y przebieg J(t) w spo sól* w ykreślny, gdy zn a n y je s t zad an y przebieg Uw(t).

W niniejszej pracy stosuje się przekształcenie Laplace’a.-.Carsona

oo

f ( p ) ~ p j f(t)e-pidt.

0 I

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej 23 D la szczególnego p rzy p ad k u z góry zadanej zm iennej w czasie p rę d ­ kości w irn ika (prędkość je st w ów czas p a ra m etrem n arzu co n y m m aszyny) o raz w iadom ej funkcji czasowej WD i XIJQ (przy m ałych oporach czynnych obw odu tw ornik a łatw o w yznaczyć p rzy b liżo n y przebieg WD i WQ p rzy znanym napięciu przyłożonym ) z tra n sfo rm ac ji L ap lace’a-C arsona ró w ­ nań (20) o trz y m u je się:

u D( p ) = - p w D( p ) + p ^ D<>- i D( p ) R - £ i ( o ( t ) ^ Qm ,

Z 7 ,( p ) = - p 'F e (p) + ,F Oo- / 0(p )JR + X [ « ( t ) ,f7z>(i)]. (23) R ów nania nie zaw ierające czy nn ik a w(t) p o z o sta ją bez zm iany.

Zaznaczoną tra n sfo rm ac ję iloczynu 2 fu n k cji czasow ych m ożna w y ­ konać wprost- zgodnie z definicją p rzekształcenia L ap lace’a-C arsona, lu b też m ożna posłużyć się splotem fu n k cji operatorow ej. W szczegół- n y m w y p ad k u , gdy fu n k cja <w(p)= ^ N{p),

c r l ł \ w n \ ~ \ ^ ( P k ) * P ( P ~ V k ) , ^ (0> ii / r v \

PzM ' ( p k) p - p k 1 iif(0) (p)’

k —1

gdzie

p k p ierw iastk i rów n an ia M(p) = 0.

P rz y zastosow aniu m eto dy całki D u h am ela dla fu n k cji m ( t ) W { t ) —

analogicznie ja k wyżej opisano dla zadanej fu n k cji ^{U w( t )} — m ożna obejść się bez kłopotliw ej często tra n sfo rm ac ji fu n k cji w(t)W(t).

5. Wektorowa forma równań wyjściowych

.

P o d an ą wyżej m etodę rozw iązania u k ład u rów nań m aszy n y sy nch ro ­ nicznej przez oddzielne obliczenie przebiegów w osi podłużnej i poprzecznej m ożna często znacznie uprościć przez w prow adzenie a b stra k cy jn e j p łasz­

czyzny, przyporządk o w an ej n p . płaszczyźnie w irnika, w irującej w u k ła ­ dzie w irnika. W płaszczyźnie tej leżą osie D i Q oraz wielkości prądów J , napięć U i łiniozw ojów I// , określone jak o w ek to ry płaskie przez odnośne w spółrzędne — osi poprzecznej i podłużnej

I — 1d~+- Iq,

U = U D+ U Q,

i p = y D + W Q .

P rz y p o rz ą d k o w u ją c tej płaszczyźnie płaszczyznę zespoloną G aussa (wiel­

kościom w osi podłużnej p rzy p o rząd k o w u je się w artości rzeczyw iste, wielkościom w osi poprzecznej p rzy p o rząd kow uje się wra rto ści urojone),

24 Władysław Kolek i Władysław Paszek

odpow iednie w ek to ry p rąd ó w napięć i liniozw ojów m ożna przedstaw ić jak o wielkości zespolone:

I — Id + jIo,

W = W D+ j W Q, (24)

U = U D+ j U Q.

P rzy jęcie tak ie upraszcza postać rów nań (20). m aszyny synchronicznej

- cW — —

u = - T t - I R - j (o'F. (25)

W ogólnej postaci również rów nanie czw arte u k ład u rów nań (20) m ożn a przed staw ić w sposób n astęp u jący :

— d W

P » = y + i A , (26)

w p rzy p a d k u zasilania obwodów w irn ik a w dwóch osiach 1.

U k ład ró w n ań (25) i (26) stanow i uogólnienie teorii dwuosiowej, ro z ­ p a try w a n e j dotychczas n a przy k ład zie m aszyny synchronicznej, n a w szystkie m aszy ny w irujące spełniające założone n a wstępie w a ru n k i sy m etrii uzw ojeń tw o rn ik a (wielofazowe m aszy n y asynchroniczne, sy n ­ chroniczne, asynchroniczne kolektorow e)..

W p rz y p a d k u m aszyn y asynchronicznej kolektorow ej napięcie TJW p rzed staw ia w trąco n e w obw ód uzw ojeń w irnika napięcie o częstotliwości poślizgu w yrażone w postaci sym bolicznej jak o w ektor w iru jący w płasz­

czyźnie w irn ika z prędkością k ą to w ą poślizgu.

W zór (17 c) n a m om ent działający n a w irnik m aszyny m ożna przed­

staw ić jak o iloczyn w ektorow y w e k to ra płaskiego W oraz I.

M = ( ' F x I ) . (27 a )

P rz y określeniu wielkości lF i I liczbam i zespolonym i W , I w przyjętej płaszczyźnie zespolonej w arto ść m o m en tu działającego n a w irnik można p rzed staw ić w postaci:

M —R e( - j W - 1 ) , (27b)

1 Przypadek zasilania uzwojenia wzbudzenia maszyny synchronicznej w dwóch osiach spotyka się np. w zastosowaniach autom atyki przy napędach synchronicznych mechanicznego sterowania impulsów napięć siatkowych prostowników rtęciowych dla.

celów regulacji kąta zapłonu.

