Die hydrodynamischen kräfte bei der periodischen bewegung zweidimensionaler körper an der oberfläche flacher gewässer

IIJLL-'L.

1g ms.iiws.p.

F

:

77

_I

Die hydrodynamischen Kräfte bei der

periodischen Bewegung zweidirnensiònaler.

Körper an der Oberfläche flacher Gewässer

INSTITUT FÜR SCHIFFBAU DER UNIVERSITAT HAMBURG

Bericht Nr.305

Die hydrodynamischen Kräfte

bei der periodischen Bewegung zweidimensionaler Körper ander Oberfläche flacher Gewässer

von

Harald Keil

Diese Arbeit ist im Rahmen des Sonderforschungsbereichs ₉₈ "Schiffstechnik und Schiffbau" Teilprojékt C entstanden. Sie wurde von Pròf.Grirn durch fördernde Kritik unterstUtzt.

-2

Einleitung

s. 3

Stand der Forschung

s.

14

Aufgabenstellung

S. 6

14. Lösung für die Vertikalbewegung

14.5 Die Funktion G(t) _{S. 21}

14.6 Hydrodynamische Kräfte

4.6.1

Trägheitskraft und Dämpfungakraft in S. 24 Glattwasser

14.6.2

Erregende Kraft durch eine Welle S. ₂₇

14.7 Numerische Behandlung

14.7.1

Darstellung der Körperform S. 29

14.7.2

Bestimmung der Que].latärken A S. 30

4.7.3

Genauigkeiten S. 31

14.7.14 Beispiele S. ₃₁

5.

Lösung für die Horizontalbewegung

5.1 Randbedingungen S. ₃₂

5.2

Ansatz für das komplexe Potential

5.2.1

Das zweidimensionale Strahlungspotential

s. 33

5.2.2

Das zweidimensionale Vielpolpotential

s. 33

5.2.3

Das Gesamtpotential _S. 311

5.3

Entwicklung der Teilpotentiale _{S. 35}

5.14 Das Potential für verschwindende Frequenz _{S. 36}

5.5

Hydrodynamische Kräfte und Momente

5.5.1

Kräfte und Momente in Glattwasser _{S. 37}

5.5.2

Erregende Kräfte und Momente durch eine Welle

S. 38

5.6

Numerische Behandlung und Beispiele _{5. 39}

6.

Anwendung auf Schiffe mit Hilfe der Streifenmnethode

_s.

₁₄₀

7.

Zusammenfassung

_s.

₁₄₁

8.

Literatur _{S. 42}

9. Symbolliste

s.

₁₄₇

Abbildungen Anhänge

14.1 Voraussetzungen, Koordinatensystem, Vorzeichen

14.2 Vom Lösungsansatz zu erfüllende Bedingungen

4.3 Ansatz für das komplexe Potential

S. 7

5. 7

14.3.1

Das dreidimensionale Strahlungspotential

5.

10

4.3.2

Das zweidimensionale Strahlungspotential S. ₁₂

14.3.3

Andere Ableitung des Strahlungspotentials S. ₁₅

14.3.4

Das zweidimensionale Vielpolpotentia]. S. 16

14.3.5

Das Gesamtpotential S. ₁₇

-3-1. Einleitung

In den letzten Jahren ist die Bedeutung der in den ver-gangenen zwei Jahrzehnten gewonnenen Erkenntnisse über die Bewegungen und Belastungen eines Schiffes im Seegang offensichtlich auch in der schiffbaulichen Praxis erkannt worden. Die Zahl der Schiffe, für die Seegangsuntersuchungen durchgeführt wurden, hat jedenfalls 8tark zugenommen. Da in vielen Anwendungsfällen der Einfluß nichtlinearer Glieder gering ist, hat dabei die theoretische Bestimmung der Über-tragungsfunktionen ihren festen Platz neben dem Modellversuch. In verschiedener Hinsicht ist sie ihm sogar überlegen.

So ist es z.B. im normalen Tank nicht möglich, ein in schräg-laufenden Wellen fahrendes Modell zu untersuchen, die Theorie erlaubt jedoch wenigstens eine näherungsweise Berechnung der Bewegungen.

Durch die immer noch wachsenden Schiffsgrößen ist es notwendig geworden, den Einfluß von Pahrwasserbeschränkungen auf das Bewegungsverhalten zu untersuchen.

In der vorliegenden Arbeit wird deshalb versucht, die Kräfte auf einen an der Oberfläche eines Gewässers endlicher Wasser-tiefe im glatten Wasser schwingenden oder einer ankommenden Welle ausgesetzten zweidimensionalen Körper zu berechnen. Dabei wird sowohl die Vertikalbewegung (Tauchen) als auch die Horizontalbewegung (Querbewegung und Rollen) untersuàht. Die

Anwendung

der zweidimensionalen Ergebnisse auf Schiffe

2. Stand der Forschung

Die Behandlung der periodischen Bewegungen eines zweidimen-sionalen Körpers an der Oberfläche eines unendlich tiefen Gewässers und die Berechnung des durch diese Bewegung oder

eine ankommende Welle an der Körperoberfläche erzeugten

hydro-dynamischen

Drucks kann man nun schon als klassisch bezeichnen. Für die praktische Anwendung interessieren dabei die beiden Grenzfälle sehr hoher und sehr niedriger Frequenz der Bewegung. Dem ersten Fall sind die Vibrationen zuzuordnen E1,2,3], dem

zweiten Fall die Seegangsbewegungen. Dieser zweite Fall, der

hier interessiert, ist sowohl für die Vertikalbewegung [14 bis 15J

als auch für die Horizontalbewegung 116 bis 18] ausführlich

behandelt. Es sind Lösungen für den in glattem Wasser schwingen-den als auch schwingen-den festgehalten einer querlaufenschwingen-den Welle ausge-setzten Körper sowie Näherungen für den Körper in einer schräg-laufenden Welle bekannt. Dabei werden vorwiegend

Lewis-Spant-formen benutzt. In einer neuen Arbeit [1141 wird der Körper

durch entlang der Kontur innerhalb des Körpers angeordnete Vielpole erzeugt, wodurch auch Wulstspanten darstellbar sind. In der ersten Arbeit über die Schwingungen eines Körpers in flachem Wasser [19] wird ein Rotationsellipsoid bei hohen

Frequenzen untersucht. Yu und Ursell [20] benutzten ein bereits von Porter [9] angegebenes, aber nicht ausgewertetes Potential zur Berechnung der hydrodynamischen Masse und Dämpfung eines Kreiszylinders. Die numerischen Ergebnisse sind in Abb. i und 2 dargestellt. Monacella [21] berechnete mit Hilfe der Slender-Body Theorie die Kräfte, die ein Rotationsellipsoid in Wellen auf den Flüssigkeitsboden ausübt, da seine Ansätze die Berech-nung des Drucks an der Körperoberfläche nicht erlauben. Dabei wird die Einschränkung gemacht, daß die Wassertiefe groß

gegenüber Breite und Tiefgang des Körpers ist. Interessant sind jedoch gerade kleine Tiefen. Für ein Mariner Modell auf ver-schiedenen Wassertiefen bestimmten Freakes und Keay [22] für verschiedene Froude-Zahien hydrodynamische Massen und Dämpfungen,

indem sie die Kräfte an einem Modell maßen, das entweder nur tauchen oder nur stampfen konnte. Wang [23] berechnete die hydrodynamischen Kräfte an einer haibgetauchten Kugel. Einige einfache Gedanken über die Übertragbarkeit von Modellunter suchungen auf flachem Wasser auf die Großausführung macht sich Fisher _[2'4:J'.

Eine

Anwendung

der von Porter [91 und Yu-Ursell 120]

ange-gebenen Potentiale auf Lewis-Formen ist die Arbeit von Kim [25], die den Anstoß zu der vorliègenden Arbeit gab, da die von Kim veröffentlichten Ergebnisse eine Nachberechnung wünschenswert erscheinen ließen. Kims Ergebnisse für den Kreiszylinder zeigt

Abb. 3. Fortsetzungen durch Anwendung der Streifenmethode

für ein Series 60-Schiff und einen T2-Tanker sind [26] und [27]. Tuck [28] gibt auf der Slender-Body Theorie basierende Poten-tiale für, die Bewegung eines dreidimensionalen Körpers ohne Fahrt in sechs Freiheitsgraden an, die von Beck [30] und Tuck und Beck [29] für zwei Series 60-Schiffe ausgewertet wurden. In diesen Arbeiten wird auch der Einfluß der Kopplung zwischen surge und Tauchen bzw. Stampfen untersucht. In einem mittleren

Frequenzbereich (1.0 /L 2.0) zeigen die Ergebnisse

3. Aufgabenstellung

ist es zunächst schwierig zu beurteilen, ob das von Yu-Ursell

angegebene Verhalten der hydrodynamischen Masse bei _der

perio-dischen Tauchbewegung auf flachem Wasser bei sehr kleinen Frequenzen (Abb.1) physikalisch sinnvoll ist, so läßt sich

mit Sicherheit sagen, daß der von Kim berechnete Verlauf (Abb.3)

nicht der Wirklichkeit entsprechen kann. _{Um entscheiden zu}

können, ob der Fehler in der Entwicklung der Potentiale oder in der numerischen Auswertung zu suchen ist, müssen die

Potentiale neu abgeleitet und auf die _{Erfü].lung.der}

Randbedin-gungen überprüft werden. Sodann muß eine physikalische Inter-pretation der Ergebnisse versucht werden.

Bei der Horizontalbewegung, für die _{außer denen von -Kim noch}

keine Ergebnisse vorliegen, besteht die _{Möglichkeit, die}

hydrodynamischen Massen und Trägheitsmomente _{durch ihr}

asymp-totisches Verhalten bei Frequenzen gegen Null - für diesen Fall der Horizontalbewegung liegt eine exakte, jedoch bisher

nicht ausgewertete Lösung von Grim

_t62

vor - auf ibré

Richtig-keit zu überprüfen.

