DRGANIA SWOBODNE UKŁADU SPRĘŻYŚCIE POŁĄCZONYCH BELEK O ZMIENNYCH PRZEKROJACH POPRZECZNYCH

(1)

33, s.175-180, Gliwice 2007

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU SPRĘŻYŚCIE POŁĄCZONYCH BELEK

O ZMIENNYCH PRZEKROJACH POPRZECZNYCH

IZABELA ZAMOJSKA, STANISŁAW KUKLA, MARIUSZ SZEWCZYK

Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Częstochowska e-mail: iz@imi.pcz.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiono zagadnienie drgań własnych układu belek o zmiennych przekrojach poprzecznych połączonych za pomocą sprężyn translacyjnych lub warstw sprężystych. W celu wyznaczenia rozwiązania zagadnienia zastosowano metodę funkcji Greena. Zamieszczono przykładowe wyniki obliczeń numerycznych pokazujące wpływ wybranych parametrów na częstości drgań układu.

1. WSTĘP

Zagadnienie drgań własnych układu zbudowanego z belek o stałych przekrojach połączonych warstwami sprężystymi lub sprężynami translacyjnymi przedstawione jest w literaturze, np. w pracach [1-4]. Publikacja [1] przedstawia zagadnienie drgań poprzecznych układu dwóch belek z dołączonymi dodatkowymi elementami dyskretnymi w postaci układów masa-sprężyna. Autor pracy [2] prezentuje rozwiązanie zagadnienia drgań układu wielu belek połączonych sprężynami translacyjnymi. Badania drgań belek, które łączy jednorodna warstwa sprężysta, przedstawiono w pracach [3] i [4]. We wszystkich cytowanych powyżej publikacjach autorzy rozpatrują jednak tylko belki o stałych polach przekroju.

Celem prezentowanej pracy jest przedstawienie zagadnienia drgań swobodnych układu zbudowanego z wielu belek o zmiennych przekrojach poprzecznych połączonych sprężynami translacyjnymi lub warstwami sprężystymi. W celu wyznaczenia rozwiązania rozpatrywanego zagadnienia zastosowano metodę funkcji Greena.

2. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA

Rozważamy zagadnienie drgań własnych układu składającego się z n połączonych sprężyście belek o zmiennych przekrojach. Zakładamy, że belki o długości L mają pola przekrojów A1(x), A2(x) oraz sztywności (EI)1(x), (EI)2(x). Rozróżnimy dwa przypadki:

- belki połączone są r sprężynami translacyjnymi o charakteryzujących je stałych kj

zamocowanymi w punktach xj belek (j = 1, 2, ..., r). Schemat takiego układu (układ (a)) dla n = 2 przedstawia rysunek 1a;

(2)

- belki połączone są n-1 warstwami sprężystymi o charakteryzujących je współczynnikach sprężystości kj(x) (j = 1, 2, ..., n-1). Schemat taki przedstawia rysunek 1b (układ (b)).

(a) (b)

x

L y₁(x,t), y₂(x,t)

x

. . .

k₁ k₂ k_r-1 k_r

Rys.1. Schemat układu: (a) dwóch belek połączonych r sprężynami translacyjnymi;

(b) n belek połączonych n-1 warstwami sprężystymi

Drgania belek rozważanych układów opisane są następującymi równaniami różniczkowymi:

( )

²2

( ) ( )

²

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 ² 2

i i

i i i i i

y x t y x t

y x t EI x A x p x t

x  ∂ x  ρ ∂ t

  ∂

Λ   ∂=  ∂ + ∂ =

, ,

i = 1, 2,..., n (1) Funkcje występujące z prawej strony równań (1) zależą są od rodzaju elementów łączących belki. Równania (1) uzupełniają jednorodne warunki brzegowe:

( )

0_i _i , 0 0

y x t x

  = =

 

B , ^B¹ⁱ_^^{y x t}ⁱ

( )

^, ^__{x L}₌ ⁼⁰ ⁽²⁾

Ponieważ drgania mają charakter harmoniczny, więc można przyjąć ^{y x t}ⁱ

( )

^, ⁼^{Y x}^%ⁱ

( )

^cos^ω^t^.

