Der Kondensator in der Fernmeldetechnik

PÜYS'

'R Ü N B T E C H N I K D E R G E G E N W A R T

G E O R G S T R A IM E R

D e r K o n d e n s a t o r

in der Fernmeldetechnik

/

P H Y S I K U N D T E C H N I K D E R G E G E N W A R T

ABTEILUNG FERNMELDETECHNIK

H E R A U S G E G E B E N V O N

DR. H E IN R IC H F A S S B E N D E R

O. PR O FESSO R

U N D D IR E K T O R D E S I N S T I T U T E S F Ü R S C H W IN G U N G S F O R S C H U N G A N D E R T E C H N IS C H E N H O C H S C H U L E B E R L IN

B A N D V I

1 9 3 9

V E R L A G V O N S . H I R Z E L I N L E I P Z I G

DER KONDENSATOR

I N DER FERNMELDETECHNIK

V O N

D R .-IN G . GEORG STRAIMER

O B E R K O M M A N D O D E S HEERES (H E E R E S W A FFE N A M T )

M I T 267 A B B IL D U N G E N

1 9 3 9

— L .

V E R L A G V O N S. H I R Z E L I N L E I P Z I G

COPYRIGHT B Y S. H IRZEL AT LEIPZIG 1939 ALLE RECHTE, IN S B E SO N D E R E D A S D E R Ü BER SETZUN G IN FREM D E SPRACHEN VORBEHALTEN / PR IN T E D I N GERMANY

Vorwort

Der Kondensator ist eines der wichtigsten Schaltelemente der Fernmeldetechnik. Der allgemeine konstruktive Grundgedanke des Kondensators ist denkbar einfach: Zwischen Metallelektroden soll in einem Dielektrikum die Möglichkeit der Ausbildung eines konzen­

trierten elektrischen Feldes gegeben sein. Trotzdem ist das für die Kondensatortechnik zu beherrschende Wissensgebiet umfangreich. Die Verschiedenartigkeit der speziellen Anwendung des Kondensators in der Fernmeldetechnik erfordert nämlich sehr unterschiedliche Ver­

wirklichung ein und desselben allgemeinen konstruktiven Grund­

gedankens.

Die drei für die Größe der Kapazität eines Kondensators maßgeb­

lichen Grundvariablen sind Elektrodenfläche, Elektrodenahstand und Dielektrizitätskonstante. Aus den Betriebsbedingungen ergibt sich die Forderung eines mehr oder weniger hohen Grades dielektrischer Ver­

lustfreiheit und elektrischer, thermischer und mechanischer Festig­

keit. Man unterscheidet Kondensatoren m it fester und veränderbarer Kapazität, ferner Kondensatoren m it sehr hoher Genauigkeit bzw.

Konstanz des Kapazitätswertes und solche, bei denen es nicht so sehr auf diese Eigenschaften als vielmehr auf die Möglichkeit der Massen­

fertigung und die Billigkeit ankommt.

Die Mannigfaltigkeit dieser Forderungen bewirkt, daß bei der Planung von Kondensatoren je nach dem Verwendungszweck die ver­

schiedensten rechnerischen, werkstoffkundlichen und konstruktiven Überlegungen anzustellen sind, was zu einer großen Anzahl voneinander sehr verschiedener Kondensatortypen führt.

Im vorliegenden Buch ist der Versuch unternommen worden, einen Überblick über die dem Kondensatorban der Fernmeldetechnik zu­

grunde liegenden theoretischen, werkstoffkundlichen und konstruk­

tiven Gesichtspunkte zu geben. Auf Kondensatoren der Meßtechnik und der Starkstromtechnik wird nicht eingegangen.

Da eine große Anzahl von Firmen in großzügiger Weise Druck­

stöcke für Abbildungen technischer Kondensatoren zur Verfügung stellte, konnte im Teil III des Buches ein Überblick über die wichtig­

sten heute auf dem Markt befindlichen Kondensatortypen gegeben

VI V o rw o rt

werden. Für diese Unterstützung danke ich den Firmen, deren Namen ich in den Legenden der betreffenden Abbildungen auch im Interesse des Lesers bekanntgegeben habe.

Die Anregung zu diesem Buch verdanke ich meinem hochverehrten Lehrer und früheren Chef, Herrn Prof. Dr. H e in r ic h F a ß b e n d e r . Bei der Anfertigung der Abbildungen und der Zusammenstellung des Literaturverzeichnisses half mir Fräulein I n g e b o r g K la a ß , wofür ich herzlich danke. Herrn Dipl.Ing. W a lt e r K u h l schulde ich Dank für die wertvolle H ilfe bei der Redaktion des Manuskripts.

Berlin, den 1. Februar 1939.

G. Straimer

I n h a l t s v e r z e i c h n i s

I. Teil. Theoretische Grundlagen

S eite

K a p i t e l 1. G r u n d g l e i c h u n g e n f ü r d a s e l e k t r i s c h e F e l d . . 1 F e ld s tä rk e . F e ld lin ie . P o te n tia l. P o te n tia ld iffe re n z , S p a n n u n g . W irb e lfre ih e it d e s e le k trisc h e n F e ld e s. M ag n etisch e W irk u n g . V e rsc h ie b u n g sd ic h te . P o la ris a tio n . A n d e n G ren zfläch en v o n D ie le k trik e n . E n e rg ie d es e le k trisc h e n F e ld e s. P o isso n sch e u n d L a p la c e sc h e G leich u n g en . Ü b e rla g e ru n g v o n P o te n tia lfe ld e m p u n k tf ö rm ig e r L a d u n g e n .

K a p i t e l 2. A l l g e m e i n e K a p a z i t ä t s g l e i c h u n g e n ... 9 K a p a z itä t, F a r a d . P a ra lle l- u n d R e ih e n s c h a ltu n g v o n K a p a z i­

tä t e n . T e ilk a p a z itä te n . B e trie b s k a p a z itä t. T e ilk a p a z itä t u n d B e trie b s k a p a z itä t b e im te c h n isc h e n K o n d e n s a to r.

K a p i t e l 3. K a p a z i t ä t e n g e g e n „ E r d e “ ...13 K a p a z it ä t e in e r K u g e l geg en ein e allseitig e H ü lle . E in h e it d e r K a p a z it ä t im e le k tro s ta tis c h e n M a ß sy ste m . K a p a z it ä t ein er K u g e l geg en ein e s e h r w e it a u sg e d e h n te le ite n d e E b e n e . K a p a ­ z it ä t eines z y lin d risc h e n S ta b e s gegen E rd e . K a p a z it ä t eines z y lin d risc h e n S ta b e s , d e r s e n k r e c h t ü b e r E r d e s te h t. K a p a z it ä t eines z y lin d risc h e n S ta b e s , d e r w a a g e re c h t ü b e r E r d e h e g t.

K a p a z it ä t e in e r e b e n e n P l a t t e geg en E rd e .

K a p i t e l 4. K a p a z i t ä t e n z w i s c h e n E l e k t r o d e n ...18 K u g e lk o n d e n s a to r. Z y lin d e rk o n d e n sa to r. P la tte n k o n d e n s a to r.

K re is p la tte n k o n d e n s a to r. S c h u tz rin g k o n d e n s a to r. K u g e lfu n - k e n s tre c k e . D o p p e lle itu n g .

K a p i t e l 5. D r e h k o n d e n s a t o r e n .

A l l g e m e i n e s ... 20 P la tte n s c h n itte v o n K o n d e n s a to r e n ...23

K a p a z itä ts g e r a d e r K o n d e n s a to r (K re is p la tte n k o n d e n s a to r).

W e lle n lä n g e n g e ra d e r K o n d e n s a to r (N ie re n p la tte n k o n d e n sa to r).

