O własnościach wyrażenia

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961)

A. R

(Warszawa)

O własnościach wyrażenia an± bn

W stęp. W pracy [ 12 ] podałem elementarny dowód twierdzenia G. D. Birkhoffa i H. S. Vandivera, że jeżeli а, b i n są liczbami natural­

nymi, a > 6 , (a, b) = 1 i n > 2 , to liczba an— bn z wyjątkiem przypadku a — 2, 6 = 1 , n = 6 ma dzielnik pierwszy p formy nk+ 1 taki, żep \a n — bn oraz p -\a k— bk dla к = 1 , 2 , . . . , n — 1 .

W niniejszej pracy poświęconej arytmetycznym własnościom wyra­

żenia an± b n podam różne zastosowania tego twierdzenia (tw. 3 , 4 , 5 , 6 , 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24). §§ 4-5 zawierają wyniki nowe, do­

tąd nie opublikowane, a §§ 1, 2 i 3 — informacje o znanych twierdze­

niach oraz pewne ich uogólnienia, które mają zastosowanie w dalszym ciągu.

W § 2 znaleziono warunki konieczne i wystarczające dla zachodze­

nia podzielności p ll+4p l2+E2. ..p lk+ek\ax± b x , gdzie (a, b) = 1 , a > 6 , gdy n = P\lp l2•--Ркк\ап±Ъ п, n \ a x± b x dla 0 < x < n , skąd wyprowa­

dzono warunki dla zachodzenia podzielności ( a ± 6 )n|a*±&**

§3 poświęcono liczbom złożonym n , dla których a) n\an~l — 6 n_1, b) n\anb - a b n.

W § 4 znaleziono wszystkie rozwiązania w liczbach naturalnych a i b równań: an± b n = (a — b)n*+1 ( 2 \a — b), az~ b z = (a — b)5. W tym samym paragrafie rozpatrzono następujące równania: a f—y1 = a1, gdzie

\ce—y% \ — аг, (con—l)l(os— 1 ) == yn, gdzie n jest liczbą pierwszą.

W § 5 podano zależności, jakie zachodzą między ilością dzielni­

ków pierwszych liczb an± bn a ilością wszystkich dzielników liczby n oraz pewne twierdzenia o liczbach <p{an± bn), gdzie <p oznacza funkcję Gaussa.

W tedy, gdy dowody twierdzeń są podobne, zostaje podany tylko jeden z nich, w celu zapoznania czytelnika z metodą.

W pracy tej wykorzystano następujące definicje i twierdzenia znane z elementarnej teorii liczb (zob. [ 1 ]).

D

1. Jeżeli a i m są liczbami naturalnymi, (a, m) = 1 , to najmniejszą liczbę naturalną h spełniającą podzielność m\ah—l nazy­

wamy wykładnikiem, do którego liczba a należy według modułu m.

Roczniki PTM - Prace Matematyczne VI

l

D

2. Jeżeli m = p llp l2 - • -plk ч to liczby naturalne należące do wykładnika

<p{m) = l)(j)a—

jeżeli istnieją, nazywamy pierwiastkami pierwotnymi liczby w.

Twierdzenia:

T x. Jeżeli liczba a należy według moduły, m do wykładnika Ji, to m\an—l wtedy i tylko wtedy, gdy h\n.

T 2. Istnieją pierwiastki pierwotne liczby p x, gdzie p oznacza liczbę pierwszą nieparzystą, X liczbę naturalną ^ 1. Pierwiastek pierwotny liczby p x+% gdzie e jest liczbą naturalną ^ 1 , jest zarazem pierwiastkiem pierwot­

nym liczby p x.

T3. Jeżeli a i X są liczbami naturalnymi, p jest liczbą pierwszą nie­

parzystą,, (p , a) = 1 , to istnieje liczba całkowita nieujemna a taka, że p x\ga— a , gdzie g oznacza pierwiastek pierwotny liczby p x.

§ 1 . Formy dzielników pierwszych liczb an± b n. Udowodnimy L

1. Jeżeli p x\a— ga, p x\b — gp, gdzie p jest liczbą pierwszą nie- parzystą, X ^ 1, g jest pierwiastkiem pierwotnym liczby p x, to na to, żeby p x\an— bn potrzeba i wystarcza, aby

( 1 ) n\a — 0 | = k 'p { p x), gdzie ft = 0 , 1 , 2 , . . .

D ow ód. Przypuśćmy, że p x\a — ga, p x\b — g^. Ponieważ аъ — Ьг\ап— Ьп dla i\n, więc p x\an- g na, p x\bn- g 4\ skąd p x\{an- b n) - ( g na- g np). Na to więc, żeby p x\an— bn, potrzeba i wystarcza, aby

( 2 ) Рх\дпа- Г .

Niech będzie a ^ /?. Z (2) wynika wtedy, że p x\gn/i(gn(a~l3)—1), co wobec (g, P) = 1 j est równoważne podzielnościp x\gn(a~P ) i na to, żeby p x\an— bn, potrzeba i wystarcza, aby

(3) р х\дп{а~р)- 1 .

Wobec tego, że g jest pierwiastkiem pierwotnym liczby p x, podziel­

ność (3) na mocy Tx zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (4) n{a— §) = k'(p{px), gdzie к = 0 , 1 , 2 , . . .

Gdyby /3 ^ a, to otrzymalibyśmy

( 5 ) n{ p— a) = k-(p(px), gdzie ft = 0 , 1 , 2 , . . . Z (4) i (5) wynika natychm iast (1).

Już Lebesgue (zob. [10]) dowiódł, że liczba (oev —l)/(n?— 1 ), gdzie

os > 1 , a p oznacza liczbę pierwszą, nie ma dzielników pierwszych poza

p i liczbami formy kp + 1. Udowodnimy

O własnościach wyrażenia an± b n 3

T

1. Jeżeli a ,b i u są liczbami naturalnymi, a > b, n > 1 , to każdy dzielnik pierwszy nieparzysty p liczby an — bn jest formy n k -\-1 lub jest dzielnikiem liczby ani — bni, gdzie n x\n, n x < n .

D ow ód. Niech (a, b) = d. Wobec a > b mamy a = ax d, b = bx-d, gdzie {ax, bx) = 1, ax > bx. Podzielność p\an— bn daje p\dn{a™— bx).

Gdy p\dn, to p\d, skąd p\ a— b i twierdzonie zachodzi.

Przypuśćmy, że p\ax — bx . W tedy wobec (ax, bx) = 1 jest (ax, p ) =

= (bx, p ) = 1. Na mocy twierdzonia T 3 istnieją liczby całkowito nie- ujemne a, (i takie, iż p\ax — ga, p\bx — gp i z lematu 1 wynika, że n\a—(3\ =

= k ( p — 1 ), gdzie к oznacza pewną liczbę całkowitą. Jeżeli (n, k) — 1 , to z ostatniej równości wynika, że k\\a— p\$ przyjmując, że |a —fi\jk = k0, mamy n -k Q = p — 1 , a więc ^ ma formę n k-(- 1 .

Jeżeli ( n, k) = d > 1, to

№ &

skąd, na podstawie lematu 1 , p\a%,a — b™ld i p\dn,d{ax,d— bxld), p\ani — bni, gdzie njd = n x\n, n x < n , co kończy dowód.

L

2 . Jeżeli р*\а—да, р л\Ь — др, gdzie p jest liczbą pierwszą nie­

parzystą, X liczbą naturalną > 1 , g pierwiastkiem pierwotnym liczby p x, to na to, żeby p x\an-\- bn potrzeba i wystarcza, aby

( 6 ) n\a — p\ = ( 2 k + l ) ^ ^ ~ , gdzie k = 0 , 1 , 2 , . . . 2

Dowód tego lematu jest podobny do dowodu lematu 1.