Wprowadzając w równaniach (1) i (2) bezwymiarowe współrzędne ^ξ ⁼^{x L}^∈

[ ]

^{0 1}^, ^oraz

bezwymiarowe wielkości: Yi

( )

ξ =Y x%i

( )

L

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

EI i ξ = EI i x EI i ⁰ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ρA i ξ = ρA i x ρA i ⁰ , otrzymuje się równania amplitud drgań w postaci:

( )

²2

( ) ( )

²

( )

2 ⁴

( ) ( ) ( ) ( )

i

i i i i i i i

d d Y

Y EI A Y P

d d

ξ ξ ξ Ω ρ ξ ξ ξ

ξ ξ

 

Λ  =  − =

 

% (3)

oraz warunki brzegowe:

( )

0_i Y_i 0 0

ξ ξ

  = =

 

B , 1

( )

1 0

i Yi

ξ ξ

  = =

 

B i = 1, 2, ..., n (4) gdzie Ωi⁴ =ω²L⁴

( ) ( ) ( ) ( )

ρA i ⁰ EI i ⁰ .

Funkcje ^Pⁱ

( )

ξ w zagadnieniu brzegowym (3)-(4) są następujące:

- układ (a):

( )

¹ ¹

( ) ( ) ( )

¹

( ) ( ) ( )

1 1

r r

i i j i j i j j j i j i j j

j j

P ξ R ⁻ K Y₋ ζ Y ζ δ ξ ζ K Y₊ ζ Y ζ δ ξ ζ

= =

   

=

∑

 −  − +

∑

 −  − ⁽⁵⁾

gdzie K^j =k L^j ³ⁱ

( ) ( )

EI ³i ⁰ , _i

( ) ( ) ( ) ( )

1 0 0

i i

R = EI ₋ EI , dla układu belek połączonych za pomocą sprężyn zamocowanych w punktach ^ζ^j ⁼^x^j ^L^∈

[ ]

^{0 1}^, (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., r);

(3)

- układ (b):

( )

¹

( )

¹

( ) ( ) ( )

¹

( ) ( )

i i i i i i i i

P ξ =R K₋ ξ Y₋ ξ −Y ξ +K ξ Y₊ ξ −Y ξ  i = 2,…n-1 ...(6) gdzieKi

( )

ξ =ki

( ) ( ) ( )

ξ L³ EI i ⁰ , dla belek połączonych za pomocą warstw sprężystych.

Rozwiązanie zagadnienia brzegowego wyznaczone zostanie za pomocą metody funkcji Greena. Zakładając, że znane są funkcje Greena operatorów różniczkowych Λ% , _i wykorzystując ich własności oraz zadane warunki brzegowe, wyznacza się następujące związki dla amplitud drgań Yi(ξ):

- układ (a)

( )

¹ ¹

( ) ( ) ( )

¹

( ) ( ) ( )

1 1

r r

i i j i j i j i j j i j i j i j

j j

Y ξ R ⁻ K Y₋ ζ Y ζ G ξ ζ K Y₊ ζ Y ζ G ξ ζ

= =

   

=

∑

 −  ^, +

∑

 −  ^, ^(7a)

- układ (b)

( )

¹

{

¹

( )

¹

( ) ( ) ( )

¹

( ) ( ) } ^{( )}

0

i i i i i i i i i

Y ξ =

∫

R K₋ η Y₋ η −Y η +K η Y₊ η −Y η  G ξ η η, d ^(7b) Równanie częstości drgań układu belek połączonych sprężynami translacyjnymi otrzymuje się, przyjmując w równaniach (7a) kolejno: ξ = ζj dla j = 1, 2, …, r. W ten sposób otrzymuje się układ nr równań z niewiadomymi ^Yⁱ

( )

ζ , i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., r. Równanie częstości ^j stanowi wyznacznik macierzy głównej współczynników układu równań przyrównany do zera.

