Zadanie:
Na loterii jest n losów. Wśród nich jest 5 losów wygrywających. Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo tego, że 2 losy zakupione będą wygrywające jest większe niż
2 1 ?
Rozwiązanie:
Losujemy 2 losy spośród n dostępnych losów. Możemy to zrobić na
2 n
= 2! n( n! 2)! =
2 ) 1 (
n
n sposobów, a więc tyle jest wszystkich zdarzeń elementarnych w tym zadaniu.
Chcemy, aby oba losy były wygrywające. Dwa wygrywające losy możemy wylosować
spośród 5 wszystkich wygrywających losów, czyli na
2 5
= 2!3!
! 5
= 10 sposobów. Jest to
ilość wszystkich zdarzeń sprzyjających.
KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Jeśli zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym i zdarzenia mają równe prawdopodobieństwo, to dla każdego zdarzenia losowego A zachodzi
P(A) =
,
gdzie oznacza ilość elementów zbioru , oznacza ilość elementów zbioru .
Z powyższej definicji wynika, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch wygrywających
losów wynosi
2 2 5
n
. Nas interesuje sytuacja, gdy prawdopodobieństwo jest większe od 2 1 .Aby znaleźć n, dla których to zachodzi trzeba rozwiązać nierówność
2 2 5
n
> 21 .
2 ) 1 (
10
n
n >
2
1
) 1 (
20
n
n >
2
1
) 1 (
40
n
n > 1 n2 n40 < 0 Jest to nierówność kwadratowa, więc rozwiązujemy ją szukając miejsc zerowych.
Korzystamy ze wzoru na wyznacznik równania kwadratowego b2 4ac. U nas
=161, więc
12,7. Wyliczamy pierwiastki równania kwadratowegoa n b
2 2
,
1 .
Czyli 6,85
2 7 , 12 1
1
n , 5,85
2 7 , 12 1
2
n . Gdyby n było dowolną liczbą, to rozwiązaniem tej nierówności byłby przedział (-5,85;6,85). Jednak wiadomo, że liczba wszystkich losów, czyli n, musi być liczbą naturalną oraz nie mniejszą od 5, ponieważ wiemy, że wśród wszystkich losów jest 5 wygrywających. Wynika z tego, że rozwiązaniem
nierówności n2 n40 < 0 (w zbiorze liczb naturalnych nie mniejszych od 5) są liczby 5 oraz 6.
Odp. Tę zależność spełniają liczby 5 oraz 6.
