Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 1.

(1)

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 1.

Koordynator - Prof. Dariusz Wrzosek

Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki,

Uniwersytet Warszawski, Banacha 2, 02-097 Warszawa

pokój 5600

(2)

Matematyka i biologia

Czy matematyka jest potrzebna biologom?

rachunek prawdopodobie ´nstwa i statystyka

modelowanie matematyczne i komputerowe zjawisk biologicznych

(3)

Zaliczenie przedmiotu

Przedmiot zalicza si ˛e po uzyskaniu odpowiedniej liczby punktów, które uzyskuje si ˛e na podstawie

prac domowych, pi ˛eciokrotnie zadane b ˛ed ˛a po trzy zadania domowe do zrobienia na kartkach (1 zad. domowe =2punkty),

sprawdzianów, odb ˛ed ˛a si ˛e dwa sprawdziany 30 minutowe na których trzeba b ˛edzie udzieli´c odpowiedzi na trzy pytania (1 zad. na

sprawdzianie = 5 punktów), egzaminu pisemnego.

(4)

Punktacja i zaliczenie przedmiotu

Punktacja

30 pktów -sprawdziany (2x3 zadania) 30 pktów -prace domowe (5x3 zadania) 10 pktów - aktywno´s´c na zaj ˛eciach 40 pktów- egzamin pisemny

Aby zaliczy ´c przedmiot trzeba uzyska ´c50punktów. To daje szanse zaliczenia przedmiotu bez podchodzenia do egzaminu i motywuje do systematycznej pracy.

(5)

Matematyka i biologia Literatura

Literatura

Podstawowe podr ˛eczniki:

Dariusz Wrzosek, Matematyka dla biologów, Wydawnictwa UW, 2008 Marek Bodnar, Zbiór zada ´n z matematyki dla biologów,

Wydawnictwa UW, 2008

Tablice Matematyczne, Wydawnictwo Adamantan, 1999.

Literatura uzupełniaj ˛ aca bardziej zaawansowana

Urszula Fory´s, Matematyka w biologii, WNT 2005.

Miłosława Sokół, Metody modelowania populacji, PWN 2013.

J.D. Murray, Wprowadzenie do biomatematyki, Wydawnictwa Naukowe PWN, 2008

Janusz Uchma ´nski, Klasyczna ekologia matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1992.

Strona internetowa

(6)

Matematyka i biologia Literatura

Plan kursu

zaj ˛ecia 1-2; przypomnienie podstaw logiki, operacje na zbiorach, liczby, podstawowe własno´sci funkcji,

zaj ˛ecia 3-4; funkcja liniowa, pot ˛egowa wykładnicza i logarytmiczna, logarytmiczne układy współrz ˛ednych,

zaj ˛ecia 5-7; granica ci ˛agu, szereg liczbowy (pot ˛egowy), zapis liczby rzeczywistej, granica funkcji, pochodna funkcji jednej zmiennej, ekstrema funkcji, wypukło´s´c

zaj ˛ecia 8-9; macierz, mno˙zenie macierzy gradient funkcji wielu zmiennych, metoda najmniejszych kwadratów, funkcja pierwotna całka oznaczona,

zaj ˛ecia 10-12; podstawowe modele matematyczne z czasem ci ˛agłym ( równanie ró˙zniczkowe Malthusa i logistyczne) i z czasem

dyskretnym,

zajecia 12-15; kombinatoryka i podstawy rachunku

prawdopodobie ´nstwa, Twierdzenie Bayesa, rozkłady dyskretne i rozkłady ci ˛agłe zmiennych losowych, ci ˛ag prób Bernouliego , rozkład dwumianowy, rozkład jednostajny, wykładniczy i normalny, ła ´ncuchy Markowa.

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia nr 1. 9-pa´zdziernika 2017 6 / 62

(7)

Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej)

Czym jest logika

Logika formalna lub matematyczna zajmuje si ˛e badaniem takich reguł wnioskowania, dzi ˛eki którym z prawdziwo´sci jednych zda ń wnosimy o prawdziwo´sci innych zda ń bez rozpatrywania ich znacze ń i zwi ˛azku z rzeczywisto´sci ˛a. Wszelkie rozumumowania w matematyce i innych dziedzinach wiedzy wykorzystuj ˛a logik˛e.

Stosowanie praw logiki umo˙zliwia precyzyjn ˛a komunikacj ˛e mi ˛edzy lud´zmi i ma znaczenie podstawowe w naukach ´scisłych i przyrodniczych.

Podstawy rachunku zda ´n i logiki dwuwarto´sciowej, tzn. takiej, która przyjmuje, ˙ze dane zdanie mo˙ze by´c alboprawdziwe, albofałszywei nic po´srodku, s ˛a w programie szkoły sredniej i zakładamy, ˙ze wszyscy si ˛e z tym zetkn ˛eli.

(8)

Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Poj ˛ecie zdania w logice

Zdanie logiczne

Definicja

Zdaniem w logice nazywamy wyra˙zenie oznajmuj ˛ace, któremu mo˙zna przyporz ˛adkowa´c warto´s´c prawdy (oznaczamy jako 1) lub fałszu (oznaczamy jako 0).

Zauwa˙zmy, ˙ze w definicji zdania nie ma mowy o tym, w jaki sposób mo˙zna si ˛e przekona´c czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie.

Logika formalnanie zajmujesi ˛e bezpo´srednio badaniem rzeczywisto´sci empirycznej, alebadaniem wzajemnych zale˙zno´sci mi ˛edzy zdaniami, które co´s o rzeczywisto´sci stwierdzaj ˛a.

Na gruncie klasycznej logiki formalnej omija si ˛e cał ˛a zło˙zon ˛a debat ˛e filozoficzn ˛a dotycz ˛ac ˛a poj ˛ecia prawdy, odnosz ˛ac ˛a si ˛e przede wszystkim do relacji pomi ˛edzy my´slami czy głoszonymi s ˛adami a rzeczywisto´sci ˛a.