Dla układu złożonego z dwóch belek połączonych punktowo r sprężynami równanie częstości drgań ma postać:

=0

11 12

21 22

A A

A A (8)

gdzie:

( )

1 1

ij j i j

i j r

δ K G ζ ζ

 ≤ ≤

= + 

11 ,

,

A , ^A¹² ^{= −}_^ ^{K G}^j ¹

(

^{ζ ζ}ⁱ^, ^j

)

^_₁_{≤ ≤}_{i j r}_,

( )

2 2

j i j 1

i j r

R K G ζ ζ

 ≤ ≤

= − 

21 , ,

A , ij ² j ²

(

i j

)

1

i j r

R K G

δ ζ ζ

 ≤ ≤

= + 

22 , ,

A (9)

Wyznaczonym z równania (8) częstościom drgań odpowiadają postacie drgań układu (przyjęto: Y1(ζr) = C, natomiast n oznacza tu numer częstości drgań):

( )

¹

( ) ( ) ( ) ^{( )} ⁽ ⁾

1 2 1 1 2 1

1

, , 1 , ,

r

n j j j j n r r r n

j

Y ξ C ⁻ K Y ζ Y ζ G ξ ζ Ω CK Y ζ G ξ ζ Ω

=

 

=

∑

 −  +  − 

( )

¹

( ) ( ) ( ) ^{( ) (} ⁾

2 2 1 2 2 2 2 2

1

, , 1 , ,

r

n j j j j n r r r n

j

Y ξ CR ⁻ K Y ζ Y ζ G ξ ζ Ω CR K Y ζ G ξ ζ Ω

=

 

=

∑

 −  +  −  ⁽¹⁰⁾

W celu wyznaczenia równania częstości drgań układu belek połączonych warstwami sprężystymi odejmuje się obustronnie równania (7b): od równania (i+1) odejmuje się równanie i (i = 1, ..., n-1), otrzymując następujący układ równań:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1 1 1

0 0

1

1 1

0

i i i i i i i i i

i i i i

Y K Y G , d K Y G , R G , d

R K Y G , d

ξ η η ξ η η η η ξ η ξ η η

η η ξ η η

+ + + + +

− −

= −  + 

+

∫ ∫

∫

⁽¹¹⁾

(4)

w którym Yi

( )

ξ =Yi₊1

( )

ξ −Yi

( )

ξ , K0(η)= Kn(η)= 0 dla ^η^∈

[ ]

^{0 1}^, ^.

Całki występujące w równaniach (11) oblicza się, stosując metody przybliżone.

W prezentowanej pracy zastosowane zostały kwadratury Newtona-Cotesa. W tym przypadku równania (12) przyjmują następującą postać:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ }

1 1 1

1

1 1 1 1 1

1

m

i i j i j i j j

m j

i j i j i j i i j i i j i j i j j

j

Y K Y G , w

K Y G , G , K Y G , w

ξ θ θ ξ θ

θ θ ξ θ µ ξ θ µ θ θ ξ θ

+ + +

=

+ − − − −

=

= −

 

−  + +

∑

⁽¹²⁾

gdzie wj są współczynnikami wagi a θj (j = 1, 2, …, m) są węzłami kwadratur. Następnie wstawiając kolejno: ξ = θp (p = 1, 2, …, m) w równaniu (12) dla i = 1, 2, …, n-1, otrzymuje się m(n-1) równań liniowych z niewiadomymi ^Yⁱ

( )

θ . W rezultacie, podobnie jak ^j

w poprzednim przypadku równanie częstości ma postać wyznacznika przyrównanego do zera:

