Chaos w maszynie synchronicznej. Badania symulacyjne

Anna KIEW REL11

CHAOS W MASZYNIE SYNCHRONICZNEJ. BADANIA SYMULACYJNE

Streszczenie. Celem niniejszego opracowania jest przedstawienie modelu maszyny synchronicznej jako dyssypatywnego układu nieliniowego zdolnego do zachowań chaotycznych. Pokazane są przykłady takich zachowań, uzyskane na drodze symulacji komputerowej. Przedstawione są scenariusze przejścia do chaosu. Wyznaczone zostały diagramy fazowe wartości bifurkacyjnych amplitudy i częstotliwości wymuszenia.

CHAOS IN SYNCHRONOUS MACHINE. SIMULATION STUDY

Sum m ary. The purpose of this paper is to show the model of a synchronous machine as the nonlinear dissipative system capable of chaotic behaviour. There are given the examples of such behaviour by numerical simulation. The ways to chaos are presented. The phase diagrams as the bifurcate values of the forced amplitude versus its frequency are shown as well.

Key w o rd s: nonlinear dynamic system, chaos, bifurcation, intermittency

Motto:

"stabilny klasyczny ruch regularny jest wyjątkiem, wbrew temu, co wynika z wielu podręczników."

H.G.Schuster

1. W P R O W AD ZEN IE

Definicja chaosu [10] przyjęta na m iędzynarodowej konferencji zorganizowanej przez Royal Society w Londynie brzmi:

"Stochastyczne zachowanie w ystępujące w układzie determ inistycznym".

Pojęcia "stochastyczny" i determ inistyczny" użyte obok siebie w powyższej definicji m ogą sprawiać w rażenie paradoksu. Stochastyczne, przypadkowe zachowanie nieliniowego układu dynam icznego, którego ruch opisany je s t determ inistycznym układem równań różniczkowych jednoznacznie wyznaczających ew olucję układu w czasie, określa się jako chaos determ inistyczny. Na układy nieliniowe, w których odkryto chaos determ inistyczny [9], składają się układy zachowawcze, tzw .H am iltonow skie i dynam iczne układy dyssypatywne. W układach tych stwierdzono pewne uniwersalne drogi przejścia do chaosu, niezależne od m odelu matem atycznego, a zależne od pewnych globalnych w łasności, na przykład wym iarowości.

Kryteria chaotyczności ruchu można podzielić na dwie grupy [8]: jakościow e i ilościowe.

Jakościowe kryteria s ą to:

- zależność w spółrzędnych układu od czasu wygląda "chaotycznie" (rys.1), - w odw zorowaniu Poincare'ego punkty w ypełniają całą ograniczoną przestrzeń, - w w idm ie m ocy w ystępuje szum (rys. 1).

Kryteriam i ilościowym i są:

- w ykładniki Lapunowa (a właściw ie najw iększy z nich), - entropia,

- m iara niezmiennicza, - funkcja korelacji.

1 D r inż., K atedra M aszyn E lektrycznych, A kadem ia G órniczo-H utnicza im. S. Staszica w K rakow ie, Al. M ickiew icza 30 B I , 30-059 K raków , teł. +48 (012) 6172898, fax 6341096 ,akiew rel@ poczta.onet.pl

c)

Rys.1. Przykłady zachowań chaotycznych modelu matematycznego maszyny synchronicznej: a - trajektorie;

b - portret fazowy; c - widmo mocy

Fig. 1. Examples of chaotic behaviour of the synchronous machine matematical model: a - trajectories;

b - phase portrait; c - spectral power density

W niniejszym opracow aniu przedstaw ione zo sta ną w yniki jakościow ych badań sym ulacyjnych zachow ań chaotycznych m odeli m atem atycznych m aszyny synchronicznej. Z punktu widzenia

