PROSTE PRZESTRZENI RZUTOWEJ KWADRYKA PLÜCKERA

(1)

UNIWERSYTET WARMIŃSKO-MAZURSKI W OLSZTYNIE

WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI

KIERUNEK : MATEMATYKA

AGNIESZKA MATUSIEWICZ

PROSTE PRZESTRZENI RZUTOWEJ KWADRYKA PLÜCKERA

PRACA MAGISTERSKA WYKONANA W ZAKŁADZIE ALGEBRY I GEOMETRII

POD KIERUNKIEM DR M. GERMANIUKA

(2)

SPIS TREŚCI :

1. Wstęp ...3

2. Wiadomości wstępne ...5

3. Własności macierzy skośno symetrycznych ...8

4. Współrzędne plückerowskie prostej przestrzeni Pⁿ...15

5. Kwadryka plückera współrzędnych plückerowskich prostych ...25

6. Dwie proste posiadające punkt wspólny ...32

7. Twory rzutowe prostych ...35

8. Bibliografia ...39

(3)

WSTĘP

Juliusz Plücker urodził się 16 czerwca 1801.

Kształcił się w Heidelbergu , Berlinie i Paryżu . Został profesorem matematyki w Halle w 1834 roku ,

następnie w Bonn w 1836 roku . Włożył duży wkład w analityczną geometrię i fizykę . Zapoczątkował badania nad geometrią algebraiczną .

Praca poświęcona jest prostym w przestrzeni rzutowej Pⁿ i ich związkom z punktami zbioru rzutowego składającego się

z punktów , których współrzędne jednorodne są współrzędnymi

plückerowskimi prostej . Przedstawione są różnego rodzaju związki w postaci układów równań i wzorów . Istotnym elementem pracy jest ujęcie zagadnień w postaci macierzy i rachunku macierzowego .

Takie ujęcie umożliwia dokładny opis i ułatwia dowody twierdzeń , które w końcowym efekcie pozwalają na uzyskanie twierdzenia 4.1 i określenia odwzorowania plückerowskich prostych .

W rozdziałach III i IV , VI wszystkie twierdzenia i lematy są dokładnie udowodnione . W rozdziale V jest przedstawione

odwzorowanie plückera prostych z wykorzystaniem twierdzeń przedstawionych w rozdziałach III i IV. Uzupełniono także pewne własności z dowodami dotyczące tego odwzorowania .

W wiadomościach wstępnych są przedstawione podstawowe definicje

i twierdzenia z dziedziny geometrii algebraicznej , które łącznie z odwzorowaniem plückera prostych można wykorzystać do innych

(4)

Przykład takiego wykorzystania został przedstawiony w rozdziale VII do badania tworów algebraicznych prostych .

(5)

Rozdział I

WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Definicja 1.1

Przestrzenią rzutową n -wymiarową Pⁿ nad ciałem k nazywamy zbiór , którego elementy są warstwami w zbiorze

 

   











 









 



 

 1

2 1 0

1 01 000 0

n i

n

n x x x x x k dla i k

V , , ,..., : , ,..., \ , , ,...,

względem relacji równoważności :



x₀,x₁,x₂,...,x_n

 

 y₀,y₁,y₂,..., y_n



wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k taka, że x_i y_i dla i0,1,...,n czyli : ^Pⁿ ^^Vⁿ^1_

Przestrzeń rzutową można określić w inny sposób :



^¹



 ⁿ

n P K

P ,

gdzie operacja rzutowości P jest operacją „ brania „ wszystkich podprzestrzeni liniowych wymiaru 1 w przestrzeni liniowej n+1 wymiarowej Kⁿ⁺¹ nad ciałem k.

Warstwę wyznaczoną przez element



x₀,x₁,...,xn



lub podprzestrzeń liniową wymiaru 1 wyznaczoną przez element



x₀,x₁,...,xn



będziemy oznaczać:



x₀:x₁:...:xn



.

(6)

Definicja 1.2

Zbiorem rzutowym w przestrzeni rzutowej Pⁿ nazywamy zbiór rozwiązań układu równań :



x ,x ,...,x



, i , ,...,k, F_i ₀ ₁ _n 0 12

gdzie Fi – wielomiany jednorodne.

Zbiory rzutowe w przestrzeni Pⁿ tworzą topologię zbiorów domkniętych tak zwaną topologię zariskiego.