Równania wyjściowe maszyny synchronicznej

gdzie

R e — w arto ść rzeczy w ista w y rażen ia w naw iasie,

I — chw ilow a sym boliczna w arto ść w ek to ra sprzężonego z rvektorem J . U kład ró w n ań (25) i (26) w y raża się w p o staci operatorow ej 1

T a p o sta ć ró w n a n ia m a zastosow anie dla an a lizy w szystkich stanów o stałej prędk ości k ą to w e j w irnika. Eów nież wiele p rzypadków , w k tó ry ch ściśle teo rety czn ie nie m ożna b y założyć stałej prędkości, sprow adza się do p rzy jęcia pow yższego rów nania, jak o ró w n an ia wyjściowego.

J a k w ynika z pow yższych rozw ażań, ogólne rozw iązanie u k ład u rów ­ n a ń sta n u nieustalonego m aszy n y synchronicznej n astrę cz a duże tru d n o ści m ate m a ty cz n e . D opiero przy jęcie pew nych założeń up raszczających um ożliw ia rozw iązanie u k ła d u rów nań.

W pierw szym rzędzie Ar uproszczeniach dąży się do u sta le n ia prędkości w irn ik a sprow adzającego u k ład ró w n ań do ró w n ań liniow ych, ew entualnie d la zm ien n ych prędkości w irnika p rzy jm u je się z gó ry zadan y, najczęściej liniow y p rzebieg prędkości. D alsze z kolei uproszczenia stanow i pom inięcie w zględnie ty lk o przy bliżo ne uw zględnienie oporów czynnych tAvornika, k tó re p rz y p ra k ty c z n y c h Arykonaniach m aszyny od g ry w ają zw ykle stosunkow o n a jm n ie jszą rolę (niem niej w n iek tó ry ch p rzy p a d k a c h czynny opór zew n ętrzn y sieci su m u ją c y się w oporze czynnym tw o rn ik a nie pozw ala n a ta k ie uproszczenia), przez co obniża się rz ą d ró w n an ia różnicz- koAvego i ty m sam y m stopień algebraicznego rów n ania c h a ra k te ry sty c z ­ nego (rrzględnie algebraicznego ró w n an ia operatorow ego). Zw ykle dla przybliżonego uw zględnienia oporów czynnych tw o rn ik a oblicza się p rz y ­ bliżone p ierw ia stk i p kn algebraicznego ró w n an ia ch arak terysty czneg o f(p)

U ( p ) = - p F ( p ) + p F 0 - i ( p ) R - j p y Res

Uw(p) = p F w(p) - p F W0+ I „(p)R, (29)

p rz y czym rezid u a n ależy obliczyć dla p u n k t^óavosobliwych ps fun kcji D la stałej pręd ko ści w irn ik a rów nanie (25) p rzy b ie ra p o stać

U(P)= - (p +joj) F(P) + P'ł/o - HP)B. (30)

6. Uwagi ogólne o metodach analizy

1 Jest to ciekaw y przypadek transformacji czasowej funkcji zespolonej w obszar zmiennej zespolonej.

26 W ładysław Kołek i Władysław Paszek

p rz y pom inięciu oporów czynnych, tw ornika, a n a stę p n ie posługując się m eto d ą p rzybliżenia N ew to na o trzy m u je się skorygow ane pierw iastk i

— m -

P o stęp u ją c w te n sposób o trzy m u je się kolejno zerowe (p*0), pierwsze drugie (pk2) itd . przybliżenie rozw iązania u k ład u rów nań.

W obw odach w irnik a p rzy jm u je się uproszczenia polegające n a za­

stą p ie n iu opisanego poprzednio skom plikow anego u k ład n bloku litego p ro sty m obw odem zastępczym , k tó ry w łącza się zwykle w rozw ażaniach do obwodu k la tk i tłum iącej.

D alsze przyjm ow anie założeń upraszczających obniża odpow iednio rząd. rów nania różniczkowego i ta k np. dla m aszyny synchronicznej bez obw odów tłu m iący ch w w irn iku u zy sk u je się rów nanie różniczkow e 3 rzędu. G dy zachodzi konieczność an alizy u k ład u m aszyny synchro­

nicznej w stanie n ieustalo n ym , p rzy czym nie z n an y jest z góry przebieg prędkości w irnika (co m a m iejsce np. w analizie elektrodynam icznych przebiegów p rz y w yznaczaniu stateczności w sta n ie nieustalonym ), sto ­ suje się zw ykle przybliżone rozw iązanie n k ład u ró w n ań m eto d ą „krok p o k ro k u “ w yznaczenia poszczególnych, kolejnych p u n k tó w przebiegów z różniczkow ych p rzyrostów p rz y zastąp ien iu w ystępującego w analizie ilorazu różniczkow ego ilorazem różnicow ym .

W płynęło w czerwcu 1954 r.

LITE RATURA

[1] K. H. ^Park, Two Reaction Theory of Synchronous Machines, Part I i II, Trans. A IEE , 1929.

[ 2] A. A. P o p e B , I l e p e x o d m t e n p o y e c m a m x p o u H o u M a m u u u , M o c K B a 1950.

[3] B. B. BynraK O B, K o M d a n u n , MocKBa 1949.

[4] E. II. K a 30BCKHft, UepexodHue npoi\eccu e M a iu u n a x nepeMemozo m o v a deouttozo

n u m a n u n u u x paccM o m p ew u e c noMOUfbw n p y z o e o u d u a zp a M u , ’’B jieK T puuecT uo”

Nr 8, 1950.