(9)

Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Poj ˛ecie zdania w logice

Przykłady zda ´n logicznych

Nie ka˙zdezdanie z punktu widzenia gramatyki jest zdaniem z punktu widzenia logiki.

Zdanie, które nie jest zdaniem z punktu widzenia logiki

Pytania nie s ˛a zdaniami w sensie logicznym, a zdanie

Litera „a” poprzedza liter ˛e „b”.

mimo i˙z jest dobrze zbudowane i wyra˙za pewien s ˛ad, to jego prawdziwo´s´c zale˙zy od kontekstu.

Zdanie spełniaj ˛ ace definicj ˛e zdania logicznego

Litera „a” poprzedza liter ˛e „b” w wyrazie „absolut”.

(10)

Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Podstawowe zdania zło˙zone

Podstawowe typy zda ´n zło˙zonych

W logice najcz ˛e´sciej mamy do czynienia ze zdaniami zło˙zonymi.

Konwencja

Zdania oznaczane b ˛ed ˛a literami p,q,r. . . . Zaprzeczenie zdaniap oznaczamy przez¬p.

Podstawowe zdania zło˙zone okre´sla si ˛e definiuj ˛ac ich warto´s´c logiczn ˛a na podstawie warto´sci logicznej zda ´n składowych.

Mo˙zliwe warto´sci logiczne zdania zło˙zonego w zale˙zno´sci od warto´sci zda ´n składowych przedstawia si ˛e w tzw.tabelce logicznej.

Przykład — tabelka logiczna dla negacji (zaprzeczenia)

p ¬p

1 0

0 1

(11)

Równowa˙zno´s´c zda ´n

Równowa˙zno´s´c zda ´np,q oznaczamy p⇔q odpowiada wyra˙zeniu:

„zdanie pjest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdyprawdziwe jest zdanie q”.

Inaczej: Zdanie p jest równowa˙zne zdaniu q, gdy oba zdania s ˛a jednocze´snie prawdziwe b ˛ad´z fałszywe.

Tabelka logiczna dla równowa˙zno´sci

p q p⇔q

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

Zamiast wyra˙zenia „wtedy i tylko wtedy” b ˛edziemy u˙zywa´c skrótu „w.t.w.”

(12)

Koniunkcja i alternatywa zda ´n

Koniunkcja zda ´npiq (oznaczamy p∧q) jest

prawdziwa w.t.w. gdy oba człony koniunkcji s ˛a jednocze´snie prawdziwe:

Tabelka logiczna dla koniunkcji zda ´n

p q p∧q

1 0 0

0 1 0

0 0 0

1 1 1

Alternatywa zda ´nplub q (oznaczamy p∨q) jest prawdziwa w.t.w. gdy

przynajmniej jeden z członów alternatywy jest prawdziwy:

Tabelka logiczna dla alternatywy zda ´n

p q p∨q

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1 1 1

(13)

Alternatywa zda ´n: logika a mowa potoczna

Warto podkre´sli´c, ˙ze alternatywa dwóch zda ´n jest prawdziwym zdaniem tak˙ze wtedy, gdy oba zdania składowe s ˛a prawdziwe, a nie tylko gdy jedno z dwóch jest prawdziwe.

W mowie potocznej cz ˛esto nie zwraca si ˛e uwagi na to, czy mówi ˛ac

„zachodzi A lub B” ma si ˛e na my´sli sytuacj ˛e, w której równie dobrze zachodzi A jak i B, czy te˙z tylko zachodzi A, a B nie zachodzi lub na odwrót.

W celu podkre´slenia niemo˙zno´sci jednoczesnego spełnienia obu zda ń składowych lepiej u˙zyć słowa „albo” zamiast „lub”, tak jak w słynnym być albo nie być.

(14)

Implikacja

Implikacja:je´sliptoq (oznaczamy p⇒q) jest prawdziwa, gdy poprzednik implikacji p jest fałszywy lub nast ˛epnik implikacji q jest prawdziwy i jest fałszywatylko wtedy, gdy prawdziwy jest poprzednik i fałszywy nast ˛epnik.

Sens implikacji p⇒q dobrze oddaje rzadko ju˙z u˙zywane okre´slenie:

zdanie p poci ˛aga za sob ˛a zdanie q.

Tabelka logiczna dla implikacji

p q p⇒q

1 0 0

0 1 1

0 0 1

1 1 1

Dwa zdania p i q s ˛a równowa˙zne, gdy

p⇒q i q⇒p.

Nale˙zy podkre´sli´c, ˙ze je´sli

poprzednik implikacji jest fałszywy, to implikacja jest zawsze prawdziwa.

(15)

Implikacja a mowa potoczna

Zdanie

Je´sli b ˛edziesz si ˛e uczył cały tydzie ń przed egzaminem, to go zdasz jest fałszywe tylko wtedy, gdy uczyłe´s si ˛e cały tydzie ń przed egzaminem i go nie zdałe´s, natomiast jest prawdziwe równie˙z wtedy, gdy nie uczyłe´s si ˛e przez tydzie ń i zdałe´s egzamin, gdy˙z o wyniku egzaminu przes ˛adziły jakie´s inne czynniki.

Jest ono oczywi´scie prawdziwe, gdy nie uczyłe´s si ˛e przez tydzie ´n i nie zdałe´s egzaminu.

Podkre´slmy, ˙ze implikacji rozumianej jak wy˙zej nie nale˙zy myli´c z wnioskowaniem logicznym, które jest zastosowaniem którego´s prawa logiki przy przechodzeniu od zało˙ze ´n (przesłanek) do wniosku.

(16)

Implikacja a mowa potoczna

Zast ˛apienie konstrukcji okresu warunkowego „je´sli p to q” wyra˙zeniem „z p wynika q ” mo˙ze sugerować, ˙ze q jest wnioskiem z p i prowadzić do nieporozumie ń.