F re q u e n z g e ra d e r K o n d e n s a to r (S ic h e lp la tte n k o n d e n sa to r). K o n ­ d e n s a to r m it lo g a rith m isc h e m P la tte n s c h n itt. D ä m p fu n g s m e s­

su n g m itte ls K o n d e n s a to r m it lo g a rith m isc h e m P la tte n s c h n itt.

S e ite

K a p i t e l 6. P r o b l e m e b e i M e h r f a c h d r e h k o n d e n s a t o r e n K a p a z itä ts a u s g le ic h v o n In d u k tiv itä ts u n te r s c h ie d e n b e i m e h ­ re r e n a u f d ieselb e v e rä n d e rlic h e F re q u e n z a b z u s tim m e n d e n K re is e n ... 33 D re h k o n d e n s a to re n m i t R o to r e n a u f g e m e in sa m e r A ch se, d ie S ch w in g u n g sk reise a u f e in e k o n s ta n te F re q u e n z d iffe re n z a b ­

V I I I I n h a lts v e r z e ic h n is

s tim m e n sollen. A n g e n ä h e rte L ö s u n g ... 38 A n m e rk u n g : Z u s a m m e n h a n g zw isch en K a p a z itä ts a b w e ic h u n g u n d F re q u e n z a b w e ic h u n g ... 43 K a p i t e l 7. D i e m i t W e c h s e l s p a n n u n g b e l a s t e t e K a p a z i t ä t 43

A llg em ein e B e z ie h u n g e n . L e is tu n g u n d V e rlu s tfa k to r. L e is tu n g u n d V e rlu s tfa k to r b e i M eh rw ellig k e it. U rs a c h e n d e r V e rlu s te . E r s a tz s c h a ltu n g e n f ü r ein e v e r lu s tb e h a f te te K a p a z it ä t. S p a n ­ n u n g u n d S tro m in A b h ä n g ig k e it v o n d e r F re q u e n z b e i k o n ­

s t a n t e r S c h e in le istu n g .

K a p i t e l 8. K a p a z i t ä t u n d W i d e r s t a n d i n v e r s c h i e d e n e n S c h a l t u n g s k o m b i n a t i o n e n ...52

a) R e ih e n s c h a ltu n g e in e r K a p a z it ä t u n d ein es W id e r s ta n d e s , b) P a ra lle ls c h a ltu n g e in e r K a p a z it ä t u n d ein es W id e r s ta n d e s , c) K a p a z it ä t m it e in e m R e ih e n - u n d P a ra lle lw id e rs ta n d , d) P a ra lle ls c h a ltu n g e in e r K a p a z it ä t u n d e in e r K a p a z i t ä t m it R e ih e n w id e r s ta n d , e) Z w ei K a p a z it ä te n m i t R e ih e n w id e r s tä n d e n in P a ra lle ls c h a ltu n g , f) R e ih e n s c h a ltu n g e in e r K a p a z i t ä t u n d e in e r K a p a z it ä t m i t P a ra lle lw id e rs ta n d , g) R e ih e n s c h a ltu n g e in e r K a p a z it ä t m i t R e ih e n w id e r s ta n d u n d e in e r K a p a z i t ä t m i t P a ra lle lw id e rs ta n d , h ) S c h lu ß b e m e rk u n g z u d ie s e m K a p ite l.

K a p i t e l 9. W i d e r s t a n d - K a p a z i t ä t s - K o m b i n a t i o n a l s S p a n ­ n u n g s t e i l e r ( S i e b m i t t e l ) ... 71 K a p i t e l 10. K a p a z i t i v e r S p a n n u n g s t e i l e r m i t k o n s t a n t e r

G e s a m t k a p a z i t ä t ... 74 A llgem eines. B eisp iel 1. B eisp iel 2.

K a p i t e l 11. M e h r s c h i c h t e n k o n d e n s a t o r ...78 S p a n n ungs- u n d F e ld s tä rk e n v e rte ilu n g b e i h in te r e in a n d e r g e s c h a lte te n K o n d e n s a to r e n m it u n e n d lic h h o h e m I s o la tio n s - w id e rs ta n d . S p a n n u n g s- u n d F e ld s tä r k e v e r te ilu n g b e i h in te r - e in a n d e rg e s c h a lte te n K o n d e n s a to r e n b zw . b e im M e h rs c h ic h te n ­ k o n d e n s a to r m i t e n d lic h e m Is o la tio n s w id e rs ta n d .

Inhaltsverzeichnis IX

S eite

K a p i t e l 12. S c h a l t v o r g ä n g e b e i m K o n d e n s a t o r ... 80 A llgem eines. S c h a ltv o rg ä n g e b e i e in e r K a p a z it ä t m i t R e ih e n ­ w id e rs ta n d . S c h a ltv o rg a n g b ei ein e r K a p a z itä t m it P a ra lle l- w id e rs ta n d u n d R e ih e n w id e rs ta n d . Z e itk o n s ta n te eines te c h ­ n is c h e n K o n d e n s a to r s m i t e n d lic h e m Is o la tio n s w id e rs ta n d .

ü . Teil. W erkstoffkunde der D ielektriken

K a p i t e l 1. A l l g e m e i n e s ... 89 L e itfä h ig k e it b e i M etallen u n d Is o la to r e n . D u rc h sc h la g b e i f e s te n Is o lie rsto ffe n . D ie le k trisc h e V e rlu s te .

K a p i t e l 2. E l e k t r i s c h e s V e r h a l t e n d e r L u f t ( G a s e ) . . . . 94 S p ezifisch e r W id e r s ta n d . D ie le k triz itä ts k o n s ta n te . D ie le k trisc h e V e rlu s te . D u rc h sc h la g sfe stig k e it. L u ftf e u c h tig k e it.

K a p i t e l 3. I s o l i e r e n d e F l ü s s i g k e i t e n ... 97 W a ss e r. Ö le.

K a p i t e l 4. V e r g i e ß b a r e I s o l i e r s t o f f e ( V e r g u ß m a s s e n ) . . . 100 N a tü rlic h e W a c h se . S y n th e tis c h g ew o n n en e W a ch se. N a t u r ­ h a rz e . A s p h a lte . B e im en g u n g en . P rü f u n g v o n V e rg u ß m a s se n .

P a r a f f in .

K a p i t e l 5. K e r a m i s c h e W e r k s t o f f e ... 104 G ru p p e I . P o rz e lla n (A lu m in iu m silik a t) ...105 G ru p p e I I . S te a tite ( M a g n e s i u m s i l i k a t e ) ... 107

N a tu rs p e c k s te in . S te a t it , F r e q u e n ta . C alit, C alan .

G ru p p e I I I . R u til- (T ita n d io x y d -) u n d m a g n e s iu m -silik a th a ltig e M a s s e n ... 114 M assen m it h o h e m G e h a lt a n R u til. M assen m it Z u sa tz v o n Z irk o n d io x y d .

G ru p p e TV. T o n s u b s ta n z - u n d sp e c k s te in h a ltig e M assen . . . . 1 1 7 G ru p p e I V a (M ag n esiu m o x y d e). G ru p p e I V b (M a g n e siu m tita n a te ) K a p i t e l 6. G l a s , Q u a r z , G l i m m e r ... 121

G las. K ie se lsä u re g la s (Q u arz S i0 2). G lim m er. M ik a n it, M y calex . K a p i t e l 7. O r g a n i s c h e K u n s t s t o f f e .

A l l g e m e i n e s ...129 1. G ru p p e d e r n ic h th ä r tb a r e n (th e rm o p la stisc h e n ) M assen . . 1 3 0

a) Z ellulose u n d Z e llu lo se d e riv a tm a sse n , b) P o ly m e ris a te , c) M isc h p o ly m e risa tio n sp ro d u k te .

