Podstawy statystyki praktycznej, lista zadań nr 4
Konwersatorium
1. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą z rozkładu o dystrybuancie F . Za jej pomocą wyraź dystrybuanty zmiennych losowych min{X1, X2, . . . , Xn} i max{X1, X2, . . . , Xn}.
2. Niech X1, X2, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie.
Udowodnij, że:
a) jeśli rozkład ten ma wartość oczekiwaną, to statystyka
X = 1 n
n
X
i=1
Xi
jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej tego rozkładu, b) jeśli rozkład ten ma wariancję, to statystyka
1 n − 1
n
X
i=1
(Xi− X)2
jest nieobciążonym estymatorem wariancji tego rozkładu.
3. Za pomocą metody momentów (wykorzystując wartość oczekiwaną) i metody największej wiarogodności znajdź estymator parametru p ∈ (0, 1) w rozkładzie b(n, p), gdzie n ∈ N+
uznajemy za znane. Sprawdź, czy uzyskane estymatory są nieobciążone.
4. Za pomocą metody momentów (wykorzystując wartość oczekiwaną) i metody największej wiarogodności znajdź estymator parametru λ > 0 w rozkładzie P oi(λ). Sprawdź, czy uzyskane estymatory są nieobciążone.
5. Za pomocą metody momentów (wykorzystując wartość oczekiwaną) i metody najwięk- szej wiarogodności znajdź estymator parametru θ > 0 w rozkładzie U (0, θ). Sprawdź, czy uzyskane estymatory są nieobciążone. Wskazówka: Sprawdzając nieobciążoność estyma- tora największej wiarogodności, wykorzystaj wynik zadania 1.
6. Za pomocą metody momentów (na dwa sposoby: wykorzystując wartość oczekiwaną oraz drugi moment) i metody największej wiarogodności znajdź estymator parametru λ > 0 w rozkładzie Exp(λ). Sprawdź, czy uzyskane estymatory są nieobciążone. Wskazówka: Przy sprawdzeniu nieobcążoności konieczne będzie wykorzystanie rozkładu z rodziny rozkładów gamma.
7. Za pomocą metody momentów i metody największej wiarogodności znajdź estymator pa- rametru µ ∈ R w rozkładzie N (µ, 1). Sprawdź, czy uzyskane estymatory są nieobciążone.
8. Za pomocą metody momentów i metody największej wiarogodności znajdź estymator pa- rametru σ2 > 0 w rozkładzie N (0, σ2). Sprawdź, czy uzyskane estymatory są nieobciążone.
9. Dane są niezależne próby X1, X2, . . . , Xn i Y1, Y2, . . . , Ym pochodzące z tego samego roz- kładu mającego drugi moment. Niech Z = αX + βY .
a) Dla jakich wartości α, β ∈ [0, 1] statystyka Z jest nieobciążonym estymatorem war- tości oczekiwanej rozważanego rozkładu?
b) Dla jakich wartości α, β ∈ [0, 1] statystyka Z jest nieobciążonym estymatorem war- tości oczekiwanej rozważanego rozkładu o minimalnej wariancji spośród wszystkich estymatorów nieobciążonych zadanej postaci?
Laboratorium
1. Narysuj wykresy kwantylowo-kwantylowe dla rodziny rozkładów normalnych na postawie 100 obserwacji pochodzących z każdego z następujących rozkładów:
a) U (0, 10), b) Exp(2),
c) t3, d) N (3, 9).
Spróbuj wyciągnąć wnioski o powiązaniu kształtu wykresu z typem symetrii danych, na podstawie których wykres został sporządzony. Jeśli brak Ci rozeznania na temat syme- trii danego rozkładu, możesz dodatkowo narysować histogram, wykres pudełkowy bądź wykres gęstości danego rozkładu.
2. Dla każdego spośród rozkładów w poprzednim zadaniu wygeneruj próbę liczącą 10000 obserwacji. Następnie narysuj po dwa wykresy: dystrybuantę empiryczną sporządzoną na podstawie pierwszych 100 obserwacji i dystrybuantę empiryczną sporządzoną na pod- stawie wszystkich obserwacji 10000 obserwacji. Dodatkowo do każdego wykresu dorysuj odpowiednią dystrybuantę. Poczyń odpowiednie obserwacje.
3. Wynik działania funkcji qqnorm jest listą zawierającą współrzędne punktów na wykresie kwantylowo-kwantylowym dla rodziny rozkładów normalnych. Korzystając z tego faktu i używając dwukrotnie funkcji qqnorm, umieść w jednym układzie współrzędnych wykresy kwantylowo-kwantylowe dla rodziny rozkładów normalnych sporządzone na podstawie danych o wzroście studentów, dołączonych do niniejszej listy zadań. Niech punkty na dwóch wykresach odróżniają się. Dodaj też legendę.
Na postawie wykresu oceń, czy dane mogą pochodzić z rozkładów normalnych.
Oblicz średnie próbkowe i wariancje próbkowe nieobciążone wzrostu u obu płci. Niech one będąc dla Ciebie inspiracją do poszukania ich przełożenia na wzajemne położenie względem siebie wykresów kwantylowo-kwantylowych, które sporządziłeś. W szczególności chodzi o ocenę na podstawie wykresów kwantylowo-kwantylowych, jak mają się do siebie wartości oczekiwane i wariancje rozważanych rozkładów.
4. Dla tych samych danych o wzroście studentów sporządź wykres pudełkowy (dwa pu- delka w odniesieniu do jednej osi liczbowej) i podobnie jak poprzednio zastanów się nad normalnością danych oraz relacjami między wartościami oczekiwanymi i wariancjami roz- ważanych rozkładów.
