Historyk i matematyka współczesna

Historyk i matematyka współczesna

Pan Jourdain:

„D a ję słow o, zatem ja ju ż p rzeszło czter­

dzieści lat m ó w ię prozą nie m ając o ty m ż y w e g o p ojęcia ” .

M o l i e r , M ieszczanin szlachcicem (przekł. Boy)

0,1. T y tu ł niniejszego szkicu brzm ieć będzie prow okacyjn ie dla w iększości histo­

ryk ów , dumnych ze swojej dyscypliny jej szczerych entuzjastów. Sugeruje on b o ­ wiem — w przeciw n ym razie pu blikacja jego nie m iałab y sensu — że w raz z au­

torem m a ją oni pozytyw n ie określić swój stosunek do m atem atyki i to w dodatku w spółczesnej. C zy m ogą zaś oni, hum aniści z najpraw dziw szego ze zdarzeń, a priori

■uznać, że mioże b yć .im -oma w jakim k o lw iek stopniu (przydatna -w ich pracy? W sz a k w raz z m aturą porzucili — w sw ym m niem aniu na zawsze i z w estchnieniem ulgi — w szelk ie w ielom iany i fu n k cje, 'których w spom nienie napaw a ich po latach k la - sów kow ym dreszczem , a w najlep szym razie straszy przeraźliw ą nudą niekończących się rów nań z ilutëtam n iew iad om ym i. S tąd też w szelkie prace z ich w łasnej dziedzi­

ny, w yposażone ja k ik o lw iek aparat liczbow y uznaw ane są przez nich za rów nie nudne, społecznie ja koby m ało przydatne, godne n ajw y żej kilkudziesięcioegzem pla- rzow ych w ydań , a jedyną pociechę i .powód dio optyimlizmu istainowi prześw iadczenie, że „groźne w id m o prac historycznych, publikow anych — w postaci fo r m u ł m atem a - tyczych — da się jeszcze zażegnać ibez uciekania się do m ocy nadprzyrodzonych”

0.2. Starać się będziem y uzasadnić pogląd, że historyk w b re w pozorom i uprze­

dzeniom , w y n ik ły m przede w szystk im z całkow itej nieznajom ości w spółczesnej m a ­ tem atyk i, oraz całkow item u praw ie (pirawtte: bo w n iektórych badaniach w y k o r zy ­ styw ane są m etody num eryczne, głów nie w statystyce) rozgraniczeniu obu dyscyplin w e w szystkich etapach sw e j pracy badaw czej pow inien w y k o rzystyw ać w łaśnie m a ­ tem atykę. Co w ię c ej: jesteśm y prześw iadczeni, że bez niej .nie jest do pom yślenia n a dalszą m etę .rzeczywisty m etodologiczny i ko n cep cy jn y rozw ój naszej dyscypliny.

Ten zaś w żadnym w ypadk u nie m oże b yć rozum iany jako dalsza żyw iołow a eksplo­

zja in form acyjna, sprow adzająca się najczęściej do pow staw ania coraz w iększej licz­

b y prac o m in i-zd arzen iach i m ik ro-w ypadkach .

Z licznych nasuw ających się tu ta j zagadnień będziem y w etanie poruszyć zaled­

w ie kilka, zw iązanych zresztą g łów nie z problem atyk ą uspraw nienia język a historyka i. to w oparciu o egzem p lifikację w ykorzystu jącą n ajbardziej elem entarne pojęcia m atem atyki. Z w iększością z nich zapoznaje się zresztą obecnie każdy uczeń szk oły średniej.

0.3. U w ażam y jednak, że za w y stęp u jący rozdźw ięk m iędzy historią i m a te­

m atyką w inę ponoszą nie tylk o historycy, a m oże n aw et nie oni w pierw szym

i B. Z i e n t a r a , „ K u l t u r a ” n r 45 (387), 1970.

P R Z E G L Ą D H I S T O R Y C Z N Y , T O M L X I I I , 1972, z e sz . 1

rzędzie. W większości w y p a d k ów zapoznawali się oni w szikole z m atem atyką p rze­

starzałą. N auka tego przedm iotu, z w y ją tk iem m oże geom etrii, sprowadzała się w ła ś­

ciwie do algorytm izacji w ykon yw an ia pew nych prostych operacji przy zastoso­

waniu języka sym bolicznego. N igdy jednak nie słyszeli oni, co to jest liczba. M a ­ tem atycy bow iem , co niektórzy z nich przyznają teraz sam i, nie sugerow ali przed­

staw icielom nauk społecznych m ożliw ości w ykorzystan ia sw ych zdobyczy w h um a­

nistyce, uznając rozpatryw ane przez nią zagadnienia za zbyt banalne, b y w arto się nim i zajm ow ać, o ile w ogóle dopuszczalna jest m y śl u upraw ianiu m atem a ty k i sto­

sow anej.

Obecnie sytuacja zm ieniła się na tyle, że p ojaw iają się coraz liczniejsze prace m atem atyczne pisane z m yślą o w ykorzystaniu ich w y n ik ó w w naukach społecz­

nych. M ożna jednak napotkać opinie, które w yrażają w praw dzie przeświadczenie,.

że m atem atyzacja hum anistyki jest niezbędna, ale że nauki hum anistyczne zajm u ją się zagadnieniam i zbyt skom plikow an ym i, toy cel ten udało się obecnie zrealizować..

Dopiero dalszy rozw ój m atem atyki, w ypracow anie przez nią jeszcze bardziej ogól­

nych i subtelnych teorii m a um ożliw ić w przyszłości realizację tego postulatu i . P u­

blikacja szkicu św iadczy, rzecz jasna, iż nie podzielam y tego pesym izm u. W ręcz, przeciw nie, skłonni jesteśm y m n iem ać, że ju ż obecnie utrzym yw anie dalszego roz­

bratu m iędzy historią i m atem atyką jest bez szkody dla naszej dyscypliny niem oż­

liw e.

N ie należą pónadto do w y ją tk ó w poglądy tych teoretyków m atem atyki, k tórzy- sądzą, że dyscyplinę tę należy w łaściw ie zaliczyć do h u m a n isty k is. P oglądy te nie są pozbaw ione podstaw . O dkrycia dokonane w ostatnich dziesięcioleciach p rzy okazji badań nad podstaw am i m atem a ty k i u ja w n iły , że je j „pew ność” m a sw oje 'granice.

U dow odniono m ianow icie, że ustalenie niesprzeczności niektórych teorii m atem a ­ tycznych nie jest m ożliw e. Niesprzeczność tę m ożna przy ją ć jedynie przy odwołaniu się do 'intuicji. N iebezpieczeństw o w y w o ła n e takim odw oływ an iem się nie grozi je d ­ nak w tych naukach, w których — ja k to np. w y stęp u je w fizyce — m atem a ty k a w y ­ korzystyw ana jest jedynie jako narzędzie badaw cze.

1.1. W y d a je się, że na obecnym , przedw stępnym zaledw ie etapie w ysu w an ia propozycji zbliżania historii do m atem atyki nie m usim y się p rzejm ow ać niepoko­

jam i teoretyków m atem atyki. N a tak fin ezyjn e, prowadzone na bardzo w y so k im szczeblu abstrakcji rozw ażania po prostu nas nie stać. N ie są one zresztą dla naszych celów niezbędne. W y sta rc za stwierdzenie, że aczkolw iek -brak jest ogólnie p rzy­

jętej definicji m atem atyki jako całości (zazw yczaj określając m atem atykę zw raca się uw agę na jej dedukcyjn y ch a ra k te r4), to jednak m iędzy jej teoretykam i panuje zgoda co do tego, że w je j najbardziej ogólnych teoriach zagadnienia ilościowe, w a ż­

n e w e w cześniejszych etapach je j rozw oju , .nie odgryw ają roli istotnej. P oszczególn e^

teorie m atem atyczne to po prostu takie i tylko takie zbiory zdań celowo skonstruo­

wanego język a fo r m a ln e g o 5, które utworzone zostały przez w szystkie konsekw encje w yciągnięte z przyjętych w danej teorii aksjom atów , zgodnie z uznanym i w ty m języku regułam i. Sem antyk a iteorii m atem atyczn ej jest d la sam ej teorii obojętna.