7

. Lösung für die Vertikalbewegun

4. i Voraussetzungen, Koordinatensystem, Vorzeichen

Vorausgesetzt wird eine inkompressible, reibungsfreie Flüssigkeit, in der die durch die Bewegung erzeugte Strömung durch ein Potential beschrieben werden kann. Weiter wird davon ausgegangen, daß das Problem lineapisiert werden kann, d.h. daß Einflüsse höherer Ord-nung bei der Erfüllung der Randbedingungen vernachlässigbar sind. Physikalisch bedeutet dies, daß die Lösungen nur für Bewegungen mit kleiner Amplitude gelten.

Das benutzte raumfeste Koordinatensystem zeigt Abb. 14 Da dieses Koordinatensystem von dem in der Hydrodynamik üblichen abweicht,

ist es notwendig, das Vorzeichen der

Stromfunktion

_{zu vereinbaren.}

Geschwindigkeiten sind selbstverständlich dann positiv, wenn sie in positive Richtung der Koordinatenachsen gerichtet sind.

Im Gegensatz zur üblichen Vereinbarung soll der Wert der Strom-funktion zunehmen, wenn beim Fortschreiten in positiver Wegrichtung Flüssigkeit von rechts nach links strömt.

Dann folgt:

r3 > ç

Zur Kennzeichnung

_von

_{Imaginärteilen werden die Buchstaben i und}

j

benutzt, und zwar i für geometrische Variablen

_{(Strornfunktion}

-Potential) und j bei Funktionen der Zeit. 4.2 Vom Lösungsansatz zu erfüllende Bedingungen

a) Das gesuchte Potential muß natürlich die Kontinuitätsbedingung erfüllen:

8

Der Druck an der freien Wasseroberfläche muß unabhängig von der Zeit sein. Daraus ergibt sich die linearisierte Oberflächen-bedingung: 19 :!i i = o E +

i

- o

. S'i oz

bz JZo

mit

Damit keine Flüssigkeit durch den Gewässerboden tritt, muß die Normalges chwindigkeit dort vers chwinden:

Der schwingende Körper erzeugt eine von ihm fortlaufende Ober-flächenwelle. Eine solche Strömung erfüllt die Sonunerfeldache Aus strahlungsbedingung

L{fi_Re()_ÇJvn(fl}=o

. (Le)

ist die Wellenzahl der ablaufenden Oberflächenwelle. Der Zusammenhang zwischen Wellenzahl und Kreisfrequenz einer

Flachwasserwelle ist gegeben durch

_L_zir4

_h2

9 - -3;-. an - O .an*1 uh

Soll keine Flüssigkeit in den Körper ein- oder aus ihm austreten, muß die Strömungsgeschwindigkeit an der Körperoberfläche gleich

der Körpergeschwindigkeit sein:

Y

cLzl

{-LL= Vp)Ga,lL

_I Z cL&

W

t?iR4.

(5)

(2)

(3)

Da hier zwei verschiedene Fälle untersucht werden, nämlich cc) die auf den im Glattwasser vertikal mit der

Geschwindig-keit V.e3Ct schwingenden Körper wirkende Kraft und

(3) die Vertikalkraft auf den festgehalten einer ankommenden Welle ausgesetzten Körper,

müssen aus (5) auch zwei Randbedingungen an der Körperoberfläche formuliert werden.

Die Randbedingung für den Fall oQ ergibt sich zu:

jCA)t jCA)t

>

Tj(yz.)

= - (5a)

Im Fall ß)setzt sich das Potential der Strömung zusammen aus dem

Potential der Welle und dem Potential der Störströmung

_4?,

die

durch die Anwesenheit des festgehaltenen Körpers erzeugt wird.

Da der Körper in Ruhe ist, folgt aus der Randbedingung (5) an der

Körperoberfläche: + i

rj ù -

dz

?4s d? i

= bv,

Lz ds

bz cAs - W

r4T%, _cL%1 d.s

dsJ1cL

(6) >.._dZ1(',.z1t) = ('y1z1t)

{w

dy -

t;'

Die sich daraus ergebende Stromfunktion ist leicht anzugeben, wenn die ankommende Welle senkrecht zur Körperlängsachse läuft. Hierbei ist, da nur die Kraft in vertikaler Richtung berechnet werden soll,

nur

der in y symmetrische Teil des Potentials der Welle bzw. der

in y punktsymmetrische Teil der Stromfunktion zu berücksichtigen;

=

¶' e''[i

_{(z) -tj) coshtvJ s;n(%i)}} (6 a)

Das komplexe Potential der Welle ist in Anhang i abgeleitet.

Läuft die Welle in einer anderen Richtung (Abb. 5), handelt es sich um ein dreidimensionales Problem und eine Stromfunktion ist nicht anschreibbar. Die Randbedingung (6) liefert aber eine

Pseudostrom-funktion das ist die Plüssigkeitsmenge, die je Längeneinheit

aus dem Körper austreten müßte, damit infolge der Welle keine

Flüssig-keit in den Körper eintritt. Da hierbei _{Strömungen in}

Körperlängs-richtung vernachlässigt werden, stellt die in der schräglaufenden Welle berechnete Kraft nur eine Näherung dar.

[r'Y

_{_1'd1J,.}

=

°

'os(xco$,i&)

fsiyt

i(y,ss»,&t)

Í')

-taih (QJ)) coh(z,)J

u0(iSIrti.) _t(h)co&h(i4Jdy

J43 _{Ansatz für das komplexe Potential}

.3.1 Das dreidimensionale Strahlungspotential

Gegeben sei ein dreidimensionaler schwingender Körper. Um das Potential der dadurch erzeugten Strömung zu finden, nimmt man anstelle des Körpers an der Flüssigkeitsoberfläche einen

periodi-schen Druck p unbekannter Amplitude _{an und versucht, durch die}

Erfüllung der Randbedingungen diese Amplitude _{zu bestimmen.}

Der Druck soll nun nicht auf der, ganzen Körperbreite, sondern nur

in einem kleinen Bereich y um y = O, aber auf der gesamten

Körperlänge wirken:

.t

p(xy,zzt) =-je ((,y,ZZo)

für und

(7)

Die von diesem Druck in

z-Richtung

_{bewirkte Kraft P soll endlich}

sein:

p

Ç'(x)

ctx

<00

(Ya)

Die Bedingung

₍₇₎

ist von einem Druck (x,y,z=z0) zu erfüllen,

der sich aus unendlich vielen überlagerten Teildrücken unterschied-licher Amplituden und Wellenzahlen zusammensetzt. Die Fourierent-wicklung dieses Druckes läßt sich mit Hilfe des Fourier-Theorems

Öoo

(x)

,f J

F()cßsfPn(x-)]d.!cLn

o

-angeben, wenn (x) absolut integrabe]. ist, _{was durch (Ya) erfüllt}

ist. Da _{hier von zwei Variablen abhängt, muß die}

Fourierentwick-lung auch zweidimensional sein:

mo

J f J (.,i)cos(k(y-)J cOSrm(i)) d. ctk

dm

oo-.-,

Hierin ist m : Wellenzah]. in x-Richtung

k Wellenzahl in y-Richtung

Da für _{und jxj. verschwindet, wird:}

(*zz =-i-

_¡It

_r

dkde

lo

-z0:

z-Koordinate der

Flüssigkeitsoberfläche

(7b)

(8a)

Ay ist als klein vorausgesetzt, so daß auch klein bleibt und

man cos[k(y-.)) = _{cos(ky) setzen}

kann

_{und erhält:}

(x,y1zz,)= jz JÇ f

(yi)

cL cosfm(*-)]c4 cs(ky)d.Kd.

O O

-oo1f cosOcy) r()COSfPVC.I)1d.!_-j

Als Ansatz für das Potential der Strömung wird gewählt

JIJtl f!

k) coth Vn*k_1z4,)J

cos(ky)cosfc_1)]d.voLkd1

(8)

= e

J

I IC('

000

Die Funktion C(m,k) ist noch unbekannt. Die Kontinuitätsbedingung

4.

+.-U

_òx2

òz

-ist durch diesen Ansatz erfüllt.

Der

durch eine Strömung mit dem Potential

(8)

an der

Flüssigkeits-oberfläche erzeugte periodische Druck p1 ergibt sich dùrch Integra-tion der aus der Bernoulli-Gleichung erhaltenen zeitlichen Druck-änderung jCut (C(m,k)co«kv)cofmC*I)]

-Vn

n,(yinl+ic2hJ bL ₀₀₀

pzz,) =-je

j.(x1z:o)

( x,,z.=z) = J (C(m1k) cos(Lcy) cofm(*-I)J _{cm dk}

_(8b)

Wenn

gleich der gesuchten Amplitude

sein soll, ergibt sich

aus der Kombination von (7b) und (8b) die unbekannte Funktion C(m,k).

(xlv z'z)

= fi f

fcos y)j'()_{cosEx-g)J d.!}dic

(x,1z=z) !. _{f 1CoS(Kv)ÇC(ik) cosfn(}

-r)J

-

y

o cLD7h1VkZ+yflVh3

¿koL4

Der Vergleich der

fc

cos fi(x-)} o

-

12 -Integranden ergibt

--':

r) cosfi'i(-j)} cL! ¿aMhIlYflt4kt'hJ ₄₎

t

i) - o co$fPn(z-i)] C& fC(w),k costsvl(x_F)Jd. o

_I

_j&/

'

'.1

-Setzt man noch _ira

'A0()

und setzt

(9)

in

(8)

ein, so wird

das Potential

=

eItrA

_{_L} )

fco[,(x-

cokfn+ic"(-h)1_co(ky)

¡

(10)

Dieses Potential erfüllt noch nicht die Ausstrahlungsbedingung und die Randbedingung an der Körperoberfläche.