2. G ru p p e d e r h ä r t b a r e n M a s s e n ... 137 a) P h e n o p la s te , b) A m in o p la ste .

T y p isie ru n g d e r g u m m ifre ie n P re ß s to ffe d u rc h d e n V D E . . . . 139

X In h a lts v e r z e ic h n is

S e ite

K a p i t e l 8. P a p i e r , H a r t p a p i e r ...

P a p ie r . G e s c h ic h te te P re ß s to ff e , H a r tp a p ie r e .

K a p i t e l 9. D i e p h y s i k a l i s c h e n G r u n d l a g e n d e s E l e k t r o l y t ­ k o n d e n s a t o r s ...

III. Teil. Technische K ondensatoren

K a p i t e l 1. P a p i e r w i c k e l k o n d e n s a t o r e n ( h o h e K a p a z i t ä t s ­ w e r t e ) ...

E le k tr o d e m n a te r ia l. W ic k e lm a s c h in e . Is o la tio n s b e m e s s u n g . W ic k e la rte n . T ro c k n u n g u n d I m p rä g n ie ru n g . N o rm e n . S p a n ­ n u n g s p rü fu n g . V e rlu s tfa k to r. T o le ra n z e n .

K a p i t e l 2. E l e k t r o l y t k o n d e n s a t o r e n ( h o h e K a p a z i t ä t s ­ w e r t e ) ...

K a p i t e l 3. F e s t k o n d e n s a t o r e n m i t m i t t l e r e n u n d k l e i n e n K a p a z i t ä t e n f ü r k l e i n e S p a n n u n g e n u n d S t r ö m e . . . . K o n d e n s a to r e n m i t L u f t, G lim m er, k e ra m is c h e n M a te ria h e n , G las u n d P a p ie r als D ie le k trik u m .

K a p i t e l 4. D r e h k o n d e n s a t o r e n ...

A llg em ein es. S tr o m z u fü h r u n g z u m R o to r . A u fb a u v o n S ta t o r u n d R o to r . G leich lau f. D r e h k o n d e n s a to re n m i t F e s td ie le k ­ tr ik u m . D iff e re n tia lk o n d e n s a to re n . K u rz w e lle n d r e h k o n d e n ­ s a to re n . M e ß d re h k o n d e n s a to re n .

K a p i t e l 5. T r i m m e r k o n d e n s a t o r e n ...

K a p i t e l 6. K o n d e n s a t o r e n f ü r b e s o n d e r e e l e k t r i s c h e B e a n ­ s p r u c h u n g e n ...

K o n d e n s a to r e n f ü r h o h e S p a n n u n g e n o h n e D u rc h g a n g v o n H o c h ­ fr e q u e n z s tr ö m e n u n d b e i n ie d e ro h m ig e m D u rc h la ß v o n H o c h ­ fre q u e n z s trö m e n . K o n d e n s a to r e n f ü r h o h e H o c h fre q u e n z s p a n ­ n u n g e n u n d -L e istu n g e n .

K a p i t e l 7. S t ö r s c h u t z k o n d e n s a t o r e n ...

E n ts tö ru n g s m ö g lic h k e ite n . P r ü f s p a n n u n g f ü r S tö r s c h u tz k o n ­ d e n s a to re n . G rö ß e d e r S c h u tz k a p a z itä t. E rw ä rm u n g . S tö r ­ s c h u tz k o n d e n s a to re n f ü r K u rz - u n d U ltr a k u rz w e lle n . S tö r ­ s c h u tz k o n d e n s a to re n m i t S ic h e ru n g . P r a k tis c h e E n ts t ö r u n g s ­ b eisp iele.

S c h r i f t t u m ...

S a c h v e r z e i c h n i s ...

139

149

159

165

169

179

188

191

203

215 225

I. Teil. Theoretische Grundlagen

K a p i t e l 1

G rundgleichungen für das elektrische Feld Feldstärke

Das elektrische Feld an einer Stelle des Raumes ist charakterisiert durch den räumlichen Feldstärkenvektor (£ (Volt cm-1 ). Seine Größe und Richtung bestimmt sich durch die Größe und Richtung des räum­

lichen Vektors der K raft R (Wattseccm-1 ), ________ _____________

die auf eine punktförmige elektrische La- Q 5 dung Q (Coulomb = Ampsec) pro Ladungs­

einheit ausgeübt wird (Abb. 1) A b b . 1. Zur D e fin itio n der F e ld ­ stä rk e.

Feldlinie

(1. 1 )

A b b . 2 . F eld lin ie .

Feldlinien im elektrischen Feld sind K urven, deren Verlauf dadurch festgelegt ist, daß jede Tangente an die Kurve die Richtung der Feld­

stärke C im Berührungspunkte an­

gibt (Abb. 2).

Potential

Den elektrischen Zustand eines Raumes kann man statt durch das Vektorfeld der Feldstärke (£ auch durch das skalare Feld des Poten­

tials v beschreiben. Das Potential v (Volt) ist m it der Feldstärke ® (Voltcm-1 ) verknüpft durch die Beziehung:

(£ = — grad v. (1. 2)

In kartesischen Koordinaten (Abb. 3) ergibt sich die Gleichung:

9 v ,

(1.3) gradi, = _ i + _ i + a a

wobei i, j, f die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse sind.

S t r a i m e r , K o n d e n sa to r 1

2 K a p . 1. G ru n d g le ic h u n g e n f ü r d a s e le k tris c h e F e ld

A bb. 3. K a r te sisc h e K o o r d in a te n

Für den Sonderfall des ebenen homogenen Feldes vereinfacht sich die Gleichung wesentlich:

gradv = | | . (1 .4 )

Für Zylinderkoordinaten g ilt :

8v 8v 1 dv

(1. 5) wobei r, 3, ö die Einheitsvektoren in radialer, axialer und tangentialer D ichtung sind gemäß der Abb. 4. Im Sonderfall des ebenen Feldes vereinfacht sich die Gleichung.

Man spricht dann von Polar - kordinaten (Abb. 5):

■1 8 v 1 ¡S v grad v = — x H ä— Ct.

o r ' r 8 a ⁽1. 6)

Bei einem sphärischen Koordinatensystem (Abb. 6) hat die D efini­

tionsgleichung des Gradienten die Form:

1 % , (1 .7 )

, 8v 1 8 v , .

grad « = — r + - — b-^ ^- 5 -5- ,

o r r c v ' r s m . ' & d c c

wobei r, b, a die Einheitsvektoren sind.

M a g n etisch e W irk u n g 3 Eine Fläche, deren sämtliche

Punkte gleiches Potential haben, heißt Äquipotential- oder Niveau­

fläche, die Feldlinien stehen auf den Niveauflächen senkrecht.

Beim ebenen Problem kann man von Äquipotentiallinien sprechen.

Potentialdifferenz, Spannung Das vom Wege unabhängige Linienintegral der Feldstärke zwischen den Punkten 1 und 2 eines elektrischen Feldes (E (Abb. 7) ergibt die Potential­

differenz oder die Spannung zwischen den beiden Punkten

des Feldes: A bb. 7. Zur D e fin itio n der S p a n n u n g z w i­

sch en zw ei P u n k te n im elek trisch en F eld .

Z Z

j fädä = j | © | d s — v1 — v2 = U12 = @dä . (1. 8)

1 1 i

Die Potentialdifferenz oder die Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld ist die auf die Ladungseinheit bezogene Arbeit, die geleistet wird, wenn die punktförmige Ladung Q zwischen den beiden Punkten bewegt wird.

Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes

Das elektrische Feld heißt wirbelfrei, weil für die Feldstärke die Gleichung gilt:

rot (E = 0 (1. 9)

oder, was dasselbe ist:

j & d s = 0. (1.10)

Die Definitionsgleichung für den Operator rot siehe weiter unten Gl. (13).

Magnetische Wirkung

Ein elektrisches Feld (£ kann mit einem magnetischen Feld § verknüpft sein. Den Zusammenhang zwischen beiden liefert die M a x ­ w e ll sehe Grundgleichung:

1*

K a p . 1. G ru n d g le ic h u n g e n f ü r d a s e le k trisc h e F e ld

r o t £ = a@ + ££0 | | = @i + @®

oder in der Integralform geschrieben:

§ d z = / I <7® + ££0-^ -jcZ g. (1.12) Der Vektor der elektrischen Feldstärke (E und der Vektor der m agnetischen Feldstärke § stehen auf-

A b b . 8. V erk n ü p fu n g einander senkrecht, wie Abb. 8 zeigt.

In kartesischen Koordinaten ergibt sich für die

d es e le k tr isch en F e l-

tSohen^ehf.^116 R otation folgende Definitionsgleichung:

rotlp =

t i * JL — JL 8 x 8 y 8z

•Qx <Qy §z

\ 8 y 8 z ) \ d z 8 x ) ’'~t~ \ d x 8 y ) (1.13) Für den Sonderfall des ebenen Feldes vereinfacht sich die G leichung:

rot § = i f ? _ - f i . (1.14)

^ dx o y x 7

In Zylinderkoordinaten ergibt sic h :

- 5 ■- {V -k - # ) « + ( f - # ) - + & * > - & ) * • (1- !•>

In sphärischen Koordinaten hat man zu setzen:

rot ®

~ l§)r +

• §-))

+ ^— £$r

8& a . (1.16)

r \8r Es bedeuten:

a = elektrische Leitfähigkeit (Q -1cm-1) Sq = absolute Dielektrizitätskonstante

= i ^ V T ö S = ° ’° 8859 • 10_12 (F ' cm_1) (L 17) e = relative Dielektrizitätskonstante (Materialkonstante bezogen

auf Vakuum), z. B. für Vakuum s = 1, für Glas und Keramik

£ = 4 . . . 7, für Wasser e = 80, für Luft £ = ca 1 S j = Dichte des Leitungsstromes (Ampcm-2 )

S® = Dichte des Verschiebungsstromes (Ampcm-2 ) d s = W egelement in Richtung des Integrationsweges (cm) d 5 = Flächenelement (cm2).

¡Q = magnetische Feldstärke (Ampcm-1 ).

V erschiebungsdichto

Aus der M a x w e llsch en Gleichung entnimmt man, daß dem Aus­

druck S $ die Bedeutung einer Stromdichte zukommt, man nennt ihn daher Verschiebungsstromdichte und den räumlichen Vektor

2) = ee0(£ (Ampseccm-2 = Coulombcm-2 ) (1. 18) Verschiebungsdichte. Die Dimension von X) ist die einer elektrischen Ladung pro Flächeneinheit.

Im Falle des vollkommenen Dielektrikums (a = 0) hat man es nur m it einer Verschiebungsstromdichte zu tun (<5t- = 0) und das auch nur bei einem zeitlich sich verändernden elektrischen Feld ß = (£ (t).

Polarisation

Der Vektor der Verschiebungsdichte kann auch als Summe zweier Vektoren angesehen werden:

® = $ , + $ . (1.19)

X)„ ist der Vektor der Verschiebungsdichte bei einer Feldstärke ß im Vakuum

= £ „ G . (1.20)

Mit dem Polarisationsvektor kommt die Steigerung der Verschie­

bungsdichte (Polarisation) im Dielektrikum (relative Dielektrizitäts­

konstante — e) gegenüber dem Vakuum (relative Dielektrizitätskon­

stante £ = 1 ) bei gleicher Feldstärke zum Ausdruck:

f = S £0ß , (1.21)

wobei s die dielektrische Suszeptibilität genannt wird:

b = ^ 5 . (1.22)

A n d e n G ren zfläch en v o n D ie le k trik e n 5

An den Grenzflächen von Dielektriken

An den Grenzflächen von Dielektriken mit verschiedenen Dielek­

trizitätskonstanten erfahren die Vektoren der Verschiebungsdichte X) und der Feldstärke ß eine unstetige Richtungsänderung. Die Feld­

linien werden gebrochen.

Mit den Bezeichnungen der Abb. 9 u. 10 gelten die Beziehungen:

Zerlegung in Normal- und Tangential komponenten:

= ©An + = £1®1 = «i ( « * i + G t2) (1. 23)

£>2 = £ V 2 + $ > T 2 — £ 2 ® 2 = S 2 ( ® W l + ® T l ) . ( 1 - 2 4 )

Die Additionen sind geometrisch auszuführen.

K a p . 1. G ru n d g le ic h u n g e n f ü r d a s e le k trisc h e F e ld A

D

3 ^{^ \} 3

A b b . 9. B rech u n g der F e ld stä r k e a n der G ren zflä ch e zw eie r D i ­

ele k tr ik e n .

A b b . 10. B re c h u n g der V e rsc h ie ­ b u n g sd ic h te a n der G renzfläche

z w eie r D ie le k tr ik e n .

Es ergibt sich som it:

oder, was dasselbe ist:

Ferner gilt:

oder, was dasselbe ist:

D ag = D ag Cag/®AG = e2/ £l •

g Tl = g y2

D j i / D j 2 — el l e2 • Für den Brechungswinkel der Feldlinien gilt:

tg «! N ,

tg «2

I ®Tl 1

«21 I

(1. 25) (1. 26) (1.27)

(1.28)

(1.29)

Energie des elektrischen Feldes Für die Energiedichte pro Volumeneinheit gilt:

w t - I (W attseccm -3) (1. 30)

wobei w t , D t = ££0©< Funktionen der Zeit sind. Für den Fall, daß die Dielektrizitätskonstante unabhängig von der Feldstärke (St und der Zeit ist, gilt:

®t

(1 .3 1 ) wt

wt - 0 1 $t2

2 ££,f = 4-<6 ®*. (1. 32)

Poissonsche und Laplacesche Gleichungen 7 Die Energie in einem Volumen V (cm3) ist:

Wt = ^ j ® t % d v (W attsec). (1. 33) v

Poissonsche und Laplacesche Gleichungen

Der Zusammenhang zwischen der Verschiebungsdichte (Cou- lombcm-2) und der Ladung Q (Coulomb) ist gegeben durch die Glei­

chung:

div ® =~ | y = q (Coulombcm-3 ) . (1. 34) Für die Divergenz ergeben sich die Definitionsgleichungen wie folgt:

Im kartesischen Koordinatensystem:

d iv ® = « » i + 8® i' + ? ® i . (1.35) o x 1 o y 1 o z

Beim ebenen Sonderfall:

In Zylinderkoordinaten:

In sphärischen Koordinaten:

— 1 8 / — \ 1 ( 8 n /I QQ\

= ? r r ('■ ® ') + t i b tA ™ (8l“ # ®») + T u ) ■ ( l - 381 Nach dem Integralsatz von G auß gilt:

j ' d i v ^ d V = j X ) d Q = Q , (1.39) 3

daraus ersieht man:

Das Flächenintegral der Verschiebungsdichte ( = Verschiebungs­

fluß) über eine geschlossene Hüllfläche 5 ist gleich der eingeschlossenen Ladung Q. Die Integration (Gl. 1. 39) wird auf der Außenseite der Hüllfläche durchgeführt. Integriert man auf der Innenseite der H üll­

fläche, so ergibt sich:

f % d % = - Q . (1.40)

3

Man erkennt also: In dem von der Hüllfläche nach außen hin ab­

gegrenzten Raum muß sich eine gleichgroße Gegenladung — Q be­

finden.

