Kalkulator graficzny w szkicowaniu wykresów funkcji oraz wykresów ich pochodnych
1. Cele lekcji:
- edukacyjne:
● powtórzenie i utrwalenie podstawowych wiadomości dotyczących funkcji, ● kształcenie intuicji w kierunku pojęcia funkcji pochodnej i jej własności.
- wychowawcze:
● nauka efektywnego wykorzystania technologii informacyjnej;
● kształcenie umiejętności przydatnych w życiu codziennym: dyskutowania,
poszukiwania, planowania, rozwiązywania problemów, samokontroli, dokonywania oceny pracy własnej, przygotowywania się do referowania efektów pracy na forum publicznym.
2. Typ:
Lekcja poświęcona wprowadzeniu nowych wiadomości.
3. Metoda i forma pracy
Praca z kalkulatorem graficznym według ustalonego planu, obserwacja, dyskusja.
4. Środki dydaktyczne
Kalkulatory graficzne TI-83, panel TI-83, karty pracy przygotowane przez nauczyciela, rzutnik pisma.
5. Przebieg lekcji
1) Czynności organizacyjno-porządkowe.
2) Realizacja tematu:
a) Pogadanka heurystyczna i rozdanie kart pracy.
b) Samodzielna praca uczniów z kartami pracy i z wykorzystaniem kalkulatora graficznego.
c) Dyskusja problemowa.
3) Zadanie pracy domowej.
4) Rekapitulacja – refleksja i wypełnienie ankiet przez uczniów.
Ad. b)
Zad. 1) Uczniowie obserwują wykresy funkcji danej i jej pochodnej.
Nauczyciel kieruje dyskusją zadając pytania pomocnicze o rodzaj wykresu (prosta, parabola, krzywa wielomianowa stopnia trzeciego), a także o stopień odpowiedniego wielomianu oraz związek stopnia funkcji danej i funkcji pochodnej.
f(x)=x-2 f’(x)=1
Wniosek, który powinni sformułować uczniowie: Pochodna funkcji wielomianowej jest funkcją wielomianową stopnia o jeden niższego .
Uczniowie obserwują wykresy i dyskutują:
f(x)=sinx f’(x)=cosx
Wniosek: Pochodną funkcji sinus jest funkcja cosinus.
Zad. 2) Uczniowie obserwują wykresy funkcji danej i jej pochodnej. Wykresy funkcji sporządzamy przy ustawieniu View Window w następującej pozycji:
Pytania pomocnicze nauczyciela dotyczą dziedziny funkcji i funkcji pochodnej.
Wniosek: Dziedziną funkcji f jest [0, ), a dziedziną funkcji f’ jest (0, ). Dziedzina funkcji i funkcji pochodnej nie musi być jednakowa.
Zad. 3) Uczniowie obserwują wykresy funkcji danej i jej pochodnej. W podpunktach a) i c) wykresy funkcji sporządzamy przy ustawieniu View Window w pozycji INIT, a w
podpunkcie b) w pozycji TRIG. W podpunkcie b) wzory funkcji wprowadzamy w następujący sposób:
2 )
(x x2
f f'(x) 2x
x x x
f( ) 3 3 f'(x) x3 2 3
5 5 )
(x x3 x2 x
f f'(x)3x2 2x5
x x f( )
x x
f 2
) 1 (
'
Pytania pomocnicze nauczyciela dotyczą: przedziałów monotoniczności funkcji danej i jednoczesnego znaku funkcji pochodnej; miejsca zerowego funkcji pochodnej i
jednoczesnego zachowania funkcji danej.
a) f’(x)=-2x
b) f(x) = sinx w przedziałach
(0,/2) i (/2,) f’(x) = cosx w
przedziałach (0,/2) i (/2,)
c)
d)
Wnioski:
a) Funkcja pochodna przyjmuje wartości dodatnie, gdy funkcja jest rosnąca.
b) Funkcja pochodna przyjmuje wartości ujemne, gdy funkcja jest malejąca.
c) Jeśli funkcja ma ekstremum lokalne, to funkcja pochodna ma wartość 0.
d) Jeśli funkcja ma punkt przegięcia, to funkcja pochodna ma wartość 0.
e) Jeśli pochodna przyjmuje wartość 0, to funkcja nie musi mieć w tym punkcie ekstremum.
Ad. 4)
Ankieta dla uczniów
1) Na skali 0-6 zaznacz, jak zrozumiałaś/eś lekcję:
---O---O---O---O---O---O---O---
0 1 2 3 4 5 6
2) Czy użycie kalkulatora graficznego wpłynęło na szybkość rozwiązywania zadań?
Tak
Nie
3) Proszę o ocenienie w skali 0 do 6 lekcji ze względu na:
a) Poczucie aktywnego uczestnictwa ...
b) Zawartość tematyczną ...
c) Atmosferę ...
d) Trudność zadań ...
e) Efektywność metod pracy i wykorzystania czasu podczas lekcji ...
1 )
(x x 2 f
x x x
f( ) 32 f'(x) x3 2 2
1 )
(x x3
f f'(x)3x2
f) Czy kalkulator graficzny ułatwił Ci zrozumienie
problemów? ...
4) Co chciałabyś/chciałbyś dodać?...
...
...
...
6. Załączniki Karta pracy:
f(x)=x-2
f(x) = sinx
7. Czas trwania lekcji 45 minut
8. Uwagi:
Wykresy funkcji sporządzamy w trybie GRAPH. Wykresy, które uczniowie mogą sporządzać w dwóch kolorach (jeśli każdy uczeń dysponuje swoim kalkulatorem), w przypadku użycia panela będą nierozróżnialne. Trzeba wtedy obserwować, w jakiej kolejności pojawiają się wykresy na ekranie. Pierwszy pojawi się wykres funkcji danej, a następnie funkcji pochodnej.
Karta pracy przygotowana przez nauczyciela zawiera wzory funkcji.
Wzory pochodnych może wprowadzić do kalkulatora nauczyciel (uczniowie potrafią na razie obliczać pochodną w punkcie na podstawie definicji). Można też nie
wprowadzać wzorów, tylko sporządzić wykresy funkcji pochodnych w następujący sposób:
OPTN CALC d/dx(f(x)).
Wprowadzona formuła (np. w pierwszym wzorze w zad. 1) będzie miała następującą
postać:
W zadaniu 1. wykres drugiej funkcji sporządzamy przy ustawieniu View Window w pozycji INIT; wykresy pierwszej, trzeciej i czwartej w pozycji STD, a wykres piątej w pozycji TRIG.
) , 2 ( /
1 d dx x2 x
y
2 )
(x x2 f
x x x
f( ) 3 3
5 5 )
(x x3x2 x f
x x f( )