Zdania danego języka form aln ego m ogą opisyw ać dowolne obiekty, ich w łaściw ości i (abstrakcyjnie rozum iane) zachowanie. N ajczęściej m atem atycy za jm u ją cy się k o n ­ strukcją teorii bądź je j dalszym opracow aniem posługują się w iswycih pracach obiektam i idealnym i tak im i ja k liczb y, ciągi i szeregi liczb, przestrzenie, rów n ież n -w ym iarow e, m etryczne i niem etryczne. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie,

2 J. G . K e m e n y , Mathem atics w ithout Num bers, '[ w : ] Quantity and Quality. The Hayden Colloquium on Scientific M ethod and C oncept, e d . D . L e r n e r , N e w Y o r k 1961, s. 35.

3 С. V . N e w s о m , Istota m atem atyki. P ojęcie teorii m atem atyczn ej, W a r s z a w a 1967, s. 67.

i P o r . M . B u n g e , Intuicija i nauka, M o s k w a 1967, s . 50 n.

5 P o r . H . R a s i o w a , R. S i k o r s k i , The Mathem atics o f M etam athem atics, w y d . II,.

W a r s z a w a 1968, r o z d z . V , s. 144 n .

by na podstaw ie odpowiednich reguł przyporządkow ania uznać, że w języku do­

w olnej teorii m atem atycznej opisu je się dow olne o biek ty fizyczne — · tajk właśnie postępują nauki zm atem atyzow ane — a także w łaściw ości i zachowanie jednostek i grup ludzkich.

P ozostaw m y tutaj ,na boku w szelkie nasuw ające się zagadnienia ontologiczne- i epistem ologiczne, rozw ażane w trakcie tysiącleci rozw oju m y śli filozoficzn ej, które dotyczą stosunku m ięd zy język iem i (rzeczywistością p ozajęzykow ą. P r zy jm ijm y po prostu, że uznajem y, iż historyk w sw y ch badaniach nie speku luje na tem at w ła s ­ nego język a; w ręcz przeciw nie, uważa on, iż w tym język u orzeka on coś o jakiejś, pozajęzykow ej rzeczyw istości, o której sądzi, że w ystępow ała ona w przeszłości, zazw yczaj zresztą bliżej nie definiow anej Założen ie to w ystarczy nam , by uznać,, iż historyk m oże także orzekać coś o jakim ś, w yrażając się m etaforycznie, fragm encie dziejów w języku dow olnej, poddanej odpow iednim regułom przyporządkow ania te-, orii m atem atycznej 7. W k a żd y m zaś razie w ystarczy ono do uznania m atem atyki za spraw dzian sprawności sw ego w łasnego język a potocznego, którego używ a 8 w swej;

pracy: jego sem antyki i składni*

1.2. Jesteśm y ziaś gotow i 'bronić tezy, form u łow anej już zresztą u p rze d n io 9, że- przyn ajm n iej część w stępna zadań zw iązanych z terapią K lio sprowadza się w łaśnie do uściślenia sposobu m yślenia i form ułow ania tych m yśli przez h is to r y k ó w -b a - daczy. N ik t z p u b liku jących swe prace autorów — łącznie z niżej podpisanym — ■- nie jest w tym w ypadku bez w in y . Stąd w ystarczy przytoczyć z bogatego, obszerniej-·

szego niż się zazw yczaj przypuszcza (pisząc o nieostrości język a h istoryków ) reper-.

tuaru garść pozornie tylk o w yim aginow anych p rzykładów , b y zadem onstrow ać w ie ­ loznaczność pojęć u żyw anych w pracach naukow ych a naw et niepraw idłow ą z punk-, tu w idzenia logiki konstrukcję zdań, a stąd niem ożność przyporządkow ania ta k im

„zdan iom ” jak iejk o lw iek w artości logicznej. Zdania takie, poniew aż nie są ani praw dziw e, ani fa łszy w e, niczego, w b rew pozorom , nie m ów ią.

Co np. znaczy zdanie „ X b y ł historyczny” , gdzie pod X m ożna podstaw ić jakieś·, im ię w łasne, n azw ę jakiegoś w ydarzenia (np. b itw y, odkrycia A m ery k i) lub p ro­

cesu (powstania kapitalizm u). Jest intuicyjnie oczyw iste, że historyk w ypow iadając twierdzenie o kim ś lub o czym ś, że to coś lub ktoś „b y ł (o) historyczny (e)” nie z a w - sze ma na m yśli tylko to·, że podm iot zdania w y stęp o w a ł (zachodził, działał — choćby zw yciężał w rogów itp.) w przeszłości. W niektórych przyn ajm n iej p rzy ­ padkach orzecznik „h istoryczn y” jest bow iem dla niego rów noznaczny z orzeczni-.

kiem „historycznie doniosły” , w ażny z jakiegoś, b yn a jm n ie j nie zaw sze u ja w ­ nianego przezeń w zględu lu b w zględów . Jaki jest jednak stosunek obu znaczeń tego- zdania dla danego h isto r y k a 10? M ożna, jak się w y d a je p rzyjąć, że problem atyka tego rodzaju rzadko b yw a przedm iotem jego m etodologicznej autorefleksji. Także liczne fo rm y orzekania o relacjach czasow ych poszczególnych zdarzeń b y w a ją w w y-, powiedziia-ch •historyków nieostre sem antycznie u . Zaś 'zdania, w których w ystępu ją określenia „podczas” , „z a ” i podobne świadczą, że czas nie jest, bo b y ć zresztą nie m oże 12 rozum iany przezeń jako wzorzec porządkow ania liniow ego. W yp o w ied zi w ro-.

e P o r . S t. P i e k a r c z y k , p r o p o z y cje teorii (w okół „M etod ologii historii’’ J. Topol-·

skiego), P H L X I , 1970, z . 1, s. 108 n.

7 J . G . K e m e n y , Nauka w oczach filozofa . W a r s z a w a 1967, s. 97 n.

8 P o r . J . P e l c , Funkcjonalne pod ejście do sem iotyk i logiczn ej język a naturalnego, „ S t u ­ d ia F i l o z o f i c z n e ” , 1967, n r 2, s. 111 n.

9 P o r . A . M a l e w s k i , J. T o p o l s k i , Studia z m etodologii historii, W a r s z a w a 1960.

10 p i e r w s z e j p r ó b y w y ja ś n i e n i a w z a je m n e g o s t o s u n k u o b u p o j ę ć p o d j ą ł s ię R . K o p i e c k i O historyczności faktu h istorycznego, „ S t u d i a M e t o d o l o g i c z n e ” ( w d r u k u ).

11 o n i e o s t r o ś c i j ę z y k a p o t o c z n e g o p o r . H . S t o n e r t, J ęzyk i nauka, W a r s z a w a 1964.

із W y n ik a t o z f a k t u „ z a z ę b ia n ia s ię z e s o b ą ” i „ n a c h o d z e n i a n a s i e b i e ” p o s z c z e g ó ln y c h , z d a r z e ń .

dzaju pow yższych uniem ożliw iają rozróżniania sekw encji w ydarzeń, odnoszonych w spólnie do jakiegoś innego w ydarzenia o w yznaczonym bądź nie w yznaczonym m om encie początkow ym i końcow ym .

Z innego pow odu, ale także wieloznaczne ;są w ypow iedzi historyków , gdzie w y stęp u ją pojęcia: przemiana,, rozw ój, wzrost i postęp. N iekied y b yw ają one traktow ane synonim icznie; w innych przypadkach w prow adza się m iędzy nimi ja­

kieś nader rzadko, dokładnie określane i jeszcze rzadziej konsekw entnie przestrzegane różnice znaczeniowe. Czy w zrost ■ np. uczuć patriotycznych to to samo, co rozw ój tychże uczuć? C zym się różni w zrost produkcji od je j rozw oju ? Takie sam e zapy­

tanie wnieść m ożna odnośnie do handlu, eksportu, poczucia niespraw iedliw ości społecznej itd. N iejasne są także wszelkie „całokształty” — czy stanowią one jakąś sum ę czegoś (jak się przekonam y niżej, istnieją nie tylko su m y arytm etyczne), ozy jakąś łączną czegoś strukturę? A le i ze strukturą b y w a ją podobne kłopoty. Jeżeli zaś całokształt m a b yć tylko jakąś konstrukcją intelektualną, to jaką fu n k cję speł­

nia w niej „k ształt” , zm ysłow o m ożliw y do przedstaw ienia tylko w w ypadk u tw o ­ rów m aterialnych?