Gl. (1. 34) kann auch in der Form der P o is s o n s c h e n P otential­

gleichung geschrieben werden:

div grad v = v = --- — , (1. 41)

e e 0

wobei für den Operator V2t> sich die folgenden Definitionsgleichungen ergeben:

In kartesischen Koordinaten:

V — Jp + SS + SF- i1-42)

8 K a p . 1. G ru n d g le ic h u n g e n f ü r d a s e le k tris c h e F e ld

Beim ebenen Sonderfall:

V ’ = £ ? + £ • (1-43)

In zylindrischen Koordinaten:

v-72 82f i 1 8v . 1 82v , 82v - ..

V v ~ e ^ + T 8~r + + W ■ ( L 4 4 >

In sphärischen Koordinaten:

1 8 ( 2 8 v \ t 1 / 8 / • A d v \ I 1 8 ” 2\ / I

^ v r * d r \ S r j + r 2 s m ^ ^ ( Sm 0 # ) + sin 0 0««J ' ^ ' ^

Für das ladungsfreie (quellenfreie) Feld (q — 0) gilt die L a p la c e s c h e Gleichung:

div X) = 0 .

V 2v = 0 . (1.46)

Insbesondere ergibt sich für den ebenen Sonderfall die fundamentale Potentialgleichung:

82 v , 82v _

8 ^ + d j 2 = ° - (1* 47)

Überlagerung von Potentialfeldern punktförmiger Ladungen Die von n Punktladungen her rührenden Potentiale v i superponieren sich zu einem Potential v gemäß der B eziehung:

v = £ v i . (1 .4 8 )

K a p . 2. A llgem eine K a p a z itä ts g le ic h u n g e n 9

K a p i t e l 2

A llgem eine K apazitätsgleichungen Kapazität, Farad

Auf der Oberfläche eines isolierten Leiters befinde sich die La­

dung + q. Die dazu gehörige Gegcnladung — q befinde sich auf einem zweiten ebenfalls isolierten Leiter. In der Umgebung herrscht ein elektrisches Feld m it der Feldstärke G. Zwischen den beiden Leitern

— Elektrode 1 und Elektrode 2 genannt — besteht gemäß der Glei­

chung

/'

q = C U 12. (2 .2 )

Da q in Ampsec, U12 in Volt einzusetzen ist, ergibt sich für die K a­

pazität C die Dimension se c £ l_1 = Farad (F). In der Praxis stellt die Einheit Farad eine zu große Einheit dar. Es sind gebräuchlicher die Einheiten Mikrofarad (gF), Nanofarad (nF) und Mikromikrofarad

= Pikofarad (ggF = pF). Den Zusammenhang zwischen den ein­

zelnen Einheiten gibt folgende Gleichung an:

1 F = 106 gF = 109 nF = 1012 pF . (2. 3) Nach dem in der Technik nicht üblichen elektrostatischen Maßsystem wird die K apazität in cm angegeben. Die Umrechnungsformeln sind, wie später gezeigt wird (S. 14) folgende:

1 F = 9 • 1011 cm

1 pF = 0,9 cm (2. 4)

1 cm = 1,1 pF . Parallel- und Reihenschaltung von Kapazitäten

Q bezeichne die Ladung, Cv die K apazität der einzel­

nen Kondensatoren, wobei

der Index

V

v = 1 . . . n

ist. TJ ist die Klemmenspan­

nung, wie in Abb. 11 und Abb. 12 eingezeichnet.

C , C, c „

I I -

11C 2

c

I I I I

--- ü —

A b b . 11. R eih en - S c h a ltu n g v o n K a ­

p a z itä te n .

A bb. 12. P a r a lle l-S c h a ltu n g v o n K a p a z itä te n .

10 K a p . 2. A llg em ein e K a p a z itä ts g le ic h u n g e n

P a r a l l e l g e s c h a l t e t e Kapazitäten addieren sich gemäß folgender G leichungen:

Q i = C 1U Q2 — c2u

Qn = Cn U

v = n v = n

Q = 2 Q = 2 C VTJ = C U

r = l v = l

(2. 5)

c = z c .

v = l

(2. 6)

Bei der R e ih e n s c h a l t u n g von K apazitäten erhält jeder K onden­

sator die gleiche Ladung, da wegen der Grundgleichung div £ = 0

der dielektrische Verschiebungsfluß durch die ganze Kondensator­

kette hindurch konstant sein muß.

Q i ■— Q v -— Q n ■— Q

U = 2 Q V- 1 / C V = Q 2 1¡C, = Q

v = l V = 1

v = n

1 / C = 2 1 / C V.

V = 1

c ^{(2. 7)}

(2. 8)

C

Schaltet man eine feste K apazität Cx in Reihe m it einer veränderlichen C2, so ergibt sich für die resultierende K apazität G als Funktion von C9

0.1 10 i r 10

C Ł

der in Abb. 13 an­

gegebene Verlauf, wobei beide verän­

derliche Kapazitä-

A bb. 13. R e su ltie re n d e K a p a z itä t b ei der R e ih e n sch a ltu n g , ten ins Verhältnis gesetzt sind zur festen K apazität Cx. Für die beiden Grenzfälle und den F all der G leichheit der Kapazitäten gilt:

01 < c

2

2

C

1

2

2

02» < ? 1 ... c = c ±.

B e tr ie b s k a p a z itä t 11 Teilkapazitäten

Auf beliebig geformten Leitern m it den Ordnungszahlen 1, 2 . . . ft befinden sieb die Ladungen Qx, Q2 . . . Q . . .Qn. Die Oberflächen der Leiter sind für das sie umgebende aus allen Ladungen resultierende Feld Äquipotentialflächen m it den Potentialen vx, v 2 . . . v . . . v n. Die Ladungen Qx . . . Qn seien unter sich Ladungen und Gegenladungen, also gilt:

z q

»' = 1

(2. 10) V - d ) -

(2. 11) Die Ladungen und Potentiale sind miteinander verknüpft durch die n Teilkapazitätsgleichungen (M a x w ell)

i l = c 12 (V1 — v i ) + C13 (« 1 — VS) + . . . + c l n (*>1 — Vn )

q2 = c-a (v2 — vx) + c23 (v2 — v3) + . . . + c2n (v2 — v n)

q v = Cv x (V v Vx) - f - Cv 2 ( Vv V2) -j- • ■ • "T" ^ v n (^ v Vfi)

qn = cnl (Vn — Vj) + c„2 (v„ — V2) + . . . + Cn(n_ D (Vn — Die Zahl der Teilkapazitäten z beträgt bei n Leitern:

z — n/2 • (n — 1) .

Da zwischen zwei Leitern (v) und (v — 1) nur eine Teilkapazität be­

steht, i s t :

— 1) = = C(r — l ) v

Z. B, cX2 = C2X .

Im allgemeinen sind die Teilkapazitäten auf Grund der räumlichen Anordnung der zugehörigen Leiter so von einander ab­

hängig, daß sich bei Veränderung einer Teilkapazität auch säm tliche anderen än­

dern. Man betrachte z. B. das in Abb. 14 dargestellte Teilkapazitätensystem. Drei ebene Platten sollen auf der Tafelebene senkrecht stehen. Es sind die eingezeichne­

ten drei Teilkapazitäten c12, c13 und c32 vor­

handen. Taucht man nun die P latte 3 in Pfeilrichtung in den Raum zwischen Platte 1 und P latte 2 ein, so werden die Teilkapazi­

täten c13 und e32 größer, die Teilkapazität c12

wird indes kleiner. A bb. 14. V erä n d eru n g der T eil- k a p a z itä te n .