Jeżeli w układzie równań określający zbiór rzutowy wielomiany jednorodne są stopnia pierwszego to wyznaczony zbiór rzutowy będzie zbiorem liniowym.

Jeżeli A jest macierzą główną układu równań wielomianów

jednorodnych stopnia pierwszego i rząd macierzy A, r ( A ) = k oraz L jest zbiorem liniowym wyznaczonym przez ten układ to dim L = n – k.

Jeżeli r ( A ) = n – 1, to dim L =1 i wtedy zbiór liniowy będzie prostą.

Twierdzenie 1.1

Podzbiór X PⁿP^m jest zbiorem domkniętym ( zbiorem rzutowym ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem rozwiązań układu równań :



x ,x ,...,x ;y ,y ,..., y



, i , ,...,k, G_i ₀ ₁ _n ₀ ₁ _m 0 12

gdzie Gi – wielomiany jednorodne ze względu na każdy system zmiennych z osobna.

Definicja 1.3

Niech f : X→Pⁿ będzie odwzorowaniem wymiernym ze zbioru rzutowego X . Odwzorowanie to można przedstawić w postaci :

(7)

 

x



F

   

x F X F

 

x



f  ₀ : ₁ :...: _n ( 1.1 ) gdzie Fi – wielomiany jednorodne tego samego stopnia.

Inne przedstawienie :

 

x



G

 

x G

 

X G

 

x



f  ₀ : ₁ :...: _n

wyznacza to samo odwzorowanie wymierne wtedy i tylko wtedy, gdy na zbiorze X zachodzi równość :

F_iG_j = F_jG_i 0i,jn.

Odwzorowanie wymierne jest regularne dla xX , jeżeli istnieje przedstawienie w postaci ( 1.1 ) , w którym dla pewnego i,

. )

( 0

0in F_i x 

Odwzorowanie wymierne jest odwzorowaniem regularnym na zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwzorowaniem

regularnym dla każdego punktu xX.

Twierdzenie 1.2

Jeżeli zbiory rzutowe są rozpatrywane nad ciałem algebraicznie

domkniętym to obraz zbioru rzutowego w odwzorowaniu regularnym jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie 1.3

Niech f :X Y będzie odwzorowaniem regularnym zbiorów rzutowych nierozkładalnych „ na „ zbiór Y oraz dim X = r i dim Y = m. Wtedy : 1. dim f^1

 

y rm dla każdego yY.

2. Zbiór



yY:dim f^1

 

y rm



jest domknięty w zbiorze Y.

3. Zbiór



^y^^Y^:^dim ^f^1

 

^y ^^r^^m



jest otwarty i niepusty.

(8)

ROZDZIAŁ II

WŁASNOŚCI MACIERZY SKOŚNO SYMETRYCZNYCH

Rozpatrzmy zbiory P_n



n1, nZ



macierzy kwadratowych

 

P =

 

pi_,j gdzie i, j0,1,...,n zaliczając macierz

 

P do zbioru P_n wtedy i tylko wtedy, jeżeli jej elementy p_i_,_j posiadają następujące własności :

Własność 1 0

0 0

2 



  n

i n

j j

pi_, ( 2.1 )

Własność 2 p_i_,_j p_j_,_i dla i,j = 0,1,...,n ( 2.2 )

Własność 3 p_h_,_kp_l_,_m p_h_,_lp_m_,_k  p_h_,_mp_k_,_l 0 ( 2.3 ) dla h,k,l,m = 0,1,...,n .

Własność ( 2.2 ) oznacza, że każda macierz

 

P P_n jest macierzą skośnie symetryczną, to znaczy można ją przedstawić w postaci :

 

P =















0 0

2 1

0

2 2

1 2

0

1 2

1 1

0

0 2

0 1

0

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

. ...

..

...

..

...

..

...

..

...

. ...

..

...

..

...

..

...

, ,

,

, ,

,

, ,

,

, ,

,

n n

n

n n n

p p

p

p p

p

p p

p

p p

p

( 2.4 )

(9)

Oznaczenia pomocnicze dla elementów p_i_,_j macierzy skośnie symetrycznych:

Przez sgn ( k,l,m ) rozumieć będziemy liczbę +1 jeśli liczby k,l,m tworzą permutację parzystą oraz liczbę –1 jeśli liczby k,l,m tworzą permutację nieparzystą , dla liczb k,l,m nieujemnych całkowitych i k lml.