Łatw o znaleźć w ypow iedzi historyków , które w b rew pozorom nic nie znaczą. N a ­ leżą do nich zdania, w których w ystępuje orzecznik „w ła ściw y ” , „charakterystyczny”

„sp ecyficzn y” i podobne, o ile tylk o nie będzie w nich w sk azany w yraźnie jakiś układ odniesienia, w stosunku do którego dane wydarzenie lub jednostka określane .są przez autora jako „charakterystyczne” lub „sp ecyficzn e” . N a w et jedn ak gdy układ taki jesit wskaizany, zdainie będzie sem antycznie nieostre, poniew aż nie u ja w ­ nia ono, na czym dokładnie polegać m a ta specyfika lub „charakterystyczność” . Z nieco innego pow odu, ale rów nież m ało sensowne są w ypow iedzi h istoryków orze­

kające „typ ow ość” czegoś lub k o g o ś 13. M ożna np. przeczytać zdanie w rodzaju:

„Piotr z Amiens·, fanatyczny rzecznik w y p ra w k rzyżow ych , b y ł typ ow ym produktem kultury średniow iecza” , bądź zdanie: „T y p o w y m produktem k u ltu ry średniowiecza b ył ksiądz w ie jsk i bardziej db ający o dziesięciny niż o pracę duszpasterską” . Jak w ielkiej zm ianie ulegnie nasz pogląd na kulturę — też oczyw iście rozum ianą w spo­

sób nieostry — średniowiecza w w ypadk u .napotkania1 zdania drugiego w p o r ó w ­ naniu do poglądu, urobionego na podstaw ie zdania pierw szego? A przecież m ożliw a jest koniunkcja obu zdań w postaci: „T y p o w y m i produktam i kultury średniowiecza b ył fan atyczny rzecznik w y p ra w krzyżow ych Piotr ,z Amiemls i ksiądz w ie jsk i, b a r ­ dziej dbający o dziesięciny niż o pracę duszpasterską” .

W y d a je się, że pow yższe przykłady uzasadniają w ystarczająco tezę o koniecz­

ności poddania języka historyka najsu row szej kontroli. W ła śn ie na terenie nauk dedukcyjnych udowodniono, że nie m ożna przeprow adzać analizy danego języka w tym sa m y m języku. K o n ieczn y jest w tym celu m etajęzy k w stosunku do języka analizowanego, czyli przedm iotow ego. S ą d zim y w łaśn ie, że nadaje się de tego szcze- golnie język m atem atyki. D zięki sw e m u form alnem u charakterow i jest to język — z w sp om nian ym i w y że j zastrzeżeniam i dotyczącym i teorii m atem atyczn ych — ści­

sły. C harakteryzuje go ponadto subtelność, jednoznaczność, uniw ersalność, zwięzłość prostota i jasność. Ostatnie zdanie brzm i zapew ne nieprzekonyw ająco dla historyka.

Rzecz jednak idzie o przezw yciężenie w stępnych trudności spow odow anych rozb u ­ dowaną sym boliką zapisów. W końcu historyk nie pow inien cofać się przed tym i trudnościam i. Przecież spotyka on, zwłaszcza jako mediiewiista, teksty graficznie trud­

ne. Czy m ożna w ogóle porów nyw ać trudności w ystępujące przy odczytyw aniu tek - . stu jakiegoś dyplom u nie tylko paleograficznie m ało przejrzystego, ale napisanego

із P o r . T . P a w ł o w s k i , M etodologiczne zagadnienia hum anistyki, W a r s z a w a 1969, s. 46 п .; p o d w z g lę d e m m a t e m a t y c z n y m ś c i ś l e js z y c h u s t a le ń t y p o w o ś c l d o k o n u j e H . K o p i e c k i , O „niezm iennikach” w historii. Kilka propozycji zastosowania teorii m odeli w historii, „ S t u - .. d ia M e t o d o l o g i c z n e ” ( w d r u k u ).

w barbarzyńskiej łacinie o ułom nej składni, z trudnościam i w odczytaniu zapisu sym ­ bolicznego, potocznie zwanego w zorem ?

To, co pow iedzieliśm y iwyżej, nie znaczy rzecz jasna, że w zyw am y do pub liko­

wania prac historycznych pisanych w yłącznie w postaci fo rm u ł m atem atycznych. N ie czynim y tego nie tylko oczyw iście ze w zględu na krąg odbiorców takich publikacji.

Chodzi po prostu o to, że nie m a absolutnego m etajęzyka. Taki absolutny m etajęzy k m usiałby być sw ym w łasn ym m etajęzykiem , co jest postulatem absurdalnym . K a ż ­ dy język fo rm a ln y jest ostatecznie sprow adzalny do język a potocznego. P ostulując kontrolę języka historyka przy użyciu języka m atem atyki p ostulu jem y tym sam ym pow rót do język a potocznego. Poddany takiej ogniow ej próbie będzie to ju ż inny ję z y k niż język w y jśc io w y : w stopniu m ak sym a ln ym ulegnie oczyszczeniu z dw u ­

znaczności i nieścisłości, n abyw ając — m iejm y nadzieję — tzw . elegancji, czyli p ro­

stoty stylistycznej. P ow inna ona· zastąpić literackość, tzn. barw ność, m etafory cz- ność itp. w ypow iedzi historyka.

1.3. U w aża się zazw yczaj, że analizę jakiegoś języka m ożna przeprow adzić w y ­ korzystując jako m etajęzy k język logiki. W y ż e j jednak m ów iliśm y o konfrontacji język a historyka z język iem m atem atyki. Odkąd wszakże Bertrand R u s s e l 14 udo­

w odn ił w zajem ną przetłum aczalność języka teorii m nogości, tej podstaw ow ej teorii m atem atycznej i języka lo g ik i15, rozgraniczanie język ów obu teorii dedukcyjnych je st po prostu pozbaw ione podstaw . Ponadto w szkicu niniejszym nie ograniczym y się w yłącznie do analizy logicznej kilku pojęć języka potocznego używ anych przez historyków . W ychodząc z założenia, że dzieje stanowią zbiór .skom plikowanych trans­

form acji u kładów c y b ern ety czn ych 16, zam ierzam y, jakk olw iek w m in im aln ym za­

kresie, w ykorzystać rów nież konstatacje innych teorii m atem atyczn ych ; w ykraczają już one poza krąg bezpośrednich zainteresowań logiki, pozw olą zaś pokazać zasady m odelow ania m atem atycznego zjaw isk historycznych. Z tego pow odu pozostajem y przy form ie języka m atem atyki.

1.4. N iektóre z tych uwag nabiorą jasności, gdy za jm iem y się nieco dokładniej wspom nianą w yżej teorią m n o g o śc i17. Pow stała ona jako w yraz tendencji do zespo­

lenia m atem atyki i logiki. O kazało się rychło, że m ożliw ości stosowania tej teorii są wszechstronne; są one w każdym razie w iększe niż m ożliw ości w ykorzystania ty l­

ko klasycznej .sięgającej A rystotelesa sylogistyki oraz także klasycznego, zapocząt­

kowanego w praw dzie przez stoików , ale przez w iele w ieków zapom nianego rachun­

ku zdań.

Prow adzone od lat trzydziestych naszego stulecia badania nad w y ższy m i czyn­

nościami psychicznym i, w szczególności prace z psychologii rozw ojow ej szw ajcar­

skiego uczonego J. P i a g e t a 18, w ykazały ponadto w sposób bodaj niepodw ażalny, że proces m yślenia człow ieka w dowolnych sytuacjach problem ow ych polega w łaś­

nie na przeprow adzaniu przez daną jednostkę operacji teoriom nogościowych. P o ­ czątkow o przebiegają one spontanicznie i kilkuletnie dziecko nie zdaje sobie w ogóle spraw y z tego, że w ykon u je takie operacje. W m iarę rozw oju osobniczego sam fa k t

« P o r . s z k i c T . K o t a r b i ń s k i e g o , Bertrand R u s s e ll (1872—1970), „ T w ó r c z o ś ć ” n r 7/8 1970, s. 167— 176.

is W y k ła d u : W . v a n O r m a n Q u i n e , Z punktu widzenia logiki. E seje logiczn o-fi- lozoficzne, W a r s z a w a 1969, s. 114 n.

ie P o r . J . T o p o l s k i , M etodologia historii. W a r s z a w a 1968, s. 153 n .; r ó ż n i c e w s p o s o b i e r o z u m i e n i a u k ła d u p a t r z n iż e j, s. 120 n.