Poni˙zsza implikacja jest przykładem oczywistego wnioskowania dedukcyjnego

Je´sli Karol mieszka w Krakowie, to mieszka w Polsce.

Fakt, ˙ze Karol mieszka w Warszawie, a nie w Krakowie, nie wpływa na prawdziwo´s´c tego zdania, zgodnie z definicj ˛a implikacji.

Zdanie

Je´sli 4 jest podzielne przez 2, to pies ma cztery nogi.

jest przykładem prawdziwej implikacji, bo zarówno poprzednik jak i nast ˛epnik s ˛a zdaniami prawdziwymi, ale oczywi´scie nie jest to przykład wnioskowania.

(17)

Podstawy logiki matematycznej (powtórka wiedzy szkolnej) Warunek konieczny i wystarczaj ˛acy

Warunek konieczny i wystarczaj ˛ acy

Definicja

W przypadku implikacji

p⇒q (?)

Zdanie q nazywamywarunkiem koniecznymdla zdania p.

Zdanie p nazywamywarunkiem wystarczaj ˛acym(lubdostatecznym) dla zdania q.

Implikacj ˛e q⇒p nazywa si ˛eimplikacj ˛a odwrotn ˛ado (?).

Implikacj ˛e¬q⇒ ¬p nazywa si ˛ekontrapozycj ˛a(?).

Implikacj ˛e¬p⇒ ¬qimplikacj ˛a przeciwn ˛ado (?).

Dla przykładu:je´sli jaka´s osoba jest posłem, to ma uko ´nczone 18 lat.

Zatem warunkiem koniecznym, aby by´c posłem jest uko ´nczenie 18 lat.

Nie jest to jednak warunek wystarczaj ˛acy.

(18)

Podstawy logiki matematycznej Podstawowe zdania zło˙zone

Prawdziwo´s´c zło˙zonych zda ´n logicznych

Aby sprawdzić czy dane zdanie zło˙zone jest prawdziwe, trzeba rozpatrzyć wszystkie mo˙zliwe warto´sci logiczne zda ń składowych i posłu˙zyć si ˛e definicjami podstawowych zda ń zło˙zonych.

Najłatwiej zastosowa´c metod ˛e zero-jedynkow ˛a i skonstruowa´c tabelk˛e logiczn ˛a.

Udowodnimy, ˙ze implikacja p ⇒q jest równowa˙zna swojej kontrapozycji

¬q⇒ ¬p, co zapiszemy jako

(p⇒q) ⇔ (¬q⇒ ¬p) (??) W powy˙zszym zdaniu u˙zyli´smy nawiasów, co ma na celu wyodr ˛ebnienie zda ´n składowych w zdaniu zło˙zonym.

Aby okre´slić warto´sć logiczn ˛a głównego zdania zło˙zonego, okre´sla si ˛e warto´sci logiczne zda ń składowych obj ˛etych nawiasami, poczynaj ˛ac od zdania obj ˛etego najbardziej wewn ˛etrznymi nawiasami.

(19)

Podstawy logiki matematycznej Podstawowe zdania zło˙zone

Implikacja jest równowa˙zna swojej kontrapozycji

(p⇒q) ⇔ (¬q⇒ ¬p) (??) Oznaczaj ˛ac równowa˙zno´s´c w (??) jako zdanie r mamy

p ¬p q ¬q p⇒q ¬q⇒ ¬p r

1 0 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1

W ostatniej kolumnie wyst ˛epuj ˛a same jedynki, a to znaczy, ˙ze zdanie r jest zawsze prawdziwe niezale˙znie od warto´sci logicznych zda ´n składowych.

(20)

Podstawy logiki matematycznej Tautologie — prawa logiki

Tautologia

Sprawdzenie czy dane zdanie zło˙zone jest prawdziwe czy nie, zostało sprowadzone do automatycznego zastosowania pewnych prostych reguł.

Dlatego ten dział logiki matematycznej nazywamyrachunkiem zda ´n.

Zdanie w omawianym przed chwil ˛a przykładzie (??) to wła´snieprawo logiki, czylitautologiaw sensie logicznym.

W sensie potocznym przez tautologi ˛e rozumiemy zwykle powtórzenie tego, co ju˙z zostało powiedziane.

Definicja

Tautologia(w sensie logiki) to prawo logiki, tzn. ka˙zde zdanie zło˙zone, które jest prawdziwe przy dowolnej warto´sci logicznej zda ´n, z których si ˛e składa.

Słowo tautologia wywodzi si ˛e od greckiegoτ αυτoσ— ten sam iλoγoσ

— mowa.

(21)

Prawo podwójnego zaprzeczenia

¬(¬p) ⇔p.

Łatwo sprawdzi´c, ˙ze to rzeczywi´scie jest tautologia .

Nie wszystkie j ˛ezyki naturalne respektuj ˛a to prawo (na przykład j ˛ezyk polski).

Zdanie

„Nie było nikogo w pokoju.”

zawiera dwa zaprzeczenia, które nie znosz ˛a si ˛e wzajemnie.

Angielskie tłumaczenie tego zdania

”There was nobody in the room.”

zawiera tylko jedno zaprzeczenie.

(22)

Prawo wył ˛ aczonego ´srodka i prawa de Morgana

Prawo wył ˛ aczonego ´srodka

p∨ ¬p

Zatem nie ma ˙zadnej warto´sci logicznej pomi ˛edzy prawd ˛a i fałszem.

Zaprzeczenie alternatywy oraz koniunkcji (prawa de Morgana)

¬(p∧q) ⇔ (¬p∨ ¬q)

¬(p∨q) ⇔ (¬p∧ ¬q) Zdanie

„nieprawda, ˙ze kruki s ˛a czarnelubbiałe”

jest równowa˙zne zdaniu

„kruki nie s ˛a czarneikruki nie s ˛a białe”

czyli innymi słowy

„kruki nie s ˛a ani czarne ani białe ”

(23)

Zaprzeczenie implikacji

¬(p⇒q) ⇔ (p∧ ¬q)

Np. zdanie

„Nieprawda, ˙ze je´sli ko ´n jest pokryty łusk ˛a, to jest wielorybem”

równowa˙zne jest zdaniu

„Ko ´n jest pokryty łusk ˛a i nie jest wielorybem”.