T

2. Jeżeli a, b i n są liczbami naturalnymi, a > b , n > 1 , to każdy dzielnik pierwszy nieparzysty liczby an-{-bn jest formy 2nk-\-l lub jest dzielnikiem liczby ani -f- bHl, gdzie nx oznacza iloraz liczby n przez liczbę nieparzystą > 1 .

Dowód wynika z lematu 2 i jest podobny do dowodu twierdzenia 1.

Niech a i b będą liczbami naturalnymi i n niech będzie liczbą n atu ­ ralną > 1 . Gdy d\an± b n oraz d f a m± b m dla m = 1 , 2 , ..., n —1, liczbę d nazywać będziemy dzielnikiem pierwotnym liczby an± b n.

Z twierdzenia 1 wynika natychmiast, że dzielnik pierwszy pierwotny liczby an— bn dla n > 1 ma formę nk-\- 1 .

Birkhoff i Yandirer w roku 1904 udowodnili (zob. [3]) następujące twierdzenie T :

T. Jeżeli a, b i n są liczbami naturalnymi, a > b, (a,b) — 1 i n > 2 , to liczba an — bn, z wyjątkiem przypadku a — 2, b = l , n = Q, ma dzielnik pierwszy p formy n k + 1 taki, że p\an — bn oraz p f a k — bk dla к = 1 , 2 , ...

. . . , n — 1 .

Mój elementarny dowód tego twierdzenia ukazał się w „Pracach

Matematycznych” (zob. [12]).

Niech п oznacza jądro bezkwadratowe liczby n, tj. najmniejszą liczbę d taką, że n/d jest kwadratem. Zachodzi wtedy, jak ostatnio dowiódł A. Schinzol, twierdzenie następujące (A. Schinzel zawiadomił mnie o tym listem z dnia 20. I. 1961 r.):

T'. Jeżeli а, Ъ i n są liczbami naturalnymi, a > 6 , (a,b) = 1 , n > 1 , e = 1, gdy ab ma formę 4&+1, e — 2, gdy ab ma formę 4& + 2 lub 4& + 3, n/eab jest liczbą nieparzystą, to liczba an— bn ma 2 dzielniki pierwsze pier­

wotne z wyjątkiem następujących przypadków: (n , a, b~) = < 3 ,4 ,1 ) ,

<4, 2 , 1 ) , < 6 , 4, 3>, < 6 , 3, 1>, <12, 3 , 2 ) , <12, 2 , 1 ) , <20, 2 ,1 ) . Z twierdzenia tego wynika, że

1. Jeżeli a i b są liczbami naturalnymi (a,b) — l , a > b , ab jest liczbą bezkwadratową formy 4&-fl, to liczba aab(2k+1) — i>ab(2k+1) $[a & —

= 0 , 1 , 2 , . . . ma dwa dzielniki pierwsze pierwotne.

2. Jeżeli a i b są liczbami naturalnymi, (a,b) = 1, a > b , ab jest liczbą bezkwadratową formy 4& + 3, to liczba a2ab(2k+l)_ })2ał,(2k+1) $ia к = 0 , 1 , 2 , ... ma dwa dzielniki pierwotne z wyjątkiem przypadku 3e—1.

3. Jeżeli a i b są liczbami naturalnymi, (a,b) = l , a > b , ab jest liczbą bezkwadratową postaci 4fc + 2, to liczba a2ab(2k+1) — j)2ab(2k+1) щ,а к = 0 , 1 , 2 , . . . ma dwa dzielniki pierwsze pierwotne z wyjątkiem przy­

padków: 2 4 —1, 3 12 - 2 12 , 2 12 —1, 2 20 —1.

Dla b = 1 twierdzenie T udowodnił w roku 1886 Bang (zob. [1]).

Ponieważ an — bn = b™), gdzie {a, b) = d, аг = a/ d, b1 = bjd, a licz­

ba 26—1 = 7*9 ma dzielnik pierwszy formy 6&+1, więc zachodzi T

3. Jeżeli a, b i n są liczbami naturalnymi, a > b , n > 2 , to liczba an— bn ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy formy n k + 1 .

Z twierdzenia tego wynika

T

4. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych formy nk-\- 1 .

D ow ód. Przypuśćmy, że istnieje skończona liczba liczb pierwszych formy nkĄ-1. Oznaczamy przez P największą z nich. Na mocy twierdze­

nia 3 liczba SnP— 2nP ma dzielnik pierwszy formy nk-f l . Ponieważ jest on większy od P, stąd sprzeczność.

T

5. Dla dowolnych liczb naturalnych a, b i n takich, że (a, b) —

a > 6 , n >

liczba an-f-bn ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy pierwotny z wyjątkiem przypadku a = 2, 6 = 1, n — 3.

D ow ód. Wobec twierdzenia T, liczba a2n— b2n dla n > 1, a > 6 , (a, b) = 1, z wyjątkiem przypadku a = 2,6 = l,w = 3 ma dzielnik pierw­

szy pierwotny p. Udowodnimy, że p jest dzielnikiem pierwszym pierwot­

nym liczby an-\- bn. Otóż, ponieważ p\a2n— b2n = (an— bn)(anjr bn) , p \ a x— bx

dla 0 < x < 2 n , więc p\an-\-bn. Gdyby p\ax-\-bx dla 0 < % < n , to

O własnościach wyrażenia ап^-Ьп ₅

p\a2x— b2x dla О < со < 2п, wbrew temu, że р jest dzielnikiem pierwotnym liczby a2n — b2n.

Mech {a, b) = d, a > b, n > 1 . W tedy a = ax-d, b = bx-d, an+ bn =

— dn{o?l-\- bx), gdzie аг > b x, (ax, bx) = 1 . Na mocy twiordzenia 5 , liczba z wyjątkiem przypadku ax = 2 , &x = 1 , % = 3 , ma dzielnik pierwszy pierwotny. Na podstawie twierdzenia 2 , p ma formę 2nk-\-l, a więc udowodniliśmy

T

6. Dla dowolnych liczb naturalnych a ,b i n, a > b , n > 1 , wyjątkiem przypadki a = 2b, n = 3, liczba an-\-bn ma co naj­

mniej jeden dzielnik pierwszy formy 2пкф1.

§ 2. Warunki podzielności p?+*iJ,?+H „.pJ*+4:|e*± 4 «) gdy P ? P ? -P % k\an± b \ Udowodnimy

L

3. Jeżeli (a, b) = 1, p jest liczbą pierwszą nieparzystą, X ^ 1 , e > l , p jest dzielnikiem pierwotnym liczby an— bn, p x+1f a n— bn, to po- dzielność p XJre\ax— bx zachodzi wtedy i tylko wtedy, <jrdp

(7) npe\x.

D ow ód. Niech g będzie pierwiastkiem piorwotnym liczby p x+e.