17 W y k ł a d t e o r ii m n o g o ś c i z a w ie r a d o w o l n e k o m p e n d iu m z lo g i k i m a t e m a t y c z n e j , n p . A . G r z e g o r c z y k , Zarys logiki m atem atyczn ej, w y d . II, W a r s z a w a 1969; p a t r z t a k ż e H . R a s i o w a, Wstąp do m atem atyki w spółczesn ej, w y d . I I , W a r s z a w a 1969; s z c z e g ó ln ie p r z y s t ę p ­ n ie G . V a η H o u t, La m athém atique m oderne, langage du futu r, b .m . w y d . 1969.

is Р о г . n p . P . O 1 é r о n , J . P i a g e t , B. I n h e l d e r , P . G r é с o , In teligencja, W a r ­ s z a w a 1967, z w ła s z c z a s. 143 п .; p o r . t a k ż e D . E. B e r 1 y n e, Struktura i kierun ek m yślenia, W a r s z a w a 1969, s. 83 п ., s. 250 n .

P r z e g lą d H i s t o r y c z n y — 8

w ykonyw an ia tego rodzaju czynności jest oczyw iście uśw iadam iany przez, jak m a ­ w iają psychologow ie, podm iot. Z ieh m atem atycznej natury miało kto zdaje sobie jednak sprawę.

Pojęciam i -pierwotnymi, a więc nie definiow anym i w ram ach teorii m n o­

gości są : zibiór -oraz rela cja przynależności elem entu do zbioru. D la zaznaczenia zbioru używ a się zazwyczaj n aw iasów { } lub dużych liter alfabetu łacińskiego.

R elację przynależności elem entu do zbioru oznacza się przez Є Stąd zapis: а є A należy czytać: a jest elem entem zbioru A . Zb iory rozpatryw ane przez teorię m n o­

gości m ają charakter d y stry b u ty w n y 19. Przez dystrybutyw ność zbioru rozum ie się to, że w szystkie elem en ty danego zbioru charakteryzują się jakąś (określoną) cechą.

Innym i sło w y : w szystkie elem enty danego -zbioru spełn iają jakąś fu n k cję zdaniową.

Funkcję taką oznacza się literam i <p, natom iast fa k t, że elem ent а Є A spełnia fu n k cję zdaniow ą zapisujem y sym bolicznie <p(a). Spełnianie czegoś znaczy w używ anym ‘tu języku, że zdanie, które uzyska się po podstaw ieniu pod sy m b o le odpowiednich nazw, będzie zdaniem praw dziw ym . Z punktu widzenia teorii m nogości jest sprawą obojętną, czy dany zbiór złożony jest z elem entów posiadających b yt cntologiczny, a w ięc istniejących realnie, rów nocześnie lub w jakim ś czasow ym po sobie następ­

stwie, czy też — w ręcz przeciw nie — elem en ty zbioru są tylko tw oram i in telek­

tualnym i.

D zięki założonym w łaściw ościom zbiory dysfcrybutywne są czym ś innym niż elem enty, które w chodzą w ich skład. Rodzina monogamiozma jest czy m ś in n ym od takiej samej liczby osób, które nie tworzą danej rodziny. Teoria m nogości w y ­ różnia m .in. -zbiory jedń oelem en tow e ii zbiór -pusty. Zb iór p u sty stanow i odpow iednik arytm etycznego zera. Pojęcie to jest w ykorzystyw ane, gdy w w y n ik u operacji na zbiorach nie pow stanie zbiór złożony przynajm niej z jednego elem entu. P ojęciu zbioru pustego m ożna oczyw iście nadać dowolną interpretację m aterialną. Np. zbiór h etm anów polskich X X w . jest zbiorem pustym . N ik t bow iem nie otrzym ał god­

ności hetm ana w naszym w ieku . (Istnieją ponadto zbiory o nieskończonej liczbie elem entów , np. zbiór liczb rzeczyw istych.

M ożna taikże brać pod uw agę zb iory, których elem enty złożone są rów nież ze zbiorów. Tak więc zbiór m iejscow ości w Polsce składa się obecnie ze zbioru m iast, wsi i osiedli, które nie są m iastam i i nie są w siam i. Zam iast posługiw ać się nie­

zręcznym jęizyikowo term inem zbiór zbiorów , w sytuacjach -takic-h używ a się term inu rodzina zbiorów.

W za je m n y stosunek zbiorów do siebie m oże b yć różny. M ożliw e są sy tu a cje, w których jakiś zbiór jest zaw arty w innym zbiorze. Znaczy to, że każdy elem ent zbioru, np. X , jest także elem entem zbioru Y . Sym bolicznie zapisuje się taką s y ­ tuację w sposób następujący:

X C Y = Д x Є Y x s X

U żyty został w tym zapisie znak rów now ażności, któ ry odczytuje się: „w te d y i tylko w tedy, g d y ” oraz k w an tyfikator ogólny (duży). O dczytuje się go: „d la każdego”, a następnie odczytuje się sym bole um ieszczone pod ikwantyfikatorem.

Przy zawieraniu islię zbiorów nie zachodzi sytuacja odw rotna (z w y ją tk iem X с X : każdy zbiór jest zaw arty w sam ym sobie). Zbiór m ieszkańców W a rszaw y jest za­

w arty w zbiorze m ieszkańców Polski. Jednakże nie każdy m ieszkaniec Polski zdołał zdobyć praw o do zam eldow ania się w stolicy na stałe. Łatw o zauw ażyć, że dla trzech zbiorów X , Y i Z praw dziw a jest następująca im plikacja:

f ( X C Y ) A ( Y C Z ) ] — ( X C Z ) ,

czyli: jeżeli X jest zawarte w Y i Y zawarte jest w Z, to X zawarte jest w Z .

19 Odm ieniftiie w m e r e o l o g i i , g d z ie z b i o r y m a ją c h a r a k t e r k o l e k t y w n y .

Zbiory m ogą się naw zajem przecinać. W y p a d ek taki zachodzi w ted y, gdy istnieją elem enty, które należą do dwóch, czy też w ięcej zbiorów rów nocześnie. Niech X w naszym przykładzie oznacza zbiór złożony ze w szystkich m ieszkańców W a rszaw y, a Y zbiór w szystkich m iłośn ik ów historii w Polsce. T y lk o część m ieszkańców -stolicy uważa się иа m iłośn ik ów naszej dyscypliny; pozostali m ieszk ają poza W a rszaw ą.

Przecinanie się zbiorów , czyli m nożenie teoriom nogościow e, oznacza się sym bolicznie przy pom ocy znaku W y n ik tej operacji dokonyw anej na dw óch lub w iększej ilości zbiorów n azyw am y iloczynem teoriom nogościow ym . Złożony jest on ze w sp ó l­

nych elem entów w szystkich przecinających eię zbi,orów. G dy m nożenie da w y n ik n egatyw ny, tzn. gdy zbiory nie m a ją żadnych w spólnych elem entów , m ów i się, że są one rozłączne, a ich przecięcie jest zbiorem pustym . M oże się zdarzyć, że w przecięciu n -tk i zbiorów znajdzie się tylko jeden elem ent.

T eo ria m nogości rozpatruje ponadto dodawanie zbiorów . <W w yn iku dodawania dwóch lub w iększej ilości zbiorów , oznaczanego p rzy pom ocy znaku ^ pow staje suma teoriom nogościowa. Sk ła d ają się na nią takie i tylko takie elem en ty, które należą co n ajm niej do jednego spośród dodawanych zbiorów . Ilość elem entów składających się na sum ę teoriom nogościową jest — w w ypadk u zbiorów przecina­

jących się — m niejsza niż ilość elem entów składających się na sum ę arytm etyczną elem entów dodawanych zbiorów. E lem enty w spólne są w sum ie teoriom nogościowej liczone tylko jeden raz. Różnicą n atom iast dw óch zb iorów ,ηιρ. X i Yi, ożyli X — Y n azyw am y zbiór w szystkich tych elem entów , które należą do X i n'.e należą do Y . Przeto

x є ( X - Y ) =r (x є X ) Λ (x ^Y.)

Słow n ie: x jest elem entem różnicy zbiorów X — Y w ted y i tylko w ted y gdy x jest elem entem X i x nie jest elem entem Y .

W zbiorach przecinających się w y stęp u je:

X — Y = X — (X ^ Y ).

W teorii m nogości rozpatryw ane są także zbiory uporządkow ane. O w łaści­

wościach tych zbiorów decyduje nie tylko ilość ich elem entów , ale ponadto porzą­

dek, w jakim w ystępu ją one w danym zbiorze. Przykład stanowić tu m oże zbiór królów polskich. Cechą tego zbioru jest właśnie to, że nie m ożem y dow olnie zm ie­

niać porządku tych w ładców i um ieszczanie Zygm u nta w odw rotnym porządku z H enrykiem W a le zy m będzie b łęd em . N atom iast zbiorem nieuporządkow anym b yw a tłum .