"teorii chaosu" m aszyna synchroniczna je s t dyssypatyw nym nieliniowym układem dynam icznym [9], W tego typu układach chaos w ystępuje wówczas, gdy układ je s t otwarty, tzn. w ystępuje zewnętrzne w ym uszenie. W najprostszym , m echanicznym m odelu m aszyny synchronicznej przy wym uszeniu stałym chaos nie w ystępuje, ale pojawia się on przy w ym uszeniu zm iennym . Zw iązane je s t to ze w zrostem w ym iarow ości układu z dw óch do trzech (twierdzenie KAM). A n i nieliniowość, ani też w ie low ym iarow ość nie s ą pow odem pojawienia się chaosu. Istotną przyczyną je s t w rażliw ość układu na w arunki początkow e i taka je g o w łaściwość, że początkowo bliskie sobie trajektorie rozbiegają się w czasie w ograniczonej przestrzeni fazowej (nazwana przez Lorenza efektem m otyla). T akie w łaśnie ce ch y posiadają m odele m atem atyczne m aszyn synchronicznych [5].

2. D IAG RAM Y FAZO W E

Uktad dynam iczny, jakim je s t m aszyna synchroniczna, reprezentowany je s t przez abstrakcyjny nieautonom iczny system równań różniczkowych, zwanych m odelem m atem atycznym . W ogólnym przypadku

Jaw ną fu n kcją czasu je st przyłożony z zew nątrz m om ent obrotowy Tz = T0 + Tmexc o s (0 t). Poprzez zw ykle podstawienie z = O t i uzupełnienie układu równań (1) o

otrzym uje się autonom iczny układ równań różniczkowych nieliniowych

gdzie m je s t tzw. param etrem kontrolnym , od w artości którego zależy rodzaj rozwiązania.

Rozwiązania układu równań różniczkowych w długiej perspektywie czasowej tw orzą tzw. zbiory niezm iennicze [7], Rozróżnia się następujące typy tych zbiorów:

1) punkty stałe,

2) cykle graniczne (rozwiązania okresowe), 3) orbity quasi-okresow e,

4) orbity chaotyczne.

Pierwsze trzy w ystępują w układach liniowych, natom iast ten czwarty m ożliwy je s t jedynie w nieliniowych. W liniowej dynam ice poszukuje się zwykle pewnych fundam entalnych rozwiązań, z kom binacji których pow stają rozwiązania szczegółowe. Natom iast w dynam ice nieliniowej znalezienie takiego analitycznego rozw iązania je st niezmiernie rzadkie. Dlatego istotna je st zn a jo m o ść jakościow ego zachow ania układu:

• ilu i jakich zbiorów niezm ienniczych m ożna się spodziewać?

• które z nich s ą stabilne?

• ja k zm ieni się liczba zbiorów niezm ienniczych przy zm ianie parametru kontrolnego?

Pojawienie się lub nie zbio/ów niezm ienniczych nazywane je s t bifurkacją (bifurcate - rozw idlać się) [1], a w artość param etru kontrolnego, przy której to następuje, nosi nazwę w artości bifurkacyjnej. Bifurkacji zawsze towarzyszy zm iana stabilności; są to pojęcia koincydentne.

W niniejszym opracowaniu badany był w pływ param etrów zm iennego w ym uszenia na zachow anie układu (2). Rysunek 2 przedstawia diagram y fazowe zależności amplitudy względnej m om entu obciążenia (odniesionej do amplitudy mom entu synchronicznego) ym od jego znorm alizow anej częstotliw ości c o = ii/n0 (odniesionej do n 0)2- Jest on rezultatem wielu tysięcy sym ulacji przeprowadzonych na tym sam ym PC, przy takich samych param etrach obliczeniowych (m etoda i czas sym ulacji, dokładność obliczeń i zadawanych liczb itp.).Rysunek 2a przedstawia diagram fazowy, bez składowej stałej wym uszenia, natom iast rysunek 2b ze składow ą stałą o dpow iadającą co do w artości m om entowi nominalnem u. W obu przypadkach krzywa 1 oznacza granicę w ystępow ania cykli granicznych (orbit okresowych) wokół punktu stałego w yznaczonego przez rów nania rów nowagi statycznej, krzywa 2 - początek ruchu obrotowego [5], krzywa 3 - bifurkacje przez podwajanie okresu, krzywa 4 - początek chaosu. Cechą w spólną obu diagram ów je s t w ystępowanie lokalnych m inim ów na krzywej 1 dla w artości <o » (1/9;2/9;1/3;2/3), przy czym globalne m inim um w ystępuje przy co=2/3. Potwierdza to istnienie tzw. zagadnienia większych denom inatorów [3], Związane je s t to niewątpliwie ze zjawiskiem nieliniowego rezonansu i interakcji pom iędzy częstotliw ością w ym uszenia a krotnościam i częstotliwości własnej układu ( n il= m il0;