(24)

Wa˙zne tautologie

Modus ponens (łac.)

((p⇒q) ∧p) ⇒q

Ta tautologia jest podstaw ˛a reguły wnioskowania zwanej dedukcj ˛a.

Modus tollens (łac.)

((p⇒q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p

Obie tautologie pokazane na tym slajdzie s ˛a szczególnie wa˙zne i bez nich nie sposób wyobrazi´c sobie wnioskowania w jakiejkolwiek dziedzinie ludzkiej działalno´sci.

Konstruuj ˛ac tabelk˛e logiczn ˛a mo˙zna w ka˙zdym przypadku sprawdzi´c, czy dane zdanie jest tautologi ˛a czy nie.

(25)

Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie logiczne

Zastosowanie tautologii modus ponens

Dedukcja to nast ˛epuj ˛acy schemat wnioskowania:

je´sli przyjmiemy dan ˛a implikacj ˛e za prawdziw ˛a i sprawdzimy, ˙ze poprzednik tej implikacji jest prawdziwy, to prawdziwy jest tak˙ze nast ˛epnik.

Przykład zastosowania dedukcji

Przyjmijmy, ˙ze prawdziwa jest implikacja

Je´sli po jeziorze płynie ˙zaglówka, to jezioro nie jest zamarzni ˛ete B ˛ed ˛ac nad jeziorem Mamry stwierdzamy, ˙ze

Po jeziorze płynie ˙zaglówka Dzi ˛eki dedukcji wnioskujemy, ˙ze

Jezioro Mamry nie jest zamarzni ˛ete

(26)

Podstawy logiki matematycznej Wnioskowanie logiczne

Zastosowanie tautologii modus tollens

Ta tautologia jest przydatnym narz ˛edziem słu˙z ˛acym do obalania zda ´n ogólnych w rodzaju

„Wszystkie kruki s ˛a czarne”.

Niech to b ˛edzie zdanie „p”.

Wynika st ˛ad, ˙ze skoro wszystkie kruki maj ˛a t ˛e cech ˛e, to oczywi´scie ka˙zdy napotkany z osobna kruk te˙z j ˛a ma.

Tak powstaje zdanie „q” stwierdzaj ˛ace, ˙ze napotkany kruk jest czarny.

Je´sli tylko znajdziemy kruka o ubarwieniu innym ni˙z czarne, czyli

stwierdzimy, ˙ze zdanie „q” jest fałszywe, to zdanie „p” jest tak˙ze fałszywe.

(27)

Podstawy logiki matematycznej Kwantyfikatory

Kwantyfikatory

Bardzo cz ˛esto (w matematyce i innych naukach) formułuje si ˛e twierdzenia, które mówi ˛a, ˙ze pewna własno´s´c jest wspólna dlawszystkichelementów jakiego´s zbioru lub ˙zeistniejeprzynajmniej jeden element danego zbioru.

Aby takie zdania lub twierdzenia zapisa´c symbolicznie u˙zywamy znaczków zwanych kwantyfikatorami.

Istniej ˛a dwa kwantyfikatory:

ogólnyodpowiadaj ˛acy wyra˙zeniu „dla wszystkich” lub „dla ka˙zdego”

szczegółowyopowiadaj ˛acy wyra˙zeniu „istnieje”

(28)

Kwantyfikator ogólny

Oznaczany jako∀odpowiada okre´sleniom „dla ka˙zdego”, „wszyscy”,

„zawsze”

Oznaczenie pochodzi od odwróconej litery „A”, pierwszej litery angielskiego słowa ”All”.

W szkole i w niektórych starych polskich podr ˛ecznikach akademickich mo˙zna si ˛e spotka´c z notacj ˛a polsk ˛a:^V.

W matematyce u˙zywa si ˛e skrótu

∀x ∈X

co znaczy „dla ka˙zdego elementu x ze zbioru X ”.

(29)

Kwantyfikator szczegółowy

Nazywany jest równie˙z kwantyfikatorem egzystencjalnym i oznaczamy jako∃. Odpowiada w mowie potocznej okre´sleniom „istnieje ”, „niektóre”,

„zdarza si ˛e” itp.

Oznaczenie pochodzi od odwróconej litery „E”, pierwszej litery angielskiego słowa ”Exists”.

W szkole i w niektórych starych polskich podr ˛ecznikach akademickich mo˙zna si ˛e spotka´c z notacj ˛a polsk ˛a:^W.

Zapis

∃x ∈X

oznacza „istnieje element x nale˙z ˛acy do zbioru X ”.

(30)

Nie ma tekstu matematycznego, który nie zawierałby zda ´n

z kwantyfikatorami, co nie oznacza, ˙ze w tek´scie u˙zywa si ˛e powszechnie wy˙zej wprowadzonych oznacze ´n kwantyfikatorów. U˙zycie oznacze ´n ułatwia jednak wprowadzenie praw rz ˛adz ˛acych u˙zyciem kwantyfikatorów.

Rozwa˙zmy zdanie

Wszyscy zostali wybrani w demokratycznych wyborach.

Póki nie okre´sli si ˛e zbioru osób, do których odnosi si ˛e słowo „wszyscy”, to powy˙zsze wyra˙zenie, b ˛ed ˛ace zdaniem w sensie gramatyki, nie jest zdaniem w sensie logiki.

Brakuje tu okre´slenia dziedziny, tak jakby´smy zapisali wyra˙zenie x² >5 nie precyzuj ˛ac, jaki jest zakres zmienno´sci zmiennej x.

Takie „prawie zdanie” nazywa si ˛e funkcj ˛a zdaniow ˛a.

