Xf, a poniewa˙z f jest ró˙znowarto´sciowe i zbiór Xf jest skończony, wiec f (X, f

(1)

Wyk lad 7

Grupy permutacji

1 Znak permutacji

Niech n bedzie ustalon_, a liczb_, a naturaln_, a i X_, _n= {1, 2, . . . , n}. Ka˙zda permutacj_, e f ∈ S_, _n mo˙zna zapisa´c w postaci dwuwierszowej tablicy

f =

1 2 . . . i . . . n

f (1) f (2) . . . f (i) . . . f (n)

, (1)

w kt´orej w pierwszym wierszu umieszczone sa wszystkie elementy zbioru X_, _n(najcze´sciej w_, porzadku rosn_, acym), za´s w drugim wierszu umieszczone s_, a kolejne obrazy tych element´_, ow przy odwzorowaniu f . Niech

Xf = {x ∈ Xn : f (x) 6= x}. (2)

Wtedy dla x ∈ X_f jest x 6= f (x), skad f (x) 6= f (f (x)), wi_, ec f (x) ∈ X_, _f. Stad f (X_, _f) ⊆ X_f, a poniewa˙z f jest ró˙znowarto´sciowe i zbiór X_f jest skończony, wiec f (X_, _f) = X_f. Z tego powodu w zapisie permutacji f pomijamy zazwyczaj punkty sta le f , tzn. takie i, ˙ze f (i) = i. Np. zamiast 1 2 3

1 3 2

mo˙zna pisa´c 2 3 3 2

. Przy tej notacji dla permutacji f mamy wz´or:

f⁻¹ = f (1) f (2) . . . f (n)

1 2 . . . n

. (3)

Ponadto

e = 1 2 . . . i . . . n 1 2 . . . i . . . n

. (4)

Przyk lad 7.1. Notacja dwuwierszowa umo˙zliwia szybkie sk ladanie permutacji (przypominamy, ˙ze to sk ladanie odbywa sie od strony prawej do lewej!)._, Np. dla f = 1 2 3 4 5

2 1 4 5 3

oraz g = 1 2 3 4 5 3 4 5 1 2

mamy:

f ◦ g = 1 2 3 4 5 2 1 4 5 3

◦ 1 2 3 4 5 3 4 5 1 2

= 1 2 3 4 5 4 5 3 2 1

= 1 2 4 5 4 5 2 1

oraz g⁻¹ = 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5

= 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3

.

Definicja 7.2. Inwersja permutacji f ∈ S_, _n nazywamy taki podzbi´or dwuelementowy {i, j} zbioru X_n, ˙ze i < j oraz f (i) > f (j). Zbi´or wszystkich inwersji permutacji f ∈ S_n oznaczamy przez I_f.

(2)

Przyk lad 7.3. I_e= ∅, wiec |I_, _e| = 0, czyli permutacja to˙zsamo´sciowa nie posiada inwersji. Dla permutacji f z Przyk ladu 7.1 mamy, I_f = {{1, 2}, {3, 5}, {4, 5}}, czyli

|I_f| = 3.

Przyk lad 7.4. Niech i, j ∈ X_n, i < j. Oznaczmy przez (i, j) permutacje zbioru X_, _n, kt´ora zamienia miejscami elementy i, j oraz nie zmienia pozosta lych element´ow zbioru X_n (takie permutacje nazywamy transpozycjami). Zatem

(i, j) = 1 2 . . . i − 1 i i + 1 . . . j − 1 j j + 1 . . . n 1 2 . . . i − 1 j i + 1 . . . j − 1 i j + 1 . . . n

. (5)

Stad I_, _(i,j)= {{i, i + 1}, {i, i + 2}, {i, i + 3}, . . . , {i, j − 1}, {i, j}

| {z }

j−i

, {i + 1, j}, {i + 2, j}, {i + 3, j}, . . . , {j − 1, j}

| {z }

(j−1)−i

}.

Zatem |I_(i,j)| = (j−i)+(j−1)−i = 2(j−i)−1. Uzyskali´smy wiec, ˙ze ka ˙zda transpozycja_, posiada nieparzysta liczb_, e wszystkich inwersji._,

Definicja 7.5. Znakiem permutacji f ∈ S_nnazywamy liczbe sgn(f ) okre´slon_, a wzorem:_,

sgn(f ) = (−1)^|I^f^|. (6)

Powiemy, ˙ze permutacja f ∈ S_n jest parzysta, je´sli sgn(f ) = 1 oraz, ˙ze f jest nieparzysta, je´sli sgn(f ) = −1. Zbi´or wszystkich permutacji parzystych f ∈ Sn bedziemy oznaczali_, przez A_n.