Niech p₍ⁱ_k_,_l_,_m₎ 0

dla i= 0,1,...,n; i k,il,im oraz

 

_k_l

m m l k

m k l

m l k

p l k m p

p m k l p

p m l k p

, )

, , (

, )

, , (

, )

, , (

, , sgn













( 2.5 )

dla k lmk i k ,,l mZ_. Wniosek :

Jeśli p_i_,_j p_j_,_i dla i,j = 0,1,...,n, to p₍ⁱ_a₁_,_a₂_,_a₃₎  p₍ⁱ_k_,_l_,_m₎ dla i,k,l,m = 0,1,...,n. ( 2.6 )

gdzie



a₁,a₂,a₃



jest dowolną permutacją liczb ( k, l, m ) i k lmk.

Przez



P(k,l,m)



( gdzie liczby k,l,m są liczbami całkowitymi nieujemnymi, niewiększe od n i są różne ) rozumieć będziemy macierz jednowierszową o n+1 elementach p₍ⁱ_k_,_l_,_m₎, gdzie i= 0,1,...,n czyli :



P₍k_,l_,m₎

 

 p₍⁰k_,l_,m₎,p₍¹k_,l_,m₎,..., p₍ⁿk_,l_,m₎



( 2.7 ) dla k,l,m = 0,1,...,n, k l mk.

(10)

Przez  Ph ( gdzie liczba h jest liczbą całkowitą nieujemną ,

niewiększą od n ) rozumieć będziemy macierz jednowierszową o n+1 elementach , równych elementom h-tego wiersza macierzy

 

^P ,

określonej wzorem ( 2.4 ) , czyli :

 

Ph 



ph_,₀,ph_,₁,..., ph_,n



( 2.8 ) dla h = 0,1,...,n.

Przez

  P

_h ^T oznaczymy macierz transponowaną macierzy

  P

_h .

Lemat 2.1

Jeżeli macierz

 

P =

 

pi_,j (i,j=0,1,...,n) należy do zbioru Pn , to wyznaczniki macierzy

 

Ph



P_k_,l_,m_



^T i macierzy



P_k_,l_,m_

  

Ph ^T są równe

zeru dla h,k,l,m = 0,1,...,n , gdzie liczby k,l,m, są różne czyli :

 

Ph



P_k_,l_,m_



^T ^⁰ i



P__k_,_l_,_m_

  

P_h ^T 0 ( 2.9 )

Dowód lematu 2.1

Wystarczy pokazać, że liczby ⁿ ^j_k_l_m

j j

h p

p _,  ₍ _,_, _,₎



0

są równe zeru, gdy liczby k, l ,m są różne.

Korzystając ze wzoru ( 2.5 ) , mamy :





















l k m h m

k l h

m l k h j

m l k n

o j

j h

p p l k m p

p m k l

p p m l k p

p

, , ,

,

, , )

, , ( ,

) , , sgn(

=sgn(k,l,m)(p_h_,_kp_l_,_mp_h_,_lp_m_,_k p_h_,_mp_k_,_l).

Ponieważ sgn



l,k,m



sgn



k,l,m



i p_k_,_m p_m_,_k oraz sgn



m,k,l



sgn



k,l,m



.

(11)

Z założenia lematu ( 2.1 ), macierz

 

pi_,j (i,j= 0,1,...,n ) należy do zbioru Pn , a więc na podstawie własności ( 2.3 ) mamy ostatecznie :

0









j m l k n

j j

h p

p _, ₍ _,_, ₎

dla h,k,l,m = 0,1,...,n , k l mk.

Oznaczenie :

Niech  ^R oznacza macierz o n+1 kolumnach i _



 



  3 1

n wierszach, których elementy są równe kolejno elementom macierzy :



P(₀,₁,₂)



, P(₀,₁,₃)

 

,..., P(₀,₁,_n)



, P(₀,₂,₃)



, P(₀,₂,₄)

 

,...., P(₀,_n_₁,_n)



, P(₁,₂,₃)

 

,..., P(_n_₂,_n_₁,_n)



określonych wzorem ( 2.7 ), czyli :

 

R 

   















n n n n

n n

n n n n

n n n

n

n n

p p p

p p p p

p

p p

) , , (

) , , ( )

, , (

, , ,

,

, , ,

,

, , ,

,

) , , ( )

, , (

) , , ( )

, , (

..

...

..

...