(o=n/m) [6]. W ystąpiła duża zgodność diagram u 2a z diagram em wyznaczonym w pracy [4], (¹)

(3)

2

W p ływ składow ej stałej w ym uszenia je s t w idoczny nie tylko w zm niejszeniu w artości amplitudy składow ej przem iennej, ograniczającej obszar pod krzyw ą 1, ale przede w szystkim w zachowaniu układu przy przejściu poprzez granice poszczególnych obszarów. W zakresie bardzo małych częstotliw ości w ym uszenia ( t o < 0 . 2 , < o * 0 ) , w przypadku gdy y o = 0 , w raz ze w zrostem amplitudy w ym uszenia orbity okresow e zm ie n ia ją się w q u a s i- okresowe, aż do pojawienia się chaosu, natom iast przy yo* 0 na stęp u ją przeskoki orbit okresowych o kolejne 2n, aż do regularnego ruchu obrotowego. Zasadnicza różnica w ystępuje rów nież w scenariuszu przejścia do chaosu. Generalnie dla y o = 0 przejście do chaosu m a charakter interm itencyjny [8], natom iast dla y<>*0 - przez kaskady podwajania okresu.

CD

Rys.2. Diagramy fazowe: a - y0 = 0 ; b - y0 = Tn/T,™,; co=n/n<,; rm =T™ /T»»

Fig.2. Phase diagrams: a-yo = 0 ;b - y o = T n / T ł m t x ; ( o = C i / C i o I Y m ^ T z m ł i / F

3. SC E N A R IU S ZE P R Z E JŚ C IA DO C HAO SU

W tej części pracy przedstaw ione zo sta n ą tylko te drogi przejścia do chaosu, które uwidoczniły się przy w yznaczaniu d iagram ów fazow ych 2. Należy do nich kaskada podwajania okresu i interm itencja. D okładny opis tego typu bifurkacji m ożna znaleźć w wielu publikacjach, np. [2] i [8], dlatego zaprezentow ane s ą je d yn ie w yniki sym ulacji kolejnych etapów.

3.1. Kaskada podwajania okresu

Ten sposób przejścia do chaosu w swej klasycznej postaci w ystąpił przy obecności składowej stałej w ym uszenia. Polega on na pojawianiu się, po kolejnych bifurkacjach, orbit o okresach 2n*T.

Rysunek 3 przedstawia ewolucję portretu fazowego oraz widm a częstotliwościowe dla ustalonej w artości częstotliw ości <a=6/7 i w artości względnej am plitudy wym uszenia ym=(0.35; 0.38;

0.39;0.402) Przy stopniow ym niewielkim wzroście amplitudy mom entu z m ie n n e g o .w widm ie częstotliwości pojaw iają się sym etrycznie kolejne 2 " harm oniczne, aż do białego szum u, który jest objawem chaosu.

3.2. Przejście intermUencyjne

Interm itencja oznacza przerwanie. Układ zachowuje się tak, ja k gdyby podlegał przypadkowym stochastycznym w ym uszeniom . O kresy regularnego okresowego zachowania się przerywane są 'w ybucham i', w czasie trwania których zachowanie je st całkowicie odmienne. Rysunek 4 przedstawia dwie orbity okresowe (rys.4a i b), pom iędzy którym i objawia się orbita chaotyczna (rys.