Przyk lad 7.6. Na mocy Przyk ladu 7.4, dowolna transpozycja jest permutacja_, nieparzysta. Poniewa˙z sgn(e) = (−1)_, ⁰ = 1, wiec permutacja to˙zsamo´sciowa jest per-_, mutacja parzyst_, a._,

Twierdzenie 7.7. Dla dowolnych permutacji f₁, f₂, . . . , f_k ∈ S_n zachodzi wz´or:

sgn(f₁◦ f₂◦ . . . ◦ f_k) = sgn(f₁) · sgn(f₂) · . . . · sgn(f_k). (7) W szczeg´olno´sci sgn(f⁻¹) = sgn(f ) dla dowolnego f ∈ S_n.

Dow´od. Niech f, g ∈ Sn. Oznaczmy przez Pn rodzine wszystkich podzbior´_, ow dwu- elementowych zbioru X_n. Niech h ∈ S_n. We´zmy dowolne A ∈ P_n. Wtedy A = {i, j}

dla pewnych i, j ∈ X_n, i 6= j. Oznaczmy sgn_h(A) = sgn

h(i)−h(j) i−j

. Okre´slenie to jest poprawne, bo

h(j)−h(i)

j−i = −(h(i)−h(j))

−(i−j) = ^h(i)−h(j)_i−j . Ponadto A ∈ Ih ⇔ sgnh(A) = −1. Wynika stad wz´_, or:

sgn(h) = Y

A∈Pn

sgn_h(A). (8)

(3)

Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze dowolna permutacja g ∈ S_n wyznacza bijekcje G: P_, _n → P_n przy pomocy wzoru G(A) = {g(i), g(j)} dla A = {i, j}. Wynika stad, ˙ze dla dowolnych_, f, g ∈ S_n zachodzi wz´or:

sgn(f ) = Y

A∈Pn

sgn_f(G(A)). (9)

Ponadto dla A ∈ P_n mamy

sgn_f(G(A)) · sgn_g(A) = sgn_{f ◦g}(A). (10) Rzeczywi´scie, A = {i, j} dla pewnych i, j ∈ X_n, i 6= j oraz

sgn_f(G(A)) = sgn_f({g(i), g(j)}) = sgn f (g(i)) − f (g(j)) g(i) − g(j)

oraz

sgn_g(A) = sgn g(i) − g(j) i − j

.

Ale sgn(x) · sgn(y) = sgn(x · y) dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, wiec_, sgn_f(G(A)) · sgn_g(A) = sgn f (g(i)) − f (g(j))

g(i) − g(j) ·g(i) − g(j) i − j

=

= sgn (f ◦ g)(i) − (f ◦ g)(j) i − j

= sgn_{f ◦g}(A).

Zatem na mocy (8), (9) i (10) mamy sgn(f ◦ g) = Y

A∈Pn

sgn_{f ◦g}(A) = Y

A∈Pn

[sgn_f(G(A)) · sgn_g(A)] =

= Y

A∈Pn

sgn_f(G(A)) · Y

A∈Pn

sgn_g(A) = Y

A∈Pn

sgn_f(A) · Y

A∈Pn

sgn_g(A) =

= sgn(f ) · sgn(g).

W szczeg´olno´sci, 1 = sgn(e) = sgn(f ◦ f⁻¹) = sgn(f ) · sgn(f⁻¹), czyli sgn(f⁻¹) = sgn(f ).

Je´sli dla pewnego k ≥ 2 i dla dowolnych f₁, f₂, . . . , f_k ∈ S_n, sgn(f₁ ◦ f₂ ◦ . . . ◦ f_k) = sgn(f₁)·sgn(f₂)·. . .·sgn(f_k) oraz g₁, . . . , g_k, g_k+1 ∈ S_n, to na mocy pierwszej cze´sci dowodu_, i tego, ˙ze g₁◦ . . . ◦ g_k◦ g_k+1 = (g₁◦ . . . ◦ g_k) ◦ g_k+1 otrzymamy, ˙ze sgn(g₁◦ . . . ◦ g_k◦ g_k+1) = sgn(g₁◦ . . . ◦ g_k) · sgn(g_k+1) = sgn(g₁) · . . . · sgn(g_k) · sgn(g_k+1). Ko´nczy to dow´od naszego twierdzenia.

Wniosek 7.8. Dla n > 2 An jest podgrupa normaln_, a indeksu 2 grupy S_, _n.

Dow´od. Poniewa˙z sgn(e) = 1, wiec e ∈ A_, _n. Niech f, g ∈ A_n. Wtedy sgn(f ) = sgn(g) = 1, skad z Twierdzenia 7.7, sgn(g_, ⁻¹) = 1 oraz sgn(f ◦g⁻¹) = sgn(f )·sgn(g⁻¹) =

(4)

1·1 = 1, czyli f ◦g⁻¹ ∈ A_n. Zatem A_njest podgrupa grupy S_, _n. Dalej, n > 2, wiec (1, 2) ∈_, S_noraz z Przyk ladu 7.4, sgn((1, 2)) = −1, wiec (1, 2) 6∈ A_, _n. We´zmy dowolne g ∈ S_n. Je´sli g 6∈ A_n, to sgn(g) = −1, skad na mocy Twierdzenia 7.7 sgn((1, 2) ◦ g) = (−1) · (−1) = 1,_, czyli f = (1, 2) ◦ g ∈ A_n. Ale (1, 2) ◦ (1, 2) = e, wiec g = (1, 2) ◦ f ∈ (1, 2)A_, _n. Oznacza to, ˙ze Sn = An∪ (1, 2)An, wiec ostatecznie (S_, n : An) = 2. Zatem ze Stwierdzenia 4.14, A_nC Sⁿ.