1 2

3 2 1

1 0

3 2 0

1 0

3 1 0

2 1 0

0 1 2

1 3 2 1 0

3 2 1

1 1 0 0

1 0

1 3 2 0 0

3 2 0

1 1 0 0

1 0

1 3 1 0 0

3 1 0

1 2 1 0 0

2 1 0

( 2.10 )

Twierdzenie 2.1

Jeżeli macierz

 

pi_,j ( i,j=0,1,...,n) należy do zbioru Pn , to rząd

macierzy

 

R określonej wzorem ( 2.10 ) jest równy : n-1 .

(12)

Dowód twierdzenia 2.2

Jeżeli macierz

 

pi_,j ( i,j = 0,1,...,n) należy do zbioru Pn , to z własności ( 2.1 ) wynika, że istnieją takie dwie liczby całkowite

nieujemne s i t obie niewiększe od n i s < t , że :

P_s_,_t 0 ( 2.11 ) Niech  ^R oznacza macierz o n+1 kolumnach i n-1 wierszach,

których elementy są równe kolejno elementom macierzy :

 

P₀,_s,_t ,



P(₁,_s,_t)



, P(₂,_s,_t)

 

,...,P(_s_₁,_s,_t)



, P(_s_₁,_s,_t)

 

,...,P(_t_₁,_s,_t)

 

,...,P(_t_₁,_s,_t)

 

,...,P(_n,_s,_t)



określonych wzorem ( 2.7 ) czyli :

 

R 

     

   

 

      



















n t s n t

s n t

s n

t s t

t s s

n t s t

s

n t s t

s t

s

p p

p p p p p

p p

p

, , ,

, ,

, , ,

, ,

, , ,

,

, , ,

, ,

,

...

..

...

....

...

..

...

..

...

....

...

..

...

....

...

..

...

..

...

....

...

..

...

..

...

..

...

....

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

..

...

. ...

...

..

...

..

...

1 0

0 1 0

1 0

1

1 0

1

0 1

0 0

0

( 2.12 )

Z zależności ( 2.6 ) wynika, że macierz {R’} powstała z macierzy {R}

wskutek skreślenia ^_^{ }ⁿ₃¹^_^^ⁿ^¹ jej wierszy i wskutek skończonej ilości

transpozycji powstałych wierszy.

Przez {R”} oznaczamy macierz powstałą z macierzy {R’}

w wyniku skreślenia kolumn o numerach s i t . Macierz {R”} jest macierzą kwadratową o n-1 wierszach i n-1 kolumnach.

(13)

Ze wzorów ( 1.5 ) wynika , że jedynie elementy : ^p⁽^k^k^,^s^,^t⁾ dla k = 0,1,...,n , s  k  t

leżące na głównej przekątnej macierzy {R”} , mogą być różne od zera . Ze wzorów ( 2.5 ) i ( 2.11 ) mamy :

0 )

, ,

sgn( _,

) , ,

(^k_k_s_t  k s t p_s_t 

p

dla k = 0,1,...,n , s  k  t,

skąd wnioskujemy , że wyznacznik n- 1 stopnia macierzy {R”} jest różny od zera .

Ponieważ macierz {R”} jest podmacierzą macierzy {R} wykazaliśmy, że rząd r {R} macierzy {R} jest większy lub równy n-1 , czyli :

r

 

R n1 ( 2.13 )

Niech {J} oznacza macierz kwadratową o n+1 wierszach i n+1 kolumnach, która powstała z macierzy jednostkowej rzędu n+1 przez zastąpienie elementów s-tego i t- tego jej wiersza

elementami macierzy {P_s} i {P_t} , określonych wzorem ( 2.8 ).

Wyznacznik macierzy { J}, wobec nierówności 0  s < t  n , ma wartość :

 

²_s_t

t t s t

t s s

s p

p p

p

J p _,

, ,

,

, 



stąd , wobec nierówności ( 2.11 ) , wynika , że rząd macierzy J

jest równy n+1 .

Niech K oznacz macierz równą iloczynowi macierzy R określonej wzorem ( 2.10 ) przez macierz  J ^T .