Wtedy wobec e > 1, na podstawie T2, g jost także pierwiastkiem pier­

wotnym liczb p x i p x+l. Ponieważ (a,b) = 1, p\an— bn, więc (a ,p ) =

= (&,p) — 1. Istnieją zatem (na podstawie T3) takie liczby całkowite a, (i > 0 , żfe

( 8 ) px+s\a -g % p i+‘\b-g>

skąd

(9) p*\o>-ga,

( 10 ) p x+l\a — ga, p t+1\b—gf

Ponieważ p x\an — bn, więc z podzielności (9) na mocy lematu 1 wynika

(11) n \ a - p \ = ^ 0т ( Р Л),

gdzie k0 jest pewną ustaloną liczbą całkowitą > 0. Zauważmy, że (k0, p) —

= 1. Istotnie, gdyby (&0, p) Ф 1, to k0 = kx-p, gdzio kx > 0 i z (11) otrzy­

malibyśmy w|a— / 5 | = kx'<p{px+1), skąd, na mocy lematu 1 , byłoby p x+1\an— bn wbrew założeniu, że p x+lf a n — bn. Gdyby ( n , k Q) = d > 1,

n ka , . .

to z ( 11 ) otrzymalibyśmy — \a—fi\ — — '<p{p ) 1 na niocy lematu 1

d d

p x\an,d— bn,a dla d > 1 wbrew założeniu, że p x jost dzielnikiem piorwotnym liczby an— bn. Zatem 1 2

( 12 ) n\a — 0\ = kQ-(p{px), gdzie {k<„ p) ~ (n , k0) = 1 .

Na mocy lematu 1 , na to, żeby p x+e\ax— bx, potrzeba i wystarcza, aby

(13) x\a — /?| = k-(p(px+s), gdzie = 0 , 1 , 2 , . . .

Dzieląc równości ( 12 ) i (13) stronami otrzymujemy x/n = kpejk0', x = nkpejk0, a ponieważ (k0, p ) = (k0, n) = 1 , więc nps\x, c.b.d.o.

W n io s e k 1. Jeżeli (a, b) = 1 , p jest liczbą pierwszą nieparzystą, Л ^ 1, e > 1, p x\a — b, p i+1^ a — b, to podzielność p x+e\ax—bx zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

(14) pe\x.

L

4. Jeżeli (a, b)

Tc jest dzielnikiem pierwotnym liczby ad— bd, to z podzielności k\an— bn wynika, że d\n.

D ow ód. Zauważmy, że (k, a) = (k, b) = 1. W samej rzeczy, gdyby na przykład (k , a ) = s > 1 , to wobec podzielności k\ad — bd, s byłoby dzielnikiem b i (a, b)

wbrew założeniu, że ( a ,b

Przypuśćmy że k\an — bn. Gdyby d f n, to n — dl-\-r, gdzie 0 < r < d , Z ^ l i

(15) k\adl-ar~ b dl-br .

Ponieważ k\ad— bd, więc wobec ad— bd\adl— bdl byłoby k\adl — bdl, co daje k\adlbr — bdlbr i z (15) otrzymalibyśmy k\adl-ar — bdl’br— (adl-br — bdl *br) =

= adl(ar— br), skąd wobec (a, k) = 1 byłoby k\ar — br dla 0 < r < d, wbrew założeniu, że к jest dzielnikiem pierwotnym liczby ad— bd.

T

7. Jeżeli (a,b) = 1, pi dla i = 1, 2 , . . . , к są liczbami pierwszymi nieparzystymi, n — p llp l2...p lk jest dzielnikiem pierwotnym liczby am— bm; {{^m— bm)lpilpl 2. . . pl k, p 1p %.. . pk\ = l , to podzielność Pi1+Elp%2+e2.. .p lk+ek\ax— bx, gdzie ег, e2, ..., ek > 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy mp\' pl2.. .p ekk\x, przy czym

(16)

. m pEl ■ p f 2 .. . p f * __ Jjn p el • p *2 .. ,pf&

6v 1 2 Л (r 1 2 fc

Pl1+elp p +s2 • • -Pkk+ek P l p 2---Pk = ¹ .

D ow ód. Przypuśćmy że w = p1lp l2...p lk jest dzielnikiem pier­

wotnym liczby am— bm i niech n\ax— bx . Na mocy lematu 4 mamy m\x.

Zatem x — my, gdzie у > 1. Chcemy, żeby p l]+eip l2+e2. ..p lk^Bk\amv — bmy —

= dv — bv , gdzie a = am, b = bm. Ponieważ рр\а — Ь, p4i+lJ(d — b dla i = 1 , 2 ,...,% , więc, na mocy wniosku 1 , p ll+Slp l2+e2. . .plk+Sk dzieli dv — bv wtedy i tylko wtedy, gdy pVpl2...p ekk\y. Ponieważ x = my, więc тр\1р12...р $ \х . Gdyby nie zachodziła równość (16), to dla pew­

nego naturalnego 1 < г < & miehbyśmy p a p +4+1 j amv^ ' vl2• • pkk — bmv\l ' p 22 • • -ркк i mocą przed chwilą dowiedzionej pierwszej części twierdzenia 7 byłoby Pi^'lpl'pP-.-py**, co jest niemożliwe.

E. Catalan w r. 1902 dowiódł (zob. [5]), że jeżeli n — a T 1 jest liczbą

naturalną nieparzystą, to wa|a*=Fl, » n3jf an"^f 1 . Udowodnimy

O własnościach wyrażenia an-±_bn 7

T

8. Jeżeli (a,b) = 1, (a —b) jest liczbą naturalną nie­

parzystą > 1 , to podzielność (a— b)n+1\ax— bx zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy (a — b)n\x, przy czym

(17)

a (a -b )n _ U a ~ b)n

(.a - b ) n+1 a — b = ¹ .

D ow ód. Niech a — b — pl lp ^ . . . p l k1 gdzie p xi p 2, .. . , p k są licz­

bami pierwszymi nieparzystymi. Według twierdzenia poprzedniego, na to, żeby (a— b)n+1 = p l1+™1p

2+na2...p lk+nak\ax — bx potrzeba i wystarcza, aby p T lp T 2 - " V T k — (a — b)n\x, przy czym na mocy wzoru (16) będzie

I

T ^ T 1- ^ - ьгГ*-рГ*~*Гк \

\ p « l + nal p °2 + na2 ' ' 'p ° k + nak ’ P l P f - P k ] — 1 »

skąd wynika wzór (17).

W podobny sposób można znaleźć warunki konieczne i wystarczające ' dla zachodzenia podzielności (аг— bl)n+1\ax — bx, gdzie al — V1 {i = 1 , 2 , . . . ) jest liczbą naturalną nieparzystą. Zauważmy, że (а — Ь)п+1\а^а~ь^п— Ыа~ь)п również wtedy, gdy {a, b) > 1 , mamy bowiem

T

9. Dla dowolnych liczb całkowitych a ,b i n takich, że a — b > 0 , n > 0 mamy

(18) ( a - b ) n+1\aia~b)n- b {a~b)n.

Dowód tego twierdzenia wynika przez indukcję względem n z nastę­

pującej tożsamości:

(19) am — bm =

= ( a- b) [ ( am- 1- b m- 1) + (a"l- 2- b m- 2) b + ... + ( a - b ) b m- 2 + rnbm- 1].

Z twierdzenia 9 wynikają następujące wnioski:

W n io se k 2. Dla dowolnych liczb całkowitych a, b i n takich, iż n ^ 0 , a-\-b jest liczbą naturalną parzystą mamy

( 20 ) (a~\-b)n+1\a(a+b)n-&<a+6) \

W n io se k 3. Dla dowolnych liczb całkowitych a, b i n takich, że n > 0 , a + b jest liczbą naturalną nieparzystą, mamy

( 21 ) (a + 6 )n+> (a+6)№+ Ыа+Ь)п.

Podzielność (21) w formie zadania do udowodnienia otrzymałem od

T. Bonclera w r, 1949.

L

5. Jeżeli (a,b)

Л ^ 1, p jest liczbą pierwszą nieparzystą, p x jest dzielnikiem pierwotnym liczby a11 -J - bn, p x+1Jf an + bn, to na to, żeby p k 'rB\ax+ bx, gdzie e > 1 , x > 1 , potrzeba i wystarcza, aby

( 22 ) x = { 2k +l ) npe, gdzie к — 0 , 1 , 2 , . . . Dowód tego lematu jest podobny do dowodu lematu 3.