Je´sli za słowem „wszyscy” wstawimy np. słowo „ministrowie”, otrzymamy zdanie w sensie logiki o warto´sci fałszu.

(31)

Funkcja zdaniowa

Definicja

Funkcj ˛a zdaniow ˛anazywamy wyra˙zenie zawieraj ˛ace pewne zmienne, które staje si ˛e zdaniem (prawdziwym b ˛ad´z fałszywym) po podstawieniu zamiast zmiennej jakiej´s nazwy albo w wyniku zwi ˛azania tej zmiennej kwantyfikatorem.

Zbiór, którego elementy mo˙zemy podstawia´c za zmienn ˛a, nazywamy zakresem zmienno´sci funkcji zdaniowej.

Rol ˛e zmiennej w naszym przykładowym zdaniu pełni dopełnienie dalsze, w sensie gramatyki, precyzuj ˛ace zbiór osób, o których stwierdzamy, ˙ze s ˛a lub nie s ˛a wybierane w demokratycznym głosowaniu.

(32)

Przykład

Rozwa˙zmy nast ˛epuj ˛ace wyra˙zenie ze zmienn ˛a x x²x

które nazwiemy funkcj ˛a zdaniow ˛a P ze zmienn ˛a x, co zapisujemy skrótowo jako P(x).

Póki nie znamy zakresu zmienno´sci zmiennej x, powy˙zsze wyra˙zenie nie jest zdaniem logicznym.

Staje si ˛e ono zdaniem, gdy dodamy na pocz ˛atku „Dla ka˙zdej liczby parzystej x” lub „Istnieje liczba naturalna x”, itp.

(33)

Niechϕb ˛edzie funkcj ˛a zdaniow ˛a. Wówczas

zdanie „dla ka˙zdego x ze zbioru X zachodzi funkcja zdaniowaϕ(x)”, co zapisujemy jako

∀x∈X ϕ(x),

jest prawdziwe w.t.w. gdy przy ka˙zdym podstawieniu w funkcji zdaniowejϕnazwy elementu zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe;

zdanie „istnieje x ze zbioru X , taki ˙ze zachodzi funkcja zdaniowa ϕ(x)”, co zapisujemy jako

∃x∈X ϕ(x),

jest prawdziwe w.t.w. gdy przy podstawieniu nazwy cho´cby jednego elementu ze zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe.

(34)

Pozostawiaj ˛ac na boku kwesti ˛e prawdziwo´sci zda ´n rozpatrzmy przykład zdania zawieraj ˛acego kwantyfikator ogólny

Ka˙zda komórka w ˙zywym organizmie zawiera fragment kwasu DNA.

oraz zdania z kwantyfikatorem szczegółowym

Niektóre komórki w ˙zywym organizmie maj ˛a podwójn ˛a liczb ˛e chromosomów.

Pozostawiaj ˛ac specjalistom stwierdzenie, czy zdania te s ˛a zgodne z obecn ˛a wiedz ˛a, czy nie, zbudujmy zaprzeczenia tych zda ´n.

Istnieje komórka w ˙zywym organizmie, która nie zawiera cho´cby fragmentu kwasu DNA.

oraz

Wszystkie komórki w ˙zywym organizmie maj ˛a ró˙zn ˛a od podwójnej liczb ˛e chromosomów.

(35)

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów

Budow ˛e zda ´n b ˛ed ˛acych zaprzeczeniami zda ´n z kwantyfikatorami

okre´slaj ˛a prawa de Morgana dla kwantyfikatorów. Niechϕoznacza pewn ˛a funkcj ˛e zdaniow ˛a

Dla kwantyfikatora ogólnego

¬ (∀x∈X ϕ(x)) ⇔ ∃x ∈X (¬ϕ(x))

Dla kwantyfikatora szczegółowego

¬ (∃x∈X ϕ(x)) ⇔ ∀x∈X (¬ϕ(x)) .

(36)

Kolejno´s´c kwantyfikatorów

Uwaga!Kolejno´s´c wyst ˛epowania kwantyfikatorów w zdaniu jest istotna i zmienia sens zdania.

Przykład

Zdanie

Ka˙zdy student o˙zeni si ˛e z jak ˛a´s studentk ˛a zawiera dwa kwantyfikatory, gdy˙z znaczy to samo co

Dla dowolnego studenta istnieje studentka, z któr ˛a si ˛e o˙zeni.

Po przestawieniu kwantyfikatorów dostajemy zdanie

Istnieje studentka, z któr ˛a o˙zeni si ˛e ka˙zdy student.

(37)

Podstawowe poj ˛ecia matematyczne Zbiory

Zbiór

Przez wieki poszukiwano poj ˛ecia podstawowego, za pomoc ˛a którego mo˙zna by okre´slić przedmiot bada ń matematyków. Na przełomie XIX i XX wieku zacz ˛eło kształtować si ˛e przekonanie, ˙ze podstawowym poj ˛eciem w matematyce jestpoj ˛ecie zbioru.

Tego poj ˛ecia nie definiuje si ˛e formalnie, jest to tak zwanepoj ˛ecie pierwotne, którego znaczenie przedstawia si ˛e opisowo odnosz ˛ac si ˛e do intuicji.

Koncepcja zbioru w matematyce

Zbiórjest pewnym obiektem, który albonic nie zawiera, to znaczy nie nale˙z ˛a do niego ˙zadne elementy, albozawiera jakie´s elementy, które te˙z mog ˛a hierarchicznie składa´c si ˛e z jaki´s elementów i.t.d.

(38)

Poj ˛ecia nale˙zenia do zbioru i inkluzji

Jest rzecz ˛a podstawowej wagi by rozró˙zni´c dwa poj ˛ecia:

1 pojecie pierwotnenale˙zeniaelementu do jakiego´s zbioru, albo inaczej bycia elementem zbioru;

2 od poj ˛eciainkluzji, czyli zawierania si ˛e jednego zbioru w drugim lub inaczej bycia podzbiorem zbioru.