.3.2 Das zweidimensionale Strahlungspotential

Bei der Bewegung eines zweidimensionalen Körpers laufen keine

Wellen in x-Richtung, d.h. m = _{0.Es muß dann die Belegung A ()}

über die ganze Körperlänge von

=-

bis konstant sein, so daß

sich das Strahlungspotential (10) vereinfacht zu

(

at) eA

(cOShCk(z-h)3cOs(kv) ctk

I

1 _{OJ *cos,(Kh)-k$iiih(ki,)}

Damit auch die Ausstrahlungsbedingung () erfüllt ist, muß hierzu noch ein Term addiert werden. Zu dessen Bestimmung wird der Wert des Potentials (11) in großer Entfernung vom Körper benötigt:

Jf)t

Jcú

'

_{cohfK(z-hLlcos(kv)}

_¿k

=e A0)

C.0h('()kh(I(h)

-

e

ÇRk)e""Ic

+Çk)e"GLk1

o

coskf(z-h)J

r

-?cosh(k&)-Ks,nh(kh)

Substituiert man für k _{u:k+il und integriert für y'0 das erste}

Integral über die geschlossene Linie I-II-III-Iv im ersten

Quadran-ten der komplexen Ebene und das zweite _{Integral über die}

geschlos-serie Linie I-V-VI-VII im vierten Quadranten, _{so erhält mari:}

7ft)e'dLL

I.J..J(4. +...d.t4.

= o

=

Die Lage des Pois ergibt sich aus

cosI(0h)V0ihh(U0h) =0

Da um Z1

-

O und für große y auch

.1.11

verschwindet, liefert nur der Poi einen Beitrag

coshfzi)] e

eV

=i1T

-

_{ThIh)-5iPh(9ji) %0hcosM.h)}

= cosi',fQ0z-h)Jcoh(v.h) e'')'

+sii,b(0h) cob)I

und

das gesuchte Integral wird für

y-.00:

Dsh(h)coshf)o(z-h)J e'

o s s.&, (h)coç4,CVoh)

R

+F1L4.')tYdu.

VI'

w

JF(k)"'dK= -L;,, f

t3_'3,J

V, o

Da irn

vf

O und auch für große y verschwindet, liefert in

diesem Fail ebenfalls der Poi nur einen Beitrag

ie()

-

cosi'(oh)coshf,o(z-h)J

e"'

V _{0h +s,h(j) co:h(Poh)}

und

das gesuchte Integral wird

für

y

-F(k)e"'

dJ( = ¡ COh(Uoh)COS1o(Z4)J ¿boY +

-Damit ergibt sich für das Potential (11) bei

y -

00

'1z,)

,jCAXf: cosh(uJ,)_cc&,fo(zh)J

e A0T

')oh

sh ()cosh(u.&)

Die Ausstrahiungsbedingung

(k)

ist erfüllt, wenn man setzt:

,ic1t cosh(h)coshEo(z-h))

cos(v0y)

-

'o

= o e A0ti0 %h+Sinh(.ti)co$h(oh)

jt

cosh(Qoh)

cosIibj-h)J

e

A0si Uoh+Shi(Qoh)cosh(Uoh) Cos(0'y)

Damit wird das Strahlungspotentia].

+J = eJ)tA _{TcoShrlc(4I»coskv)} <

j .

coch(Ocshf9J2.h))co«oY)f (12) t U Für y - wird daraus jCÛt _.

coofo(4,)J

_-.itW = e A0J1T

d.h. das Potential (12) beschreibt eine

Strömung,

bei der Wellen

mit der Amplitude

co,2 oh)

)0h +Sinh(À4cosh(ueh)

(lib)

(12c)

nach beiden Seiten vom Körper weglaufen.

Aus der Orthogonalitätsbeciingung

i=.ï

folgt die Stromfunktion zu

jc ' _{3ihrkz4)Jsih (ky) cosh(h)sinh(.h)Jsin(g,y)}

p ₍₁₃₎

=-e

A01J

vcosh(h)-csbUth) +jiT

ksh(k)h(uJ)

J

Für unendlich tiefes Wasser gehen (12) und (13) über in die

bekann-ten Ausdrücke

ç

'zt) ti e4

[

.k .i.J 11ecos(9y)J °

Çj(y,;t)+j ?0(y,z.L) = e

A0 e 7(kY)cLk _+J1Te

D

Potential und Stromfunktion sollen nun in der Form

vt _{+ (e co(ky}

coshCa c tz-iJ1cos

4 +

= e

-

V1< _h-Kinh(h)

5 (12 b)

O OC OTSd,

!

1 jr01=

(tA4

fl(kY)4 jthi(k) ucosh(_ksih1kz)tLk_,j.cosh(ith)s,nh[!± S'°)1 (i3 b)

o oç V-K V-I( _9co(icj,J)()

15

geschrieben werden, wobei das Potential auf tiefem Wasser

und _r das Zusatzpotential auf flachem Wasser bedeuten.

setzt sich auch aus dem imaginären Tiefwasserpotential und einem Zusatzterm auf flachem Wasser zusammen; die Terme sollen aber hier nicht getrennt angeschrieben werden.

4.3.3

Andere Ableitung des Strahlungspotentials:

Eine andere Ableitung des zweidimensionalen Potentials gibt Porter r9]an. Dabei wird vorausgesetzt, daß der Realteil des

Potentials auf tiefem Wasser bekannt ist. Das in flachem

Wasser hinzukommende Potential wird so bestimmt, daß es die

Bedingung an der freien Oberfläche und zusammen mit 4,., die Bedin-gung am Boden erfüllt.

Als Ansatz für das reelle Zusatz-Strahlungspotential wird gewählt:

eAoJ{ c4(k)

s;(cz) +c(tc) cosh fk(z-h)Jcos(kj) dA< ₍₁₁₄₎

Aus der Oberflächenbedingung (2) folgt für

ìCUtAòJ{uc(I()co(kh)_{+c4(k)I< - c2(Ic)Ksinh( kh)J t(ky) d.L< O}

Die Lösung dieser Fourierschen Integraigleichung

f f.(k)cos(k) clii

₌

ist bekannt:

(k)

- :

_{f g(I)co(ic!)}oL

Man erhält also

f(k) = c4(k)4< + cjk)[coh(kt,)KSihh(I(b)) =0

1< c1(k)

-

c1Oc) - ucoIh(ta)-ksinh(ktj Damit wird ,jCi)t _{¡ 1< coshtk(z-k)1} Jcos(ky)d.i

e

A0J _{C1(W){shh(kz)}

-o

16

-Die unbekannte Funktion C1(k) berechnet sich, aus der

Bodehbedin-'gung (3): .'

aL] UtA

_{-'cLi( +Jc4(I*cosh(kh)cos(k)ak}}

*

h

(u-k)cos(Kh)

2(h-i) .4z

flTCO('1) e A (K+o)k e co.s(t(y) d.

ke

(u-k) fosh(kh) ksithOthflcosh(ia

¿'tAf(ic+u) k2(e

cos(JCy)dk

T

"

coshf%(z-h)Icos(UDY)

Te, '

Ce&k(v) Ou5h)Coh(i).h)

Damit wird das reelle Zusatz-Strahlungspotential wie iñ (12b):

1JWt

_e1'

_{vsnh(kz)_kcosh(kt)COs(ky)L.k}

, (114a)

oco4.

¡ -

CJ 'j- ( _{ucos (Idi)}

-

g wj,)

Den Imaginärtei]. érhält man wie in 14.3.2 oder auf dem in Anhang 3 beschriebenen Weg.

4.3.14 Das zweidimensionale Vielpolpotential

Mit dem Potential (12b) bzw. der Stromfunktion (13b) allein als

Störpotential sind dié Bedingungen n der Körperoberfläche nicht

zu erfüllen. Es müssen daher noch weitere Potentiale addiert

werden, die die BedIngungen (1) biS (11) nicht verletzen, zusammen

mit aber die Randbedingungen (5) oder (6) erfüllen.

+(y,z.)"

A0(t) +

Ajy,;t)

+i1:(y.z;t):I

+Ah{'(y)

+jj,)J

(15)

S werden nun die von Grim [6} angegebenen Vielpolpotentiale.

benutzt uñd nach der in 14.3.3angegebeñen Methode die reellen

Zusatzpotentiale sowie unter Anwendung der

Ausetrahiungs-bedingung wie in 14.3.2 de Imaginärteile bestimmt.

Die Orthogonalitätsbedingung liefert daraus die Stromfunktionen:

V.iT,0('j,t1L)

Für unendlich tiefes Wasser verschwinden

LL3.5 Das Gesamtpo1ential

Damit ist bis auf die komplexen Konstanten A (On) das

Potential der durch die Schwingungen des zweidimensionalen Körpers erzeugten Strömung bekannt:

('y1zt)=2: tA 4j

A3

_f+11jy,,

+ L.('zt)

_{fi ;)J(} .

A +: 1j fAhJ(«+ LCML) tAnr.1}

.(I)+

{t(9'. CbfPI ..IL)

+jfA,.(

=

_{[, +j A]}

_[Tr'.0(yz.j)

+ 1PG4('I1a,t) +j k'; (y,i,t)]

Io

= Z

-A

Tj,1 =

+1)_A1i.

11=0 -

17

-un

Zusammengefasst kann das komplexe Gesamtpotential wie folgt angeschrieben werden:

00

cosII<fy#i(z4)11 cLic _{cosh(uoh)cosfu0[y+,(z-h)}}}

?

=

e

or+Ji]{Ç

cosh(ich)_kgj,h(.j,) +jlT _{+Sflh(Q4,,)Coh(U9h) J}

(20)

Jcetç. }ff&tkt) 2111-4 cof ¡ç f' * U--h))j

T "

cosg,Ly (z-h)JJ +e _EAT+JA1,

_-

_k VCosh(ich)_ks;hh(kh) Co(i,h) 11.4 jW ( ZLPI-A) -wz e

A 1uv) k

e

.r(ky) d..L( (17)

JCUtA Zln-4) -&d sc.osh(Kz)ksn4,(Wz)

-o

(17a)

+) k e cosh(k') t(siri(kh) J(A)

e

A 11 nhfo(-h)Jsm(uoy) _(1Th) h(oh) _U.4

Die Koeffizienten Anr und Anj (On) werden so bestimmt, dass

die jeweilige Bedingung an der Körperkontur erfüllt ist (4.7.2). Sie sind dimensionsbehaftet. Es ist für die Auswertung praktisch, sie auf die Amplitude der Strömungsgeschwindigkeit zu beziehen,

auch wenn sie dann inuner noch die Dimension Länge2r1 haben:

Ar + jA =

18

-A'

und A', haben dann die Dimension einer Länge.

