Drgania własne pasma płytowego z materiału o funkcjonalnie zmiennych własnościach

Artur WIROWSKT Politechnika Łódzka

DRGANIA WŁASNE PASMA PŁYTOWEGO Z MATERIAŁU O FUNKCJONALNIE ZMIENNYCH WŁASNOŚCIACH

Streszczenie. Przedm iotem niniejszego artykułu je st analiza drgań własnych pasma płytowego, wykonanego z kom pozytu o funkcjonalnie zmiennych własnościach. Rozw aża się dwufazowy kompozyt, którego m akrowłasności w jednym kierunku są opisane funkcjami wolnozmiennymi, a w drugim kierunku są stałe.

Podstawowym celem pracy je st stworzenie m odelu uśrednionego, pozwalającego na określenie wpływu wielkości m ikrostruktury na postać i częstotliwość drgań własnych pasma płytowego. Proponowane techniki m odelowania są oparte na metodzie tolerancyjnego uśredniania rów nań ruchu kompozytu, zakładającej, że rozwiązanie funkcja — ugięcia płyty składa się z części wolno- oraz periodycznie zmiennej. Tak wyprowadzone uogólnione równania są zastosowane do konkretnego przykładu analizy szczegółowego problemu drgań własnych pasma płytowego.

ONE SELF-VIBRATION OF LANE PLATE MADE FROM FUNCTIONAL Y GRADED MATERIAL

Summary. The subject o f this paper is self-vibration o f lane plate made from functionally graded material. Considered material has periodic properties in one direction and slowly and functionally graded properties in the other.

The main attention is given to general description o f the effect o f m icrostructure size on the overall response o f a composite. The m odeling approach is based on the tolerance averaging o f the motion equation. The general results are illustrated by the analysis o f a specific problem.

’ O p iek u n n a u k o w y : D r hab . in ż . B o h d a n M ic h a la k , p ro f. P o lite c h n ik i Ł ó d z k ie j.

456 A. Wirowski

1. Wstęp

Przedmiotem rozważań są drgania własne pasma płytowego, wykonanego z dwuskładnikowego kompozytu, ja k na rysunku 1. M ożemy zauważyć, że kompozyt ten ma periodyczną strukturę wzdłuż kierunku xi oraz w olnozm ienną wzdłuż kierunku X2. Jest to szczególny przypadek materiału o funkcjonalnie zmiennych własnościach (FGM)ł . Teoria i zastosowania FGM były szeroko omawiane w wielu publikacjach - w szczególności m ożemy przytoczyć pracę [1], gdzie została zamieszczona bardzo obszerna literatura dotycząca rozważanego zagadnienia.

Podstawowym problemem modelowania tego typu kompozytów jest opis niejednorodnej, nieciągłej i szybko oscylującej struktury materiałowej przez równania różniczkowe o wolnozmiennych i ciągłych współczynnikach. W wielu przypadkach problem ten może być rozwiązywany za pom ocą teorii homogenizacji. Jednak w rozważanym zagadnieniu zastosowanie tej teorii nie pozwoliłoby na określenie wpływu wielkości mikrostruktury na rozwiązanie, co je st podstawowym celem pracy.

Uwzględnienie mikrostruktury je st natomiast możliwe za pom ocą teorii tolerancyjnego uśredniania. W ychodząc od ogólnych równań ruchu, zdefiniowanych dla pasma płytowego, poprzez ich odpowiednie uśrednienie otrzymamy układ dwóch równań różniczkowych, o ciągłych współczynnikach. Proponowana technika uśredniania je st szczegółowym zastosowaniem ogólnej teorii rozwiniętej w pracach dotyczących analizy kompozytów, napisanych przez W oźniaka i W ierzbickiego [6], oraz w publikacjach dotyczących laminatów 0 funkcjonalnie zmiennych własnościach, napisanych przez Rychlewską, W ożniaka [7]

1 przez innych autorów (np. Jędrysiak[2][3], M ichalak [3][4][5]]).

W artykule są stosowane następujące oznaczenia: cząstkowe pochodne względem współrzędnych xa , a = 1,2 są oznaczane przez d k . W prowadzamy operatory gradientowe V = (d,,S2) ; d = (3, ,0) ; V = (0,3.,) oraz wektor jednostkow y e = (l,0 ). Małymi, pogrubionymi literami będziemy oznaczali wektory, dużymi pogrubionymi zaś tensory. Pochodna czasowa będzie oznaczana kropką, staw ianą nad daną funkcją: f ( t ) = f .

* FGM - ang. Functionally graded materiał.