Z tego lematu wynika natychmiast

W n io se k 4. Jeżeli (a,b) = 1, p jest liczbą pierwszą nieparzystą, Л > 1 , e > 0 , p x\a + b, p x+1-f a + b, to na to, żeby р л+е\ахĄ-bx, gdzie x > 1 potrzeba i wystarcza, aby

(23) x = (2k-\-l)ps, gdzie k = 0 , 1 , 2 , . . .

L

6. Jeżeli (a ,b ) = 1 , к jest dzielnikiem pierwotnym liczby adjrbd, to z podzielności k\anĄ-bn wynika podzielność d\n.

Dowód lematu 6 jest podobny do dowodu lematu 4.

Z wniosku 4 i lematu 6 wynika następujące

T

10. Jeżeli (a , b ) = 1, p { dla i — 1, 2 , . . . , к są liczbami pierwszymi nieparzystymi, n = p ^ p l1 ...p kk jest dzielnikiem pierwotnym liczby am-\-bm, ({amjt-bm)/pi1pZ2. . . pl k, p 1p 2. . . pk) = 1, to podzielność Pi1+Slp%2+e2...p lk+ek\ax-\-bx , zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x —

— (2lJ-l)m ps11p e22...p kk, gdzie 1 = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , przy czym

(24)

: 1 + + + ’ n V l " ' Pk) = 11

T. Bonder zauważył (zob. [ 22 ], str. 67), że dla każdej liczby natural­

nej n i liczb całkowitych względnie pierwszych a i b jest (a-f Ь)2\ап + bn wtedy i tylko wtedy, gdy {a-\-b)\n. Natomiast z twierdzenia 10 , naśladując metodę dowodu twierdzenia 8 , otrzymamy następujące

T

11. Jeżeli {a,b) — l , a-\-b jest liczbą naturalną nie­

parzystą, to podzielność (a + b)n+l\ax-\- bx zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = (2l-\-l)(a-{-b)n, gdzie l = 0 , 1 , 2 , .. . , przy czym

(25)

a(«+b)n+ b(a+b)n \

W ten sposób znaleźliśmy warunki konieczne i wystarczające dla zachodzenia podzielności (a— b)n+1\ax — bx , (a+ b)n+l\axĄ-bx dla (a, b) = 1 , 2 -f ajc b . W podobny sposób można znaleźć warunki konieczne i wystar­

czająco dla zachodzenia podzielności (a—b)n+l\ax+ bx , {a+ b)n*l\ax— bx,

gdzie (a,b) = 1.

O własnościach wyrażenia an ± bn 9

§ 3. O liczbach złożonych n dzielących liczby an~l — bn~l, anb — abn.

Jeżeli p jest liczbą pierwszą, {a, b) = 1, (a, p) = (b , p ) == 1, to według małego twierdzenia Ferm ata m am ypla 23""1 —1)р\Ьр~х — 1 , skądp|a 1)_1 — bv~1.

W związku z tym nasuwają się następujące pytania:

1. Czy dla danych liczb naturalnych a i b, gdzie a > b , (a, b) = 1 , istnieją liczby złożone, dla których n\an~x — bn~l %

2. Jeżeli istnieją, to ile ich jest i jak je znaleźć?

3. Ile czynników pierwszych mogą mieć takie liczby złożone?

W. Sierpiński dowiódł w r. 1947 (zob. [23]), że istnieje nieskończenie wiele n złożonych dzielących

— 2. Najmniejszą taką liczbą jest 341 ==

= 11-31. Zachodzi twierdzenie (zob. [131) następujące:

T

12. Jeżeli a, b i s są liczbami naturalnymi, gdzie a > b , (a , b ) = 1 , to istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych nieparzystych n będących iloczynem s różnych liczb pierwszych takich, że n\an~l — bn~l .

Kładąc w tw. 12 b = 1 otrzymujemy

W n io se k 5. Dla dowolnych liczb naturalnych a > 2 i s istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych nieparzystych n będących iloczynem s różnych liczb pierwszych takich, że n\an— a.

Dla s = 2 powyższy wniosek w r. 1958 udowodnił A. Schinzel (zob.

[ 20 ]), który stąd wyprowadził, że dla każdej liczby naturalnej a istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych, które dzielą an—a. Ten ostatni wynik uzyskał na innej drodze w r. 1955 H. J . A. Duparc (zob. [ 6 ]).

Z tw. 12 wynika natychmiast, że dla ( a , b ) = 1, a > b , istnieje nieskończenie wiele liczb nieparzystych złożonych n takich, że n\(an~l —

— bn~l)a'b = anb — abn. W arunek (a, b) = 1 możemy pominąć, gdyż jeżeli (a, b) = d > 1 , to (аг, &x) = 1 , gdzie ax = ajd, bt = bjd i na pod­

stawie tw. 12 istnieje nieskończenie wiele złożonych nieparzystych n, dla których n\an~l

6

skąd n\dn+1

anb

abn.

T

13| Dla dowolnych liczb naturalnych* a i b istnieje nieskończenie wiele liczb parzystych n spełniających podzielność

(26) n\anb - a b n.

D ow ód. №e uszczuplając ogólności możemy założyć, że (a, b) = 1 i a > b. W dalszym ciągu dowód wynika natychmiast z następujących dwóch faktów:

1. Istnieje jedna liczba parzysta n > 2 , dla której zachodzi podziel­

ność (26);

2. Jeżeli jakakolwiek liczba parzysta m > 2 spełnia podzielność m\amb — abm, to istnieje liczba pierwsza p > m taka, że liczba n — mp spełnia podzielność (26).

D ow ód; 1 . Gdy ab — 2 , to wobec a > b jest a = 2 , b = 1 i jak zna­

lazł D. H. Lehmer (zob. [ 2 ]) liczba n — 2-73-1103 spełnia (26). Gdy

2 1ab ^ 4, to n = ab > 4 spełnia (26). Jeżeli wreszcie 2 ^ ab > 3 to ( 26 \

zachodzi dla n = 2 ab > 6 . ’ '

2. Ponieważ m jest liczbą złożoną parzystą, więc m —i jest pc ^ nieparzystą > 3 i na podstawie T istnieje dzielnik pierwszy pierwotnv ^ liczby am~1 — bm~1 taki, że ж —l | p —1. Z równości mp — 1 =

+ (w — 1 ) wynika więc, że m —l \ m p — 1 , skąd am~l — bm~l \amv~l —

>waż p \a * -l - b m- \ więc p ! ^ - 1- ^ - 1 i p\ampb - a V np. B ó w n iJ

« Г = аЬ(ат " 1 -& ш_ 1 ) 1 ^ ( « тР_1-& тр“ 1) = ampb—-abmp.

a por w |a w6

Wobec m > 2 , m —l j p —1 mamy p > w > 2 i z m —l | p —l, 2-f ш —i wynika, że 2 (m —l ) | p —1, sk ąd p > m, (p, m) = 1. Zatem rnp\ampb ~ a b mp

gdzie ( m, p) = 1 , co kończy dowód 2 . ’

Jeżeli a — b jest liczbą nieparzystą > 1 , to a jest nieparzyste, b zaś jest parzyste lub na od wiń t i nie istnieje żadna liczba parzysta n taka

żeby n\an~l — Ьп~г. '

Gdy 2\a — b > 4, to liczba n = a — b spełnia podzielność n|a n_1 — bn~l i oznaczając przez p dzielnik pierwszy pierwotny liczby d%~l ~b™~1, gdzie ax = a/(a, b), bx = ЬЦа, b) (takie p na mocy T istnieje, gdyż n —1 jest liczbą nieparzystą ^ 3, a wobec a — b > 4 jest ax > bx) dowodzimy (na­

śladując metodę dowodu tw. 13), że np\anp~1 — bnp~1. Zatem

T

14. Dla dowolnych liczb naturalnych а, Ь i n takich, że2\a— b^Ą : istnieje nieskończenie wiele n parzystych takich, że n\an~l — bn~l.