144 Entwicklung der Teilpoteritiale

Die Entwicklung der Teilpotentiale für unendlich tiefes Wasser ist von Grim [43] angegeben:

Für

U,1ezJ.O

"

{

= e 1cos(y)[s+Ln(Ur)+ Re (z+sy) ij+S

9y)[arctfl+

Í)m11

t I.),!

(21)

+Lr,(gr) t

J - cos() [a.rcta4 i

'

'JJ

(21 a) ( ¿ hiht r-4

mit ':.57722 (Eu].ersche Konstante).

Für r+i,o

'' (»,-)!

= L

Rej(z+ivrJ 1 Tesi,( uy (y)

h.q

Y)1 re

cos(uy).sny)

Dabei ist zu beachten, dass semikonvergent ist.

(_i)"(an-i)

fb

[s; Z)J

+ Zi

i.,{cy+;z_cb.4)]

j

₍₂₂₎

r _r .4-i)

4(2tJPnf(sz) J

(22a)

Bei der Entwicklung der übrigen Teilpotentiale wird von folgenden Beziehungen (Anhang 2) Gebrauch gemacht:

2t"

cosh(k)cos(ky) Re[(z+iy)2t]

t=o 2t

sinh(kz)sin(ky)

zI:(2)

Im{(z.+iy)

/ ° _2t+1 sinh(kz)cos(ky) = I(2t+1)!

Re[(z+iy)2t]

to 00 k2t+1 cosh(kz)sin(ky) =

_Im[(Z+iY)]

to

Damit wird aus (ika):

cO

e' d.c

_f

_rt'j

i(e-k) [cosh( ¡(bi) - _csinh(I(h)J[

Re (z.+.y -k Ref(a+iy)2U1J

cO

Izt+i4

(9-k)[CSI(Kh)_-ic.sihh(kì

t-o

00

G(2t+1)

{ vRe[(zs )t+4J- (u.i) Ret

to

(2t+1)f

Entsprechend wird:

00 IJTOJjt G(2t+1) 2&t4 J

(zt.1I

(Zt+i)3mf(i+y)J - 9J»t(zty)

J

çt

_eLS<

Die Funktion

G(t)

= f

()1tj

Weiter ergibt sich aus (iGa):

Re[czsyÇj-(2t)ef(z+y)J I

cO

f.0

t+4 cO

(K-v) [cosh(kh) _h(IhìJ (ifl ef(+;»HJ-k

t.O

wird in

.5 behandelt.

(23)

(23a)

(2g)

00

x?4e4thd.k

_e'

GLk Zt'l e[tv;y)

j

LiYfl

t-o 0G (K-v) íULtsh(cI)-ksihh(L(h)J ¿t+2h+1)_UZG(2.t+2n_.f) 0cosh(ta,)_L(smh(1a,)1ll Zt4

efz+ty)

Entsprechend wird:

G (2t+2n+1)_VZG(2t+2n_1)

c 3i,

_[z+iy)2t3

_{- )}

%ro4.

_to

_(2tt4)!

FUr die Imaginärteile

kann

geschrieben werden:

cesh2(0k)

24

tf,J .h+Shih(OoIi)Co$h(o&i) jjj-Ref(z+iy)ttJ

*h(J)

(?.t..l)I'ReLCZ+)vI

ij

(25)

to

cos,2(Qbh) 2é+4 = IS

t

4,J-oo) (z,l)t1bfcz41y)

_Jj

(25a)

-20-d3

iTVM at

(zes)t Refz+;yfJj

'fhJ

-

t)h + sinh(u0L1) coh(V0I,) j1?[(Z+SY) J -

tiih(OL) Z

Z(P-4)

=

(u:u2)tr0.

T

_{j3.,Ijz+iv)UJ}

-

ta&h(9h)

_(I4)

»*;vrJ1

hJ _{)oI+SIflh(Ooh)Cosh(l)o) tuo}

to

db

(24 a)

(26)

=uo

_(26a)

4.5

Die Funktion G(t) Die Funktion 00 r t -kh

lk.e

dk G(t)

) (k-o )[ucosh(kh) - k

sinh(kh)J

/

weist im Integranden zwei Pole bei k = ' und k = _{auf. Es ist}

nicht möglich, dieses Integral geschlossen zu lösen. Es gelingt aber [23], es in ein anderes überzuführen, dessen Integrand stetig ist. Dazu wird das Integral zunächst normiert

G'(t) = G(t).ht =

u e

du

j (u-v'h)(vhcoshu-usinhu)

o

Mit

der Substitution w u+iv = _wird

-

21

-wteIdw

(w-h)(bpcoshw

- wsinhw)

+3 3....+?-.Q

X _i W o -9h + J...

.j

-

iV o

und J11 sind imaginär, da sie die Residuen sind, J11f O für R-,co.

Es bleibt also:

(ut _{e du} wt.e _dw

=

_Re{}

=_ef

J

J (u-vh)(

h cosh u - u sirih u)

(w-

h)(

h

cosh w -

w

sirth

o TP

Macht man den Nenner des Integranden durch Erweitern mit der

konju-giert komplexen Funktion

(W- 'h)(

')h cosh

W -

sinh W) mit

W reell, so erhält man

G'(t)

._(wt

e(i-h)(mcosh-WsinhW)cIw

L J _{(w- ' h)(W-. h) ( ')h cosh w - w} sinh w) ( _{h cosh} W - W sixth W)

(28)

OC

=_cosyJ{Î]t )sigJ-1tohs&os.tVsin!J+?j?1tntXcusg.e) -(i-tftntj) "J

EZ-b)}&osh f(2 vzha+?.. 2chStD.rth)+(2 2h1-?)cos, +2vh sinJ (27e..)

£1t]

(27)

Da t immer ungerade ist, wird +sin) Ner»er ()t4s _{für = 1, 5, 9,} o _c f

g(g)Z(CO5e)

_{-2g2s,g'#vh(cos Sin)}

für 3, 7 11, .

Nepiner

o

Abb. 6 zeigt für einige t G'(t) in Abhängigkeit von ')h. G(1)

weicht bei kleinen ')h entscheidend von den von Kim añgegebenen

Werten ab. Es wurde deshalb nicht nur das Integral (28) hinreichend auf seine Konvergenz durch verschiedene Integrationsintervalle und

_schrittes, sondern auch das Integral (27) nach Abspalten

der Pole durch eine Laguerre-Quadratur {31, 35] berechnet'.Je nach

-.---. -S . . .

Schrittweite und damit Rechenzeitaufwand kann die Übereinstimmung beliebig, weit getrieben werden. Hier wurde Übereinstimmung in acht Ziffern als hinreichend betrachtet.

Für t>1 nimmt G'(t) endliche Werte an. G'(l) hingegen konvergiert

für uh -, O nicht, da der Integrand mit abnehmendem h monoton

wächst (Abb. 7). Es soll deshalb das asymptotisehe Verhalten f1r Jh - O untersucht werden.

00

22

-G'(l) = G(1)

(u e.du

) (u- 9h).( h.cosh u - u.sinh u)

o

(28a)

Für kleine vh konvergiert der Integrand in (28a) schnell (Abb. 8). Deshalb können anstelle der Hyperbelfunktionen die ersten Glieder ihrer Reihenentwicklungen gesetzt werden. Als Näherung für (28a) wird also gesetzt:

00

-

(u.e.du

urn G (1)

9h-o i _{- J (u- 9h).( 9h-u2)}

o

Durch Partialbruchzerlegung erhält man hierfür:

co co _{cO -u.}

I

I

(e

L;m Gq(1)

=Lsp7 .- s.

+ 2((i-4)j

I4-o O (29)

Nun ist

00

(e'.du

u-a

-o

80 daß man

erhält:

- (h)" e L; Gkt.) = + m

e_a.[+

_inlal

jm.m!l

- 1-gI') _{- _',,,,_TVnJ} -S vh.iO1 I vh -

23

-,

e'

p,, 24(j+j)[ Ln('h)

+(-1

ti i

Ji

Z(i-vh)

Pfl.p _J

i

p,,

(4-1)e'

_[(v)-i'+

2f(4-h)

Ih:Z _J f 6 sIh4ì sihh '-Liw _--.---

_1TL1()

J+i[cAs-viî'

J

-

_{4-VI' 4-VI')}

1-UI' 2(4v,)

I

;g

th)!r

-

lth)_

_eZc-ir1!!!'? e

₂

+e

_¿

. e

Z-i'

.&

+

n!Jj

i-,-Ln(vIi)

_(29a)

In Abb. ₉ ist diese Näherung dem exakten Wert dea Integrals berechnet

nach (28) gegenttbergestellt.

Die Bedeutung des Imaginärteils dea Integrals (27a) ist in Anhang ₃

Hydrodynamische Kräfte

4.6.1 Trägheitskraft. und Dämpfungskraft in Glattwasser

ist das Potential der Strömung gegeben, so folgt aus der

Bernoulli-Gleichung der lineare Teil des instationren Drucks:

Das Potential ist mit der Schwingungsgeschwindigkeit in Phase.

Will man die Phase des Drucks auf den Schwingungsweg beziehen,

so muss die Phase um 9Q0 reduziert werden, was einer

Multipli-kation mit

j

entspricht.