Czyn nikiem , k tó ry porząd kuje zbiory, są rela cje m iędzy jego elem entam i.

Term in ten oznacza jakiś stosunek, np. większości, następstw a (może być ono w y ­ interpretowane jako czasowe lub przestrzenne), podporządkow ania itp. m iędzy dw o­

m a lub większą liczbą elem entów , tj. m iędzy poprzednikiem i następnikiem danej relacji. Zazw yczaj relację m iędzy dw om a elem entam i, np. x i y, zapisuje się w p o ­ staci xR y. K ażde dw a dowolne obiekty, które pozostają do siebie w ja k iejś relacji, nazyw a się parą uporządkow aną (a, b). P rzy jm u je się, że dw ie pary uporządkow ane, np. <a, b) i (c, d), są sobie rów ne w ted y i tylk o w ted y, gdy a = с i to = d. Ponadto, jeżeli a + b lub c + d , porządek w ystępow an ia poprzedników i następników , obu par nie m oże b yć zm ieniany. Zb iór w szystkich par uporządkow anych (a, b ), takich, że а є Д i b є В n azyw am y iloczynem '(produktem) kartezjańsklim zbiorów A i B . Czmaęząrpy go zw ykle А X B. D ow oln e dw ie drużyny (np. flore oiistow) rozg ryw a ­ jące zaw ody na. zasadzie każdy z każdym tw orzą produkt kartezjański. P odobny produkt kartezjański A . X В tw orzy dow olne zróżnicowane społeczeństw o, o ile tylko, k a żd y członek grupy A '(wyższej) tego społeczeństw a będzie się znajdow ał w relacji posiadania Więcej p ra w do każdego członka gru py В (niższej).

N ie w szystkie relacje porządkują zbiór w jedn ak ow y sposób. N p. relacja „bycia przodkiem ” porządkuje częściowo zbiór złożony z danego przodka 4 jego b ez­

pośrednich i pośrednich -potomków. D rzew a genealogiczne stanow ią graficzną r e ­ prezentację om aw ianej relacji: potom kow ie nie są w nich rozróżnialni ze w zględu na omawianą relację. Z m atem atycznego punktu w idzenia drzewa te tworzą graf.

Intensyw nie rozw ijan a ostatnio teoria g ra fó w je st jedną z teorii w spółczesnej m a te­

m atyk i o bardzo szerokich m ożliw ościach zastosow ania w różnych dziedzinach nauki i praktyki.

N atom iast relacja następstw a w zbiorze królów polskich dobrze porządkuje ten zbiór. Jeżeli b ow iem Stefan Batory panow ał przed Zy gm u n tem ІШІ, a Z y gm u n t ІШІ przed W ład ysła w e m ШУ, to z tego w yn ika, że 'Batory panow ał przed W ła d y sła ­ w e m TV. R elację tego rodzaju nazyw am y przechodnią. Jest oczyw iste, że jeżeli B atory panow ał przed Zy gm u n tem ΊΙΓΙ, to nie jest praw dą, że Z y gm u n t ЛШ panow ał przed B atorym . R elacja nasza jest w obec tego relacją antysym etryczną. R elacja ta jest także spójna w zbiorze -królów polskich (ogólnie: relacja spójna w ja k im ś zbio­

rze to taka relacja, że dla -dowolnych x , у є X , x = y

v

1.5. Jest sprawą ew identną, że historycy w e w szystkich etapach sw ej pracy w sposób spontaniczny — stąd w ypow iedź pana Jourdaina posłużyła nam za motto szkicu — w y k o n u ją w sposób popraw ny lub błędny szereg operacji teoriom nogościo- wych. T ak w ięc zdarza się często, że historyka interesują w yłącznie w iadom ości na dany tem at w y stęp u jące w dwóch źródłach, choćby w dw óch kronikach. Potraktuj­

m y obie kroniki jako zbiory. Elem entam i tych zbiorów będą zawarte w nich zapiski.

Już na początku sw ej pracy historyk nakłada na te -dwie k ro n ik i-zb iory relację odnoszenia się do wydzarzeń X . W y stęp o w a n ie w tych zbiorach elem entów dotyczą­

cych interesujących badacza w ydarzeń stanowi -przykład przecinania się zbiorów . Rzecz jasna, że historyk pom inie w szystkie inne zapiski i zajm ie się analizą w y ­ łącznie w ażnych ze w zględu na dane zagadnienie. W y k o n a on wówczas typow e m nożenie teoriom nogościowe, elim inując z pola swego zainteresowania w szystkie inne -zapiski i koncentrując sw ą uw agę tylk o na tych, po k tórych spodziew a się, że um ożliw ią m u one przedstaw ienie badanego przezeń zjaw iska.

Załóżm y jednak, że nasz historyk nie poprzestanie na identycznych ze w zględu na treść zapiskach z obu kronik, lecz -wiadomości z jednej z nich będzie uzupełniał w iadom ościam i z drugiej. M im o szkolnych kłopotów z m atem atyką w ykona on do­

dawanie teoriom nogościowe. Su m a w iadom ości b ow iem , które w -tern sposób zdobę­

dzie, będzie mniej-sza od arytm etycznej sum y w iadom ości zawartych w obu źródłach.

Będzie ona bow iem pom niejszona o w iadom ości w sp óln e, brane przezeń pod uwagę tylko jeden raz.

Zdarza się także często, aczkolw iek zjaw isk o to jest szczególnie w yraźn e przy badaniu dziejów now ożytnych i -najnowszych, że historyk znajdzie w iele źródeł, które w szystkie dotyczą tego sam ego w ydarzenia. Źródła te u tw orzą przeto p ew ien zbiór. N iektóre z nich (np. takie sam e pod w zględem treści depesze zaczerpnięte z różnych gazet) m ogą ponadto spełniać rela cję rów now ażnościow ą zawierania takiej sam ej treści. Podzbiory elem entów -danego zbioru rów now ażne m iędzy -sobą ze w zg lę­

du n a daną relację rów now ażnościow ą nazyw am y klasa m i abstrakcji -tej rela cji w da­

nym zbiorze. W sz y stk ie ted y m anipulacje historyka, np. z kartam i p erforow anym i, gdy w yszu ku je on inform acji nlerozróżnialnych ze w zględu na treść, są przeto sp ro - wa-dzalne do nakładania na d an y zbiór rela cji rów now ażnościow ych. Inform acje takie stanowią w danym zbiorze k la sy a bstrakcji danej relacji rów now ażnościow ej.

Sym bolicznie: z є [y ]R = z, у є Z Д zRy. iW zapisie tym klasa abstrakcji [y]R wyznaczona została p rzez elem ent у ze w zględu na relację -R. IW k a żd y m zbiorze Z m ożna utw orzyć tyle różnych klas abstracji, ile m ożna w nim w yodrębn ić różnych

podzbiorów takich, że każdy z elem en tów tych podzbiorów będzie rów now ażny z każdym ze w zględu na daną cechę 20.

2.1. G arść pow yższych p rzykładów pokazuje, że historyk w sw ej pracy w y ­ konuje nieustannie operacje m atem atyczno-logiczne, które rekon stru uje w spółczesna m atem atyka. .Nie m oże b y ć w końcu inaczej: m ózg każdego człow ieka, co także zdołano już w y k a z a ć 21, działa w łaśn ie na zasadach m atem atycznych. Inaczej m ó ­ w iąc, m atem atyka tw orzy pew ien przybliżon y m od el spontanicznych oiperacjii u m ysło ­ w ych przeprow adzanych przez człow ieka. O peracje te jednak zachodzą p rzy użyciu język a potocznego i obciążone isą isteniami em ocjonalnym i ii wolicjonailinymi22 i choćby na skutek społecznego uw ikłania danej jednostki nie przebiegają one — ■ m a tem a ­ tycznie rzecz biorąc — · niezawodnie. „M atem atyka antropologiczna” , przy pom ocy której m ożna by odw zorow yw ać procesy lartykulacyjne 'człowieka', sitanowilatoy p r zy ­ puszczalnie zbiór teorii, które nie b y ły b y chyba m o d e la m i23 ja k iejś jednej teorii.

W szczególności inie jest pew n e, czy w e w szystkich z nich b yłab y do utrzym ania taka sama logika, a zw łaszcza czy zawsze obow iązyw ałaby w nich podstaw ow a zasada „ z w y k łe j” logiki, tzn. zasada w yłączonego środka.