2 Permutacje roz laczne_,

Stwierdzenie 7.9. Dla dowolnych permutacji f, g ∈ S_n r´ownowa˙zne sa warunki:_, (i) X_f ∩ X_g = ∅,

(ii) dla ka˙zdego x ∈ {1, 2, . . . , n}: f (x) = x lub g(x) = x.

Dow´od. (i) ⇒ (ii). Za l´o˙zmy, ˙ze istnieje x ∈ {1, 2, . . . , n} taki, ˙ze f (x) 6= x i g(x) 6= x.

Wtedy x ∈ Xf i x ∈ Xg, wiec x ∈ X_, f ∩ Xg, co przeczy temu, ˙ze Xf ∩ Xg = ∅. Wobec tego dla ka˙zdego x ∈ {1, 2, . . . , n}: f (x) = x lub g(x) = x.

(ii) ⇒ (i). Za l´o˙zmy, ˙ze X_f ∩ X_g 6= ∅. Zatem istnieje x ∈ {1, 2, . . . , n} takie, ˙ze x ∈ X_f i x ∈ X_g, czyli f (x) 6= x i g(x) 6= x. Zatem mamy sprzeczno´s´c.

Definicja 7.10. Permutacje f, g ∈ Sn nazywamy roz lacznymi, je˙zeli X_, f ∩ Xg = ∅.

Stwierdzenie 7.11. Niech f, f₁, . . . , f_k ∈ S_n bed_, a takie, ˙ze permutacje f i f_, _j sa_, roz laczne dla ka˙zdego j = 1, . . . , k. W´_, owczas permutacje f i f₁ ◦ f₂ ◦ . . . ◦ f_k te˙z sa_, roz laczne._,

Dow´od. Zastosujemy indukcje wzgl_, edem k. Dla k = 1 teza jest oczywista. Niech_, k ∈ N, k > 1, bedzie takie, ˙ze teza zachodzi dla liczby k − 1. Za l´_, o˙zmy, ˙ze permutacje f i f_j sa roz l_, aczne dla ka˙zdego j = 1, . . . , k. Wtedy z za lo˙zenia indukcyjnego permutacje f_, i g = f₁◦ . . . ◦ f_k−1 sa roz l_, aczne. We´_, zmy dowolne x ∈ {1, 2, . . . , n} takie, ˙ze f (x) 6= x.

W´owczas ze Stwierdzenia 7.9, g(x) = x oraz f_k(x) = x. Ale f₁◦ . . . ◦ f_k = g ◦ f_k, wiec_, (f₁◦ . . . ◦ f_k)(x) = g(f_k(x)) = g(x) = x. Zatem permutacje f i f₁◦ . . . ◦ f_k sa roz l_, aczne._,

Stwierdzenie 7.12. Je˙zeli permutacje f, g ∈ S_n sa roz l_, aczne, to dla dowolnych liczb_, naturalnych k, l permutacje f^k i g^l te˙z sa roz l_, aczne._,

Dow´od. Na mocy Stwierdzenia 7.11 permutacje f i g^lsa roz l_, aczne. Wobec tego znowu_, na mocy Stwierdzenia 7.11 permutacje g^l i f^k sa roz l_, aczne. _,

Stwierdzenie 7.13. Je˙zeli permutacje f, g ∈ S_n sa roz l_, aczne, to_, (i) f ◦ g = g ◦ f ,

(ii) je˙zeli f ◦ g = e, to f = g = e, (iii) o(f ◦ g) = [o(f ), o(g)].

(5)

Dow´od. (i) Dla x ∈ X_n\ (X_f∪ X_g) jest f (x) = g(x) = x, wiec (f ◦ g)(x) = f (g(x)) =_, f (x) = x = g(x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x). Ponadto dla x ∈ X_f jest f (x) ∈ X_f, wiec_, f (x) 6∈ X_g oraz g(f (x)) = f (x) i f (g(x)) = f (x), bo g(x) = x, gdy˙z x 6∈ X_g. Zatem dla x ∈ X_f mamy, ˙ze (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x). Podobnie pokazujemy, ˙ze (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x) dla x ∈ Xg. Stad ostatecznie f ◦ g = g ◦ f ._,

(ii) Za l´o˙zmy, ˙ze g 6= e. Wtedy istnieje x ∈ X_n takie, ˙ze g(x) 6= x, skad x ∈ X_, _g, wiec_, g(x) ∈ X_g, czyli g(x) 6∈ X_f i f (g(x)) = g(x). Ale x = e(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = g(x) i mamy sprzeczno´s´c. Stad g = e i w konsekwencji f = e._,

Stwierdzenie 7.14. Je´sli permutacje f₁, f₂, . . . , f_k ∈ S_n (k ≥ 2) sa parami roz l_, aczne_, (tzn. dla dowolnych r´o˙znych liczb i, j ∈ {1, 2, . . . , n} permutacje f_i i f_j sa roz l_, aczne), to_, zachodzi wz´or:

o(f₁◦ f₂◦ . . . ◦ f_k) = [o(f₁), o(f₂), . . . , o(f_k)].

