Zadanie STK 1

Stara Teoria Kwantów ^∗

Maciej J. Mrowi´nski 15 lutego 2012

Zadanie STK 1

?

Korzystaj˛ ac z reguł kwantowania Wilsona-Sommerfelda znajd´z dopuszczalne warto-

´sci energii dla swobodnej cz˛ astki o masie m poruszaj˛ acej si˛e w jednowymiarowej, niesko´nczonej studni potencjału o szeroko´sci a.

Odpowied´z: E _n = ^π _2ma

^ħh

ⁿ

Zadanie STK 2

?

Korzystaj˛ ac z reguł kwantowania Wilsona-Sommerfelda znajd´z dopuszczalne warto-

´sci energii dla swobodnej cz˛astki o masie m poruszaj˛acej si˛e w prostopadło´sciennym pudełku o bokach a × b × c.

Odpowied´z: E _n

x

,n

,n

= _8m ^h

 n

a

+ ⁿ

2 y

b

+ ⁿ _c

‹

Zadanie STK 3

?

Korzystaj˛ ac z reguł kwantowania Wilsona-Sommerfelda znajd´z dopuszczalne warto-

´sci energii dla doskonale elastycznej piłki o masie m odbijaj˛acej si˛e od podłogi w polu grawitacyjnym.

Odpowied´z: E _n = € ₉

32 m g ² h ² n ² Š

3

Zadanie STK 4

?

Korzystaj˛ ac z reguł kwantowania Wilsona-Sommerfelda znajd´z dopuszczalne warto-

´sci energii dla cz˛astki o masie m, na któr˛a działa siła harmoniczna: F (x) = −mω ² x (gdzie ω to stała cz˛esto´s´c kołowa drga´n).

Odpowied´z: E _n = ωħhn

∗

Skompilowane z wielu ´zródeł. Tylko do u˙zytku na zaj˛eciach.

1

Zadanie STK 5

?

Korzystaj˛ ac z reguł kwantowania Wilsona-Sommerfelda znajd´z dopuszczalne warto-

´sci energii dla cz˛astki o masie m poruszaj˛acej si˛e po okr˛egu o promieniu a ze stał˛a pr˛edko´sci˛ a k˛ atow˛ a.

Odpowied´z: E _n = _2ma ^ħh

ⁿ

Zadanie STK 6

?

Korzystaj˛ ac z reguł kwantowania Wilsona-Sommerfelda skwantuj całkowity moment p˛edu i składow˛ a p˛edu w kierunku osi Z dla układu składaj˛ acego si˛e z j˛ adra o całko- witym ładunku −Z e i orbituj˛ acego wokół niego elektronu o ładunku e. Załó˙z, ˙ze pomi˛edzy atomem a elektronem oddziałuje siła o potencjale V (r ) = −Z e ² /r , gdzie r to długo´s´c wektora ł˛ acz˛ acego elektron z j˛ adrem.

Odpowied´z: p = _2π ^{l h} , l = 1, 2, . . .; p _z = ^mh _2π , m = ±1, ±2, . . . , ±l

Zadanie STK 7

?

Wyznacz rozkład Plancka, czyli spektraln˛ a g˛esto´s´c energii u(ν, T ) (ilo´s´c energii pro- mieniowania cieplnego przypadaj˛ acego na jednostk˛e cz˛estotliwo´sci i obj˛eto´sci) dla ciała doskonale czarnego. Załó˙z, ˙ze w stanie równowagi energi˛e drga´n (modów pro- mieniowania) opisuje rozkład Boltzmanna, a sama energia jest skwantowana w na- st˛epuj˛ acy sposób: E _n = hnν (jest to kwantowanie oscylatora harmonicznego - patrz zadanie STK 4).

Odpowied´z: u(ν, T ) d ν = ^8πh _c

ν

e

−1

d ν

2