Der Druck ist also dann:

Die hydrodynamische Kraft, die das Wasser auf den Körper ausübt, ist gleich dem Integral des Drucks über die Körperkontur. Im zweidimensionalen Fall handelt es sich um eine Kraft je Längen-einheit. Für die Kraft in vertikaler Richtung erhält man:

F

_{.f pcLy}

Ç p dy

cuVE1

j

1]

(vç

-f

)

24

-_wVeiWt

_([A

_{TAj i}

J ₊A

_'p)J

dy

'°

Der Realteil der Kraft ist gleich hydrodynamische Masse ma]. Schwingungsbeschleunigung, woraus für die hydrodynamische Masse

folgt:

pflhl.E:L=

V1

b

c&Vcs4L,t

Dimensionslos:

c

-

(30a)

vBt

Der Imaginärteil der Kraft muss gleich sein der hydrodynamischen Dämpfungskonstante mal Schwingungsgeschwindigkeit. Dann ist die Dämpfungskonstante:

VV

Anstelle dieser Dämpfungskonstante wird normalerweise das

Verhältnis der Amplituden von entstehender Welle und Bewegung

angegeben. Dafür erhält man durch Gleichsetzen der Energien bzw. Leistungen:

25

-A2 w2

co

.Ssnh(Voh)

9 99 2Uoh+Sinh(2oh)

co2(%h)

'V

Vj

Auf tiefem Wasser wird die hydrodynamische Masse bekanntlich für )-'Ounendlich groß, da das Potential (21) in

= '-+Lnftr)

(30e)

OrCO

übergeht und man für die dimensionslose hydrodynamische Masse des Kreises erhält [6]:

Liv,',

Ç Liv,,

Yn"

8 f'

9-'.o

B1 -

L_uT)

'4fl(h_1)}

Für das Amplitudenverhältnis gilt in diesem Fall:

Lirn cto

Auf flachem Wasser bleibt die hydrodynamische Masse für O

endlich. Da die Vielpolpotentiale ebenso wie auf tiefem Wasser nur endliche Beiträge leisten,' braucht man hier nur das Strahiungs-potential zu diskutieren, das bei unendlich tiefem Wasser für das Ergebnis - unendliche Masse - maßgebend ist. Für dieses Strahiungs-potential liefert der Grenzübergang auf flachem Wasser:

(%

. + ¿r) -th(vh)

= t

.1- ( c1)

Für tiefes Wasser liefert (30d) natürlich ebenso einen unendlichen Wert wie (30e).

Für das Amplitudenverhältnis auf flachem Wasser ergibt sich

-wenn man die Beiträge der Vielpolpotentiale, die im hier

interes-sierenden Grenzfall -'o verschwinden, außer

acht

läßt - aus (12e)

A_° cosh2(voh) _A J1T 9

9.h;nh(h)cd,(,.h)

oi+ SihIJ(Ph)CoI(VJ,) coch2(0j))

=A'v

oSiflh(7oQCo3,(p0Ji)

-

V uOh+s;nb(J))sh(uJ,) ° Da lim2!-.

= i

,wird

v-'o

Lii'v A =

B

_Uk

VoSiiih(oh)Cosb(i3Oh) ¡hh(v.h)cosh(v0h) (30b)

dvctVo

B : 1

un

-= T

UusiiWM)cosh(Q0h)

Äv) muß alsö bei

_{;0 eine vértikale Tangente. haben.. ..}

Die Tatsache, daß dIe hydrodynamische Masse _{für tiefes Wasser für -'O}

unendlich wird, läßt sich physikalisch wie folgt erklaren. Je kleiner aie Frequenz der Bewegung wird, desto länger wird die ablaufende

Welle und desto sôhneller läiÄft dieée vorn Körper fort. m Grenzfall

=0 ist diese Welle unendlich lang und breitet sich ebènso wie der

Drück -da Inkompressibihität vorausgesetzt _{war- mit unendlicher}

Ge.-schwindigkeit aus. Das bedeutet, daß allé _{FlCtssigkeitstéilchen in}

Phase mit der Bewegung des Körpers sind. _{Daraus folgt, daß auch die.}

hydrodynamische Kraft in Phase mit der Beschleunigung _{des Körpers}

sein muß Also gilt

_=at

_rctal,!O

H1OO _F

Diese Bedingung ist nur erfüllt., wenn _gleich

unendlich wird. F. ist aber endlich (Abb. 10):

iES;= !rj

Z -.

.Yj _'.3V fw

cd viT

26

-Da hm

= B

_{, folgt hm}

4O V _{v-.o J.} unendlich sein.

Also muß = m": endlich sein.

B2 . Also muß

1rr m° :

Der endliche Wert der hydrodynamischen Masse _{auf flachem Wasser ist}

physikalisch schwieriger _{zu interpretieren. Eine vollst.ndige}

ErkUi-rung kann hier nicht gegeben werden. Es soll aber wenigstens _versucht

werden zu zeigen, daß das Ergebnis nicht unsinnig ist. _{Auf flachem.}

Wasser kann die Welle auch in inkompressibler Flussigkeit nicht mit

unendlicher Geschwindigkeit laufen, _{sondern höchstens Schwallge-.}

schwindigkeit erreichen.. Bei langen _{Wellen auf flachem Wasser wird}

auch die Energie mit dieser Geschwindigkeit _{transportiert..flaraus}

iàt zu schließen,, daß für kleine Frequenzen mit abnehmender. Frequenz der Dämpfungsanteil der hydrodynamischen Kraft relativ zunimmt. Dies

zéigt auch Abb. 10. Das heißt aber: .

.

Eo.tcti --o

Erregende Kraft durch eine Welle

Die auf den festgehalten einer ankommenden Welle ausgesetzten Körper wirkende hydrodynamische Kraft setzt sich zusammen aus

der Kraft durch die ungestörte Welle (Froude-Kriloff-Hypothese) F1 und der Kraft infolge der Störung der Welle durch den Körper, die in einen in Phase mit der Beschleunigung oszillierenden Anteil F2 und einen Anteil F3 aufzuteilen ist, der in Phase mît der Geschwin-digkeit ist.

FE F1 + F2 + jF3

Berechnet werden diese Kräfte aus dem Potential der Welle und

dem Potential der Störung .

Dabei stellt, wie erwähnt, für p.4q00

die berechnete Kraft nur eine Näherung der erregenden Kraft dar.

FE=F+F+jF=

_c[4iJaLv

27

-jwt

- -

e + y

[A-A'

₊₃ cLy Hierin ist e3 z)Jco(%'ys.t) d.y

jwt

F =gcVe

z j(Ut '

- w V e

_Ç[A' . +A r] ¿, .s

Die dimensionslosen Amplituden werden mit y :

_________ - _{[cosh(u,z) -teih(J) sihh(uz)Jcos(uoysin/e) dy}

j

₃

E_Z =

-

2_

Ç[Al_ A'hJ

y,]dy

-

= -

i-- '

_+A'3

3'9B

3 L.)

po £

Für den Fall 44.: 900, also die querlaufende Welle, können nach

Haskind-Newman E37} die Anteile E2 und E3

noch

auf andere

Weise bestimmt werden:

(31)

28

-ist w=LfPwe.Jt das Potential der ankommenden Welle und

s=se3t

das Potential der Störung durch den Körper in weiter Entfernung vom

Körper mit der Geschwindigkeitsamplitude V = 1, 80 gilt:

FE=_dwtJ{pw*

'r4JcLz

(32) Nach Anhang 2 ist

ECA

'W U cosh(%l) _taPIh(UDh)SIP)(Uo2)J COS(%'y)

Aus 4.3.2 und

¿43

folgt als asymptotischer Ausdruck fUr das

Störpotentia]. der Tauchbewegung in glattem Wasser mit V = I

'9 iT cosh2(oh}

U' h(!.k)cosh(,h)[cesh(4 -taih(oh) SÎhh(Uo2}si &y)fAot+iAj -(9e-v)

4

('+jA,)

'J

Dieses in (32) eingesetzt ergibt

h

...Jwt

217 cosh2(Vh)

_{-(-vt) Z (AfrjAj}

J 014 2(o-4)

(v-)Z (A+jju0

Dimensions los: -

T

ç '

cO Z(p-4)

E,+Ea

_-

-

_:i (32a) JPfl{FE

ir r

s cO

-

s9ß

_0:i

j

¿4.7 _{Numerische Behandlung}

¿4.7.1 Darstellung der Körperform

Es werden Querschnittsformen beha Lewis -Trans formation

is

y+iz

= _{e +}

auf den Kreis abbildbar sind. Dies st da Wuistapanten dadurch nicht dargest tert die Bestimmung der noch unbekannt

A aber sehr und schränkt den Rechenzei

Die Körperkoordinaten sind dann

y (1+a) cose +.b

cos(3

z (1-a) sine - b sin(3

Die in den Flachwasserpotentialen auftretende dann

z + iy = i(y-iz) = i

[e'+

a

Alle Rechnungen werden im Lewis-Baum durchgeführt dimensionsbehafteter Größen ergibt sich aus folge

29

-z

ndeit, die durch die

a b e

Größe z + iy ist (33) eilt eine

Einschränkung

dar, llt werden können, erleich-n komplexeerleich-n Koeffizieerleich-nteerleich-n taufwand ein. e1S _{+ b} ei3eJ _(33b) Die Umrechnung der Tabelle. Größe Groß-sfUhrwg Lewis-Baum GroßausfUhrun LSWiSBaUITI Breite BR 2(1+a+b) BR 2(1+a+b) Tiefgang TI 1-a+b TI 1-a+b Wassertiefe HT.TI t-t, h-WT HT(1-a+b) TI 1-a+b Weilenzahl TI 1-a+b 1-a+b TI Beschleunigung g g i Kräfte F0 F TI {l-a+bJ

e)

(33a)

e)

4.7.2 Bestimmung der Quellstärken A

Die noch unbekannten komplexen Koeffizienten A

_{(Odno), die}

physikalisch die Quellstärken der die Strömung erzeugenden Singularitäten darstellen, können bestimmt werden, indem die Stromfunktion (19) mit den Koordinaten der Körperoberfläche in die für den jeweiligen Fai]. geltende Randbedingung (5a) bis (6b) eingesetzt wird.

b

'f[(y,z),]

mtf(y,2)&,t,t]

₍₃₁₄₎ Zur Bestimmung dieser Unbekannten An müssen ebenso viele Gleichungen formuliert werden. Da hier nur Lewis-Formen be-trachtet werden, bietet sich dafür ein einfacher Weg an.

Alle Teilatromfunktionen

_und

_{Randbedingungen lassen sich ohne}

oder mit geringem Rechenzeitaufwand in Fourierreihen

Zc,,,,, sin(2'nO)

- 4,,

oder mit in Cos [(2rriId)ø1 = h,=4 -. 30 -. entwickeln.

Die Lösung dea durch Koeffizientenvergleich entstehenden komplexen Gleichungssystems liefert die Unbekannten A.