Dow´od. Zastosujemy indukcje wzgl_, edem naturalnego k ≥ 2. Dla k = 2 teza wynika_, ze Stwierdzenia 7.13. Niech teraz k > 2 bedzie tak_, a liczb_, a naturaln_, a, ˙ze teza zachodzi_, do liczby k − 1. Niech permutacje f₁, f₂, . . . , f_k ∈ S_n bed_, a parami roz l_, aczne. Wtedy z_, za lo˙zenia indukcyjnego dla permutacji g = f2◦ . . . ◦ fk mamy, ˙ze o(g) = [o(f2), . . . , o(fk)].

Dalej, ze Stwierdzenia 7.11 permutacje f₁ i g sa roz l_, aczne oraz f_, ₁◦ f₂◦ . . . ◦ f_k= f₁ ◦ g, wiec ze Stwierdzenia 7.13, o(f_, ₁◦ f₂◦ . . . ◦ f_k) = [o(f₁), o(g)]. Zatem o(f₁◦ f₂◦ . . . ◦ f_k) = [o(f₁), [o(f₂), . . . , o(f_k)]]. Ale z elementarnej teorii liczb wiemy, ˙ze dla dowolnych liczb naturalnych a₁, a₂, . . . , a_k (k > 2) zachodzi wz´or: [a₁, [a₂, . . . , a_k]] = [a₁, a₂, . . . , a_k], wiec_, o(f₁◦ f₂◦ . . . ◦ f_k) = [o(f₁), o(f₂), . . . , o(f_k)].

3 Rozk lad permutacji na cykle

Niech A bedzie niepustym zbiorem oraz niech b_, ₀, b₁, . . . , b_r−1 (r > 2) bed_, a r´_, o˙znymi elementami zbioru A. W´owczas permutacje postaci_,

b₀ b₁ . . . b_r−2 b_r−1 b₁ b₂ . . . b_r−1 b₀

(11) nazywamy cyklem, a liczbe r — jego d lugo´sci_, a._, Cykl (11) zapisujemy pro´sciej jako (b0, b1, . . . , br−1). Zatem transpozycje sa to dok ladnie cykle d lugo´sci 2. Z okre´slenia_, cyklu mamy od razu wz´or:

(b₀, b₁, . . . , b_r−1)(b_i) = b_i⊕_r₁ (12)

(6)

dla ka˙zdego i = 0, 1, . . . , r − 1.

Ze wzoru (12) natomiast przez prosta indukcj_, e uzyskujemy, ˙ze_,

(b₀, b₁, . . . , b_r−1)^k(b_i) = b_i⊕_r_k (13) dla k, i = 0, 1, . . . , r − 1.

Ze wzoru (13) mamy w szczeg´olno´sci, ˙ze (b0, b1, . . . , br−1)^k(b0) =

= b_k 6= b₀ dla naturalnych k < r, wiec (b_, ₀, b₁, . . . , b_r−1)^k 6= e dla naturalnych k < r.

Ponadto ze wzoru (13) wynika, ˙ze (b₀, b₁, . . . , b_r−1)^r= e. W ten spos´ob udowodnili´smy nastepuj_, ace_,

Stwierdzenie 7.15. Rzad dowolnego cyklu d lugo´_, sci r jest r´owny r.

Teraz udowodnimy, ˙ze ka˙zdy cykl d lugo´sci r jest z lo˙zeniem r − 1 transpozycji.

Stwierdzenie 7.16. Dla dowolnych ró˙znych elementów a₁, a₂, . . . , a_r ∈ A (r ≥ 2) zachodzi wzór:

(a1, a2, . . . , ar) = (a1, ar) ◦ (a1, ar−1) ◦ . . . ◦ (a1, a2). (14)

Dow´od. Indukcja wzgldem r > 2. Dla r = 2 teza jest oczywista. Je˙zeli za´s teza zachodzi dla pewnego naturalnego r ≥ 2 i a₁, a₂, . . . , a_r, a_r+1 sa r´_, o˙znymi elementami zbioru A, to z za lo˙zenia indukcyjnego

(a₁, a₃, . . . , a_r, a_r+1) = (a₁, a_r+1) ◦ (a₁, a_r) ◦ . . . ◦ (a₁, a₃), wiec_,

(a₁, a_r+1) ◦ (a₁, a_r) ◦ . . . ◦ (a₁, a₃) ◦ (a₁, a₂) = (a₁, a₃, . . . , a_r, a_r+1) ◦ (a₁, a₂) =

= a₁ a₂ a₃ . . . a_r a_r+1 a₂ a₃ a₄ . . . a_r+1 a₁

= (a₁, a₂, . . . , a_r, a_r+1).