2.2. U ruchom iona p rzez nas aparatura pojęciow a pozw ala n am ju ż na p o k a ­ zanie, na czym m ianow icie polegać m oże niedokładne zrozum ienie w ypow iedzi histo­

ryka. P otra k tu jm y udostępniony w jakiejk o lw iek postaci w y n ik jego pracy jako kom unikat i treść tego kom unikatu, tzn. in fo rm a cje przekazyw ane w nim jiako parę uporządkow aną <Kn, I n>. N a skutek w ieloznaczności pojęć użytych w ty m k o ­ munikacie, fun k cjonu jących społecznie w sposób nieostry, m oże ;się zdarzyć, iż o d - biorca-czytelnik, wpraw dzie odczyta kom unikat, niem niej jedn ak zrozum ie przeka­

zywane w nim in form acje w sposób odm ienny od in ten cji n a d a w c y 24. B ęd ziem y m ieli tedy do czynienia z nierównością par uporządkow anych 2S:

<Kn> V * V·

2.3. Poruszone w yżej spraw y zb liżyły nas do zagadnienia m odelow ania m atem a ­ tycznego i jego roli w pracy historyka. Chcem y je om ówić w taki sposób, b y k o n ­ struując przykładow o kilka m od eli m atem atycznych w prow adzić rów nocześnie jednoznaczność do niektórych pojęć używ anych przezeń w sposób najczęściej b ez­

reflek syjn y za język iem potocznym , konfrontując ten język z język iem m atem atyki.

W toku dotychczasowych w y w o d ó w w ynik pracy historyka określaliśm y św ia­

domie w sposób ogólnikow y. W y d a je się, że w b rew dotychczasowej praktyce w y n ik ten należy nazwać m o d e le m 26, czyli język ow ym odw zorow aniem pozajęzykow ej rzeczywistości. W ten sposób rozszerzam y pojęcie m odelu, które w pracach niektó­

rych historyków 27 utożsam iane jest z w ęższym pojęciem typu idealnego, w y w o d zą ­

20 J e s t j a s n e , ż e m o ż l i w o ś ć t w o r z e n ia t a k ic h k la s j e s t p o d s t a w o w a d la m y ś le n ia a b ­ s t r a k c y j n e g o .

si G . K 1 a u s, K yb ern etik und Erkenntnistheorie, B e r l i n 1966, p a s s im .

22 j . R e y k o w s k i , Eksperym entalna psychologia em ocji, W a r s z a w a 1968, s. 45 n.

23 S t. P i e k a r c z у k , H istoryk i teoria (a r t y k u ł z ł o ż o n y w R e d a k c ji P H ).

24 P o r . S t. P i e k a r c z y k , z problem ów polisem antyzacji w kulturze, ,,S tu d ia 2 r ó d ł o - z n a w c z e ” t. X V I , 1971, s. 9 n.

25 D la u ła t w ie n ia m e t o d o l o g ic z n e j a n a l iz y s z e r e g u z ja w is k k u l t u r y m o ż n a s k o n s t r u o w a ć m o d e l h i p o t e t y c z n e j g r u p y o k u lt u r z e m o n o s e m a t y c z n e j , z a k ła d a ją c d la n i e j r ó w n o ś ć p a r u p o r z ą d k o w a n y c h w y m i e n i o n e g o r o d z a ju d la w s z y s t k ic h k o m u n i k a t ó w i i n f o r m a c j i p r z e k a z y ­ w a n y c h w o b r ę b i e t e j g r u p y ; k o n c e p c j a k u l t u r y m o n o s e m a n t y c z n e j p o c h o d z i o d S t. L e m a, Filozofia przypadku. Literatura w św ietle em pirii, K r a k ó w 1968, s. 323 n .; a u t o r n ie r o z p r a c o w a ł j e d n a k t e j k o n c e p c j i .

26 S tą d t e ż n ie s o li d a r y z u j e m y s ię w i ę c e j z J . T o p o l s k i m , o p . c it ., s. 413 n ., k t ó r y w y n i k p r a c y h i s t o r y k a n a z w a ł n a r r a c ją .

27 P o r . n p . W . K u l a , Analiza m odelow a w h i s t o r ii g o s p o d a r c z e j, „ H i s t o r y k a ” t. X, 1967, s. 41— 49.

cego się oczyw iście pośrednio lub bezpośrednio od M a xa W e b e r a 28. T yp idealny, to rów nież m odel, szczególnego jednak rodzaju. N ależy b ow iem rozum ieć przezeń taki m odel, który nie stan ow i odw zorow ania żadnego realnego, tzn. istniejącego lub w ystępującego w pozajęzykow ej rzeczywistości konkretnego przedm iotu, zjaw iska, procesu i t p .2e. Nic przeto nie m oże b y ć powiązane z danym typem idealnych re­

lacją oznaczan ia30. H istoryk — rze'cz jasna — stoi na stanowisku, że opisuje, czyli zgodnie z naszą term inologią m od elu je to, 00 się rzeczywiście dziiało, a nie tylko prowadzi badania· własnego języka. A liści nie n egujem y poznawczego znaczenia konstrukcji pojęć, które stanowią typ idealny w sensie w eb erow skim . W rę c z prze­

ciwnie, dostrzegam y korzyści, które m ożna osiągnąć posługując się w badaniach typam i idealnym i. Co w ięcej, niektóre przynajm niej m odele m atem atyczne w y p ra ­ cow ane dla potrzeb historyka będą m iały taki w łaśnie charakter, jakk olw iek po­

chodząca od M axa W e b e ra term inologia jest w odniesieniu do nich nieadekwatna i winna zostać zastąpiona przez bardziej nowoczesną, lepiej odpow iadającą fun k cji spełnianej przez m odele matematyczne.·

P rop ozycja użycia pojęcia m od elu na nazw anie rezultatów pracy historyka nie była w yw ołana poddaw aniem się język ow ej m odzie. P ozw oli nam ona na w y ­ korzystanie w następnej, zapowiadanej tu pracy, w sposób zresztą z konieczności bardzo skrótow y w ykorzystać m atem atyczną teorię m odeli dla nieco dokładniejszego scharakteryzow ania w aru nk ów niezbędnych po to, b y m od el konstruow any przez historyka osiągnął, m ów iąc potocznie, popraw ność, tan. by nie zniekształcał odw zo­

row yw anej przy jego pom ocy przeszłości.

Zgodnie tedy a n aszym prześw iadczeniem , jednym z tych niezbędnych, chociaż niew ystarczających środków popraw ności m odeli tw orzonych przez historyków jest m odelow anie m atem atyczne. (Najogólniej u jm u ją c i św iadom ie upraszczając spra­

wę — ■ zapew ne nie bez oporów ze strony części m atem atyków — polega ono na przedstaw ieniu pozajęzykow ej rzeczyw istości w języku m atem atyki. W y ż e j poda­

liśm y już bardzo prosty przykład takiego m od elu , pokazując przy użyciu nierówności dwóch par uporządkow anych, na czym polega niezrozum ienie przez recipienta in­

form acji przekazanej przez em itenta w w arunkach, w których dotarł do pierw szego z nich kom unikat (oczywiście m od el n asz nie dotyczy w yłącznie dwóch historyków , lecz ma znaczenie ogólne). Po to jednak, b y m óc uznać każdy zapis m atem atyczn y za m od el ja k iejś sytu a cji pozajęzykow ej, .należy przy ją ć, jak o tym była ju ż m ow a wyżej (1.1.), odpow iednie reg u ły przyporządkow ania. Dopiero w ów czas w oln o nam będzie stanąć na stanow isku, że po odpow iednim podstaw ieniu pod sym bole zm ien ­ nych nazw przedm iotów '(lub ludzi) i np. pod sy m b o le relacji nazw tych relacji otrzym am y zdanie orzekające coś o stosunkach w ystępujących w świecie ludzi i rzeczy.

O czyw iście nie tw ierdzim y, że każdy m od el jakiegoś, w yrażając się m eta fo ­ rycznie, fragm en tu dziejów skonstruow any przez historyka w język u m atem atyki uzyska gw arancję popraw ności tyliko dzięki tem u, że zostanie on przedstaw iony w zapisie sym boliczn ym . ‘N ależy b ow iem w iedzieć, co i ja k zam odelow ać. W om a ­ w ian ym tu znaczeniu zbliżanie historii do m atem a ty k i sprow adza się tylko do instrum entalnego w ykorzystania tej ostatniej. D yscyplina ta stanowi jednak szcze­

gólnego rodzaju instrum ent, którego w alory postaram y się przedstaw ić niżej w spo­

sób bardziej szczegółow y.

3.1. H istoryk zazw yczaj interesu je się nie jakim iś zagadnieniam i ogólnym i, ale

28 p o r . J . K m i t a , L. N o w a k , Studia nad teoretyczn ym i podstawami hum anistyki, P o z n a ń 1968, s. 54 n.