Die Quellatärke des Strahlungspotentials _{für den}

31

-1'7.3 _{Genauigkeiten}

Die in den anges chriebenen Entwicklungen auftretenden Summationen über n und t erstrecken sich von Null bis unendlich. Die Genauig-keit der Ergebnisse wird also von der Entscheidung beeinflußt, nach wieviel Gliedern die Summation abgebrochen wird. Die Genauig-keit hängt weiter ab von der Schrittweite bei der numerisch durch-geführten Fourieranalyse der Stromfunktion (21a) und (6b)

sowie der numerischen Integration bei der Bestimmung des Anteils des reellen Strahlungspotentials 'p. an der hydrodynamischen Kraft. Wesentlich beeinflußt wird die Genauigkeit von der ebenfalls

numerisch durchzuführenden Integration bei der Berechnung der Funktionen 0(t). Da in allen .vorharidenen Programmen die.

Speicher-platzbelegung dynamisch ist,

kann

der Kompromiß Genauigkeit

-Rechenzeit von Fall. zu Fall geschlossen werden. Für alle hier angegebenen Beispiele gilt:

Zahl der Teilpotentiale: _{umax + i = 5}

Zahl der Glieder in Summen über t: + = 9

Zahl der Konturpunkte bei Integration:

max + = 21

Zahl der richtigen Stellen in 0(t): 6

¿.7.Le _Beispiele

In Abb. 12 bis iL sind für den Kreiszylirider auf verschiedenen

Wassertiefen die dimensionslosen hydrodynamischen Massen C und

die Amp].itudenverhältnis8e

L

und in Abb. 15 die dimensionslose

erregende Kraft durch eine querlaufende Welle dargestellt. Die Auswahl des Kreises erfolgte nicht,wei]. dafür die Ergebnisse besser wären als für andere Profile, sondern da die Ergebnisse von Yu-Ursell und Kim für diesen Körper Ausgangspunkt der Arbeit waren. Der Vergleich mit Abb. i bis 3 zeigt entscheidende Ab-weichungen. Es wurde deshalb noch die von Yu-Ursell angegebene Entwicklung und numerische Auswertung der Potentiale nachvoll-zogen. Die Ergebnisse waren die gleichen wie hier dargestellt. Daraus Ist zu schließen, daß sowohl Yu-Ursel]. als auch Kim die Funktion 0(t) nicht exakt bestimmt haben.

5. Lösung für die Horizontalbewegung

5.1 Randbedingungen

Die unter 4.1 getroffenen Vereinbarungen gelten auch für die Horizontalbewegung. Das gesuchte Potential muß natürlich die von der Bewegungsrichtung unabhängigen Bedingungen a) bis d), formuliert in den Gleichungen (1) bis (4) in 4.2 erfüllen. Die Bedingung e) an der Körperoberfläche muß aber neu formuliert werden.

Da hier zwei Bewegungen, nämlich eine Translations- und eine Rotationsbewegurig zu betrachten sind, ergeben sich aus

1]

-P)]fl6(

V,,b.,ld.

auch im glatten Wasser zwei Randbedingungen,

nämlich

für die Querbewegung

-

32

-f1

-

_1 dy ctz

-

ftfl

-

_{- 1i Z W}

- -ii

_{= -Ue Lfl}

Jw

Lte

dz

- LLe _(35a)

und für die Rolibewegung

___

j

_=foe

- r

ITR _d

>

-'e

2Z]Rfl+C

_(35b)

Für den festgehaltenen Körper in der Welle erhält man analog zu 4.2, wobei hier, da nur die Kraft in horizontaler Richtungtund

das Moment um die Körperingsachse berechnet werden sollen, nur

der in y punktsymmetrische Teil des Potentials bzw. der in _y

symmetrische Teil der Stromfunktion der Welle (Anhang 1) zu

berück-sichtigen ist, in der querlaufenden Welle

-

e"{ [h C

_{- taiih(0h)cosf(2)} Co5(%Ziy)}

(36

a)

und in der schräglaufenden Welle

jx,y11z,*)= - ih(gcost) ÇSh h(%z) toek ()cosh( z.)J

-

v0( -s; )fSsh(9.ysHp){s; i()-.fath()cosh(v.z)} dyf

33

5.2 Ansatz für das kp1exe Potential

5.2.1 Das zweidimensionale Strahlungspotential

Analog 14.3.1 erhält _{man für das dreidimensionale} Strahiunga-potential

0f(X1'jSZIf) etÍAotT)jcosEpnt,c _T)'1 SIC Sn, ¿

das. sich im zweidimensionalen Fall zu

cf-iI

ii(k)

CLL(

-

e

I,(kt,) k shih(kh)

reduziert. Erfüllt man die Ausstrahlungsbedingúng (14) _entsprechend

14.3.2 oder gemí Anhang

_3,

so wird da8 gesamte Strahlungspotentia].

'A

(kcoskf1z-h)] sn(Ky)

(37)

(3,8)

Potential und Stromfunktion sollen wie in _{4.3.2 aufgeteilt werden:}

+. ¿1.tf

TKoA Tx

s;jOcy 94inh(I(z)-KcoSt, . so)5fVA-h)jsrn(U)l,.

(39

a)

o'4ç

.1 =

, ¿

-k

I-kuh(kh) 4h

hosI() j

'1f _ot 4t17

't.'

'r ithcosicj.K ( oc3 kosMKz)-K sinh(Ic) coWvoJ)srnh&(b)1 cou1.') (14 Oa)

- t0 9-I( ¿ V- < h(I-ksih(kh) vi + _{()ch)CoSi(Uob) J}

5.2.2 Das zweidimerisioriale Vielpolpotential

Das zweidimensionale Vielpolpotential wird entsprechend 14.3.14

e)t

Ai, J(i'iv) k e2s,hky)

A

?t/,

+)

k'e'

(y z-L)

=eJtA

i

cosh f.(Z-h)Lç;,,( _v) l_

il

_{Coh()0hJ 'J$* iih(M)co&(Uh)'} (141'),' (4 lb)

iz,)j}0y,zt)

e dic + _°

(39)

und die Stromfunktion

tT

_{(y,z )}

_i *j 1f_øj

(yì

t)

(AO

: T kSnhLC(Z4,)Jcos(ky)

A

J (140

J

Die zugehörige Stromfunktion ergibt sich dann zu:

5.2.3 Das Gesamtpotential

Damit ist bis auf die komplexen Koeffizienten A

(Ono) das

komplexe Potential bekannt:

(y1z,t)4.; 12,t) ¿ [Aoi'jAqj) r {kf+i(z-h)1Mk cosM9,k) s4io[yti(z4)Jj

J

L VCoi4i(kbi)-K sPih(kh Voli +h(i)co&h()oh)

- 3L

-i 2i'-1 -I(z

= e

e co.cUy)cLk

D

2i,-4 -Xli cD$(l()4<S;lthciC2)

jut

= -e A _{S (Ici-u)k} e

vCsh(Ith) 1,(kh)cos(ky) aLL<

o

'IT

t,j

(y1z.1t) e A

Uok

bii4

-

e"[AM+jAhJ]j Ç(L_lL)

_k4

;{kfY+;(Z-h)J1&( . ir Q0 _{SiPlfft.CYtI(Z.47)j1} 1

7coshtlth) k iPih(Ith)" '0h(.))

Schreibt man dies analog zu 4.3.5, so erhält man:

(y,z,t) = e

L. {

AJ

'r1,,, '?i,r,ii) '1

'fj 'i [A(

r" 'ro.L) + ir _{(4 3a)}

e _J

_{"%a) +APiip.)}

(4 3b)

mit A1, _{+ iA U[A'r + jA} bei der Querbewegung}

t(o [Air + JA'} bei der Roilbewegung.

hat die Dimension Länge22. A'1.1q1 und haben dann bei der

Querbewegung die

Dimension

Länge und bei der Roilbewegung Länge

Die Bestimmung der Koeffizienten A _{erfolgt so, daß die jeweilige}

Bedingung an der Körperkontur erfüllt ist (56).

(42)

5.3

Entwicklung der Teilpotentiale

fZ2%

+2{(,y){x.*

Ln(qi) + '

_'e'Y)mJj

co y){acfo4+

vm3mLz$;y)rn3.1 (1J4) L_.

'n,!

_J

L

_iT In4 _J

z

rcb y2.z2

't

+Z'-CO:

th 2 TOTCO yZ+z2 (=0 .(Ii_1) QJ-V9 2Lh-')

.

(_?t)

35

--92 (

-

c Cy){.+Lvthr) .Y efCz+sy)JT

(4 a)

. bI.h, J J 1 I.4 ' (G(Z43) 7ef(2+ayJ J

'-i. (at.

J t.i2a,+3)-6(2t+2n,4) (Zts.1) '(PI,.4)!Jm((z+iV)1"J irue cos(9y)iii(y) 4Ykef(ziyP»J _hue

(-

_i)»4(a)'

ueL('yz)ç ..4ati..i) Q

-c44)1

mfy+z)

J - -

Y+)

i

----G(Zt+4)

-v

zï&((zty)2J G(ZL+Z4) - VG(Z .2,-i)

G(Z2,)-G(tt2i,fJ

_.r(

.)UPfJ G(ZtfZnsf) -vGztI-zh-l)

L2t+4)! (2t)(

2,

-

COSh U)oI,I f

U*h+ SinI,(ok)coA(911,) 1

to

uuijj

1»t(Y)'9J

-

O

+ S P7OL) Coh (uJ,)l (+i)f

e((zty)U*4J efcz.;y) J} 1i, 2f4

t,.