Pozostaje zbadać, czy dla każdego naturalnego m istnieje nieskoń­

czenie wiele n parzystych, dla których

(27) n\{mA-2)n 1 — mn 2.

Otóż można sprawdzić (zob. [15]), że wzór (27) zachodzi dla (m = 1 , n = 2 • 11 • 13), (m = 2, n = 2 • 73 • 1103, co znalazł w 1950 r. D. H. Lehmer), (m = 3, n — 2-11 *43), (m — 5, n — 2*59*73), (m = 6 , n = 2-23 *61), (m — 7 , n — 2-19*149), (m = 9, n — 2-43-137), (m — 10, n — 2-19-149), {m = 11, n = 2-347-433), (m = 12, n = 2-47-127)/

Po znalezieniu jednej liczby, dla której zachodzi (27), znajdujemy ich nieskończenie wiele metodą wskazaną w dowodzie twierdzenia 13.

Zachodzi więc następujące

T

15. Dla każdej liczby naturalnej m, gdzie 4 ,8

m < 13, istnieje nieskończenie wiele liczb parzystych, dla których n\ ( mJr 2)n~1 — mn~l.

Przypuszczam, że twierdzenie 15 zachodzi dla każdego naturalnego m.

§ 4. Równania diofantyczne związane z własnościami wyrażenia anztb n* Od stulecia nie jest rozwiązane zagadnienie, czy równanie

(28) < ł - y l = 1

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych x , y , z , t większych od 1 różne

od w — 3, y — 2 , z = 2 , 1 = 3. Przypuszczenie, że takich rozwiązań nie

O własnościach wyrażenia ап±Ы

ma, znane jest pod nazwą twierdzenia Catalana. R. Hampel (zob. [ 8 ]) dowiódł, że poza wyżej podanym równanie (28) nie ma rozwiązań w licz­

bach całkowitych x , y , z , t większych od 1 , gdzie x — y — l. W pracy [14] udowodniłem, że równanie xz — ył — ał, gdzie a jest liczbą naturalną, nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych x , y , z, t większych od jedności i różnych od x = 3, у — z — 2, t = 3, jeżeli \x — y\ = a oraz (x, y) — 1.

(Dla a = 1 otrzymujemy stąd twierdzenie R. Hampla.) Udowodnimy następujące uogólnienia tego twierdzenia:

T

16. Równanie

(29) xs- y ł = ał,

gdzie a oznacza liczbę, naturalną, nie ma w liczbach naturalnych х, у , z, t większych od jedności, innych rozwiązań poza x — 3, у — 2, z — 3, t = 3, jeżeli

(30) \х—уг| = d% gdzie (x , у) — 1, i = 1 , 2 , . . .

D ow ód. Przypuśćmy, że liczby naturalne x , y , z , t większe od 1 1 różne odpowiednio od 3, 2, 2, 3, spełniają równania (29) i (30). Z (30) wynika, że x = уг±:аг i wobec (29) mamy

(31) .</ + <*' = (^± < 0 * .

Wobec x — y l^c.ab i ( x, y) = 1 jest (y, a) = 1. JSa mocy T liczba y2t— a2t dla t > 1 posiada dzielnik pierwszy p taki, że p\y2t— a2t i р ^ у к— ак dla к = 1, 2, ..., 2 t—1 z wyjątkiem przypadku у — 2, a = 1, t = 3, gdy у > a i przypadku a = 2, у — 1, t =- 3, jeżeli у < a. Ponieważ р ^ у 1— а\ więc na mocy równości (?/—■ at){yt ^- d) = y2t — a2t jest p\y*-\-cf.

Jeżeli i < t, to wobec (31) mamy р\уъ± а г, skąd р\у2г — а2г, gdzie 2 i < 2t wbrew temu, ż e p f yk— ak dla к = 1 , 2 , . . . , 2<—1. Jeżeli^ < i < 2 £, to wobec z > 1 musi być yl+ a 1 = (уг — аг)г, skąd wobec mamy p\yl — gdzie ó < 2 tf, znów wbrew temu, że p -\y k— ak dla к = 1 , 2 , ..., 2 «— 1 .

Gdyby było i > 2 £, to wobec (31) mielibyśmy

у*+а* = (уг± а Т > (уг — аг)г > (y2t— d2tf = (?/— «*)*(?/*+ я *)2 co jest oczywiście niemożliwe.

Wobec у > 1 pozostaje do zbadania przypadek == 2 , a — 1 , t = 3.

Podstawiając te wartości do równania (29) otrzymujemy х*— 2 3 = 1, xs = 9, skąd wobec z > 1 jest x — 3, s = 2. W ten sposób dowód twier­

dzenia 16 został zakończony.

Ostatnio J. W. S. Cassels (zob. [4]) dowiódł, że jeżeli liczby n atu ­ ralne x i у większe od 1 oraz liczby pierwsze z i t spełniają równanie (28), to t \Xj a z\y. Można także dowieść (zob. [16]), że jeżeli liczby naturalne

11

x , у , z, t większe od 1 i różne od x = 3, у — 2, z = 2, t — 3 spełniają równanie (28), to x > 1000 i у > 1000 .

R. Hampel (zob. [9]) dowiódł, że jeżeli liczby całkowite х , у', я, i są większe od 1 i spełniają równanie (28), to liczby x i у nie mogą być postaci 10m, 2w-3m (n, m — liczby naturalne). Zachodzi następujące, moc­

niejsze twierdzenie (zob. [17]):

Jeżeli liczby całkowite sc, у , z, t, większe od jedności, spełniają równanie (28) i nie są układem x — 3, у = 2, z = 2, < = 3, to każda z liczb x i у ma co najmniej dwa różne dzielniki pierwsze, przy czym jeden z nich jest nie mniejszy od 11 .

Równania an± b n = (a— b)n+1. Widzieliśmy (zob. tw. 8 ), że jeżeli (a, b) = 1 , a — b jest liczbą naturalną nieparzystą > 1 , to z podzielności (a— b)n+1\ax— bx wynika podzielność (a — b)n\x, a więc wykładnik x musi być bardzo duży w porównaniu z liczbą naturalną n ; na przykład, żeby 255|29a!—U potrzeba, aby 254|a?. Twierdzenie to przestaje być prawdziwe, gdy odrzucimy warunek (a, b) = 1. Okazuje się bowiem, że równanie (a— b)n+1 = an— bn po odrzuceniu warunku (a, b) = 1 ma w liczbach naturalnych a i b nieskończenie wiele rozwiązań.

Udowodnimy

T

17. Wszystkie rozwiązania w liczbach naturalnych a i b takich, że a — b jest liczbą naturalną nieparzystą, równania an — bn =

— {a— b)n+1 dla n > 1 zawarte są we wzorach

(32) a = (w -fl) [(m + l)n- m n], ’ b = m[ ( m + l ) n- m n],

« gdzie m — 1 , 2 , . . .

D ow ód. Mech dla pewnych liczb naturalnych a i b takich, że a — b jest liczbą naturalną nieparzystą, zachodzi równość

I

(33) an- b n = ( a - b ) n+1, gdzie n > 1.