29 w k o n t e k ś c i e p o r u s z a n y c h z a g a d n ie ń u n ik a m y p o s ł u g iw a n i a s ię p o j ę c i e m f a k t u h is t o ­ r y c z n e g o . N ie j e s t b o w i e m z a w s z e j a s n e , c z y o b e j m u j e s ie n im t y l k o r z e c z y w i s t o ś ć p o z a j ę z y - k o w ą , c z y w y ł ą c z n ie r z e c z y w i s t o ś ć j ę z y k o w ą , c z y t e ż j e d n ą i d r u g ą .

30 P o d o b n i e T . P a w ł o w s k i , o p . c it ., s. 59.

bada konkretne, naw et gdy są one pod jakim ś w zględem pow tarzalne, wydarzenia i procesy. Jak tedy m oże on w sw oim m odelow aniu tych ostatnich w ykorzystyw ać ję zy k m atem atyki, który z natury rzeczy jest język iem b u du jącym zdania na w y ­ sokim szczeblu abstrakcji? Jego m odelow anie m atem atyczne m usi przecież odbiegać od m odelow ania m atem atycznego np. w fizyce.

W każdym w ydarzen iu b adanym przez historyka, m im o że koncen tru je on za­

zw yczaj uwagę w łaśnie na jego jedn orazow ym charakterze, w ystępu ją m niej lub bardziej w yraźnie te cechy tego w ydarzenia, które spraw iają, że jest ono z jakiegoś punktu widzenia podobne do praktycznie nieprzeliczalnej ilości sytuacji (osób, re­

la c ji m iędzy nimii itd.). Te podobieństw a — m orfizm y — u jaw niają takie sam e określenia w ystępu jące przy oznaczaniu tych sytu acji. Otóż w łaśn ie zakres zna­

czeniow y tych nazw pow inien b yć w m odelach konstruow anych przez historyka uściślony, zaś sposób ich stosow ania poddany rygorystycznej kontroli, in n y m i sło ­ w y, historyk pow inien św iadom ie nakładać relacje rów now ażniościow e na elem enty badanych przez siebie w ydarzeń należących do różnych zbiorów , czyli czynić je elem entam i tej sam ej rela cji rów now ażnościow ej. Oto k ilk a p rzykładów takiej procedury. Poddając analizie poniższe pojęcia chcem y rów nocześnie wprow adzić kilka uściśleń do w ysu w anych poprzednio propozycji stosow ania w historii c y b er­

netyki.

3.2. H istoryk, jak to pow iedzieliśm y w y że j (1.-2.) używ a pojęć przem iana, w zrost i r o z w ó j31 w sposób nieostry. W arto zastanow ić się nad zakresem sem antycznym .tych w yrażeń i dokładnie określić — w łaśnie w ykorzystu jąc język m atem atyki — kiedy jest o n upoważniony do posługiw ania się każdym z nich w taki sposób, by ani u niego sam ego ani u czytelnika nie pow stały żadne w ątpliw ości, o jakich to zjaw iskach bądź procesach w łaściw ie m ów i. Co jedn ak m ają w spólnego ze sobą np.

przem ian y ustrojow e ze stylistycznym i i £)od ja k im w zględem m oże b yć po rów n y ­ w a ln y w zrost produkcji ze w zrostem poczucia niespraw iedliw ości społecznej i czy m ożna znaleźć coś w spólnego m iędzy rozw ojem m iast i rozw ojem pow ieści jako gatuniku literackiego?

Zgódźm y się wstępnie, że najszerszy zakres sem antyczny z przytoczonych w yżej p o ję ć m a pojęcie przem ian y. N atom iast nie każdy w zrost jest, zgodnie z potocznym odczuciem język ow ym , rozw ojem . Jeżeli jednak coś się rozw ija, jak choćby kapita­

lizm , m iasta, dram at rom antyczny itp ., to to coś także, aczkolw iek w określonym tylk o sensie wzrasta. P r z y jm ijm y przeto, że pojęcie rozw oju będzie dla nas p o ję ­ ciem o n ajw ęższym zakresie znaczeniow ym .

3.3. M atem atyk a interesuje się oczyw iście różnym i przem ianam i. W jej język u przem iana, to przekształcenie. T y m zaś, co w m atem atyce decyduje o sposobie przekształceń różnych m atem atyczn ych obiek tów >są fu n k cje. Fun kcja stanow i taki rodzaj relacji, w k tórym jednem u elem entow i w poprzedniku odpowiada jeden elem ent w następniku. Fu nkcja przekształca tedy elem enty jakiegoś zbioru X w ele­

m en ty innego zbioru, np. Y . Sym boliczn ie f : X Y . M ów iąc nieco inaczej, w spo­

sób bardziej hum anistyczny: fu n k cja stanowi pew ną zasadę, zgodnie z którą prze­

prow adza się w spom niane przekształcenie. Funkcją jest np. dodawanie, m nożenie, potęgow anie itd.

Podobne zasady przekształceń, czyli w łaśnie fu n k cji w ystępu ją oczyw iście nie tylk o w m atem atyce. Stanow ią je choćby zasady gram atyczne. Stosując się do nich w sposób spontaniczny lub św iadom y przekształcam y znaki słow ne otrzym ując z form podstaw ow ych inne fo rm y tego samego w yrazu, które w łaśnie w sk u tek sw ej

зі J. T o p o 1 s к i, o p . c it ., s. 155 n . w o p a r c iu o O . L a n g e g o , Całość i rozw ój w św ietle c y b ern ety k i, W a r s z a w a 1962, w p r o w a d z a p o j ę c i e r o z w o j u j a k o t r a n s f o r m a c j i u k ła d u w s e n s ie

• c y b e r n e ty c z n y m . P o m ija o n j e d n a k r ó ż n i c e s e m a n t y c z n e m ię d z y a n a liz o w a n y m i t u t a j p o ję c ia m i .

odm ienności, a więc (przekształceń, jakim poddane zostały fo rm y podstaw ow e, m og ą odgryw ać różną rolę przy przekazyw aniu inform acji.

U ogólniając można pow iedzieć, że w życiu posłu g u jem y się różnym i funkcjam i,, rozum ianym i tu jako społecznie określone zasady przekształcania czegoś, rów nie często ja k relacjam i. Równiie często 'bowiem przychodzi nam przyporządkow yw ać- cos czem uś, czy li przekształcać choćby zrnaik 'akustyczny w zinak graficzny. O dw zoro­

w u jem y nasze m yśli w różnej form ie tak, aby b yły one komunifcowalne dla in ­ nych. G dy zaś stw ierdzam y, że ktoś spraw uje jakąś fu n k cję, np. społeczną lub p o ­ lityczną, stw ierdzam y tym sa m y m , że w jakiś sposób przekształca on rzeczyw istość (tzn. zbiory lub podzbiory złożone z jednostek, grup ludzkich, rzeczy, w ystępujących;

m iędzy nimi relacji oraz wyznaczonych na mich fu n k cji) w podległej m u sferze działania. B yw a oczyw iście i tak, iż tych przekształceń nie m ożem y dostrzec. M a te ­ m atyk a nie traci na tym jednak nic. S ą bow iem w niej takie fu n k c je, w w y n ik u których przekształcany zbiór nie ulegnie zm ianie. Łatw o to spraw dzić m nożąc do­

w olną liczbę przez 1. M ów iąc zaś o tym , że czas jakoby w szystko zm ienia, stw ier­

dzam y po prostu, że zm iana jest fu n k cją czasu.

O czyw iście w trakcie badań historycznych najczęściej nie posłu gujem y się p o ­ jęciem fun k cji w jej m atem atycznie uściślonym sensie, ale korzystam y z w ielu in­

nych pojęć język a potocznego, które (pozornie) z m atem atyką nie m a ją nic w sp ól­

nego. Zastanaw iając się bow iem nad przem ianam i, np. w życiu politycznym , w zros­

tem i rozw ojem — ośw iaty, eksportu itd. — p o w o łu jem y się niie na fu n k cje, ale na·, rolę kogoś lub czegoś, ma różne czynniki, niekiedy praw a 32, które w y w o łu ją dane zjaw iska lub procesy. Często w ogóle koncentrujem y badania na tychże czynnikach..

„ W p ły w X na Y ” , „Rola p w q ” — to typow e badania fu n k cji przekształcających.

