1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie uniwersalne t = tg x2 . Wówczas mamy:

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 10 marca 2016

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªkowanie funkcji trygonometrycznych.

Informacje pomocnicze:

1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie uniwersalne t = tg ^x ₂ . Wówczas mamy:

dx = 2

1 + t ² dt, sin x = 2t

1 + t ² , cos x = 1 − t ² 1 + t ² .

2. Caªk¦ R W (sin ² x, cos ² x, sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx = 1

1 + t ² dt, sin ² x = t ²

1 + t ² , cos ² x = 1 1 + t ² . 3. Caªk¦ postaci R sin ^m x cos ⁿ xdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;

b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzo- rów:

sin x sin y = 1

2 [cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1

2 [cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1

2 [sin(x − y) + sin(x + y)].

Inne przydatne wzory trygonometryczne:

cos ² x = ^{1+cos 2x} ₂ , sin ² x = ^{1−cos 2x} ₂ , cos 2x = cos ² x − sin ² x, sin 2x = 2 sin x cos x.

Przykªad 1. Wyka» wzór rekurencyjny:

Z

tg ⁿ xdx = 1

n − 1 tg ⁿ⁻¹ x − Z

tg ⁿ⁻² xdx, n ≥ 2. (1)

Rozwi¡zanie: Przeksztaªcaj¡c i korzystaj¡c z jedynki trygonometrycznej mamy:

Z

tg ⁿ xdx = Z

tg ⁿ⁻² x · tg ² xdx = Z

tg ⁿ⁻² x  1 − cos ² x cos ² x

 dx =

Z

tg ⁿ⁻² x

 1

cos ² x − 1

 dx =

Z 1

cos ² x tg ⁿ⁻² xdx − Z

tg ⁿ⁻² xdx.

Teraz przez podstawienie liczymy pierwsz¡ caªk¦ z prawej strony:

Z 1

cos ² x tg ⁿ⁻² xdx =    

tg x = t

1

cos

x dx = dt    

= Z

t ⁿ⁻² dt = 1

n − 1 t ⁿ⁻¹ x + c = 1

n − 1 tg ⁿ⁻¹ x + c. (2) St¡d i z powy»szego, mamy wzór (1).

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I ⁰ .lic. 10 marca 2016

Analogicznie dowodzimy Z

ctg ⁿ xdx = −1

n − 1 ctg ⁿ⁻¹ x − Z

ctg ⁿ⁻² xdx, n ≥ 2. (3)

Wyprowadzone wcze±niej wzory reduncyjne:

• R sin ⁿ xdx = − ¹ _n cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx, n ≥ 2;

• R cos ⁿ xdx = ¹ _n sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx, n ≥ 2.

1. Oblicz caªki z funkcji trygonometrycznych:

(1) R ₁

1+sin x+cos x dx; (2) R _sin

_x

1+cos x dx; (3) R ₁

cos x dx;

(4)

2 arctg 2

R

π 2

1

sin

x(1+cos x) dx; (5) R ₁

3+cos x dx; (6) R ₁

4 sin

x+9 cos

x dx;

(7) R ₁

sin

x+tg

x dx; (8) R _sin

_x−cos

_x

sin

x+cos

x dx; (9) R sin ² x cos ⁷ xdx;

(10) R sin ² x cos ⁴ xdx; (11) R sin 3x cos 5xdx; (12) R sin 4x sin 7xdx;

(13) R sin ⁸ xdx; (14) R sin ⁷ xdx; (15) R cos ⁵ xdx;

(16) R ctg ⁴ dx; (17) R tg ⁵ xdxdx; (18) R _{cos x}

sin

x−cos

x dx.

2