Wniosek 7.17. Cykl jest permutacja parzyst_, a wtedy i tylko wtedy, gdy jego d lugo´_, s´c jest liczba nieparzyst_, a._,

Dow´od. Niech f = (a₁, a₂, . . . , a_r) bedzie cyklem d lugo´sci r. Wtedy ze Stwierdzenia_, 7.16 mamy, ˙ze f jest z lo˙zeniem r − 1 transpozycji. Zatem z Twierdzenia 7.7 i z Przyk ladu 7.6 mamy, ˙ze sgn(f ) = (−1)^r−1, skad mamy tez_, e. _,

Stwierdzenie 7.18. Dla dowolnych ró˙znych elementów a₀, a₁, . . . ,a_r−1 zbioru A i dla dowolnej permutacji f ∈ S(A) zachodzi wzór:

f ◦ (a0, a1, . . . , ar−1) ◦ f⁻¹ = (f (a0), f (a1), . . . , f (ar−1)). (15)

(7)

Dow´od. Oznaczmy L = f ◦ (a₀, a₁, . . . , a_r−1) ◦ f⁻¹ i P = (f (a₀), f (a₁), . . . , f (a_r−1)).

Nale˙zy wykaza´c, ˙ze L = P . Poniewa˙z f ∈ S(A), wiec wystarczy udowodni´_, c, ˙ze L(f (a)) = P (f (a)) dla ka˙zdego a ∈ A. Je´sli a ∈ A \ {a₀, a₁, . . . , a_r−1}, to L((f (a)) = [f ◦ (a₀, a₁, . . . , a_r−1)](a) = f (a) oraz f (a) 6∈ {f (a₀), f (a₁), . . . , f (a_r−1)}, wiec P (f (a)) =_, f (a).

Ponadto dla i = 0, 1, . . . , r − 1 mamy L(f (a_i)) = [f ◦ (a₀, a₁, . . . , a_r−1)](a_i) = f (a_i⊕_r₁) oraz P (f (a_i)) = f (a_i⊕_r₁).

Twierdzenie 7.19. Ka˙zda permutacja 6= e zbioru sko´nczonego A jest z lo˙zeniem parami roz lacznych cykli. Przedstawienie permutacji w postaci z lo˙zenia parami roz l_, acznych_, cykli jest jednoznaczne z dok ladno´scia do kolejno´_, sci czynnik´ow.

Dowód. Zastosujemy indukcje ze wzgl_, edu na liczb_, e n element´_, ow zbioru A. Dla n = 1 i n = 2 teza jest oczywista. Za ló˙zmy, ˙ze teza zachodzi dla permutacji zbiorów o liczbie elementów mniejszej ni˙z n. Niech f 6= e bedzie permutacj_, a zbioru n-elementowego_, A. Istnieje wtedy a ∈ A takie, ˙ze f (a) 6= a. Rozpatrzmy ciag a_, ₁ = a, a₂ = f (a₁), a3 = f (a2), . . . Poniewa˙z zbiór A jest skończony, wiec wyrazy tego ci_, agu nie mog_, a by´_, c wszystkie ró˙zne. Niech a_k+1 bedzie najwcze´sniejszym jego wyrazem r´_, ownym jednemu z wyrazów poprzednich, tzn. niech a_k+1 = a_s dla pewnego s < k + 1. Je˙zeli s > 1, to f (a_k) = a_k+1 = a_s = f (a_s−1), skad a_, _k= a_s−1, co przeczy minimalno´sci k +1. Zatem s = 1 i wobec tego elementy a₁, a₂ = f (a₁), . . . , a_k = f (a_k−1) sa r´_, o˙zne oraz f (a_k) = a_k+1 = a₁. W zapisie permutacji f przestawmy kolumny tak, aby w pierwszym wierszu na poczatku_, wystepowa ly elementy a_, 1, a2, . . . , ak. Wtedy

f = a₁ a₂ . . . a_k−1 a_k a⁰₁ . . . a⁰_n−k a2 a3 . . . ak a1 f (a⁰₁) . . . f (a⁰_n−k)

=

= (a1, a2, . . . , ak) ◦

a⁰₁ . . . a⁰_n−k f (a⁰₁) . . . f (a⁰_n−k)

.

Zatem f jest z lo˙zeniem cyklu (a₁, . . . , a_k) oraz permutacji g =

a⁰₁ . . . a⁰_n−k f (a⁰₁) . . . f (a⁰_n−k)

zbioru A⁰ = {a⁰₁, . . . , a⁰_n−k}. Na mocy za lo˙zenia indukcyjnego g = e lub g jest z lo˙zeniem sko´nczonej liczby cykli roz lacznych, z kt´_, orych ka˙zdy jest roz laczny z cyklem (a_, ₁, . . . , a_k), skad f jest iloczynem parami roz l_, acznych cykli._,

Dla dowodu drugiej cze´sci twierdzenia przypu´s´_, cmy, ˙ze permutacja f 6= e ma dwa istotnie r´o˙zne przedstawienia w postaci z lo˙zenia (iloczynu) cykli roz lacznych:_,

f = (a₁, . . . , a_k) ◦ . . . = (b₁, b₂, . . . , b_s) ◦ . . .