Przypuśćmy, że (a, b) — d; wtedy a = axd , b — bxd, gdzie {ax, bx) = 1 i z (33) otrzymamy ó tia ^— b?) = ^ +1(ах— bx)n+1, skąd

(34) d =

{ax ax— bx

bx)n+1

Ponieważ a — b było liczbą naturalną nieparzystą i ax — bx —

= (a — b)/d, więc ax— bx jest także liczbą naturalną nieparzystą. Wobec (ax, b x) = 1, na mocy tw. 8 z (34) dla ax— bx > 1 wynika {ax — bx)n\n, co jest niemożliwe, gdyż (ax — bx)n ^ 3n > n dla n > 1. Zatem ax — bx — 1.

Przyjmując ax = m-f-1, bx — m z (34) otrzymamy d — {m-\-l)n— mn, skąd a = ( mJr l ) [ ( m Jr l )n—mn'], b = m [ { m+ l ) n—m№ ], a ponieważ licz­

by te dla m — 1 , 2 , ... spełniają równanie an —bn = (a— b)n+1, więc

twierdzenie 17 zostało udowodnione.

O własnościach wyrażenia ап±_Ъп 13

W podobny sposób można dowieść następujące twierdzenie:

T

18. Wszystkie rozwiązania równania

(35) an+ b n = ( a - b ) n+1

dla n > 1 w liczbach naturalnych a i b takich, że a — b jest liczbą naturalną nieparzystą, zawarte są we wzorach

(36) a = ( m + l) [ ( m + l) n + mn], b = т[т-\-1п + тп],

gdzie m = 1 , 2 , . . . P r z y k ła d . Kładąc m — 10, n — 4, ze wzorów (36) otrzymamy a = 23771561, b = 21610510. Zatem 23771561* + 21605104 = (23771561-

— 21610510)5. Można także znaleźć wszystkie rozwiązania równań an— bn = (a — b)n+1, an+ b n = (a— b)n+l w liczbach naturalnych a i b, gdy 2 |a — b.

Równanie az— bz = (a — b)5. Skorzystamy z następującego twier­

dzenia W. Sierpińskiego i A. Schinzla (zob. [ 21 ] i [24]):

S. Wszystkie rozwiązania równania

(37) а ?2 + ж + 1 = 3 у 2

w liczbach naturalnych cg i у zawarte są w ciągu nieskończonym {xnyn}

(n

= 1 , 2 , . . . ) ,

a?x = 1,

1,

= 2 , 3 , . . .

(38) ^n+\ — +12y№ + 3, yn+i — + 7yn + 2 .

Przypuśćmy w dalszym ciągu, że liczby naturalne a i b takie, że a — b > 0 , spełniają równanie az— b 3 = (a — b)5. Niech (a, b) = 1 , wtedy d*(a\ — b\) = d5(a1 — b1)5, skąd

(39) d2 =

b\

(ax— bx)1

Ponieważ a\ — b\ dla (a1? bx) = 1 jest podzielone przez tę samą potęgę 2 co (ax— bx), więc z (39) wynika, że (ax— bx) nie może być liczbą parzystą.

Na mocy tw. 8 , ax — bx = 1 lub (ax — bxy |3, ax — bx > 1 . Nie jest (ax— &х) 4 |3, ax — bx > l , gdyż (ax — bxy > 3 dla ax — bx > 1. Zatem d2 — a\ — b\, ax — bx — 1 i kładąc ax — w + 1 , dx = m mamy

(40) d2 = (m + 1 )3 — m z.

Zauważmy, że ze wszystkich rozwiązań równania (37) w liczbach naturalnych

możemy natychmiast otrzymać wszystkie roz­

wiązania równania (40).

W samej rzeczy, jeżeli liczby naturalne

> 1 i

spełniają równanie

(37), to mamy, jak łatwo sprawdzić, (

—l )2 = 3y2—

skąd wynika,

że 3 \x -—1 i przyjmując x —1 = 3m, у — d, widzimy, że; (3m )2 = 3d2—

— 3 (3 m + l), 3m 2 + 3 m + l = d2, czyli ( m + 1 )3 — m3 = d2, co dowodzi, że liczby m i d spełniają równanie (40). Z drugiej strony, jeśli liczby m i d spełniają równanie (40), to przyjmując x = 3 m + l, у = d otrzymamy, jak łatwo sprawdzić, liczby naturalne x > 1 oraz у spełniające równa*

nie (37).

Przyjmując we wzorach (38) xn+1 = 3mm+ 1 + l , yn = dn otrzymamy m m+1 = 7mw + 4<2n + 3, dn+l = 1 2 т м.+ 7йи + 6 , a zatem uwzględniając S, wszystkie rozwiązania w liczbach d i m równania d2 = (m + 1 ) 3 —m 3 zawarte są w ciągu nieskończonym {mn1 dn} (n = 1 , 2 ,...) , gdzie m 1 = 0 , dx = 1 , a liczby mn, dn dla n — 2 ,3 , ... określone są przez następujące wzory rekurencyjne:

(41) %.). i = 7mn + 4$л+ 3, = 12mw + 7$те + 6 .

Kładąc kolejno n — 1 , 2 , . . . ze wzorów tych otrzymamy następujące rozwiązania: (7,13), (104,181), (1455,2521)... równania (40). Ponieważ liczby a = axd, b = bxd, gdzie (ax, &x) = 1 , spełniają równanie az— b3 =

= (a— &)5 wtedy i tylko wtedy, gdy 4 2 = (m + 1)3 —m3, przy czym, jak dowiedliśmy, musi być ax = m + 1 , bx — m, więc przyjmując an —

= dn(mn+ 1 ), = ^ m n otrzymujemy następujące twierdzenie:

T

19. Wszystkie rozwiązania równania a3 — b 3 = (a — &)5 w liczbach naturalnych a i b takich, że a — 6 > 0 , zawarte są we wzorach

(42) an = dn(mn-\~ 1), = dnmn,

дгйгге = 1 , mx = 0 , liczby zaś dnJm,„, dla n > 1 określone są przez następujące wzory rekurencyjne:

(43) m w+1 = 7mw + 4dn+ 3 , = 12m№+7<?rt,+ 6 .

P r z y k ła d . Liczby m 3 = 104, d3 = 181 spełniają równanie (m 3 + l ) 3—

— ml = dl, zatem liczby a3 == 105-181 = 19005, &3 = 104-181 = 18824 spełniają równanie a\ — b\ = (a3 — b3)5. Mamy więc 190053—188243 =

= (19005-18 8 2 4 )5.

Udowodniono (zob. [25]), że jeżeh liczby m i d spełniają równanie (m + 1 ) 3 —m 3 = d2, to liczba d jest sumą dwóch,kolejnych kwadratów, np. 13 = 2 2 + 3 2, 181 = 9 2 + 1 0 2, 2521 = 352+ 3 6 2.

Z tw. 19 wynika, że liczba dn określona dla n > 1 przez wzory (43) jest różnicą dwóch takich liczb naturalnych, których różnica sześcianów jest piątą potęgą dn. Na przykład d3 = 181 = 19005 — 18824, a d\ =

= 190053—188243. Liczby dn = .13, 181, 2521, 35113, 489061, ... mają więc następujące własności:

1. Każda liczba dn jest sumą dwóch kolejnych kwadratów.

2 . K wadrat każdej liczby dn jest różnicą dwóch kolejnych sześcia­

nów.

O własnościach wyrażenia a rt± & w' J 5

3. P iąta potęga każdej liczby dn jest różnicą dwóch sześcianów takich liczb, których różnica równa się dn.

son— l

R ó w n a n ie ---= yn, Udowodnimy x — 1

T

20. Jeżeli n jest liczbą pierwszą > 2,

liezbą naturalną, to równanie

Xth- 1

(44) --- = f

x —l

nie ma rozwiązań dla naturalnych x będących liczbami pierwszymi.