Betriebskapazität

Betriebskapazität ist die unter den Betriebsbedingungen zwischen zwei Leitern eines Mehrleitersystems gemessene Kapazität. Wird z. B.

bei dem Drei-Plattensystem der Abb. 14 die Kapazität zwischen den

12 K a p . 2. A llg e m e in e K a p a z itä ts g le ic h u n g e n

spannungsführenden Leitern 1 und 2 gemessen, so ergibt sich für den Fall, daß die Platte 3 isoliert ist, die B etriebskapazität:

+

(2-12)

für den F all, daß die Platte 3 das Potential von 2 hat, diese Betriebs­

kapazität :

Cu = c12 + C13 • 13)

Teilkapazitäten und Betriebskapazität beim technischen Kondensator Beim technischen Kondensator hat man es meist m it einem System von drei bzw. zwei Leitern zu tun. Gemäß dem grundsätzlichen Schema der Abb. 15 sind diese drei Leiter: die beiden Elektroden 1

1

C., c„

2 1 2

C , » T T c » c „ T

A bb . 15. K o n d en sa to r m it A b b . 16. K o n d e n sa to r m it z w e i S tr e u k a p a z itä te n . e in er S tr e u k a p a z itä t.

und 2 und die „Erde“ (3), worunter auf gleichem Potential befindliche größere Leitergebilde in der Umgebung der Elektroden zu verstehen sind. Demgemäß ergeben sich drei Teilkapazitäten:

c12 zwischen Elektrode (1) und (2), c13 zwischen Elektrode (1) und Erde (3), c23 zwischen Elektrode (2) und Erde (3).

c13 und c23 werden Streukapazitäten genannt. Diese Streukapazitäten sind meist sehr veränderlich, da während des Betriebes sich die Leiter­

gebilde in der Umgebung der Elektroden z. B. der Körper des Beob­

achters bewegen. Ein derartig offen gebauter Kondensator ändert also sehr leicht seine Betriebskapazität

C = c 12+ c s a , (2.14)

wobei für csa, die resultierende Streukapazität, gilt:

c - = A°13 i f t -u 23- < 2 - 1 5 >

Dieser Übelstand wird nur wenig beseitigt durch das „Erden,, e in e r Elektrode gemäß Abb. 16. Die Streukapazität beträgt in diesem Fall cs6 und ist größer als im Fall der Abb. 15

csb = C1S '-> csa • (2. 16

K a p . 3. K a p a z itä te n g eg en „ E r d e “ 13

1 2

-k -c„

— •

? c„

7 / 7 7

A b b . 17. K o n d en sa to r m it M a n tel (A b sc h ir ­

m u n g ).

7 7 7 7 7 7 7 7 7 / 7

A bb. 18. V o n äu ß eren S tre u k a p a z itä te n fr e i­

er K o n d en sa to r.

n

U m gibt man den Kondensator m it einem Mantel gemäß Abb. 17, so sind die inneren Streukapazitäten c13 und c23 durch äußere Einflüsse nicht mehr veränderbar.

Die Streukapazität einer Elektrode zum Mantel (z. B.

c23) wird meist kurzgeschlos­

sen, was bei einer Eichung des Kondensators genau an­

gegeben werden muß. Die Streukapazität des Mantels gegen Erde c34 kann eine Ge­

fahr für vollkommen exakte Definition und Reproduzier­

barkeit der Kapazität in der Schaltung darstellen.

Kann in der Schaltung diese

‘Streukapazität kurzgeschlos­

sen werden, so ergibt sich der vollkommen streukapa­

zitätslose, gekapselte und ge­

erdete Kondensator gemäß dem Schema der Abb. 18.

Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren entste­

hen hinsichtlich der Besei­

tigung der Streukapazität keine Schwierigkeiten, wenn man die Mäntel sämtlicher Kondensatoren gemäß dem Schema der Abb. 19 m itein­

ander leitend verbindet. Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Lö­

sung des Problems ohne besonderen Aufwand nicht möglich. Es muß, wie Abb. 20 zeigt, ein gemeinsamer Mantel um alle Kondensatoren gelegt werden.

7 7 7 7

A b b . 19. P a r a lle l­

s c h a ltu n g v o n K o n - d en sa to ren m it M ä n ­

te ln .

7 m r

A b b . 20. R e ih e n ­ s ch a ltu n g v o n K o n ­ d en sa to ren m it g e ­ m ein sa m em M a n tel.

K a p i t e l 3 K apazitäten gegen „Erde“

Es wurde gezeigt, daß bei der Ermittlung der Betriebskapazität eines Kondensators die Streukapazitäten nach „Erde“ berücksichtigt werden müssen. Um größenordnungsmäßig derartige Kapazitäten ab­

schätzen zu können, werden im folgenden die Kapazitätswerte geome­

14 K a p . 3. K a p a z it ä te n g e g en „ E r d e “

trisch einfach geformter Körper gegen „Erde“ formelmäßig angegeben.

Unter „Erde“ wird verstanden entweder

1. eine den Körper a l l s e i t i g umhüllende leitende Fläche in sehr großer Entfernung von ihm. (Technisch verwirklicht z. B. durch einen Abschirmkäfig sehr großer Abmessungen.)

2. eine sehr weit ausgedehnte leitende Ebene in endlicher Entfer­

nung (z. B. Wasserspiegel, M etallplatte).

K a p a z i t ä t e in e r K u g e l g e g e n E r d e ( a l l s e i t i g e H ü lle )

~ n. Die K ugel m it dem Radius R (cm)

P _ / \ „ I T T ✓->

sei aufgeladen m it der Ladung Q (Coulomb). Im A bstand r (cm) von . . . . . . _ ... . „ ... der K ugelm itte sei die Feldstärke

A b b . 21. Z ur D e fin it io n der K a p a z it ä t °

ein er K u g e l ge g en E rd e (a llse itig e H ü lle ). v£/(Voltcni *) und d l 6 Vcrscnicbungs- dichte 3)r (Ampsec cm-2 ) (Abb. 21).

Gemäß der Formel

f £ > d % = Q F

gHt: ® r = A 4 j i r 2 (3. 1)'

©r = 2 - 4 — ' 4 n r2 ee0 (3 - 2 )

Der Potentialunterschied zwischen dem Punkt P und der „unendlich fernen Erde“ ist

r = oo r — co

U' = I ® ' d ' = J s - J = S s . 7 <3- 3 >

r = r r = r

Für die Kugeloberfläche m it dem Radius r — R ergibt sic h :

^ = 1 ^ - 5 - <3 ' “>

Somit beträgt die K apazität:

C — 47i£E0R (F) . (3 .5 )

E i n h e i t d er K a p a z i t ä t im e l e k t r o s t a t i s c h e n M a ß s y s t e m Im in der Technik nicht üblichen elektrostatischen Maßsystem hat die Kugel m it dem Radius R = 1 cm die Einheit der K apazität von C = 1 cm. Es ergibt sich somit für den Umrechnungsfaktor vom elektrostatischen Maßsystem ins technische M aßsystem die B e­

ziehung

4 n ££0 1012 pF = 1 cm

1,11 pF = l c m . ( )

K a p a z it ä te n g e g e n E r d e 15 K a p a z i t ä t e in e r K u g e l g e g e n E r d e (seh r w e it a u s g e d e h n t e

l e i t e n d e E b e n e in e n d lic h e r E n t fe r n u n g )

Die Formel (69) erhält für diesen Fall einen Korrekturfaktor und geht somit in die Form über:

C = 4:rc££0.ß ( l (F) (3 .7 ) wobei h (cm) der Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene ist und die Voraussetzung gemacht werden muß, daß R < h.