4c). Należy zauważyć, że w przypadku (a) orbita okrąża dwa punkty stabilne, a w przypadku (b) - stabilny i niestabilny. Zgodnie z charakterystyką przedstawioną w pracy [8] je st to interm itencja wyw ołana tzw. kryzysem . Byłby to typowy kryzys zlewania się dwóch atraktorów. Dla wartości param etru kontrolnego powyżej (poniżej) krytycznej orbita porusza się chaotycznie, spędzając pewien czas w okół jednego atraktora, aby gwałtownie przeskoczyć do następnego.

a) "•

/ \

/ \ ■\

/ \ r _{' \}

■ \ j _{< y}

/ s / {

c)

Rys.4. Trajektorie i portrety fazowe przy intermitencyjnym przejściu do chaosu m=0.075; a - ym=0.5976;

b - Ym= 1.1115; c - ym= 1.0935

Fig. 4. Trajectories and phase portraits for intermittency route to chaos 0=0.075; a - ym=0.5976;

b -Ym=1.1115; c-Ym=1.0935

4. UW AGI KO ŃCO W E

Teoria dynam icznych układów nieliniowych, zwana popularnie teorią chaosu, je st od lat 80.

najbardziej dynam icznie rozw ijającą się gałęzią m atematyki. Znajduje zastosow anie w wielu w ydaw ałoby się bardzo odległych od siebie, dziedzinach nauki, określając pewne uniwersalne w łasności badanych układów. Teoria m aszyn elektrycznych oparta je st na badaniu dynam iki ich m odeli m atem atycznych, w w iększości nieliniowych. Niniejsze opracowanie m iało na celu wykazanie, że jeden z typów m aszyn elektrycznych - m aszyna synchroniczna ma naturę chaotyczną. Inspiracją był referat zgłoszony na ICEM '96 pt. .Analysis, sim ulation nad experim ental study of chaos in the Janet experiences" autorstwa J. Santana, J. Esteves, G.D. Marques, gdzie rozpatrywany był problem sam owzbudzania się m aszyny prądu stałego. W przypadku w ielow ym iarow ego m odelu m atem atycznego maszyny synchronicznej m am y do czynienia i jak sądzę, zostało to powyżej wykazane, ze strukturalnie chaotycznym układem dynamicznym .

LIT E R A T U R A

1. Arnold W .I.: Teoria równań różniczkow ych, PWN, W arszaw a 1983.

2. A w rejcew icz J.: Bifurkacje i chaos w układach dynam icznych, Z eszyty Naukowe Pol. Łódzkiej, 1990 r., rozprawa habilit.

3. C irikov B.V.: A universal instability o f m any dim ensional oscillator system s, Physical R eport 52, 1979, str. 265-378.

4. D 'H um ieres D., Beasley M R., Huberm ann B.A., Libchaber A.: C haotic states nad routes to chaos in the forced pendulum , Physical R eview A, 1982, vol.26, nr 6, str.483-3496.

5. Kiewrel A.: Porów nanie obszarów stabilności dynam icznej różnych m odeli m atem atycznych m aszyny synchronicznej jaw nobiegunow ej z klatką rozruchową, W yd.AG H, Elektrotechnika, 1.17, z.3, 1998, str. 213-231.

6. Kiewrel A.: N ieliniow y rezonans m echaniczny m odeli m atem atycznych m aszyny synchronicznej, Prace Naukowe IM NiPE Pol.W rocławskiej, Studia i M ateriały, nr 48, z. 20, 2000, str.251-258.

7. Kudrew icz J.: Fraktale i chaos, W N T, W arszaw a 1996.

8. O tt E.: C haos w układach dynam icznych, W NT, W arszaw a 1997.

9. S chuster H .G .:C haos determ inistyczny. W prow adzenie, PWN, W arszaw a 1995.

10. Stew art I.: Czy Bóg gra w kości? Nowa m atem atyka chaosu, PWN, W arszaw a 1996.

Recenzent: Prof. dr hab. inż. W ła d ysła w Paszek

W p łynęło do R edakcji dnia 10 lutego 2001 r.

A b s tr a c t

T he m athem atical m odels o f synchronous m achines are the m ultidim ensional nonlinear dynam ical system s. T he chaos occurs in these system s - F g.1. There are presented the results o f a few thousand o f the num erical experim ents on chaotic behaviour o f a synchronous m achine. They are show n in the form o f the obtained phase diagram s - Fig. 2 ( b - in the presence o f a constant torque com ponent; a - in case o f its absence) on which there is plotted the amplitude o f the rotating torque versus its frequency. The lim its o f the stability and chaotic areas are presented as well. One can observe tw o w ays to chaos: period-doubling cascade - Fig. 3 and interm ittency - Fig.4.