Sens stwierdzenia, ˙ze x nale˙zy do zbioru A , czyli x jest elementem zbioru A uznajemy za powszechnie zrozumiały.

W tym sensie poj ˛ecie nale˙zenia elementu do zbioru uznajemy za pierwotne.

Powszechnie u˙zywa si ˛e zapisux∈A, co oznacza,x nale˙zy do A.

(39)

Poj ˛ecie inkluzji — definicja

W oparciu o pierwotne poj ˛ecie nale˙zenia do zbioru i poj ˛ecie implikacji okre´slamy poj ˛ecie zawierania si ˛e zbiorów, czyli inkluzji zbiorów.

Definicja

Zbiór A jest zawartyw zbiorze B, co oznaczamy A ⊂B w.t.w. gdy prawd ˛a jest, ˙ze

(x∈A) ⇒ (x∈B) .

Zbiór A zawarty w zbiorze B nazywamy jego podzbiorem.

W szczególno´sci ka˙zdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem.

Taki podzbiór, który jest ró˙zny od całego zbioru nazywamypodzbiorem wła´sciwym.

Nawiasy klamrowe{oraz}oznaczaj ˛a w zapisie pocz ˛atek i koniec listy elementów danego zbioru.

(40)

Niech A b ˛edzie zbiorem dwóch elementów A = {a,b}.

Zbiór którego jedynym elementem jest a, czyli{a}jest zawarty w zbiorze A , co zapisujemy jako

{a} ⊂A.

Zbiór pusty

Zbiór pusty, to taki zbiór, który nie zawiera ˙zadnych elementów.

Oznaczamy go symbolem∅

Z definicji implikacji wynika, ˙ze dla dowolnego zbioru A

∅ ⊂A.

Z punktu widzenia matematyki jest niepoprawne stwierdzenie, ˙ze liczba 2 zawiera si ˛e w zbiorze liczb parzystych. Powiemy poprawnie, ˙ze liczba 2 nale˙zydo zbioru liczb parzystych. Natomiast zbiór, którego jedynym elementem jest liczba 2, czyli{2}jest zawartyw zbiorze liczb parzystych.

(41)

Zbiór wszystkich podzbiorów

Przykład zbioru wszystkich podzbiorówP (A)zbioru dwuelementowego A = {a,b};

P (A) = {∅ , {a} , {b} ,A} .

Elementami tego zbioru s ˛a wszystkie zbiory zawarte w A . Pami ˛etajmy, ˙ze

je´sli a ∈A to{a} ⊂A i{a} ∈ P (A).

(42)

Działanie na zbiorach: suma i iloczyn zbiorów

1. Suma zbiorów

Sum ˛a zbioru A i zbioru B nazywa si ˛e zbiór oznaczany jako A ∪B, który składa si ˛e z tych elementów, które nale˙z ˛a do zbioru Alubdo zbioru B, co zapisujemy nast ˛epuj ˛aco:

x ∈A ∪B ⇔ (x ∈A) ∨ (x∈B). ^A ^B

2. Przeci ˛ecie zbiorów (inaczej cz ˛e´s´c wspólna albo iloczyn zbiorów)

Przeci ˛eciem (iloczynem, cz ˛e´sci ˛a wspóln ˛a) zbiorów A i B nazywa si ˛e zbiór oznaczany jako A ∩B, który składa si ˛e z tych elementów, które nale˙z ˛a do zbioru A ido zbioru B, co zapisujemy nast ˛epuj ˛aco:

x ∈A ∩B ⇔ (x ∈A) ∧ (x∈B). ^A ^B

(43)

Działanie na zbiorach

3. Ró˙znica zbiorów

Dla danych zbiorów A i B ró˙znic ˛a zbiorów oznaczan ˛a jako A\B jest zbiór tych wszystkich elementów ze zbioru A , które nie nale˙z ˛a do zbioru B, czyli

x∈A \B ⇔ (x∈A ) ∧ (x <^B) ^A ^B

4. Produkt kartezja ´nski zbiorów (iloczyn kartezja ´nski zbiorów)

Dla dowolnych dwóch zbiorów A i B istnieje zbiór wszystkich

uporz ˛adkowanych par, oznaczany. A×B, który nazywa si ˛e produktem kartezja ´nskim lub iloczynem kartezja ´nskim zbiorów,

A ×B = {(a,b) : a ∈A,b ∈B} .

A B A ×B

(44)

Co to jest funkcja?

Definicja

Funkcj ˛a f okre´slon ˛a na zbiorze X o warto´sciach w Y nazywamy przyporz ˛adkowanie dowolnemu elementowi x∈X dokładnie jednego elementu y =f(x) ∈Y .

Zbiór X nazywamydziedzin ˛alubzbiorem argumentów funkcji, a element y ∈Y warto´sci ˛a funkcji.

Zbiór wszystkich w ten sposób przyporz ˛adkowanych elementów y toobraz zbioru Xlub zbiór warto´sci funkcji, który jest podzbiorem zbioru Y .

(45)

Notacja

Okre´slaj ˛ac funkcj ˛e f zwykle piszemy

f :X 7→Y, y=f(x) . Mo˙zna równie˙z napisa´c

X 7→^f Y, y =f(x) lub nawet

X 3x 7→y=f(x) ∈Y.

Mamy sporo dowolno´sci przy wyborze notacji, najwa˙zniejsze by pami ˛eta´c zawsze o sprecyzowaniu dziedziny funkcji i zbioru, w którym przyjmuje ona warto´sci.

Niesprecyzowanie dziedziny funkcji prowadzi´c zwykle do nieporozumie ´n.

(46)

Zło˙zenie funkcji

Definicja (zło˙zenie lub inaczej superpozycja dwóch funkcji)

Niech f:X →Y , g:Y →Z . Funkcj ˛e, która ka˙zdemu elementowi x ∈X przyporz ˛adkowuje dokładnie jeden element z ∈Z , taki ˙ze z =g(f(x)) nazywamysuperpozycj ˛a (zło˙zeniem)funkcji f i g.