2. Założenia modelowania

W prowadźmy kartezjański układ współrzędnych 0 xi x2. Przez i i oznaczmy obszar zajmowany przez płytę. W ówczas i i m ożemy zdefiniować jako i i = I x II, gdzie I = (-a, a ) oraz n = ( 0, P). N a potrzeby opisu niejednorodnego, dwuskładnikowego kompozytu możemy przedział I = (-a, a ) podzielić na 2 m podprzedziałów,takich że:

gdzie X = a / m. Przy czym zakładamy, że X « 1, co oznacza że liczba podprzedziałów m jest odpowiednio duża.

W prowadźmy funkcję 5 = 8 (x2), x2e [0,p] ciągłą, wolnozmienną, silnie monotoniczną oraz dodatnią w całej swej dziedzinie. Pozwala nam ona zdefiniować następujący obszar:

Zauważmy, że każdy obszar, zdefiniowany jako: In’(x2), je st zajmowany przez materiał o jednorodnych własnościach, oznaczonych jako E ’ oraz p’. Podobnie możemy określić obszar I „ ( x 2)= I n \ / „ , w którym w każdym podobszarze będzie się znajdował materiał o własnościach oznaczonych jako E ” oraz p”. Powyższa definicja podobszarów stanie się jasna, gdy porównamy j ą z rysunkiem 1.

Zdefiniujmy teraz pojęcie funkcji wolnozmiennej, które je st podstawowym pojęciem w teorii tolerancyjnego uśredniania. Opiszmy parametry e > 0 oraz e « 1 . Funkcja F(xi), gdzie xi e [ -a, a ], a wraz z pochodnymi do żądanego rzędu będziemy nazywać wolnozmienną, jeżeli dla każdego xi e [ -a, a ] i (xi + Axi ) e [ -a, a ] jest spełniony warunek:

dla Fo > 0, gdzie Fo je st pew ną m iarą określoną przez wartości funkcji F oraz jeżeli zachodzi analogiczny zdefiniowany warunek dla pochodnych funkcji F. Funkcję wolnozm ienną

Następnie wprowadzimy pojęcie funkcji kształtu. Niech dane będą funkcje

Przebieg funkcji kształtu w przedziale In przedstawiono na rysunku 2. Niech v ’ oraz v” będą zdefiniowane jako:

(

)

(( h - 1 ) ¿ + 0 ,5 £ ,h /1 -0 ,5 £ ) i f n = l,2,...,m

nA - 0,5<5, (« + \)A + 0,5£ i f n = -1,-2,.... , - m

(

)

|Ax,I < A => |f ( x , + Ax,) - F(x, )j < sF0

( 3 )

będziemy oznaczali jako: F(-) e SV£ (A ).

g ( x , , x 2},xl e R ;x2 e [0,/?] ciągła i periodyczna z okresem X w xj, dla każdego x 2 e [(),/?].

,( \ ^ 2)

(4)

458 A. Wirowski

v"(x2) = l - v '( x 2) (5)

Zależność funkcji kształtu od argumentu x2 je st dana przez param etr v = ^ v ’{x2 V O O • Zdefiniujmy uśrednioną wartość z funkcji f w I x Ilja k o :

A

2

Zauważmy, że jeżeli funkcja f je st periodyczna względem argumentu xj z okresem X, to <f>

jest niezależne od xj.

Punktem wyjścia procedury m odelowania jest dekompozycja przemieszczeń ciała:

w (x,,x2,/) x , e [ - a , a ] (x2)eTT

na część uśrednioną vv° = (w) oraz część oscylującą, określonąjako: w = w - (w ).

Część oscylacyjna pola przemieszczeń może być przybliżona iloczynem funkcji g (x ,,x 2)v ( x l, x 2,t) , gdzie funkcja g ( x ,, x 2) jest przyjętą funkcją kształtu. Funkcje: w°(-,t) oraz v(-,t) są funkcjami wolnozmiennymi wraz ze swoimi pochodnymi. Powyższe założenia możemy zapisać formalnie jako:

w(xl, x 2,t ) = w °(x„x2,t)+ g ( x „ x 2) v ( x „ x 2,t)

w °(x„x2,t) G S V c(A) (7)

V (x„ x2, t ) z S V X * . ) dla każdego (x2) e II oraz dla każdej chwili t.

Drugim założeniem modelowania je st pominięcie wyrażeń rzędu e podczas procedury uśredniania. Prowadzi to do wniosku, że jeżeli mamy daną pew ną całkowalną funkcję f oraz funkcję wolnozm ienną F i funkcję kształtu g, to zachodzą związki:

{ f F ) = ( f ) F

(

)

( M F g ) ) = { / d g ) F + ( f g ) V F (9)

Powyższe wzory są pewnym uogólnieniem sformułowań wyprowadzonych przez Woźniaka i W ierzbickiego [6] dla struktur periodycznych.

