2 Z 1 1 x2+ 1 dx <1 2 155

Jarosław Wróblewski Koronaliza Matematyczna 2, lato 2019/20

Udowodnić następujące nierówności:

154. 1 5<

2

Z

1

1

x²+ 1 dx <1

2 155. 1

11<

10

Z

9

dx

x + sinx<1

8 156.

2

Z

−1

|x|

1 + x² dx <3 2

157.

1

Z

0

x ·^1 − x^99+xdx <1

2 158. 5 <

3

Z

1

x^xdx < 31 159.

2

Z

1

dx x <3

4

160. 2√ 2 <

4

Z

2

x^1/xdx 161. 19 3 <

3

Z

2

x^xdx <65

4 . Wsk.: Oszacować x^x przez x^a.

162. Niech C(a,b) =





b

Z

a

log_x2 dx



, gdzie [y] oznacza część całkowitą liczby y. Obliczyć wartości wyrażeń:

a) C(80,122) b) C(200,240) c) C(400,440) d) C(800,880)

163. Dla podanej liczby a wyznaczyć taką liczbę rzeczywistą dodatnią b, aby zacho- dziła równość

b

Z

a

x dx

x²+ 1=ln5 2 .

a) a = 0 b) a = 1 c) a = 2 d) a = 3

Obliczyć całki oznaczone:

164.

−1

Z

−2

1

(11 + 5x)³ dx 165.

2

Z

−13

1

q5

(3 − x)⁴

dx 166.

1

Z

0

x

(x²+ 1)² dx 167.

e−1

Z

0

ln(x + 1) dx

168.

9

Z

4

√x

√x − 1dx 169.

e³

Z

1

dx x ·√

1 + lnx 170.

2

Z

1

dx

x + x³ 171.

π/2

Z

0

x · cosx dx

172.

1

Z

0

e^x

e^x+ e^−x dx 173.

2

Z

0

√ dx

x + 1 +^q(x + 1)³

174.

5

Z

0

x²− 5x + 6dx

175.

Z2

−2

√

x⁴− 2x²+ 1 dx 176.

√

Z7

0

x³

√3

1 + x² dx 177.

Z6π

0

|sinx| dx

178.

π/2

Z

0

cosx · sin¹¹x dx 179.

ln5

Z

0

e^x·√ e^x− 1

e^x+ 3 dx 180.

Zπ

−π

x²⁰²⁰· sinx dx

Lista 3 - 58 - Strona 58