Niech np. cykl (b₁, b₂, . . . , b_s) bedzie r´_, o˙zny od ka˙zdego z cykli wystepuj_, acych w pierwszym_, przedstawieniu permutacji f . Poniewa˙z b₁ ∈ A, wiec element b_, ₁ nale˙zy do pewnego cyklu wystepuj_, acego w pierwszym przedstawieniu permutacji f . Ale sk ladanie cykli roz l_, acznych_, jest przemienne, wiec mo˙zna zak lada´_, c, ˙ze b₁ = a_i dla pewnego i = 1, 2, . . . , k. Ponadto

(8)

(a₁, . . . , a_i, a_i+1, . . . , a_k) = (a_i, a_i+1, . . . , a_k, a₁, . . . , a_i−1),

wiec mo˙zna zak lada´_, c, ˙ze b₁ = a₁. Wtedy b₂ = f (b₁) = f (a₁) = a₂, b₃ =

= f (b₂) = f (a₂) = a₃, itd. Wynika stad, ˙ze s = k oraz (b_, ₁, b₂, . . . , b_s) =

= (a₁, a₂, . . . , a_k). Uzyskana sprzeczno´sć kończy dowód naszego twierdzenia.

Z Twierdzenia 7.7, ze Stwierdzenia 7.14 oraz z dowodu Wniosku 7.17 wynika od razu nastpujace_,

Twierdzenie 7.20. Je˙zeli permutacja f jest z lo˙zeniem s cykli parami roz lacznych o_, d lugo´sciach r₁, r₂, . . . , r_s, to

(i) o(f ) = [r₁, r₂, . . . , r_s];

(ii) sgn(f ) = (−1)^r¹^+r²^+...+r^s^−s.

Z Twierdzenia 7.19, ze Stwierdzenia 7.16 oraz z tego, ˙ze e = (1, 2) ◦ (1, 2) wynika od razu nastepuj_, ace_,

Twierdzenie 7.21. Ka˙zda permutacja f ∈ S_n dla n > 2 jest z lo˙zeniem sko´nczonej liczby transpozycji.

Z Twierdzenia 7.7 i z Przyk ladu 7.6 mamy te˙z nastepuj_, ace_,

Twierdzenie 7.22. Permutacja f ∈ Sn dla n > 2 jest permutacja parzyst, a wtedy i_, tylko wtedy, gdy f jest z lo˙zeniem parzystej liczby transpozycji.

Stwierdzenie 7.23. Je˙zeli x, y, z, t sa r´_, o˙znymi elementami zbioru A, to w grupie permutacji S(A) zachodzi wz´or:

[(x, y, z), (x, y, t)] = (x, y) ◦ (z, t). (16)

Dow´od. Mamy

[(x, y, z), (x, y, t)] = (x, y, z)⁻¹◦ (x, y, t)⁻¹◦ (x, y, z) ◦ (x, y, t) =

= (x, z, y) ◦ (t, y, x) ◦ (x, y, z) ◦ (x, y, t) =

= x y z t y x t z

= (x, y) ◦ (z, t).

Przyk lad 7.24. Niech w grupie S₄:

V = {e, (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4) ◦ (2, 3)}. (17) Oznaczmy: a = (1, 2) ◦ (3, 4), b = (1, 3) ◦ (2, 4), c = (1, 4) ◦ (2, 3). Wtedy a² = b² = c² = e.

Ponadto a ◦ b = 1 2 3 4 4 3 2 1

= (1, 4) ◦ (2, 3) = c, b ◦ a = 1 2 3 4 4 3 2 1

= c,

(9)

wiec V jest podgrup_, a rz_, edu 4 grupy S_, ₄ (izomorficzna z grup_, a czw´_, orkowa Kleina). Dla_, f ∈ S₄ na mocy Stwierdzenia 7.18 mamy, ˙ze f ◦ a ◦ f⁻¹ = f ◦ (1, 2) ◦ (3, 4) ◦ f⁻¹ =

= [f ◦ (1, 2) ◦ f⁻¹] ◦ [f ◦ (3, 4) ◦ f⁻¹] = (f (1), f (2)) ◦ (f (3), f (4)) ∈ V i podobnie f ◦ b ◦ f⁻¹, f ◦ c ◦ f⁻¹ ∈ V . Stad V C S_, 4. Ale V ⊆ A₄, wiec V C A_, 4. Dalej, |A₄| = ^4!₂ = 12 i

|A4/V | = ^|A_{|V |}⁴^| = ¹²₄ = 3, wiec grupa A_, 4/V jest abelowa, skad z Twierdzenia 5.5, A_, ⁰₄ ⊆ V . Ponadto e = [e, e], wiec ze Stwierdzenia 7.23 ka˙zdy element grupy V jest komutatorem_, dw´och cykli d lugo´sci 3, kt´ore na mocy Wniosku 7.17 sa permutacjami parzystymi, wi_, ec_, V ⊆ A⁰₄ i ostatecznie V = A⁰₄. Z Przyk ladu 5.6 mamy zatem stad, ˙ze w grupie A_, ₄ nie istnieje podgrupa rzedu 6, chocia˙z 6 dzieli rz_, ad grupy A_, ₄.

