Lista nr 1 TRiL, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2011/12.

Lista nr 1 TRiL, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2011/12.

Liczby zespolone

1. Znale´ z´ c cz e´ _, s´ c rzeczywist a i urojon _, a liczb zespolonych: _,

a) (2 − 3i)(1 + i), b) ¹⁻ⁱ _2+i , c) ⁽¹⁻ⁱ⁾ _(1+i)

⁻ⁱ +i , d) ⁽

√

3+i)(−1+i √ 3) (1+i)

2. Przedstawi´ c w postaci algebraicznej podane liczby zespolone:

a) (2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(3 + 4i), b) (2 + i)(3 + 7i) − (1 + 2i)(5 + 3i), c) (4 + i)(5 + 3i) − (3 + i)(3 − i), d) (5+i)(7−6i)

3+i , e) (5+i)(3+5i)

2i , f) (1+3i)(8−i)

(2+i)

,

g) ^(2+i)(4+i) _1+i , h) (3−i)(1−4i)

2−i , i) (2 + i) ³ + (2 − i) ³ ,

i) (3 + i) ³ + (3 − i) ³

3. Przedstawi´ c w postaci trygonometrycznej liczby:

a) 5, b) i, c) −2, d) −3i,

e) 1 + i, f) 1 − i, g) 1 + i √

3, h) −1 + i √

3, i) −1 − i √

3, i) 1 − i √

3, k) √

3 + i, l) − √

3 + i, m) − √

3 − i, n) √

3 − i, o) 1 + i √

3/3, p) 2 + √ 3 + i 4. Obliczy´ c warto´ sci wyra˙ze´ n:

a) (1 + i) ¹⁰⁰⁰ , b) (1 + i √

3) ¹⁵⁰ , c) ( √

3 + i) ³⁰ , d) 1 + ¹ ₂ √

3 + ¹ ₂ i
²⁴ , e) (2 − 2 √

2 + i) ¹² , f) 

1−i √ 3 1+i

 12

, g)  ^√

3+i 1−i

 30

, h) 1 + cos ^π ₃ + i sin ^π ₃
⁶ 5. Maj ac dane z _, 1 = 2 cos ^π ₈ + i sin ^π ₈
, z 2 = cos ^π ₅ + i sin ^π ₅ , z 3 = 3 cos ^3π ₁₀ + i sin ^3π ₁₀
, obliczy´c:

a) z 1 · z 2 , b) z 1 · z 2 · z 3 , c) z ³ ₁ · z ² ₂ , d) ^z _z

3

, e) ^z _z

, f) ^z

_z ^·z

6. Obliczy´ c wszystkie pierwiastki zespolone podanych liczb i wyniki zapisa´ c w postaci trygonometrycznej:

a) i, stopie´ n 6, b) 512(1 − i √

3), stopie´ n 10, c) 8 √

2(1 − i) stopie´ n 8

7. Obliczy´ c wszystkie pierwiastki zespolone podanych liczb i wyniki zapisa´ c w postaci algebraicznej:

a) 1, stopie´ n 3, b) 1, stopie´ n 4, c) 1, stopie´ n 6, d) i, stopie´ n 3, e) −4, stopie´ n 4, f) 64, stopie´ n 6, g) 16, stopie´ n 8, h) −27, stopie´ n 6, i) 8 √

3i − 8, stopie´ n 4, i) −72(1 − i √

3), stopie´ n 4, k) 1 + i, stopie´ n 3, l) 2 − 2i, stopie´ n 3 8. Stosuj ac posta´ _, c wyk ladnicz a liczby zespolonej rozwi _, aza´ _, c podane r´ ownania:

a) z ⁷ = z, b) (z ⁴ ) = z ² |z ² |, c) (z) ² |z ² | = _z ⁴

, d) |z| ³ = iz ³ , e) z ⁶ = (z) ⁶ , f) |z ⁸ | = z ⁴