Wyznaczona jest nowa funkcja, któr ˛a oznaczymy przez h h(x) =g(f(x)) ∀x∈X.

Stosuje si ˛e zapis: h =g◦f czyli h(x) = (g◦f)(x) =g(f(x)).

f

g

h x₁

x₂ x₃

y₁ y₂

z₁ z₂

(47)

Podstawowe poj ˛ecia matematyczne Injeckja, surjekcja, bijekcja i funkcja odwrotna

Funkcja ró˙znowarto´sciowa (injekcja)

Definicja

Funkcj ˛e f:X 7→Y nazywamyfunkcj ˛a ró˙znowarto´sciow ˛a (injekcj ˛a), je˙zeli

∀x₁,x₂∈X (f(x₁) =f(x₂)) ⇒ (x₁=x₂).

Przykład injekcji dla zbiorów sko ´nczonych.

(48)

Definicja surjekcji (funkcji „na”)

Definicja

Funkcj ˛e f:X 7→Y nazywamysurjekcj ˛a (funkcj ˛a „na”), je˙zeli

∀y∈Y ∃x∈X f(x) =y.

Przykład

Przyporz ˛adkowanie ka˙zdej osobie w Polsce numeru miesi ˛aca, w którym si ˛e urodziła nie jest injekcj ˛a, ale jest surjekcj ˛a.

(49)

Definicja bijekcji

Definicja

Funkcja f:X 7→Y , która jest injekcj ˛a i surjekcj ˛a, a wi ˛ec przekształca zbiór X na zbiór Y wzajemnie jednoznacznie, nazywa si ˛ebijekcj ˛a.

x y

X

Y f

1 5

1 3

(50)

Funkcja odwrotna

Niech f:A →B.

Definicja

Powiemy, ˙ze funkcja g jestfunkcj ˛a odwrotn ˛ado funkcji f (oznaczamy g=f⁻¹) w.t.w.

g:B →A oraz ∀x ∈A zachodzi g(f(x)) =x.

Stwierdzenie

Je˙zeli f:A →B jest bijekcj ˛a, to istnieje funkcja odwrotna do f okre´slona na całym zbiorze B.

Stwierdzenie

Ka˙zda funkcja ró˙znowarto´sciowa f:A →B jest bijekcj ˛a z A na zbiór swoich warto´sci f(A).

(51)

Funkcja odwrotna

1 x 1

2 2

3 3

4 4

5 5 y =f(x)

1 y 1

2 2

3 3

4 4

5 5 x =g(y) =f⁻¹(y)

(52)

Liczby całkowite

Przyjmujemy, ˙ze wszyscy pami ˛etamy podstawowe fakty o zbiorze liczb naturalnych= {0,1,2,3. . .}. W wyniku odejmowania i dzielenia, tylko dla niektórych liczb naturalnych otrzymamy równie˙z liczb ˛e naturaln ˛a.

Odejmowanie „powstaje”, gdy chcemy rozwi ˛aza´c równaniex+n=m i znale´z´c niewiadom ˛a x. Mamyx =m−n.

Wykonywalno´s´c odejmowania prowadzi do zbioru liczb całkowitych.

Liczby całkowite oznaczamy przez

= {· · · −2, −1, ,0,1,2, . . . } .

(53)

Liczby wymierne

Wykonywalno´s´c dzielenia w´sród liczb całkowitych prowadzi do liczb wymiernych.

Szukaj ˛ac rozwi ˛azania równania z niewiadom ˛a x,qx =p, gdzie p i q to liczby całkowite, dostajemy liczb ˛e ułamkow ˛a x= ^p

q, o ile q,⁰. Ka˙zdy ułamek mo˙zna doprowadzi´c do postaci nieskracalnej, tzn. takiej, dla której nie istnieje liczba całkowita wi ˛eksza od 1, b ˛ed ˛aca wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika.

Ka˙zde dwa ułamki, które mo˙zna doprowadzi´c do tej samej postaci nieskracalnej wyznaczaj ˛a t ˛e sam ˛a liczb ˛e, np. 8

16 = ² 4 = ¹

2. Zbiór wszystkich takich liczb nazywamy zbioremliczb wymiernych i oznaczamy przez.

=

p

q :p∈ ,q∈ \ {0}

(54)

Liczby całkowite a wymierne

Nast ˛epuj ˛aca własno´s´c odró˙znia liczby wymierne od całkowitych

Twierdzenie

Dla dwóch ró˙znych liczb wymiernych a i b istnieje liczba wymierna c, taka

˙ze a<c<b .

Na przykład: c= ^a+b 2 .

(55)

Podstawowe poj ˛ecia matematyczne Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste

Scisłe zdefiniowanie´ liczb rzeczywistych,, stanowiło problem przez dziesi ˛eciolecia. W zbiorze liczbs ˛a liczby wymierne ale wiadomo, ˙ze s ˛a liczby, które nie s ˛a wymierne np.:

√

2 — długo´s´c przek ˛atnej kwadratu o boku 1 π— połowa obwodu okr ˛egu o promieniu 1.

Zbiór liczb rzeczywistych najlepiej charakteryzujeaksjomat ci ˛agło´sci.

Zamiast precyzyjnego sformułowania ograniczymy si ˛e do interpretacji.

Aksjomat ci ˛agło´sci mówi, ˙ze zbiór liczb rzeczywistych, który nazywa si ˛e tak˙ze osi ˛a liczbow ˛a, jest ci ˛agły w tym sensie, ˙ze nie ma w nim luk — ka˙zdemu punktowi na osi odpowiada jaka´s liczba rzeczywista i odwrotnie.