11 12

21 22 23

32 33 34

2 3 2 2 2 1

1 2 1 1

0

n ,n n ,n n ,n

n ,n n ,n

− − − − − −

− − − −

=

B B O O

B B B O O

O B B B

O B B

L L L

L L L L L L L L

L L

(13)

gdzie:

( ) ( )

1 1 1 1

i ,i i i j i j p j 1

j , p m

K G , w

µ θ θ θ

− =  − − −  ≤ ≤

B , ^B^{i ,i}⁺¹ _{= }^^Kⁱ⁺¹

( ) (

^θ^j ^Gⁱ⁺¹ ^{θ θ}^j^, ^p

)

^w^j^_₁_≤_{j , p m}_≤

( )

¹

( ) ( )

₁

i ,i jp i j i i j p i j p j

j , p m

K G , G , w

δ θ µ ₊ θ θ θ θ

≤ ≤

   

= − −  +  

B (14)

przy czym δjp jest deltą Kroneckera. Równania (8) oraz (14) rozwiązuje się numerycznie względem częstości drgań własnych rozważanych układów.

3. DRGANIA WŁASNE UKŁADU DWÓCH BELEK

Rozważamy układ dwóch identycznych belek wspornikowych o długości L połączonych sprężyną translacyjną. Przyjmujemy, że:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0 ²

1 1

A x A x A x

L

ρ = ρ = ρ α − +  oraz

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0 ⁴

1 1

EI x EI x EI x

L α −

 

= =  +  ,

gdzie α =b b_L ₀ =h h_L ₀ (bL, b0 –szerokość belek, hL, h0 –wysokość belek odpowiednio na końcach x=L, x=0).

Wprowadzając do równań (1) współrzędne bezwymiarowe: ^ξ ⁼^x

(

^α ⁻¹

)

^L⁺¹

otrzymujemy operator różniczkowy w postaci:

2 2 4

4 2

2 2

2

d d

ξ β ξ

ξ ξ

   

Λ ≡    −  

% (15)

Funkcję Greena operatora (15) można zapisać następująco:

(5)

( )

¹ ¹ ²

( )

^{2 2}

( )

^{3 2}

( )

⁴ ²

( )

¹

^{( ) (} ⁾

G ξ η, =ξ⁻ c J β ξ +c Y β ξ +c I β ξ +c K β ξ +G ξ η, H ξ η− (16) przy czym

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1

1 2 2 2 2

2 1

2 2 2 2

4 2

G , I K I K

J Y J Y

ξ η β ηξ β ξ β η β η β ξ

π β ηξ β ξ β η β η β ξ

−

 

=  − +

 

+  − 

(17)

Współczynniki ci (i = 1, 2, 3, 4) dla belki wspornikowej są następujące:

1

1 2

c 2 N β η D

= − , ₂ ² ₁

1

c N c

= −N D , ₃ ₃ ₄ ² ₁

1

c N c

φ φ N D

 

= − 

  , ₄ ₁ ₂ ² ₁

1

c N c

φ φ N D

 

= − 

  (18)

gdzie:

1 1 4 2 3

N =φ f +φ f , N₂ =φ_{1 2}f +φ_{2 1}f , D= f f_{1 4}− f f₂ ₃

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 4 2 2 4

4 2 2 4

2 I K I K

J Y J Y

φ β α β η β η β α

π β α β η β η β α

 

=  − 

 

+  − 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 5 2 2 5

5 2 2 5

2 I K I K

J Y J Y

φ β α β η β η β α

π β α β η β η β α

 

=  + 

 

−  − 

(19)

( ) ( ) ( ) ( )

1 I1 J2 I2 J1

ϕ = −β β β − β β , ^ϕ² ^{= −}^β_^^I¹

( ) ( )

^β ^Y² ^β ⁻^I²

( ) ( )

^β ^Y¹ ^β ^_

( ) ( ) ( ) ( )