Chcąc tedy określić zakres znaczeniow y każdego z interesujących nas p o ję ć w sposób najogólniejszy należy przede w szystkim ustalić, jakim przekształceniom m usi ulec dow olny o biek t zainteresowań historyka, by doszło do przem iany, w zrostu, bądź rozw oju. N astęp nie w in niśm y w yzn aczyć fu n k cję lub fu n k cje, które w y w o łu ją przekształcenia uznawane przez nas za przem ianę, w zrost i rozw ój. P a tych zabiegach będzie m ożna ustalić, jaką fu n k cję zdaniową („bycia przejaw em przem ian y” , „bycia p rzejaw em w zrostu” , albo „bydia p rzejaw em roziwoju” ) spełnia dowolne, analizow ane przez nas zjaw isko lub proces.

3.4. Pójście po tej linii rozum ow ania postuluje zastosow anie języka m atem atyki do opisu faktycznych zainteresowań historyka 33. Załóżm y, że interesuje go jakiś — m ów iąc potocznie — fragm en t dziejów dowolnego społeczeństwa. Cybernetycznie rzecz biorąc, stan ow i on p ew ien układ (U). Jego najbardziej naturalnym dia histo­

ryk a nośnikiem (N) są zbiory (częściej: rodziny zbiorów ), których elem en ty stanowią poszczególne jednostki, grupy ludzkie ii rzeczy (w ytw ory działalności człow ieka w najszerszym pojęciu) oraz otaczający go świat przyrody. Na nośnik ten i na jego poszczególne podzbiory nałożone są relacje, które także należy potraktow ać jako zbiór, albo rodzinę zbiorów {Ri ... R ;} . R elacje te, to oczyw iście w szelk ie stosu nki w ystępujące m iędzy elem entam i nośnika (np. społeczne, w łasnościow e, polityczne itp.). Ponadto na nośniku tym oraz na zbiorze relacji w yznaczone są fu n k c je, sta­

now iące rów n ież zbiór {fi ... f n }. F unkcje w riozumfeniu rozszerzonym do potrzeb interp retacji m odelu, to nie tylko społecznie utrw alone zasady przekształceń, ale w szelkie p rze ja w y takiej grupow ej lub jednostkow ej działalności ludzkiej (produk­

32 W a r t o — j a k s ię w y d a j e — p o j ę c i e p r a w a o d n o s i ć t y l k o d o s ą d u o r z e k a n e g o o c z y m ś . N a t o m ia s t p o j ę c i e p r a w i d ł o w o ś c i o d n o s i ć d o z ja w i s k w y s t ę p u j ą c y c h w d z ie j a c h .

за w d a ls z y m c ią g u w p r o w a d z a m y p e w n e u p r o s z c z e n ie p o l e g a ją c e n a t y m , że n ie u w z g l ę d ­ n i a m y m o ż l i w o ś c i ( w s z e r e g u w y p a d k ó w n a w e t k o n i e c z n o ś c i ) s p r o w a d z a n ia z d a ń , k t ó r e t r a k t u ją o j a k i c h ś h ip o s t a z a c h lu b o n o m a t o id a c h , t j . n a z w a c h p o z o r n y c h , d o z d a ń d o t y c z ą ­ c y c h s t o s u n k ó w m ię d z y lu d z k i c h .

cyjnej, politycznej, artystycznej itp.) oraz w p ły w u w yw ieranego przez i-ntersubiek- tyw nie postrzegalne rezultaty tej działalności i przez przyrodnicze otoczenie c z ło w ie - ica, które pośrednio lulb bezpośrednio przekształcając nośnik, prow adzą ostatecznie do tran sform acji układu pojętego jako całość. Sym boliczn ie m ożna tę konstrukcję- przedstaw ić jako

U = '(SN, {IRi ... R j , {ft ... f n}>

K o n stru k cja ta, stanow iąc najbardziej ogólny m od el, przy pom ocy którego m ożna opisać każde społeczeństwo w d ow oln ej sytu acji w dow olnym interw ale czasow ym ,, odw zorow uje rów nocześnie w szelkie m ożliw e kierunki zainteresowań historyka.

M oże on badać nośnik układu, naw et w określonych w ypadkach jego istnienie oraz.

choćby stan tego nośnika. N ależą tu przede prace dem ograficzne, badania osad­

nicze w najszerszym pojęciu , prace dotyczące przyrodniczego otoczenia człowieka.

H istoryka m ogą interesow ać rów nież relacje m iędzy elem entam i nośnika u k ład u - Do badań pośw ięconych tego rodzaju zagadnieniom zaliczym y oczyw iście w szelkie prace z zakresu stosunków społecznych, ale także p rzyn ajm n iej część prac z historii literatury i historii sztuki. W y ch od zim y tu z konstatacji, że dzieło literackie d dzieło artystyczne innego rod zaju 35 stan ow i kom unikat, któ ry służy do przekazyw ania in ­ form acji, czyli dochodzeniu do skutku rela cji inform ow ania m iędzy nadaw cą-tw órcą' i odbiorcami.

H istoryk nie ogranicza się zazw yczaj do badań jakiegoś stanu; interesują go — jak w iadom o — przekształcenia tego stanu. O ile tylk o będzie się wów czas zasta­

naw iał nad w p ły w e m czegoś na coś, to w centrum jego uwagi znajdą się nie tylko- same przekształcenia, np. ich przebieg (odpowiedź na pytanie: jak b yło?), ale i fu n k cje przekształcające dany stan. Poszukiw ać on będzie w ów czas odpowiedzi na?

pytanie „d la czego ?” . W w y p a d k u , gdy w p ły w , o któ ry m u idzie, w yw ieran y będzie przez jakiś „czy-nmi-k” bezpośrednio -na nośnik układu , fu n k cje te w yznaczone zostają na elem entach tego nośnika. W arto ścia m i tych fu n k cji będą natom iast elem enty po- przekształceniu. P rzykładem takich badań m ogą b yć choćby liczne prace analizu­

jące w p ły w -zniesienia 'barier celnych na przem ian y, które zachodziły w przem yśle K rólestw a. B y w a i ta-к, że historyk skoncentruje się ńa śledzeniu w p ływ u w y w ie ­ ranego przez jakiś czynnik na nośnik w sposób pośredni. W tym w ypadk u dana funkcja określona będzie n a zbiorze relacji. Z a klasyczne bodaj przykłady takich badań m ożna uznać studia om aw iające sku tki uwłaszczenia chłopów . Uwłaszczenie- bowiem zm ieniało relacje m iędzy -chłopem i ziem ią, czyli m iędzy elem entam i n o ś - nikaj

Oczyw iście dokonana w y żej skrótow a rekonstrukcja kierunków badań histo­

rycznych z interesującego nas punktu widzenia pom ija z konieczności fakt, iż w konkretnych pracach kierun ki te często krzyżują się ze sobą, tworząc przecięcia i sum y teoriom nogościowe.

3.5; U k ła d u jęty w naszym zapisie sym boliczn ym pozostaje w stanie nieustan­

nych transform acji. S ta łym przekształceniom ulega jego nośnik: ludzie rodzą się- i um ierają. W y tw orzo n e dobra są konsum ow ane; produ kuje się stale -nowe ltd.

Podobnym przekształceniom , jakk olw iek nie zawsze rów nie szybkim , podlegają także relacje i fu nkcje. N ie w szystkie jednak z tych transform acji uzna historyk za prze­

m ianę, rozw ój i w zrost (bądź cofnięcie się — regres). N ie w szystkim też pośw ięci

34 K o n s t r u k c ja ta j e s t o d m ie n n a o d z a p r o p o n o w a n e j p r z e z O . L a n g e g o ł p r z y j ę t e j p r z e z J. T o p o l s k i e g o , o p . c it ., s . 155. W s z c z e g ó ln o ś c i w y o d r ę b n i a o n a n o ś n ik u k ła d u . W s p o m n ia n i a u t o r z y m ó w ią -n a to m ia st o e l e m e n t a c h . P o n a d t o w y o d r ę b n i l i ś m y z b i ó r f u n k c ji ,, c o p o w in n o u ła t w i ć d o k o n y w a n i e o p e r a c j i n a u k ła d z ie , w s z c z e g ó ln o ś c i w p r o w a d z a ć d o ń p r z e ­ k s z t a łc e n ia b ę d ą c e (a t a k j e s t p r z e c i e ż z a w s z e ) f u n k c j ą c z a s u . W g k o n c e p c j i L a n g e g o - c z a s j e s t w p r o w a d z a n y d o u k ła d u n i e j a k o „ z z e w n ą t r z ” .

з» s t . P i e k a r c z y k , z p roblem ów poUsemantyzacji···, s. 9.