(56)

Podstawowe poj ˛ecia matematyczne Liczby rzeczywiste

Definicja

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych le˙z ˛acych na osi liczbowej pomi ˛edzy dwoma zadanymi liczbami nazywamyodcinkiem.

na przykład(2,3)oznacza odcinek z wył ˛aczonymi ko ´ncami 2 i 3, a [2,3] oznacza odcinek wraz z ko ´ncami.

Definicja

Dla ka˙zdej pary liczb rzeczywistych a ¬b oznaczamy (a,b) = {x ∈ : a <x <b}

[a,b] = {x ∈ : a¬x ¬b}

Zauwa˙zmy, ˙ze je´slia=b, to wówczas:(a,b) = ∅oraz [a,b] = {a} = {b}.

(57)

Podstawowe poj ˛ecia matematyczne Liczby zespolone

Liczby zespolone- motywacja

Zbiór liczb naturalnychrozszerzamy o kolejne elementy (liczby) aby móc rozwi ˛azywa´c pewne równania.

x+5=2 daje x = −3, czyli liczb ˛e ujemn ˛a=⇒otrzymujemy zbiór liczb całkowitych.

2x =3 daje x =3/2, czyli liczb ˛e wymiern ˛a=⇒otrzymujemy zbiór liczb wymiernych.

x² =2 daje x = √

2, czyli liczb ˛e niewymiern ˛a=⇒otrzymujemy zbiór liczb rzeczywistych.

Okre´slenie rozwi ˛aza ´n równania x² = −1 prowadzi do zbioru liczb zespolonych.

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ .

(58)

Zbiórliczb zespolonychpełni bardzo wa˙zn ˛a rol ˛e zarówno w samej

matematyce jak i w fizyce. Liczby zespolone maj ˛a podstawowe znaczenie w mechanice kwantowej, teorii fizycznej, która słu˙zy do opisu przebiegu reakcji chemicznych.

Istnienie liczb zespolonych jako rozwi ˛aza ń równa ń wielomianowych zaakceptowano ju˙z w XVI w. W zbiorze tym mo˙zna zdefiniować dodawanie mno˙zenie oraz dzielenie i dlatego rzeczywi´scie elementy tego zbioru zasługuj ˛a na miano liczb. Liczby zespolone stanowi ˛a naturalne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych.

(59)

Definicja liczb zespolonych

Zdefiniujmy jakoirozwi ˛azanie równania

i² = −1. (♠)

Ze wzgl ˛edów historycznych to rozwi ˛azanie nazywa si ˛e jednostk ˛a urojon ˛a.

Termin liczby urojone (łac. imaginaris) zawdzi ˛eczamy Kartezjuszowi (1637), który chciał w ten sposób zaakcentowa´c ich „nierzeczywisto´s´c”

i absurdalno´s´c w odró˙znieniu od dobrze znanych liczb „istniej ˛acych w rzeczywisto´sci” (rzeczywistych, łac. realis).

Zbiór liczb zespolonych

Zbiór liczbzespolonychokre´sla si ˛e jako zbiór uporz ˛adkowanych par liczb rzeczywistych

{(x,y) : x,y∈ }.

wraz z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mno˙zenia.

Ze wzgl ˛edu na po˙z ˛adane własno´sci arytmetyczne i tradycj ˛e par ˛e(x,y) zapisuje si ˛e jako x+yi.

(60)

Podstawowe poj ˛ecia matematyczne Działania w zbiorze liczb zespolonych

Dzi ˛eki takiemu zapisowi łatwo wykonuje si ˛e dodawanie, mno˙zenie i dzielenie liczb zespolonych zdefiniowane tak, aby spełnione było równanie (♠) oraz by w odniesieniu do liczb rzeczywistych (czyli je´sli y =0) działania te miały zwykły sens.

Oznaczaj ˛ac przez⊕dodawanie liczb zespolonych i przez⊗mno˙zenie mamy

(x+yi) ⊕ (z+wi) =x+z+ (y+w)i , (x+yi) ⊗ (z+wi) =xz−yw+ (xw+yz)i .

Ostatnia równo´s´c jest konsekwencj ˛a konwencji, w my´sl której wyra˙zenia zawieraj ˛ace liczby zespolone przekształcamy w zgodzie z regułami zwykłej arytmetyki liczb rzeczywistych wzbogaconej o relacj ˛ei²= −1.

(x+yi) ⊗ (z+wi) =xz+xwi +yzi +ywi² =xz−yw+ (xw+yz)i . Dla liczb rzeczywistych, tzn. gdy powy˙zej y =0 oraz w =0, otrzymujemy zwykłe mno˙zenie.

(61)

Interpretacja geometryczna i równanie kwadratowe

<(z)

=(z)

x yi

i

z=x+yi

Równanie kwadratowe

ax²+bx +c=0 (♦) ma dwa ró˙zne pierwiastki

rzeczywiste, o ile wyró˙znik

∆ =b²−4ac

spełnia warunek∆ >0 oraz jeden pierwiastek podwójny, je´sli∆ =0.

Oba pierwiastki x₊i x−oraz pierwiastek podwójny dane s ˛a wzorem

x_+,− = −b± √

∆

2a . (♣)

Gdy∆ <0 równanie (♦) ma równie˙z dwa pierwiastki, które s ˛a liczbami zespolonymizadanymi tym samym wzorem (♣).

(62)

Liczby zespolone s ˛ a pierwiastkami wielomianów

Wyliczaj ˛ac pierwiastki zespolone trzeba jedynie uwzgl ˛edni´c, ˙ze pierwiastkami z liczby ujemnej a s ˛a dwie liczby zespolone ^p|a|ioraz

−^p|a|i— skoro a = (−1)|a|, to(^p|a|i)² = (−^p|a|i)²=a.

Mo˙zna sprawdzi´c (−→ ´cwiczenia), ˙ze równanie kwadratowe x²−2x+2=0

ma wyró˙znik

∆ = −4 =⇒ √

∆ = √

−4=2i oraz dwa pierwiastki

x₋=1− i i x₊ =1+ i.