3. Równania modelu uśrednionego

Punktem w yjścia do dalszych rozważań je st liniowa teoria sprężystości. Rozważmy następujące związki [8]:

- pomiędzy naprężeniem a odkształceniem:

*«* = -»»W o °)

- równania konstytutywne:

maf> = DH aPrSKrS, (11)

gdzie: H aPrS = | {g“V r + + e ^ e »)} oraz D =

E, v są odpowiednio m odułem Y ounga oraz stałą Poissona, a 8 je st grubością płyty, - równania ruchu:

™ aPVxp + P ~ =

(

)

Jeżeli w powyższych równaniach współczynniki są szybko oscylującymi A periodycznymi funkcjami, to równania te są zbyt skomplikowane, aby można je było z powodzeniem rozwiązywać.

Podstawiając praw ą stronę rów nania (7) do równań (10)-(12) i korzystając z techniki uśredniania tolerancyjnego otrzymujemy następujący układ uśrednionych równań ruchu dla płyt wykonanych z materiału o funkcyjnie zmiennych własnościach:*

{ ( D H ^ w ^ Ą D H ^ g ^ y ^ Ą D H ^ g Y ^ Ą p ) ^ = 0

(g „ , D H ' ^ ) W:rS+ (g,u D H "" g,u) v + (g ,u D H " 22g ) v , 22+((g D H 22’'s )w,°rX 2+

+ ((gDH22" g,t, ) v \ 22 Ą g D H 2222g B) v ,21) 22+{gpg)V = 0

Zapisując powyższe rów nania dla pasm a płytowego otrzymujemy następujący układ równań (podkreślone zostały człony wynikające z uwzględnienia parametru mikrostruktury):

( ( DH

2222

2122 g )^ ,22 )„ + (¿>)w° = 0

(g,„ D H " * ) w , l 2+( g , u DH "" g„, )V + (g,„ DH 1122g ) v , 22 + ((gDH 2222 )w,°2 ) 22+ ^ + {(gDH 22" g ,„ ) g ) 22 + ((gDH 2222g ) v ,22 ) 22 + {pgg)V = 0

(13)

1 Procedura wyprow adzenia p on iższego w zoru jest szerzej om ów iona w pracy: W irowski A ., M ichalak B.: The dynamie m odelling o f longitudinally graded stratified solids, w trakcie publikacji, jednakże zastosow anie jej do om awianego pasma p łytow ego i w yprow adzenie w zoru (14) jest osiągnięciem w łasnym autora, publikowanym po raz pierwszy.

460 A. Wirowski

4. Drgania własne pasma płytowego

Powyższe, ogólne równania modelu uśrednionego wykorzystamy do znalezienia częstości drgań własnych pasm a płytowego wykonanego z dwuskładnikowego kompozytu (rys. 1).

F ig . 1. A n a ly s e d c o m p o s ite F ig . 2 . E sta b lish e d sh a p e fu n c tio n g ( x i)

Rozwiązania poszukujemy w postaci iloczynu funkcji o rozdzielonych zmiennych:

w°(jc2, t) = w (x2)cos(cot) , V(x2,t) = V ( x 2)cos(a>t) (15) Zakładamy także, że pochodne wyrazów uśrednionych po kierunku x2 sąpom ijalnie małe w stosunku do pozostałych wyrażeń.

Za [3] przyjmujemy funkcję kształtu g jako: g = A2 cos( — x , ) (rys. 2) (16), A

cvff3 a H " " = 1 , H '"122 = H 22,1 = v , H 2222 = 1 H ' 2'2 = H 2U' = H m ' = H 2" 2 = 1 - - £» = —7---

2 12(1 —v 2) Rozważmy teraz pasmo płytowe wykonane z dwóch materiałów o następujących parametrach: Ei = 30 GPa, Vi = 0.4, pi = 2200 kg/m3 oraz E2 = 209 GPa, v2 = 0,3, p i=7800 kg/m3 i grubości h= 0,1 m. Obliczenia przeprowadzimy dla różnych parametrów geometrycznych pasm a (rys. 1). Będziemy badać wpływ stosunku 5i / S2 , 5i / X. oraz X I L na częstość drgań własnych pasma.

Obliczenia przeprowadzono za pom ocą metody różnic skończonych, przyjmując warunki swobodnego podparcia obu brzegów pasma. Po zdyskretyzowaniu układu równań (14) wraz modułami i rozwiązaniu numerycznym zagadnienia własnego otrzymywano ciąg wartości własnych, odpowiadających kolejnym częstościom drgań własnych. Najmniejsza wartość własna odpowiadała zawsze pierwszej wartości własnej, określonej dla przemieszczenia w.