D ow ód. Mech xn~l xn~2 ... + ® + l = yn dla n > 2 oraz x będą­

cych liczbami pierwszymi. W tedy xn~x + xn~“Ą- .. . + x = yn—1, skąd x\yn-^-l. Zatem x \y —1 lub x\{yn—l ) l ( y —l) i a r\y —1. Gdyby x\ y—l, to x < y, co jest niemożliwe, gdyż z równania (44) wynika natychmiast, że x > y . Zatem x\(yn—l ) j ( y —1), x \ y —1. Na mocy twierdzenia 1 x ma formę n k Jr 1 , więc n \x —l i z wniosku 1 wynika, że

x " - l 0Xn- l

(45) л ! — - , л Ч ---г •

I x —l x —l

Z podzielności n\(xn—l ) l ( x —l) i równania (44) otrzymujemy nn\{xn—l ) l ( x — 1 ), skąd wobec n > 2 jest n 2\(xn —l)j {x— 1 ), co jest sprzeczne z (45). W ten sposób dowód twierdzenia 20 został zakończony.

§ 5. Ilość dzielników pierw szych liczb an±;bn. Liczby q>(an± b n).

Udowodnimy

T

21. Jeżeli a, b i n są liczbami naturalnymi, (a, b) —

= 1 , a > b , an — bn = p l 1p

2...pkk, Q{n) oznacza ilość dzielników liczby naturalnej n, to:

1 . Dla a — b > 2 jest к > в(п).

2 . Dla a — b = 1 z wyjątkiem przypadku a — 2 , b — 1 mamy к > 0(n)— 1 .

3. Dla a = 2, 6 = 1 jest к ^ 6(n)—2.

4. Dla a — b — 2 z wyjątkiem przypadku a = 2a+ l , 6 = 2“—1 mamy к > 6(n).

5. Jeżeli a = 2a-f-l, 6 = 2“—1, to к ^ 6(n)—1.

D ow ód. Mech (a, 6 ) = 1 i a > 6 . Przez p x oznaczamy (o ile istnieje) dowolny dzielnik pierwszy liczby a — b, a przez Pi, gdzie i > 1 , dowolny dzielnik pierwszy pierwotny (o ile istnieje) liczby a%— b% . Liczba p 1 oczy­

wiście istnieje, jeżeli tylko a — b > 1. Udowodnimy, że p 2 nie istnieje tylko wtedy, gdy a = 2 “+ l , 6 = 2 “— 1 . Dla a = 2 a+ l , 6 = 2 “— 1 , p 2 nie istnieje, gdyż wtedy a — b — 2, a a2 — 62 = 2a+2. Wystarczy więc do­

wieść, że równanie a2— b 2 = p a+1, gdzie a —-6 > 1 , a > b , (a,b) == 1 , a > 0 r

p oznacza liczbę pierwszą, nie ma innych rozwiązań poza a — 2 “+ l , 5 = 2“—1 (a = 1, 2, ...).

Otóż przypuśćmy, że а 2— 52 = ^ a+1. Ponieważ (a, 5) = 1, więc ( a + b , a — b)\2 i z równania ( a + 5 )( a —5) = p a+1 wynika, że (a — b )x X (a + 5) = 2a+1, co daje « — 6 = 2, a + 5 = 2°, skąd a = 2®+l, 6 = 2“—1.

Liczba p e na mocy T nie istnieje tylko dla a = 2, b — 1.

Zauważmy, że Pi Ф p k dla i Ф k. W samej rzeczy, przypuśćmy, że pi

p k dla i Ф k. Ponieważ i Ф k, więc i > k lub к

Niech będzie i > к (drugi przypadek potraktowałoby się analogicznie). Ponieważ Pi jest dzielnikiem pierwotnym liczby a% — b\ więc р ^ а х— Ъх dla 0 <

< x < i; w szczególności, wobec к < i, Pi nie dzieli liczby ak— bk wbrew założeniu, że pi — p k\ak— bk. Wobec аг— Ь1\ап— Ьп, dla i\n na mocy T mamy więc

J~Jpi\an— bn dla a — b > 2 ,

i\n

[ ] Pi\an — bn, gdy a — 6 = 1; { а , Ь } Ф { 2 ,1 } ,

l c i j n

\ < i\ n

f ] p i \ a n- b n dla a - b = 2, {a, b} Ф {2“+ l , 2 ° - l}

i\n

(« = 1 , 2 , . . . ) ,

Ponieważ iloczyn f ] p i zawiera 0(n) różnych dzielników pierwszych,

. - i\n

więc ze wzorów (46)-(50) wynika twierdzenie 21.

P r z y k ła d y . 6 30 - 5 30 = 7-11 *13-31-991-4651 *1038811-1481671.

W przykładzie tym n .= 30, a — 6 , b = 5, 6{n) = 8 , & = 8 , fc = 0(w).

2е—1 = 3 2 *7, & = 0(w) —2.

W podobny sposób można udowodnić

T

22. Jeżeli a, b i n są liczbami naturalnymi, (a,b) — 1, a > b , n — 2an 1, gdzie { 2 , п х) = 1, anjr bn = p i 1. . . pkk, to z wyjątkiem przypadku a = 2, 5 = 1 , 3|w, 2-f w jest к > 0(%). Dht a = 2 , 5 = 1, 3|w, 2 -f w mamy к ф 6(n)— 1 .

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci ( 2 P— 1 )/( 2 — 1 ), gdzie p oznacza liczbę pierwszą, i rozwiązanie tego zagad­

nienia uważane jest za bardzo- trudne.. Otóż można dowieść (zob. [18]), (46)

(47)

(48)

(49)

(50)

O własnościach wyrażenia ап±Ъп 17

że jeżeli p jest liczbą pierwszą formy 4fc+l, to (pv —l)/(p — 1) jest zło­

żone. To samo dotyczy liczby (pv +l ) l ( p + l ) , gdy p

ma formę 4& + 3.

Z twierdzenia T', które ostatnio dowiódł A. Schinzol, wynika, że liczby te mają zawsze co najmniej dwa różne dzielniki pierwsze.

Liczby <p(an± b n). N. G. Gnderson (zob. [7]), uogólniając wynik U. Scarpisa (zob. [19]), że п\ср(рп—1), gdy p jest liczbą pierwszą (<p(n) jak zwykle oznacza ilość liczb naturalnych, nie większych od n i pierwszych względem n ) dowodzi, że jeżeli a > b , m jest iloczynem wszystkich róż­

nych dzielników pierwszych liczby naturalnej n, to 4l2

— \<p(an- b n), n\<p(an+ bn).

m

Dzielnikami liczby p(an— bn) zajmował się także K. Menon. Udo­

wodnił on (zob. [ 11 ]), że dla 1 < b < a, (a, b) — 1 jest n\<p(an — bn) oraz że gdy n = p ? K . . p l k, P i _ i > P i , Si = (*! + . . . + af_j dla i — 2 ,...,f c ,

к

sx = 0 , — Of+ a2, wtedy y{an — bn) jest podzielne przez YJpli4+ti.

i = 1

Powyższe wyniki można uogólnić, zachodzi mianowicie następujące znacznie mocniejsze twierdzenie, którego sformułowanie jest o wiele prostsze:

T

23. Jeżeli a, b i n są liczbami naturalnymi, a > 5 , n ^ 1 , wtedy

(51) ne(n)l2\<p(an- b n),

tzn. że <p(an — bn) jest podzielne przez iloczyn wszystkich dzielników natural­

nych liczby n.