_to

(d)

_cCL

Cit1)

(49a)

21

G(2t+ 3)(Z.t443! U G(Zt+41 N

(L5)

(14 5a) (146a) (147a)

(48a)

36

-5.14 _{Potential für verschwindende Frequenz}

Grim [.6:1 gibt für die Horizontalbewegung bei Frequenz Null das komplexe Potential

.-(2's.4)

Aj

(',+;z) +z: [(y+jzsi2th) +(ytiz-iZirnh)

h=o

ari, das bei Anwendung der in 14.7.1 angegebenen Lewis-Formen auf der Profilkontur übergeht in:

p .jZG $'IQp CO 4z.,.4

P 2p.2v.$ e°+Li&i»

co p

z

{(.4)P ¿ (Z4.P)( P)0)_L.&e

e'2'

.2(11)0] ,jo t ¿Ø %Zp44 ¿

t2Z

_v124"'1'E

(a.c.?+4)(ZP44)( L)

p.4 (. tso k.o o. & e

Diese Summen konvergieren, solange gilt:

e0+ae.be

e8+aè+.e43O .l1

2U

Daraus folgt, da m1: .2e -.46

-1e +e

-Das Potential konvergiert also,wenn

1+a+b B 2 HT 1a+b -Körperbreite 14xWassertiefe (50) (50a). (51)

i j. =.A,, e

(-i)

( _,, )(o.e +&e

i2E1(2ni»)

Z(-)

5.5 Hydrodynamische Kräfte und Momente

5.5.1 Kräfte und Momente in Glattwasser

Im glatten Wasser ist die hydrodynamische Querkraft bei der Querbewegung

TJ = U

S''

; +

(A sA'1 If',)l cLz

und bei der Rolibewegung

+jFj

=_cic?eJ3t

(tA' -A j(F%t +A'1 )]

Das hydrodynamische Moment im glatten Wasser wird bei der Querbewegung

f'1Q=t'1Q+JN.=

(53)

und bei der Rolibewegung

MR = i1+j t'$ i- cJe3' ([A

.j (Aj+Aj

l::YO(7+ z

dz]

(53a)

Die Koeffizienten und sind natürlich bei der Rolibewegung

andere als bei der Querbewegung.

Es ist üblich, anstelle der Kraft bei der Roilbewegung und des

Momentes bei der Querbewegung fiktive Hebelarzne _{anzugeben, die wie}

folgt definiert sind:

ii _c

_crc W

°i

U.N

-

1

Dimensionslos ergibt sich dann bei der Querbewegung

r FCr

= 9T

S(%LTZ

Z

AQ -+coh(Uo)smhtj) .i Q't Gç

-

T. _{T T.}

-

37

-und bei der Rolibewegung

ÌI

-

Cß5h2(ti) _R AR a

_-

₄₂₃₁ J T T

--=

M3L T TE w»,

krì

I

----=

_2.

4

1 7 (5i4) (51a) (52) (52a)

38

-5.5.2 Erregende Kräfte und Momente durch eine Welle

Teilt man die auf den festgehalten einer ankommenden Welle ausge-setzten Körper wirkende hydrodynamische Kraft bzw. das hydrodynami-sche Moment wie in 4.6.2 auf in die Anteile aus der ungestörten Welle und der Störung durch den Körper, so erhält man:

=

s

= .J)UXCOS/A[cosh(z) _to,d(gDh)

sh (z)} siiy.s.a*)

s

4- u_ L [ATT-A',J i. A _'cT)1 £1.2.

(55)

M = t-i1+ri+j ij = - sûe

«°

[cosh(% )-tuih(OJ.)ail,(uoz)] s(oys.e,) 's

CO

't-U._pO

+ ( A.+

r1I

+zd.z]

(56)

Die einzelnen Anteile ergeben sich hieraus zu:

F4 j(wtUoxcosp) e s

-gLe'

_1[-A.jjjcb

,=o S F=_StuILe"1

[A.$A1t

f 1cosh(oz)

taiI(9oh)siv4oz)]ssv(hji.)[yC(y+.dzJ

S

-

t4U _rAL -A1

_ç]fy

+ z4zJ n-oS

= U. e

Z

A ]['cL 'e-zLzj

hto 3

Macht man die Kräfte durch Spantfläche mal maximale Wellenschräge dimensionslos und gibt die Momente durch die fiktiven Hebel an, folgt:

= f

[A,

j'

-z _e'os = F3 _ai1h(9oJ)Z

+/}ctL

3 J Y!í F-T1+ T Re{FEI I

Z -

-(v.b)

j [co.sk(02) -ih(oh) ihh(c) sii(9oysiiy4) cLx.

s

Die Haskind-Newman-Beziehung[37für die durch eine Querwelle erzeugte Kraft gilt hier ebenso wie bei der Vertikalbewegung:

-=

PTPEI

i(

E3

39

-Iwi

=_!

T

TF3

5.6 Numerische Behandlung und Beispiele

Wie bei der Vertikalbewegung werden hier betrachtet (4.7.1).

Die Koeffizienten werden analóg 4.7.2

Teilstromfuriktjonen in Fourierreihen

co

. cpms.nr(zm+a)eJ4ctu,,co(2m8)}

,1 _k'O

entwickelt

und mit Hilfe von

Vrs2

(2v)

_i

L-(21(+2r.,.l)(2k-2.vn+4)(Zwt4)

s;Lak.4)eJ

ICco

übergeführt werden in:

cO

& fc2+4)eJ

s-Für die bei der numerischen Behandlung erreichbaren Genauigkeiten gilt das in 4.7.3 Gesagte entsprechend. Die Berechnung der Kennwerte

bei verschwinderider Frequenz nach 5.4 kann ohne großen

Rechenzeit-afwand beliebig genau erfolgen.

nur Lewis-Formen

berechnet, wobei die

(56a)

(55b)

i,j 'r31 ct

10

-Als Beispiel wurde ein Lewis-Profil der Völligkeit 1,0 gewählt. Die hydrodynamische Masse dieses Profils bei verschwindender Frequenz ist für verschiedene Breiten-Tiefgangs-Verhältnisse in Abb. 16 dimensionslos als Funktion der Wassertiefe aufgetragen. Das hydro-dynamische Trägheitsmoment weist eine entsprechende Abhängigkeit von der Wassertiefe auf..

Für ein Lewis-Profil der Völligkeit 1,0 und B:T 2,0 sind die

dimensionslose hydrodynamische Masse und das dimensionslose hydro-dynamische Trägheitsmoment für zwei Wassertiefen in Abb. 17 dar-gestellt. Mit abnehmender Frequenz nähern sich die hydrodynamische Masse und das hydrodynamische Trägheitsmoment den für verschwindende Frequenz berechneten Werten. Abb. 18 zeigt die dazugehörigen

Ampli-tudenverhältnisse. Die von einer querlaufenden Welle auf den Quer-schnitt ausgeübte Kraft ist dimensionslos Abb. 19 zu entnehmen. Die Berechnung erfolgte unter Berücksichtigung von vier Teilpotentialen.

6. Anwendung auf Schiffe mit Hilfe der Streifenmethode

Für die Anwendung der zweidimensional berechneten hydrodynamischen Größen auf dreidimensionale Körper mit Hilfe der Streifenmethode bringt die beschränkte Wassertiefe keine zusätzliche Einschränkung. Es ist u.a. darauf zu achten, daß auf flachem Wasser

An zwei Beispielen, einem schlanken Container-Schiff und einem Schiff der Series 60 mit einer Völligkeit von 0.7, wird der Einfluß der Wassertiefe auf die Obertragungsfunktionen gezeigt. In den Abb. 20 bis 22 für das Container-Schiff und Abb. 23 bis 25 für das Series-60-Schiff sind für unendliche Tiefe und Wassertiefe gleich doppeltem Tiefgang und jeweils zwei Froudesche Zahlen die Ubertragungsfunktionen für die Tauchbewegung, die Stampfbewegung und das Längabiegemoment im Hauptspant aufgetragen. Es zeigt sich, daß die Verringerung der Wassertiefe eine Erhöhung des Biegemomentes mit sich bringt.

41

-7. Zusammenfassung

Es wurde, ausgehend von zwei Arbeiter von Yu-Ursell [20] und Kim [25], der Einfluß der Wassertiefe auf die hydrodynamischen Kräfte an einem an der Oberfläche vertikal und horizontal

oszillierenden zweidimensionalen Körper im glatten Wasser und in Wellen untersucht. Dabei wurde besonders das asymptotische Verhalten bei sehr kleinen Frequenzen betrachtet. Für die

Tauchbewegung wurde bei vers chwindender Frequenz eine endliche hydrodynamische Masse erhalten. Eine volibefriedigende physi-kalische Erklärung dieses überraschenden Ergebnisses konnte nicht gegeben werden. Die numerischen Ergebnisse zeigen, daß für den Bereich sehr kleiner Frequenzen sowohl die von Yu-Ursell angegebenen Werte als auch die von Kim für die Vertikalbewegung nicht zutreffend und die von Kim für die Horizontalbewegung

vermutlich infolge einer ungenauen numerischen Auswertung -ungenau sind. Die Horizontalbewegung wurde nur knapp behandelt, da die meisten Ableitungen und Betrachtungen analog der ausführ-lich dargestellten Lösung für die Vertikalbewegung sind. Rechen-programme unter Verwendung von Lewis-Formen sind ausgearbeitet und geprüft und stehen zur Verfügung.

Als Ausblick wurden die zweidimensionalen Werte _{zur Berechnung}

der Ubertragungsfunktionen. eines Schiffes mit Hilfe der Strei-fenmethode benutzt.

[3] fi

[

6 i

[7]

42

-8. Literatur Lewis, F.M.:

The Inertia of the Water Surrounding a Vibrating Ship

Trans. SNAME vol.

37, 1929

t2 Wendel, K.:

Hydrodynamische Massen und hydrodynamische Massenträgheitsmomente

Jahrb. STG 1 Band,

₁₉₅₀

Landweber, L. und M.C. de Macagno:

Added Mass of Two-Dimensïonal Forms Oscillating in a Free Surface

Journ. Ship Res. vol. 1,

_1957,

and vol. 2,

₁₉₅₉

Ursell, F.:

On the Heaving Motion of a Circular Cylinder on the Surface of a Fluid

Quart.Journ.Mech.Appl..Math. vol.