3 J1 K2 J2 K1

ϕ = −β β β + β β , ^ϕ⁴ ^{= −}^β_^^K¹

( ) ( )

^β ^Y² ^β ⁺^K²

( ) ( )

^β ^Y¹ ^β ^_

( ) ( ) ( )

1 4 4 3 4 1

f =J β α +I β α φ +K β α φ , ^f² ⁼^J⁵

( ) ( )

^{β α} ⁻^I⁵ ^{β α φ}³⁺^K⁵

( )

^{β α φ}¹

( ) ( ) ( )

3 4 4 4 4 2

f =Y β α +I β α φ +K β α φ , ^f⁴ ⁼^Y⁵

( ) ( )

^{β α} ⁻^I⁵ ^{β α φ}⁴⁺^K⁵

( )

^{β α φ}²

Równanie częstości drgań rozpatrywanego układu ma postać (przyjęto Ω β= 2):

( )

¹ ⁰

G , , 2

ζ ζ Ω − K = (20)

Na podstawie równań (7a) można przedstawić postacie drgań tego układu następującymi zależnościami:

Y1_n

( )

ξ =CK Y 2

( )

ζ −1G

(

ξ ζ Ω, , _n

)

Y2_n

( )

ξ =CR K2 1−Y2

( ) (

ζ G ξ ζ Ω, , _n

)

(21)

4. PRZYKŁAD OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Prezentowane wyniki badań numerycznych dotyczą układu dwóch belek połączonych sprężyną translacyjną. Przykładowe wyniki badań numerycznych zostały zobrazowane na rysunku 2. Cztery pierwsze bezwymiarowe częstości Ωi (i= 1, 2, 3, 4) drgań własnych układu jako funkcje położenia punktu ζ zamocowania sprężyny na belkach przedstawiono na rysunku 2. Obliczenia wykonano dla trzech wartości parametru K charakteryzującego sprężynę (K=100, 500, 1000) oraz parametru określającego zmianę pola przekroju belek α=2.0.

(6)

Rys2. Cztery pierwsze bezwymiarowe częstości Ωi drgań

własnych układu, w zależności odζ dla α =2.0

Stwierdzono, że znaczący wpływ na wartości kolejnych częstości drgań ma zmiana położenia elementu sprężystego dla analizowanych wartości współczynnika α (z wyjątkiem punktów węzłowych).

LITERATURA

1. Inceoğlu S., Gürgöze M.: Bending vibrations of beams coupled by several double spring- mass systems. „Journal of Sound and Vibration”, 2001, 243(2), s.370-379.

2. Kukla S.: Dynamiczne funkcje Greena w analizie drgań własnych ciągłych i dyskretno- ciągłych układów mechanicznych. Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej,

„Monografie” 64, 1999.

3. Kukla S., Skalmierski B.: Free vibration of a system composed of two beams separated by an elastic layer. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics”, 1994, 3, 32, s.581-590.

4. Oniszczuk Z.: Free transverse vibrations of elastically connected simply supported double- beam complex system.”Journal of Sound and Vibration”, 2000, 232(2), s.387-403.

FREE VIBRATIONS OF UNIFORM AND NON-UNIFORM ELASTICALLY CONNECTED BEAMS

Summary. In this paper an application of the Green’s function metod in frequency analysis of a non-uniform elastically connected beams is presented. The paper includes a numericall example witch show the infuence of the selected parameters on free vibration frequencies of the considered beams system.

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

ζ 1.0

2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Ω 1

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

ζ 5.0

5.5 6.0 6.5 7.0

Ω 2

8.0 8.5 9.0 9.5 10.0

Ω 3

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

ζ

13.0 13.1 13.2 13.3 13.4

Ω 4

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

ζ

(a) (b)

(c) (d)

α = 2 K=1000 K=500 K=100

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU SPRĘŻYŚCIE POŁĄCZONYCH BELEK O ZMIENNYCH PRZEKROJACH POPRZECZNYCH