D ow ód. Zauważmy, że wystarczy dowieść twierdzenia 23 dla (a, b) = 1 . W samej rzeczy, przypuśćmy, że udowodniliśmy tw. 23 dla (a, b) = 1 . Mech (a, b) = d > 1 , a > b, wtedy a = axd, b = bxd, gdzie (ax, M — 1 oraz wobec a > b jest ax > b x. Ponieważ z podzielności c\d wynika <p(c)\(p(d) (co widać ze wzoru <p{pa ilpl2^>Pkk) =

• • •Vkk~l (J>a—1) • • • (Pk—1)), więc z a"— bx\an— bn wynika, że ? > « — Щ) dzieli <p(an— bn).

Przypuśćmy, że {a, b) = 1, a > b, 2 \ n . W tedy na mocy T dla każ­

dego 1 < i\n istnieje dzielnik pierwszy pierwotny p t liczby al — bl , skąd (52) [ ] Pi\an— bn, gdzie (Pi,pj) = 1 dla i ФЭ-

1 < Ц п

Ponieważ f ] i = ne(n)f2 (zob. [22], str. 124, wzór 18) oraz i\<p{Pi),

l< i;n

gdyż pi jako dzielnik pierwszy pierwotny liczby аг— Ъг, i ф 2 , ma formę ik-Ą-1, więc z (52) otrzymujemy

» “ *>'* = f ] г | / 7 ?(№) = и / 7 л )1 P te * -» * ).

г|л г|ю 1<г|п

Roczniki PTM - Prace M atematyczne VI

Przypuśćmy, że

i niech nie istnieje

wtedy, na mocy T ,

=

= 2 ,

= 1 , 6 |w i /7 ^ | 2 И— 1 , gdzie

oznacza dzielnik pierwszy pierwotny 6<tj7l

liczby 2 г— 1 .

Z drugiej strony, 26— 1|2 Л—1 oraz

= 1 dla

> 6 , więc

= [J » = 36 П *!ł>(26- l )•?>( f]

1 < г |» 6 < г |п 6<г|»г

Gdy 2 |w i 2>6 istnieje, to ponieważ 2|ę>(w) dla w > 2 , а

>

^ л -f- 6 2 — (— 1 = 3 , więc

„»(»№ = ² [J t | P(a*-i«)-ę>( JJ ^у<)| <р(ап-Г).

2 < г |и 2 < < |»

P r z y k ła d . Ponieważ 0(240) = 2 0 , więc dla

>

liczba 24010 dzieli 9?(a240 —

Naśladując metodę dowodu twierdzenia 23 można udowodnić T

24. Jeżeli а, Ъ i n są liczbami naturalnymi, a > b,

= 2 “% , gdzie (2, %) = 1 ,

> 0 , /o

(53) (2a+2w)0(”i)/2|^(an+ 6 TC ) dZa w ф (2 fc + l)3 ,

(54) | ( 2 a+2w)e{ni>/2|ę>(an+&w) dto

(3fc = 1 , 2 , . . . ).

Prace cytowane

[1] A. S. B a n g , Thalthoeretiske Undersogelser, Tidsskrift for Math. (5), 4 (1886), str. 70-80, 130-137.

[2] N. G. W. H. B e e g e r , On even numbers m dividing 2W—2, Amer. Math.

Monthly 58 (1951), str. 553-555.

[3] G. D. B ir k h o f f and H. S. V a n d iv e r , On the integral divisors of an—bn, Annals of Math. 2, 5 (1904), str. 173-180.

[4] J. W. S. C a sse ls, On the equation ax —bv = 1, Proc. Camb. Phil. Soc.

56 (1960), str. 97-103.

[5] E. C a ta la n , Mathesis 9 (1902), str. 109.

[6] H. J. A. D up arc, On almost primes, Mathematisch Centrum, Amsterdam, Rapport ZW, 1955-012 (1955).

[7] N. G. G u d erso n , Some theorems of Euler <p-function, Bull. Amer. Math.

Soc. 49 (1943), str. 278-280.

[8] R. H a m p e l, On the solution in natural numbers of the equation xm—yn — 1, Annales Pol. Math. III. 1 (1956), str. 1-4.

[9] — O zagadnieniu Catalana, Prace Mat. 4 (1960), str. 11-19.

[10] V. A. L e b e s g u e , Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 51 (1860), str. 11.

[11] K. M enon, Some congruence properties of the Euler <p-function, Proc. Indian Acad. Sci., Sect. A, 24 (1946), str. 443-447.

[12] A. R o t k ie w ic z , Elementarny dowód istnienia dzielnika pierwszego pier­

wotnego liczby an—bn, Prace Mat. 4 (1960), str. 21-28.

[13] — Sur les nombres composes n qui divisent an~ 1 — bn~ 1, Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, S. II, 8 (1959), str. 115-116.

O własnościach wyrażenia an± b n ¹⁹

[14] A. R o tk ie w ic z , Sur Vequation aF—y l = а1, ой \ x —y\ — a, Annales Pol.

Math. 3 (1956), str. 5-6.

[15] — Sur les nombres 'pairs n qui divisent (a-\-2)n~l — an~l, Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, S. II, 9 (1960), str. 78-80.

[16] — Sur le probleme de Catalan, I I , El. Math. 16 (1961), str. 25-27.

[17] — Sur le probleme de Catalan, tamże 15 (1960), str. 121-124.

[18] — O liczbach postaci ((4fc+ l)4A+1 —l)/4fc, ((4fc + 3)4A+3-ł-l)/(4& + 4), Prace Mat. 5 (1961), str. 95-99.

[19] U. S c a r p is, Period Mat. 29 (1913), str. 138-139.

[20] A. S c h in z e l, Sur les nombres composes n qui divisent an—a, Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, S. II, 7 (1958), str. 37-41.

[21] — i W. S ie r p iń s k i, Sur Vequation я2+а; + 1 == 3i/2, Coll. Math. 4 (1956), str. 71-73.

[22] W. S ie r p iń s k i, Teoria liczb, Warszawa - Wroclaw 1950.

[23] — Remarque sur une hypothbse des Chinois cornernant les nombres 2n—2 jn, Coll. Math. 1 (1947), str. 9.

[24] — O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych, Warszawa 1956.

[25] V. T h e b a u lt , Consecutive cubes with difference a square, American Math.

Monthly 56 (1949), str. 174.

А. Роткевич (Варшава)

СВОЙСТВА ВЫРАЖЕНИЯ ап ±Ъп РЕЗЮМЕ

В статье исследуются арифметические свойства выражения ап ±Ъп.

Статья содержит следующие пункты:

1. Формы простых делителей чисел ап± Ь п.

2. Условия делимости

pV+eipZ2+S2>.-Pkk+Sk\ax±bx ,

когда

СИ а2 аь х , ,х

Pi Р 2 !« ±Ь •

3. Сложные числа п делящие числа dn~ 1 — bn~1) anb —abn .

4. Диофантовы уравнения связанные со свойством выражения an 4-ft«

5. Число простых делителей чисел ап ±Ъп и числа <р(ап ±Ьп). ■

A. Rotkiewicz (Warszawa)

ON THE PROPERTIES OF THE E X P R Es s i o n an± b n

SUMMARY

The arithmetical properties of the expression ап^ъп are oonsidered

contains following sections: * Paper

1. Forms of the prime divisors of numbers ^bn

2. Conditions for divisibility of

n W - p i V ± b \

3. Composite numbers n dividing the numbers an~ l — bn~ x, anb — abn.

4. Diophantine equations connected with properties of the expression an ±_bn.

6. Number of the prime divisors of the numbers an ±_bn. Numbers cp{an±_bn).