K a p a z i t ä t e in e s z y lin d r is c h e n S t a b e s ( D r a h t e s ) g e g e n E r d e

( a l l s e i t i g e H ü lle )

Der Stab (Abb. 22) habe die Länge h (cm) und den Radius R (cm). Im P u n k tP herrsche eine Feldstärke (£ und eine Verschiebungsdichte 2) und ein Poten­

tial v. Diese Größen rühren her von der Gesamtladung auf dem Stab. B e­

trachtet man auf dem Stab das zu dem Längenelement d z gehörige Ladungs­

element dQ, so betrage die davon her­

rührende Teilverschiebungsdichte dT), die Teilfeldstärke und das Teilpo­

tential dv. Es gilt:

d Q = ^ d z

1 z "+hk i i dz

1 1 1

1 i :

h !

- hi

- Z-h/2 i i

dv d S

d ® = % d z h 4 n r 2

d ® =

(3- 8) (3.9)

d z h een 4 n r2

A b b . 22. Z ur D e fin itio n der K a p a ­ z it ä t ein es z y lin d risch en S ta b e s g e ­

g e n E rd e (a llse itig e H ü lle).

Q

dv j a d & d r =w. ^Q ^ een4nr '^{d z} Durch Einführung der Koordinaten x und z:

d v = % d z

h ee0 4 n \ ( z — z0f + x \ Durch Integration über den ganzen S ta b :

z = + h/ 2

= Q _ J _ _ f _____ d h ee0 4 n j y(z — z<)

z = — A/2 )2 + x l ) x°’ v° h een 4 n

Q jn h/ 2 — z0 + ]/(h/2 — z0)2 + x%

— h/2 — z0 + )/(Ä/2 + z0)2 + xg

(3.10) (3.11)

(3. 12)

(3.13)

(3.14}

16 K a p . 3. K a p a z it ä te n g eg e n „ E r d e “

Für das Potential an der Leiteroberflache ergibt sich z. B. durch Einsatz der Koordinaten des Punktes x0 = R und z0 = 0:

Vr Q 1n fe/2 + Vfe2/4 + R 2

hee04:n _ hj2 + |/^ /4 + i?2 ‘ (3. 15) Um die Vernachlässigung R < ^ h durchführen zu können, muß der Ausdruck umgeformt werden:

Qlh , vR - —L.-- ln

een 4 n

Ä /2.+ A /2 ] /l + ^ -fe/2 + fe/2|/:

fe2/4 i?2 fe2/4 Unter Berücksichtigung der B eziehung:

(1 + a;)" f« 1 + — * f ü r x < ^ l gilt, da tttti?2 sehr klein ist:

° fe2/4

_ Q , / fe2') _ Q , feee047i n \E 2/ hee02n n Somit ergibt sich für die K apazität:

„ ee0 2 n h /Tr,x

0 w r (F)-

(3. 16)

(3. 17)

(3. 18)

Z a h le n b e is p ie l: Die K apazität eines Stabes m it 1 cm Durch­

messer und 200 cm Länge gegen eine sehr weit entfernte allseitige H ülle beträgt demnach für den lufterfüllten R a u m : C = ca 25 pF.

■2Ü

K a p a z i t ä t e in e s z y l i n d r i s c h e n S t a b e s , d er s e n k r e c h t ü b e r E r d e (ü b er e in e r se h r w e it a u s g e d e h n t e n l e i t e n d e n E b e n e )

s t e h t

Der Radius des Stabes sei R (cm), die Länge h (cm), der Abstand von der Erde a (cm) (Abb. 23).

Für die K apazität ergibt sic h : C — se0 2 n h

ln f e i / 4 a + fe ( f ) ■ (3 .1 9 )

\ R f 4 a + 3 fe / A b b . 23. Zur D e fin itio n der

K a p a z itä t e in e s sen k rech - Der Wurzelausdruck stellt also einen Korrek- turfaktor dar gegenüber der Formel für den

te E b e n e . von einer allseitigen Hülle umgebenen Stab.

Kapazitäten gegen Erde Für den Fall, daß 4a << h ist, gilt:

14 a + h 1

somit

C

H a + 3 h H een 2 n h ln( h V U l 3

(F ).

(3. 20)

(3.21) 17

K a p a z i t ä t e in e s z y l i n d r i s c h e n S t a b e s , d er w a a g r e c h t ü b er E r d e (ü b er e in e r s e h r w e it a u s g e d e h n t e n l e i t e n d e n E b e n e )

l i e g t

A b b . 24.

Z ar D e fin itio n der K a p a z it ä t ein es w aagerech ten zy lin d risc h e n S ta b e s gegen ein e w e ita u sg e d e h n te E b en e.

ZR

Für die Kapazität ergibt sich folgende Formel, wobei gemäß Abb. 24 h (cm) die Länge des Stabes, R (cm) der Durchmesser und a (cm) der Abstand vom Erdboden i s t :

C = ^{een 2 n h}

I)/

(F). (3. 22)

Der Wurzelausdruck stellt gegenüber der Formel (3. 18) einen Kor­

rekturfaktor dar.

Für den Sonderfall 4 ergibt sich für den Korrekturfaktor angenähert:

h ] ^ + [ T j + h 1 ä (1 + K ¥ ) ) + a h

Som it ist die angenäherte Kapazität in diesem Sonderfall:

2 ?t een h

(3.24)

C . , 2a l n iT

(F). (3. 25)

S t r a i m e r , K o n d en sa to r

18 K a p . 4 . K a p a z it ä te n z w isc h e n zw ei E le k tr o d e n

K a p a z i t ä t e in e r e b e n e n P l a t t e g e g e n E r d e ( a l l s e i t i g e H ü lle ) Durch ähnlichen Ansatz und Integration wie bei den Gl. ( 3 .8.. . 3.18) ergibt sich für die K apazität einer kreisrunden Platte m it dem Radius R (cm) und der Dicke d (cm) die B eziehung:

C = ee0 8 R ( l + ^ y (3 .2 6 ) Wenn R d so g ilt :

C = e e 0 8 R (F). (3.27)

Z a h le n b e is p ie l: Die K apazität einer sehr dünnen kreisrunden Platte von einem Radius von 10 cm gegen eine sehr w eitentfem te allseitige Hülle b eträgt: C = ca, 7 pF.

K a p i t e l 4

K apazitäten zw ischen zw ei E lektroden

Beim K u g e lk o n d e n s a t o r (Abb. 25) wer­

den die Elektroden von zwei konzentrischen K ugelschalen m it den R adien ri (cm) und ra (cm) gebildet. Für die K apazität C (F) ergibt sich der Ansatz:

( F ) =

to r.

Ta

, U — f ®r dr

C = f = 4 n e s0

ü 0 r a — !

(4.1) wobei Q (Coulomb) die Ladung, U (Volt) die Spannung und r (cm) der laufende Radius ist.

Es ist nämlich:

Q — 47ir2ee0&T

Ta

Q

4 n e e , [ r - ° d r = « ( 1 - 1 ) ,

J 4nee0 \ r { ra)

wobei Gcr (Volt/cm 1) die elektrische Feldstärke ist.

Für den Z y lin d e r k o n d e n s a t o r (Abb. 26) ergibt sich:

n Q Z, 1 t , 1

K a p . 4. K a p a z itä te n zw isch en zw ei E le k tro d e n 19

d i t

-u - Für den P l a t t e n ­ k o n d e n s a t o r , des­

sen Elektroden von zwei planparallelen Platten m it der Fläche F (cm2) im Abstand a (cm) ge­

bildet werden (Abb.