Twierdzenie 7.25. Je˙zeli A jest zbiorem o co najmniej trzech elementach, to Z(S(A)) = {e}.

Dowód. Za ló˙zmy, ˙ze tak nie jest. Wtedy istnieje zbiór A o co najmniej trzech elementach i istnieje f ∈ Z(S(A)) takie, ˙ze f 6= e. Zatem istnieje a ∈ A takie, ˙ze f (a) 6= a.

Oznaczmy b = f (a). Wtedy a i b sa r´_, o˙znymi elementami zbioru A i zbi´or A posiada co najmniej trzy elementy, wiec istnieje c ∈ A \ {a, b}. Dalej, f ∈ Z(S(A)), wi_, ec na mocy_, Stwierdzenia 7.18 (b, f (c)) = f ◦ (a, c) ◦ f⁻¹ = (a, c), skad {b, f (c)} = {a, c}. Ale c 6= b,_, wiec c = f (c) oraz a 6= b, wi_, ec a = f (c), czyli a = c i mamy sprzeczno´s´_, c. Oznacza to, ˙ze Z(S(A)) = {e}.

Twierdzenie 7.26. Niech m, α1, α2, . . . , αs ∈ N i niech p¹, p2, . . . , ps bed_, a r´_, o˙znymi liczbami pierwszymi. W´owczas r´ownowa˙zne sa warunki:_,

(i) w grupie S_m istnieje element rzedu p_, ^α₁¹ · p^α₂² · . . . · p^α_s^s; (ii) p^α₁¹ + p^α₂² + . . . + p^α_s^s ≤ m.

Dowód. (i) ⇒ (ii). Niech f ∈ S_m bedzie elementem rz_, edu n = p_, ^α₁¹ · p^α₂² · . . . · p^α_s^s. Poniewa˙z p₁, . . . , p_s ≥ 2 oraz α₁, . . . , α_s ∈ N, wiec n > 1, sk_, ad f 6= e. Zatem f jest_, iloczynem parami roz lacznych cykli o d lugo´sciach k_, 1, k2, . . . , kr, gdzie k1+k2+. . .+kr ≤ m oraz [k₁, k₂, . . . , k_r] = n. Bez zmniejszania ogólno´sci rozwa˙zań mo˙zemy zak ladać, ˙ze istnieje liczba naturalna l ≤ r oraz istnieja liczby naturalne t_, ₁ < t₂ < . . . < t_l = s takie, ˙ze p^α₁¹ · . . . · p^α_t₁^t1|k₁, p^α_t₁^t1+1₊₁ · . . . · p^α_t₂^t2|k₂, . . . , p^α_t^tl−1+1

l−1+1 · . . . · p^α_s^s|k_l. Stad wobec l ≤ r i_, k₁+ k₂+ . . . + k_r ≤ m otrzymujemy, ˙ze

p^α₁¹ · . . . · p^α_t₁^t1 + p^α_t₁^t1+1₊₁ · . . . · p^α_t₂^t2 + . . . + p^α_t_l−1^tl−1+1₊₁ · . . . · p^α_s^s ≤ m. (18) Nasza implikacja bedzie wi_, ec udowodniona, je´sli poka˙zemy, ˙ze x_, 1· . . . · xk ≥ x1+ . . . + xk

dla dowolnych liczb naturalnych x₁, . . . , x_k ≥ 2. Dla k = 1 ta nierówno´sć jest oczywista, a dla k = 2 wynika ona z to˙zsamo´sci x₁· x₂ − (x₁+ x₂) = (x₁ − 1) · (x₂− 1) − 1. Przy za lo˙zeniu, ˙ze ta nierówno´sć zachodzi dla pewnej liczby naturalnej k we´zmy dowolne liczby naturalne x₁, . . . , x_k, x_k+1 ≥ 2. Wtedy z kroku dla k = 2 oraz z za lo˙zenia indukcyjnego mamy, ˙ze (x₁· . . . · x_k) · x_k+1 ≥ x₁· x₂· . . . · x_k+ x_k+1 ≥ x₁+ x₂+ . . . + x_k+ x_k+1. Wobec tego na mocy zasady indukcji mamy udowodniona nasz_, a nier´_, owno´sć dla dowolnego k ∈ N.