Niestety wartość w łasna odpowiadająca funkcji oscylacji K jest niemożliwa do określenia za pom ocą zastosowanego algorytmu, ponieważ jej wartość, będąca kilka rzędów wielkości większa, jest nie do rozróżnienia z wyższymi częstościami własnymi, odpowiadającymi funkcji w. Rozwiązanie tego problem u stanowi przedmiot dalszych badań autora.

Poniższe wykresy przedstaw iają otrzymane zależności częstości drgań własnych od zmienianych parametrów geometrycznych pasma.

R ys. 3 . Z a le ż n o ś ć co2 o d sto su n k u 5 i / 8 2 p r z y R y s . 4 . Z a le ż n o ś ć co2 o d sto su n k u 5 i / X p rzy u sta- u sta lo n y m X = 1 ,0 m lo n y m sto s u n k u 8 1 / 8 2 = 1

F ig. 3 . D e p e n d e n c e co2 o n p ro p o rtio n 81 / 8 2 F ig . 4 . D e p e n d e n c e co2 o n p ro p o rtio n 81 / X at at e s ta b lish e d X = 1 ,0 m e s ta b lish e d p ro p o rtio n 8, / 82 = 1

Natomiast param etr X / L nie ma jakiegokolw iek wpływu na częstość drgań pasma.

Otrzymano także w ektory własne odpowiadające postaciom drgań własnych pasma i porównano je z funkcją sinf H i j , bardzo często przyjm ow aną jako postać drgań własnych.

R ys. 5. Z e s ta w ie n ie o trzy m a n e j n u m e r y c z n ie p o - R y s . 6. Z e sta w ie n ie otrzy m a n e j n u m e r y c z n ie p o ­ sta c i drgań w ( x ) z fu n k c ją s in (x ) sta ci z a b u r z e n ia V ( x ) z fu n k c ją sin (x ) F ig. 5. C o m p a r iso n b e tw e e n n u m er ica l g iv e n F ig . 6. C o m p a r iso n b e tw e e n n u m e r ic a l g iv e n

v ib ra tio n fo rm w ( x ) and sin (x ) fu n c tio n d istu rb a n ce form V ( x ) and s in (x ) fu n c tio n

5. Wnioski

1. Zagadnienie drgań własnych płyty wykonanej z materiału gradientowego może z powodzeniem być rozwiązywane za pom ocą techniki tolerancyjnego uśredniania.

2. W spółczynniki w otrzymanym równaniu różniczkowym modelu (14) są opisane za pom ocą funkcji wolnozmiennych.

462 A. Wirowski

3. Badane parametry mikrostruktury m ają niewielki wpływ na podstaw ow ą częstość drgań płyty, natomiast ich wpływ na dodatkow ą częstość drgań płyty jest przedmiotem dalszych badań autora.

4. Otrzymana numerycznie postać drgań własnych pokrywa się z funkcją sinusoidalną a postać odpowiadająca oscylacjom znacząco od niej odbiega.

5. Powyższy model można zastosować do optymalizacji rozkładu własności pasm a płytowego na poziom ie mikrostruktury, w celu uzyskania określonych własności.

6. Zaproponowany model uwzględnia nie tylko podstawowe częstości drgań, ale także dodatkowe, wynikające z uwzględnienia m ikrostruktury - dzięki tem u pozwala na pełniejszą analizę problemu drgań własnych płyty.

L IT E R A T U R A

l.S u re s h S, M ortensen A.: Fundamentals o f functionally graded materials, IOM Com.

University Press, Cambrigde 1998.

2. Jędrysiak J.: Dynamic o f thin periodic plates resting on a periodically inhomogeneous W inkler foundation, Arch. Appl. Mech. 69, 1999, p. 345-356.

3. Jędrysiak J., M ichalak B.: Some remarks on dynamic results for averaged and exactmodels o f thin periodic plates, Journal O f Theoretical And A pplied Mechanics, Warsaw 2005, p. 405-425.

4. M ichalak B.: Vibrations o f plates w ith initial geometrical imperfections interacting with periodic elastic foundation, Arch. Appl. M ech., 2005, pp. 367-384.

5. M ichalak B.: On the dynamic behaviour o f a uniperiodic folded plates, Journal O f Theoretical And Applied Mechanics, 2002.

6. W oźniak C., W ierzbicki E.: Averaging techniques in thermomechanics o f composite solids.

Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 2000.

7. Rychlewska J., Szymczyk J., W oźniak C.: On the m odeling o f the hyperbolic heat transfer problems in periodic lattice-type conductors, J. Therm. Stresses 2004, pp. 825-843.

Recenzent: Prof. dr. hab. inż. Andrzej Flaga