4. Zadania do wykładu analiza 2B
1. Zastosować wzór Taylora w postaci całkowej w punkcie x = 0 do funkcji sin x, e2x,cos x2 i log(1 − x2).
W każdym przypadku oszacować resztę i zbadać zbieżność szeregu Taylora.
2. Korzystając ze wzoru Stirlinga znaleźć promienie zbieżności szeregów
X∞ n=1
2n n
!
xn,
X∞ n=1
4n n
!
π2nx5n+1,
X∞ n=1
n!
(2n)!nnxn2,
X∞ n=1
3n n
!
en2xn!+n.
3. Oszacować całki w oparciu o twierdzenia o wartości średniej.
42e4 ¬
Z 5 2
ex2(x2 + 1) dx ¬ 42e25,
− log 6, 75 + 1 ¬
Z 2
1 cos(πx) log(1 + x) dx ¬ log 6, 75 − 1,
Z 1000π 2π
cos x 1 + x2 dx
¬ 2 4π2+ 1,
Z 2000 1
sin πx
√π2+ x2 dx
¬ 2
√π2+ π4.
∗4. Funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale [a, b]. Pokazać, że dla wypukłej funkcji ϕ(x) spełniona jest nierówność
ϕ 1
b− a
Z b
a f(x) dx
!
¬ 1
b− a
Z b
a ϕ(f (x)) dx.
5. Korzystając z zadania 4 wyprowadzić nierówności:
e1/3¬
Z 1 0
ex2dx, exp
Z 1
0 log f (x) dx
¬
Z 1
0 f(x) dx,
√3
√π 2
Z √3π
0 sin x3dx, log 113569
Z 4
2 log(x5+ 1) dx.
6. Znaleźć funkcję F (x) spełniającą podane warunki.
(a) F′(x) = x|x + 1| i F (−5) = 2.
(b) F′′(x) = x2 − x + sin x i F (0) = 2, F (π) = 3.
(c) F′′′(x) = e2x− 2x i F (3) = 0, F′(log 2) = 3, F′′(0) = 0.
7. Znaleźć wszystkie funkcje F (x) spełniające podany warunek.
(a) F′(x) = 1
x dla x 6= 0.
(b) F′(x) = 1
x(x − 1) dla x 6= 0, 1.
(c) F′(x) = log x(x − 1) dla x 6∈ [0, 1].
(d) F′′(x) = 1
x dla x 6= 0.
∗8. Pokazać, że
Z √2π
0 sin x2dx >0.
∗9. Dla funkcji f(x) ciągłej na przedziale [0, 1] wykazać równość
Z π 0
xf(sin x) dx = π 2
Z π 0
f(sin x) dx.
10. Obliczyć całki nieoznaczone stosując całkowanie przez części.
Z
x2log x dx
Z
(log x)2dx,
Z
x2e4xdx,
Z
t· 2tdt,
Z
usinh u du,
Z
arc tg s ds,
Z
arc cos(−7x) dx,
Z
sin(log x) dx,
Z
xnlog x dx.
11. Obliczyć całki nieoznaczone stosując całkowanie przez podstawianie.
Z sin x cos2xdx,
Z
x√
x− 1 dx,
Z
x2√
x+ 3 dx,
Z
1 − 1 x2
x+ 1 x
−3
dx,
Z √3 x (√3
x+ 1)5 dx,
Z arc sin√x
√1 − x dx,
Z 1
ex+ 1dx,
Z x dx
√81 − x4,
Z √
x
q1 +√ x
dx.