(10)

(ii) ⇒ (i). Z za lo˙zenia wynika, ˙ze cykle σ₁ = (1, 2, . . . , p^α₁¹), σ₂ = (p^α₁¹+ 1, . . . , p^α₂²), . . . , σ_s = (p^α_s−1^s−1 + 1, . . . , p^α_s^s), sa parami roz l_, aczne, nale˙z_, a do S_, _m i ich d lugo´sciami sa od-_, powiednio p^α₁¹, p^α₂², . . . , p^α_s^s. Zatem rzad permutacji f b_, ed_, acej z lo˙zeniem tych cykli jest_, r´owny [p^α₁¹, p^α₂², . . . , p^α_s^s] = p^α₁¹ · p^α₂² · . . . · p^α_s^s.

Twierdzenie 7.27. Niech f, σ ∈ S_m, gdzie σ = (a₀, a₁, . . . , a_k−1). W´owczas f ◦ σ =

= σ ◦ f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje i ∈ Zk takie, ˙ze f (a_j) = a_j⊕_k_i dla ka˙zdego j = 0, 1, . . . , k − 1. W szczeg´olno´sci w grupie S_m istnieje dok ladnie k · (m − k)! permutacji przemiennych z cyklem d lugo´sci k.

Dow´od. We´zmy dowolne f ∈ Sm. Wtedy f ◦ σ = σ ◦ f ⇔ f ◦ σ ◦ f⁻¹ = σ. Ale ze Stwierdzenia 7.18 mamy f ◦ σ ◦ f⁻¹ = (f (a₀), f (a₁), . . . , f (a_k−1)), wiec_,

f ◦ σ = σ ◦ f ⇔ (a₀, a₁, . . . , a_k−1) = (f (a₀), f (a₁), . . . , f (a_k−1)). (19) Je´sli f spe lnia (19), to {a₀, a₁, . . . , a_k−1} = {f (a₀), f (a₁), . . . , f (a_k−1)}, skad_,

f (x) ∈ {a₀, a₁, . . . , a_k−1} dla ka˙zdego x ∈ {a₀, a₁, . . . , a_k−1} (20) oraz

f (x) ∈ {1, 2, . . . , m}\{a₀, a₁, . . . , a_k−1} dla ka˙zdego x ∈ {1, 2, . . . , m}\{a₀, a₁, . . . , a_k−1}.

(21) Wobec tego dla A = {a0, a1, . . . , ak−1} mamy, ˙ze f |A jest permutacja zbioru A i_, f |({1, 2, . . . , n} \ A) jest permutacja zbioru {1, 2, . . . , n} \ A. Ponadto istnieje i ∈ Z_, k

takie, ˙ze f (a₀) = a_i, co wobec wzoru (19) daje, ˙ze f (a₁) = σ(a_i) = a_i⊕_k₁. Je´sli dla pewnego j ∈ Zk, j < k − 1 jest f (a_j) = a_i⊕_k_j, to f (a_j+1) = σ(a_i⊕_k_j) = a_i⊕_k⊕_k1 = a_i⊕_k_(j+1). Wobec tego przez indukcje mamy st_, ad, ˙ze f (a_, _j) = a_j⊕_k_i dla ka˙zdego j = 0, 1, . . . , k − 1.

Na odwr´ot, je´sli dla pewnego i ∈ Zk jest f (a_j) = a_j⊕_k_i dla ka˙zdego j = 0, 1, . . . , k − 1, to (f (a₀), f (a₁), . . . , f (a_k−1)) = (a_i, a_i⊕_k₁, . . . , a_i⊕_k_(k−1)) = (a₀, a₁, . . . , a_k−1). Wobec tego na mocy (20) i (21) istnieje dok ladnie k · (m − k)! permutacji przemiennych z cyklem σ.

Zagadka 1. Wyznacz wszystkie permutacje f ∈ S₅ przemienne z cyklem σ = (5, 4, 3).

Zagadka 2. Wyznacz wszystkie permutacje f ∈ S₈ przemienne z permutacja g =_, (1, 3) ◦ (5, 4, 8).

Zagadka 3. Dla jakich m ∈ N w grupie S^m istnieje element rzedu 2160?_,

Zagadka 4. W grupie S₈ wyznacz permutacje π tak_, a, ˙ze (1, 8, 4, 3) ◦ (2, 5, 3) ◦ (3, 1, 4) ◦_, (1, 5) ◦ π ◦ (1, 8, 4, 3) ◦ (2, 5, 3)⁻¹ = (1, 2, 3, 4, 5) ◦ (2, 3, 4, 5, 6)⁻¹. Wypisz wszystkie inwersje permutacji π, oblicz jej znak i jej rzad w grupie S_, ₈.

Zagadka 5. Udowodnij, ˙ze ka˙zda permutacja nieparzysta f ∈ S_m ma rzad parzysty._,

(11)

Zagadka 6. Dla jakich liczb naturalnych n w grupie S₁₂ istnieje element rzedu n?_, Zagadka 7. W grupie S₁₁ znajd´z dwie permutacje nieparzyste f i g rzedu 30, kt´_, ore maja r´_, o˙zne liczby punkt´ow sta lych.