2, 19h49

Grim, O.:

Berechnung der durch Schwingungen eines Schiffs-körpers erzeugten hydrodynamischen Kräfte

Jahrb. STG J7. Band,

₁₉₅₃

Grim, O.:

Die Schwingungen von schwimmenden zweidimensionalen Körpern

HSVA-Berichte

₁₀₉₀

und

1171, 1956/57

Grim, O.:

Durch Wellen an einem Schiffekörper erregte Kräfte Symposium on the Behaviour of Ships in a Seaway,

Wageningen ₁₉₅₇

Grim, O.:

A Method for a More Precise Computation of

Heaving and Pitching Motions Both in Smooth Water and in Waves

[1 2

13]

[15J

43

-t

9 Porter, W.R.:

Pressure Distributions, Added Mass and

Damping

Coefficients for Cylinders Oscillating in a Free Surface

Rep.Irist.Eng.Res. University of California, Berkeley, 1960

Abels, F.:

Die Druckverteilung an einem festgehaltenen Schiffsmodell in regelmäßigem Seegang

Jahrb. STG 53..Band, 1959 Tasai, F.:

Formula for Calculating the Hydrodynamic Force

of a Cylinder Heaving

on a

Free Surface

(n-Parameter Family)

Rep. Res Inst. Appl. Mech. Kyushu University, vol. VIII, No. 31, 1960

Tasai, F.:

On the Damping Force and Added Mass of Ships Heaving and Pitching

Rep.Res. Inst.Appl.Mech. Kyushu University,

vol. VII, No. 26, 1959 and vol. VIII, No. ¡41, 1960

Kim, C.H.:

Über den Einfluß nichtlinearer Effekte auf hydrodynamische Kräfte bei erzwungenen Tauchbewegungen prismatiacher Körper Schiffstechnik,Barzd 14, 1967

Söding, H.:

The Flow Around Ship Sections in Waves Schiffatechnik, Band 20, 1973

Kirsch, M.:

Zur Tauch- und Stampfbewegung eines Schiffes Schiffstechnik, Band 16, 1969

Tamura, K.:

The Calculation of Hydrodynamical Forces

in Horizontal Direction and the Moments Acting on the Two-Dimensional Body

HSVA-Bericht 1235, 1961, und Journ. SeibuZosen Kai, No. 26, 1963

1 71 l 8 [20] [211 [22] [23j 144 -Tasai, F.:

1-lydrodynamic Force and Moment Produced by Swaying and Rolling Oscillation of Cylinders on the

Free Surface

Rep.Res.Inst.Appl.Mech. Kyushu University,

vol. IX, No. 35, 1961

Grim, 0. und Y. Takaishi:

Das Roilmoment in schrglaufender Welle

Schiff und Hafen, Jahrg.

_{17, 1965}

J

Havelock, T.H.:

Ship Vibrations: The Virtual Inertia of a Spheroid in Shallow Water

Trans.Ins.Nav.Arch. vol.

95, 1953

Yu, Y.S. und F. Ursell:

Surface Waves Generaìed by an Oscillating Circular Cylinder on Water of Finite Depth: Theory and

Experiment

Journ.F].ujd Mech. vol. 11,

₁₉₆₁

Monacella, V.J.: (

The Disturbance Due to a Slender Ship Oscillating in Waves in a Fluid of Finite Depth

Journ.Ship.Res. vol. 101

₁₉₆₆

Freakes, W. und K.L. Keay:

Effects of Shallow Water on Ship Motion Parameters in Heave and Pitch

MIT Dept.Nav.ArchMar.Eng. Rep. No.

_{66-7, 1966}

Wang, S.:

The Hydrodynaznic Forces and Pressure Distributions for an Oscillating Sphere in a Fluid of Finite Depth

Dissertation MIT,

₁₉₆₆

Fisher, K.W.:

Ship Motions in Shallow Water: Scaling Techniques Including Viscous Effects

Int.Shipb.Progress vol.

_{17, 1970}

Kim, C.H.:

Hydrodynamic Forces and Moments for Heaving, Swaying and Rolling Cylinders on Water of Finite Depth

[26].

Kim, C.H.:

The Influence of Water Depth on the Heaving and

Pitching

Motions of a Ship in Longitudinal Regular Head Waves

Schiffstechnik, Band 15,

₁₉₆₈

1127] Kirn, C.H.:

The Influence of Water Depth on the Midship

Bending Moments of a Ship Moving in Longitudinal Regular Head Waves

Europ.Shipb. vol.

18, 1969

-

45

-f28]

Tuck, E.0.:

Ship Motions in Shallow Water

Journ.Ship.Res.

vol. 14, 1970

Beck, R.F. und E.O. Tuck:

Computation of Shallow Water Ship Motions

9.

Symp. Nay. Hydrodyn., Paris

₁₉₇₂

Beck, R.F.:

Present Status of the Slender-Body Theory for Ship Motions in Shallow Water

Workshop on Slender-Body Theory, Ann Arbor

₁₉₇₃

Thorne, R.C.:

Multipole Expansions in the Theory of Surface Waves

Proc. Cambridge Phil. Soc. vol. 49,

No. 4, 1953

[32]

Kotik, J. und V. Mangulis:

On the Kramer-Kronig Relations for Ship Motions

Int.Shipb.Progress, vol.

9, 1962

Ryshik, J.M. und J.S. Gradstein: Summen-, Produkt- und Integraltafeln

VEB Deutsch.Verlag der Wissensch., Berlin

_1957.

Abramowitz, M. und J.A. Stegun:

Handbook of Mathematical

Functions

Nat. Bureau of Standards, Washington

₁₉₆₅

Stroud, A.H. und D. Secrest: Gaussian Quadrature Formulas

[36]

[37]

[381

{i]

[

44I

-

'46 -Isay, W.-H.:

Propellertheorie: Hydrodynamische Probleme

Springer-Verlag, Berlin - Göttingen - Heidelberg 1964

Newman, J.N.:

The Exciting Forces on Fixed Bodies in Waves

Journ.Ship.Res. vol.

6, 1962

Haskind, M.D.:

Two Papers on the Hydrodynamic Theory of Heaving and Pitching of a Ship

Techn.Res. Bulletin

I-12,

SNAME,

₁₉₅₃

Kotchin, N.E.:

The Theory of Waves GeneraÌed by Oscillations of a Body Under the Free Surface of a Heavy

Incompressible Fluid

Techn.Res. Bulletin I-iO, SNANE,

₁₉₅₂

Kotchin, N.E., J.A. Kibel und N.W. Rose: Theoretische }Iydrodynamik

Akademie-Verlag, Berlin

₁₉₅₄

Lamb, H.: Hydrodynamics

Cambridge Univ.Press, 1932 Grim, O. und P. Schenzie:

Zur Vorhersage der Torsionsbelastung, der lateralen Biegebelastung urd der horizontalen Schubbelastung eines Schiffes im Seegang

Schiffstechnik, Band

18, 1971

Kirsch, M.:

Die Berechnung der Bewegurigsgrößen der gekoppelten Tauch- und Stainpfschwingungen mach der erweiterten Streiferimethode von Grim und die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten bestimmter Schranken durch diese Größen

IfS-Bericht

_{2141, 1969}

Grim, O. und P. Schenzle;

Bewegungen und Belastungen eines Schiffes in regelmäßigem Seegang

L7 -9. Symbolliste a L,ewis-Koeffizient Aindex Quellstärke index Amplitudenverhältnis b Lewis-Koeffizient B Körperbreite c Wellengeschwindigkeit

Cjfldex dimensionslose Kraft bzw. Moment

Eindex dimensionslose erregende Kraft bzw. Moment

Findices hydrodynamische Kraft

g Erdbeschleunigung

G Hilfsfunktion (Realteil)

h Wassertiefe

H Hilfsfunktion (Imaginärteil)

Hindices fiktiver Hebelarm

HT Wassertiefe/Körpertiefgang

I" hydrodynamis ches Trägheitsmoment

k Wellenzahl in y-Richtung

m Wellenzahl in x-Richtung

rn" hydrodynamische Masse

Mindicea hydrodynamisches Moment

Nindex hydrodynamische Dämpfungskonstante

p Druck

r:

\f.zV

Polarkoordinate

t Zeit

T Körpertiefgang

U Amplitude der Horizontalgeschwindigkeit

V _{Amplitude der Vertika].geschwindigkeit}

V Querschnittsfläche der Körpers

X)

y raumfeste Koordinaten

zJ

Eulersche Konstante (.57722) Phasenwinkel Wel].enamplitude Polarkoordinate Stampfwinkel Wellenlänge Begegnungswinkel

Wellenzah]. bei tieí'em Wa8ser Wellenzahl

Dichte der Flüssigkeit Roliwinkel

'indice Teilpotentia].

indices zeitabhängiges Potential

'indices Teilstromfunktion

Yindices zeitabhängige Stromfunktion Kreisfrequenz der Bewegung

Indices:

E zur Erregung gehörig

H Horizontal-, zur Horizontalbewegung gehörig

j Imaginärteil

n Nununerierung der Teilpotentiale

Q zur Querbewegung gehörig

r Realtei].

R zur Rolibewegung gehörig

V Vertikal-, zur Vertikalbewegung gehörig

H'ydrothjnamische Masse bei der Tauchbewegun

eines Kreìs profiL6 nach Yu- UraeLi

12

11

10

9

06

05

04

03

0.o

_50.

Abb.1

r-

_Iz/a=2

r

I

Iz/a=4

I I

/

I

and

'j

10

₂₀

_30.

_4'O

2.

Amptituctenverhàltnìs bel cter Tauchbewegun

eines kreisprof lis nach '(u- UreU

10

09

08

OE7

06

1JIIN

05

il 1< O'4

03

O'2

01

OEO

00

05

V

l'O

15

20

25

30

z

t

h

Abb.2

cv

Hyctroctynarnische

Ma95e

bei

cter Tacthewegurt

eÍne5

reisprofìts nach Rim

I, I- Ph pTT1t

Abb.9

-i 2

I.

I

0.1

0.0

_j

_i

L

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0.

1.2

1.4

Ab54

01 o 91 O I 01-01 01 9

-I

o 91 01 9 01-01

cJ c

C-h=1,0 C _I

'0.00

0.63

i '.25

Abb.7

9 I I I I I I F I I t I

1.88

2.50

3.33

3.75

4.38

5.00

Jntegrcind von

28)

h- 0,1

!fltèQS7t von (2Va. A

30-

20--fo

-20 -30

lo-L

I

h=o,i

Vb '.0,5

Abb.9