Uzasadnij, że (a) R0π/2ln(sin x)dx = −π2 ln 2, (b) R0π 1+cosx sin x2xdx = π42

Ćwiczenia (12), AM I, 28.5.2019 Własności całki Riemanna Zadanie 1. Oblicz całki

(a) ^R₀^{ln 2}xe^−xdx, (b) ^R₀¹x²cos xdx,

(c) ^R_1/e^e | ln x|dx, (d) ^R₀^{ln 2}√

e^x− 1dx, (e) ^R₀^3/4 _(x+1)^dx√_x2+1.

Zadanie 2. Wyjaśnij dlaczego podstawienie x = φ(t) daje w poniższych przykładach fałszywy wynik:

(a) ^R₋₁¹ _1+x^dx2, x = ¹_t, (b) ^R₀³x√³

1 − x²dx, x = sin t, (c) ^R₀^π _1+sin^dx2x, tg x = t.

Zadanie 3. Uzasadnij, że

(a) ^R₀^π/2ln(sin x)dx = −^π₂ ln 2, (b) ^R₀^π _1+cos^{x sin x}2xdx = ^π₄².

Zadanie 4. Oblicz (a) limn→∞ 1

n⁴

Q_2n

i=1(n²+ i²)^1/n,

(b) lim_n→∞(1 + ¹_n) sin_n^π2 + (1 + _n²) sin ^2π_n2 + . . . + (1 + ⁿ⁻¹_n ) sin^(n−1)π_n2 , (c) lim_n→∞ ¹_n^Pn_k=1(^j2n_k^k− 2^jn_k^k)

Zadanie 5. Styczna do wykresu funkcji f (x) = ax³ + bx²+ cx + d w punkcie P = (p, f (p)) przecina ten wykres w jeszcze jednym punkcie Q = (q, f (q)). Narysowano również styczną do wykresu funkcji f w punkcie Q. Przecięła ona ten wykres w punkcie R. Otrzymano dwa obszary ograniczone wykresem funkcji f i narysowanymi stycznymi. Udowodnij, że pole jednego z nich jest 16 razy większe od drugiego.

Zadanie 6. Oblicz pochodne funkcji (a) ^R₀^x2√

1 + t²dt (b) ^R_x^x2³ √dt

1+t⁴.

Zadanie 7. Oblicz granice (a) limx→0

Rx 0 cos t²dt

x ,

(b) lim_x→0⁺

Rx2 0

sin t√ tdt x³ ,

(c) lim_x→∞

Rx 0 e^t2dt

2

R

√x 0 e^2t4dt

Zadanie 8. Określ znak całki (a) ^R₀^2πx sin x, (b)^R₀^{2π sin x}_x dx, (c) ^R₋₂² x³2^xdx.

Zadanie 9. Porównaj całki nie obliczając ich:

(a) ^R₀^πsin³xdx i ·2^R₀^π/2cos⁶xdx, (b) ^R₀^πe^−x2cos²xdx i ^R_π^2πe^−x2cos²xdx

(c) ^R₀²e^−xdx i ^R₀²xe^−xdx.

Zadanie 10. Niech f (x) =^R₁^x_1+t^{ln t}dt, gdzie x > 0. Oblicz f (x) + f (_x¹).

Zadanie 11. Wykaż, że jeśli f ∈ C¹([0, 1]), to

n→∞lim n 1 n

n

X

k=1

f (k n) −

Z 1 0

f (x)dx

!

= f (1) − f (0)

2 .

Zadanie 12. Udowodnij, że ^R₀¹ _ln^x1 1−x

dx = ln 2.

Zadanie 13. Udowodnij, że (a) ^R₀¹x²dx +^R₀¹√

xdx = 1,

(b) ^R₀^π/4tg xdx +^R₀¹arctg xdx = ^π₄, (c) 9 <^R₀³√⁴

x⁴+ 1dx +^R₁³√⁴

x⁴− 1dx < 9.0001.

2