Egzamin: Statystyka I, 17 września 2018
1. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z odwróconego rozkładu gamma IG(α, β) o gęstości f (x) = Γ(α)−1βαx−α−1e−β/x, x > 0, α > 0, β > 0.
Załóżmy, że na podstawie ˆα i ˆβ, czyli estymatorów największej wiarygodności parametrów modelu α i β, estymujemy funkcję parametryczną γ = α/β. Wyznacz asymptotyczny przedział ufności dla γ na poziomie 1 − δ.
2. Entropią rozkładu o gęstości f nazywamy H(f ) = −Eflog f (X). Dywergencją Kullbacka- Leiblera lub entropią względną gęstości f względem gęstości g nazywamy D(f |g) = Eflog(f (X)/g(X)).
Policz w postaci funkcji specjalnej zależnej od parametrów modelu:
(a) entropię rozkładu IG(α, β),
(b) entropię względną dla rozkładów IG(α1, β1) i IG(α2, β2).
3. Mamy dwie niezależne próby proste X1, ..., Xn∼ IG(1, βx) oraz Y1, ..., Ym∼ IG(1, βy). Wyznacz dokładny przedział ufności dla γ = βx/βy na poziomie 1 − δ.
4. Mamy próbę prostą X1, ..., Xn∼ IG(1, β). Testujemy H0: β ≥ 5 przeciw H1: β < 5.
(a) Policz test jednostajnie najmocniejszy dla H0 na poziomie istotności δ oraz (b) policz i narysuj moc tego testu.
5. Rozważmy model liniowy Y = Xβ + , w którym X jest macierzą n × p pełnego rzędu p, przy czym pierwsza kolumna X jest równa 1 oraz ∼ N (0, σ2In). Niech dany będzie współczynnik dopasowania modelu do danych R2= 1 − SSE/SST , gdzie SSE =Pn
i=1(Yi− ˆYi)2 oraz SST = Pn
i=1(Yi− ¯Y )2. Pokaż, że:
(a) test R2> c jest równoważny testowi ilorazu wiarygodności dla modelu liniowego zerowego tj. modelu z macierzą X ograniczoną tylko do pierwszej kolumny,
(b) R2 ma rozkład beta B(p−12 ,n−p2 ).
6. W modelu liniowym z poprzedniego zadania βT = (β1, β2, . . . , βp) oraz testujemy H0: β2 = β3
przeciw H1: β26= β3. Przy założeniu H0: (a) wyznacz test o rozkładzie t–Studenta, (b) wyznacz równoważny test o rozkładzie beta.
1