Elementami s-tej i t-tej kolumny macierzy K są liczby :



P_k_,l_,m_

  

Ps ^T oraz



P_k_,l_,m_

  

Pt ^T

(14)

Ponieważ macierz

 

pi_,j ( i,j = 0,1,...,n) spełnia założenia lematu ( 2.1), to na mocy tego lematu wszystkie elementy s-tej i t-tej kolumny macierzy K są równe zeru, skąd wynika, że :

^r

 

^R ^ⁿ^¹ ( 2.14 ) Wobec nierówności ( 2.13 ) i ( 2.14 ) mamy ostatecznie :

^r

 

^R ^ⁿ^¹

(15)

ROZDZIAŁ III

WSPÓŁRZĘDNE PLÜCKEROWSKIE PROSTEJ PRZESTRZENI P

ⁿ

W przestrzeni rzutowej rzeczywistej Pⁿ obieramy dwa dowolne punkty :



r r rn



R ₀: ₁:...:



s s s_n



S  ₀: ₁:...: ( 3.1 )

Punkty R i S wyznaczają w tej przestrzeni prostą RS . Niech R^’ i S^’ będą dowolnymi różnymi punktami prostej RS.

Punkty te można przedstawić w postaci :



a r b s a r b s a rn b sn



R^'  ₁ ₀ ₁ ₀: ₁ ₁ ₁ ₁:...: ₁  ₁ ( 3.2 )



a r b s a r b s a rn b sn



S^'  ₂ ₀  ₂ ₀: ₂ ₁ ₂ ₁:...: ₂  ₂ gdzie liczby a1 i b1 oraz a2 i b2 nie znikają równocześnie . Jeżeli R^' S^' mamy :

c= 0

2 2

1

1 

b a

b

a ( 3.3 ) Jeżeli R’=S’ mamy :

0

2 2

1

1 

b a

Przez

0



 



 i B

n

i rozumieć będziemy wyznacznik n+1 stopnia, którego elementy znajdujące się w i-tym wierszu są równe współrzędnym punktu :



nⁱ



i i

Bi  ₀,₁,..., dla i=0,1,...,n ( 3.4 )

(16)

Przez

) , , ( ' '

0 , , ,

m l k

i

i S R X B

n





 



 rozumieć będziemy wyznacznik powstały

z wyznacznika

0



 



 i

B n

i przez zastąpienie elementów k-tego wiersza współrzędnymi punktu X , elementów l-tego wiersza współrzędnymi punktu R’ oraz elementów m-tego wiersza współrzędnymi punktu S’ . Mamy więc :







     











 





l k

l k m k m

k m l m l

m l k

m l k m

l k

i

s s

r x r

s s

r x r

s s

r x r

c

s s s

r r r

x x x b a

b a i

S R X B

n

2 2

1 1

0

) , , (

' ', , ,

Oznaczając :

r s r s dla i j n

s s

r p r

p _i _j _j _i

j i

j i i j j

i_,  _,      , 0,1,..., ( 3.5 )

mamy :

 



k lm l mk m kl



m l k

i c x p x p x p

i

S R X B

n

, ,

,

' , ' ,

,       





 





0

( 3.6 )

Twierdzenie 3.1

Elementy p_i_,_j r_i s_j r_j s_i, 0i, jn

macierzy

 

pi_,j (i,j = 0,1,...,n ) wyznaczają jednoznacznie, poprzez układ złożony z ^{ }ⁿ ¹^

(17)

0











 _l_m _l _m_k _m _k_l

k p x p x p

x _, _, _, ; 0kl mn, ( 3.7 ) prostą RS w przestrzeni Pⁿ.

Lemat 3.1

Liczby pi,j określone wzorem ( 3.5 ) są wyznaczone z dokładnością do proporcjonalności przez punkty R i S .

Dowód lematu 3.1

Zastępując układy liczb ro , r1 , ... , rn

so , s1 , ... , sn układami

ar₀,ar₁,...,ar_n ^b^^s⁰^,^b^^s¹^,...,^b^^sⁿ

gdzie liczby a i b są liczbami rzeczywistymi i a·b  0 , mamy :

j i j

i

j i

j

i a b p

s b s b

r a r

p^'_, a    _,



 







 

dla i,j = 0,1,…..,n .

Liczby pi,j nie zależą również od wyboru punktów prostej RS.

Jeśli punkty R i S zastąpimy punktami R’ i S’ ( 3.2 ), to mamy :

, ,..., , ,

, '

,

n j

i dla

p s c

b r a s b r a

s b r a s b r

p a _i _j

j j

i i

j j

i i

j i

1 0

2 2

1 1

































 

gdzie liczba c jest określona wzorem ( 3.3 ).