27), gilt unter der Voraussetzung eines homogenen elektri­

schen F eld es:

Q = F ££0Sa, = Fee0 - j A bb 2 6 . Z y lin d erk o n - den sator.

- a -

-2^,I atb

r

I?

A b b . 27. P la tte a k o n d e n sa to r.

c = ^{Fee0 (F ). (4. 3)} Für den Sonderfall des K r e i s p l a t t e n ­ k o n d e n s a t o r s m it dem Plattenra­

dius R (cm) ergibt sich :

C: R^ ^ ^ So /TT1\ -ß2 y . / j t \ :- V ^ F > = £ 4 ^ (cm )- (4' 4) Eine Abart des Plattenkonden­

sators ist der S c h u t z r i n g k o n d e n s a ­ to r (Abb. 28). Beim gewöhnlichen P lat­

tenkondensator bildet sich insbesondere

bei großem Plattenabstand an den Rändern ein inhomogenes Streu­

feld aus. Dieses Streufeld verursacht mitunter erhebliche Abwei­

chung der errechneten und der etwa durch die Stromspannungs­

messung ermittelten Kapazitäten. Beim Kondensator m it Schutzring wird gemäß Schaltung Abb. 28 nur der vollkommen homogene dielek­

trische Verschiebungsstrom erfaßt. Die durch Spannungsmesser U und Strommesser I ermittelte K apazität stim m t also m it der er­

rechneten überein.

Für einen Kondensator m it zwei gegenüberstehenden Kugeln als Elektroden — K u g e lf u n k e n s t r e c k e — ergibt sich für die Kapazi­

tä t, wenn R (cm) der Radius und A (cm) der Mittelpunktsabstand der Kugeln ist :

R (A2 — R2) C = 2 x e e 0R ( l + ^ - (

A 2 R — A R 2 (F), (4. 5) Die Streukapazitäten zu leitenden Körpern der Umgebung sind ver­

nachlässigt.

2*

2 0 K a p . 5. D re h k o n d e n s a to re n

Für einen Kondensator m it zwei relativ langen parallelen Drähten als Elektroden — D o p p e l l e i t u n g — ergibt sich für die K apazität, wenn r (cm) der Radius und l (cm) die Länge und a (cm) der M ittel­

punktsabstand der Drähte ist:

C = ( F ) . (4. 6)

l n -

r

D ie Streukapazitäten zu leitenden Körpern der Umgebung sind in obiger Formel natürlich nicht berücksichtigt.

K a p i t e l 5 D rehkondensatoren

Allgemeines

Das Grundschema eines Drehkondensators zeigt Abb. 29. Für den Eindrehwinkel a gilt im allgemeinen:

0 ^ a ^ n .

Die vom Eindrehwinkel abhängige Teilkapazität sei Ca = i(a). Für a — 0 wird Ca — C0 — 0, für a = n wird Ca = Gn . Zu der vom Eindreh­

winkel abhängigen Teilkapazität komm t noch eine zusätzliche feste Teilkapazität C,njn hinzu, so daß sich für die resultierende K apazität er­

gibt:

C = Ca + Cmia = C («) (5 .1 ) insbesondere:

Cmax = Gmin -)- G„. (5. 2) In welcher W eise nun die K apazität bzw. die Frequenz oder die W ellen­

länge eines m it dem betreffenden Drehkondensator abzustimmenden Schwingungskreises als Funktion des Drehwinkels a zwischen den Extremwerten veränderbar sind, hängt vom Plattenschnitt des Dreh­

kondensators ab. Darunter wird verstanden der Radius r der R otor­

platten als Funktion des Eindreh winkeis a. In einigen unwichtigen Sonderfallen trägt der Stator den Plattenschnitt.

Es gelten die Bezeichnungen:

A bb. 29. G ru nd sch em a e in e s D reh k o n ­ d en sa to rs.

Für a = 0 für a — n

r = r0 (cm), r = r„ (cm).

A llgem eines 21 Die Plattenzahl des Rotors sei nR, die des Stators ns- Die Gesamt­

zahl der Platten i s t :

n — ns + nR .

Die Gesamtzahl der Teilkapazitäten ist (n — 1). Je nachdem, ob der Rotor (Abb. 30) oder der Stator übersteht, gilt:

n — 1 — 2 ns bzw. n — 1 = 2 nR . Die wirksame Fläche zwischen zwei Platten sei:

F = F (a) (cm2) . Für das zum Drehwinkel d a gehörige Flächendifferential d F bei beliebiger Randkurve gilt gemäß Abb. 31:

Stator

A b b . 30. K o n d en sa to r m it üb erstellen d em R o to r.

A bb. 31. R a n d k u rv en - u n d F lä ch en elem en t e i­

n e s D reh k on d en sators.

d F (r2 — r2Ä) da ,

wobei r = r(a). rA (cm) ist der Radius des Achsausschnitts.

Wenn m it d (cm) der Plattenabstand bezeichnet wird, gilt:

d C = 1 /d ■ d F ee0 (n — 1) (F)

wobei

1) (F e r n -2)

(5. 3)

(5. 4) (5. 5) (5.6)

(5. 7) Kondensatorkonstante genannt wird. Diese ist also nur abhängig vom Dielektrikum, von der Plattenzahl und dem Plattenabstand.

Bilden ein Kondensator m it veränderbarer Kapazität C und eine Spule mit der festen Induktivität L einen Schwingungskreis, so gelten die Beziehungen:

2 2 K a p . 5. D r e h k o n d e n s a to re n

K reisfrequenz: w - 1 = const ~^= (sec *)

\ L C MG

F requenz: f = ----1---- = const -4= (Hz) J 2 n f L C YC

W ellenlänge: A = 3 • 108 • 2 n ]/L G = const (m) A = 3 • 108 • 1/ / (m),

wobei C in F und L in H einzusetzen sind. W enn die K apazität die beiden Werte G — Cx bzw. C = C2 hat, dann gilt für die zugehörigen Frequenzen und W ellenlängen:

f i / f z = }rÖ J C 1 X1ß 2 = f C J C 2 , (5.8) insbesondere gilt für die größte und kleinste Frequenz des Kreises:

f if 1 / Cmin + Cn 1 /C max ,K n, /max//mln — 1/ 7=j — 1/ v; • (&• 9)

I min f min

Bei der Dimensionierung eines abstimmbaren Resonanzkreises liegt zunächst der Frequenz- bzw. W ellenlängenbereich fest. Mit der Wahl einer festen Induktivität L ist dann auch die Anfangs- und Endka­

pazität des Drehkondensators festgelegt. Der Plattenschnitt wird nun je nach den Forderungen an die Funktion G = G (a) gewählt.

Der Mittelwellenbereich bei Rundfunkempfängern liegt zwischen Am max — 600 m bzw. f M min = 500 kH z und A^m min = 200 m bzw.

/atmax = 1500 kHz, der Langwellenbereich zwischen Az max = 2000 (m) bzw. f L min =- 150 kHz und Azmin = 8 0 0 (m) bzw. / imax = 375 k H z .

D ie Mittelwellenspule hat normalerweise eine Induktivität von Lm = 2 m H , die Langwellenspule eine solche von Ll = 2 m H .

Somit liegen die Extremwerte der K apazitäten fest. Für den M ittel­

wellenbereich :

Gm max = 4.ni p L ^ ^00 p F ftif max 1>52 „ max 500 Hl min 0,52 C'Mmin Cm min

Cm min i« 55 p F .

Für den Langwellenbereich ergibt sich dementsprechend:

Czmax 560 pF Czmin 90 pF .