Statystyka Matematyczna, 2008/2009 - Ćwiczenia 4 Statystyczna niezaleŜność
Zadanie 1 (zdarzenia niezaleŜne)
Obok na rysunku podane są dwa schematy układów (sieci komputerowych) zbudowanych z elementów A, B, C i D, w których między punktami X oraz Y
przekazywane są informację. Informacja moŜe przejść z jednego punktu do drugiego tylko wtedy, gdy istnieje przynajmniej jedna ścieŜka, na której wszystkie elementy są sprawne. Przyjmijmy, Ŝe szansa sprawnego działania kaŜdego z elementów w dowolnym momencie czasu jest taka sama i wynosi p, przy czym fakt zepsucia się dowolnego z elementów nie ma wpływu na funkcjonowanie pozostałych. Znajdź prawdopodobieństwo, Ŝe w dowolnym momencie czasu między punktami X oraz Y utrzymana będzie komunikacja. Dla którego z układów prawdopodobieństwo to jest większe?
Zadanie 2 (zdarzenia niezaleŜne)
Wydawca dysponuje kwotą po 1000 zł dla kaŜdego z dwóch korektorów, którzy czytają ksiąŜkę w celu znalezienia w niej błędów drukarskich. Wynagrodzenie, które wydawca planuje dać kaŜdemu z korektorów wynosi 1000 f zł, gdzie f jest ułamkiem wszystkich błędów w całej ksiąŜce znalezionych przez kaŜdego z korektorów (jeśli korektor znalazł 50% wszystkich błędów w ksiąŜce, to dostanie 50% z kwoty tysiąca złotych). Korektor A znalazł NA = 40 błędów, korektor B znalazł NB = 50 błędów, przy czym liczba tych samych błędów znalezionych wspólnie przez obu wynosiła NC = 20. Jakie wynagrodzenie otrzyma kaŜdy z korektorów?
Zadanie 3 (zdarzenia niezaleŜne)
Syn gra 3 partie tenisa przeciw rodzicom występującym na zmianę. Zostanie zwycięzcą turnieju, jeśli wygra dwie partie pod rząd. Syn ma prawo wyboru kolejności partnerów: albo zagra najpierw z ojcem, potem z matką i ponownie z ojcem, albo teŜ najpierw z matką, potem z ojcem i na koniec znów z matką. Szansa wygrania z ojcem wynosi p, zaś z matką q, przy czym p < q. Którą z sekwencji rozgrywek powinien wybrać?
Zadanie 4 (zdarzenia niezaleŜne)
Zdarzenia A oraz B są statystycznie od siebie niezaleŜne. Czy takŜe niezaleŜnymi są:
a) Zdarzenie A oraz dopełnienie zdarzenia B?
b) Dopełnienie zdarzenia A oraz zdarzenie B?
c) Dopełnienie zdarzenia A i dopełnienie zdarzenia B?
Zadanie 5 (zdarzenia niezaleŜne)
Paweł zaproponował Gawłowi: rzucimy dwiema sześciennymi kostkami do gry i jeśli suma oczek będzie parzysta, to naczynia zmywasz Ty, a jeśli nieparzysta, to obowiązek ten spada na mnie. Gaweł zaprotestował: moŜliwe wyniki rzutu kostkami, to 2, 3, ... ,12 – wśród nich jest 6 wyników parzystych, a tylko 5 nieparzystych. Czy miał rację twierdząc, Ŝe szansa na to, Ŝe będzie musiał zmywać naczynia jest większa?
Zadanie 6 (elementarne metody rachunku prawdopodobieństwa)
Bombowiec wypełni swą misję tylko wtedy, gdy nawigator znajdzie obiekt bombardowania, a bombardier trafi w znaleziony obiekt. Dla nawigatorów n oraz N, prawdopodobieństwa znalezienia obiektu wynoszą odpowiednio pn = 0,9 oraz pN = 0,8. Dla bombardierów b oraz B, prawdopodobieństwa trafienia w obiekt wynoszą pb = 0,7 oraz pB = 0,6. Przy kompletowaniu załogi (nawigatora oraz bombardiera) do dwóch bombowców, które będą atakowały obiekt, ale działały niezaleŜnie, dowolnego z nawigatorów moŜemy skojarzyć z kaŜdym z bombardierów. Obiekt będzie zniszczony, jeśli którykolwiek z bombowców wypełni swoje zadanie. Jakie skompletowanie załóg da największe prawdopodobieństwo zniszczenia obiektu i ile to prawdopodobieństwo wynosi?
X Y
a) b)
A
B C D
A B
C D
X Y
