AUTOMATYZACJA PROCESÓW DYSKRETNYCH 2014 Mariusz MAKUCHOWSKI Politechnika Wrocławska

(1)

Mariusz MAKUCHOWSKI Politechnika Wrocławska

PROBLEM PRZEPŁYWOWY: PERMUTACYJNY, BEZ CZEKANIA, BEZ PRZESTOJÓW

Streszczenie. W pracy porównuje si˛e harmonogramy ró˙znych wariantów problemu przepływowego; problemu permutacyjnego, bez czekania i bez przestojów.

Ocenia si˛e wpływ danego ograniczenia na wydłu˙zenie harmonogramu oraz ko- relacj˛e długo´sci harmonogramów dla wymienionych wariantów. Bada si˛e rów- nie˙z efektywno´s´c zestawu algorytmów typu wstaw. Do eksperymentów nume- rycznych wykorzystuje si˛e znane z literatury przykłady testowe.

FLOW SHOP PROBLEM: PERMUTATION, NO-WAIT, NO-IDLE

Summary. The paper compares the schedules of different variants of the flow shop problem, namely permutation, no waiting and no idle flow shop problems.

It assesses the impact of the constraints on the extension of the schedules and on correlations of the length of the schedules for these variants. It also examines the effectiveness of a set of insert type algorithms. The efficiency of the algorithms is tested on well–known literature benchmarks.

1. Wst˛ep

Problem przepływowy jest sztandarowym problemem w teorii szeregowania za- dań. Od kilkudziesi˛eciu lat cieszy si˛e on du˙zym zainteresowaniem zarówno ze strony teoretyków jak i praktyków. Modeluje on wiele rzeczywistych systemów przemysło- wych np. ta´smowe linie produkcyjne. W ogólnym problemie przepływowym nale˙zy wykonać okre´slon ˛a liczb˛e zadań produkcyjnych. Maszyny ustawione s ˛a w tzw. ci ˛agu technologicznym a ka˙zda maszyna odpowiedzialna jest za wykonanie okre´slonego eta- pu produkcyjnego. Zadania wykonywane s ˛a na wszystkich maszynach, przy czym mar- szruta technologiczna (kolejno´sć odwiedzania maszyn przez zadanie) jest identyczna dla wszystkich zadań. Harmonogramowanie zadań w systemie przepływowym polega na wyznaczeniu dopuszczalnych momentów rozpocz˛ecia i zakończenia wykonywania wszystkich z zadań na poszczególnych maszynach. Celem optymalizacji jest wybra- nie takiego harmonogramu aby był on najlepszy w sensie zadanego kryterium. Spo´sród istniej ˛acych kryteriów jednym z najcz˛e´sciej badanych jest kryterium minimalizacji dłu- go´sci harmonogramu, czyli minimalizacji czasu zakończenia realizacji wszystkich za- dań. Harmonogram w którym kolejno´sć wykonywania zadań na ka˙zdej z maszyn jest jednakowa, nazywany jest harmonogramem permutacyjnym. Czasami pomimo, i˙z pro- dukcja pozwala na wykonywanie harmonogramów niepermutracyjnych, to nakłada si˛e sztuczne ograniczenie aby rozwi ˛azanie było rozwi ˛azaniem permutacyjnym. Post˛epowa-

(2)

nie takie posiada zalety w postaci zmniejszenia przestrzeni rozwi ˛aza´n oraz zwi˛ekszenia efektywno´sci pracy algorytmów. Niestety w niektórych przypadkach instancji zało˙zenie te pozbawia nas mo˙zliwo´sci znalezienia rozwi ˛azania optymalnego.

2. Model matematyczny

Dany jest zbiór n zadań J = {1, 2, . . . , n} oraz zbiór m maszyn M = {1, 2, . . . , m}. Ka˙zde zadanie j ∈ J ma być wykonane kolejno na maszynie, w ko- lejno´sci zgodnej z numeracj ˛a maszyn. Proces wykonywania zadania j ∈ J na maszynie l ∈ M nazywamy operacj ˛a i notujemy jako par˛e (j, l). Dla ka˙zdej operacji (j, l) da- ny jest p_j,l > 0 czas jej realizacji. Podstawowe zało˙zenia dotycz ˛ace produkcji to: (i) operacje wykonuje si˛e bez przerw, (ii) maszyna mo˙ze wykonywać co najwy˙zej jedn ˛a operacj˛e w danym momencie, (iii) nie mo˙zna równocze´snie wykonywać kilku opera- cji tego samego zadania. Harmonogramem dopuszczalnym nazywamy S(j, l) momenty rozpocz˛ecia i/lub C(j, l) momenty zakończenia wykonywania operacji (j, l), l ∈ M , j ∈ J spełniaj ˛ac ˛a wszystkie wymienione powy˙zej ograniczenia. Pomi˛edzy momenta- mi rozpocz˛ecia i zakończenia ka˙zdej z operacji zachodzi: C(j, l) = S(j, l) + pj,l. Dla ka˙zdego dopuszczalnego harmonogramu mo˙zna wyznaczyć funkcj˛e jego oceny. W ni- niejszej pracy rozpatrywane kryterium to C_maxmoment wykonania wszystkich operacji;

Cmax= maxj∈JC(j, m). Problem polega na znalezieniu harmonogramu dopuszczalnego minimalizuj ˛acego wybrane kryterium.

2.1. Przypadki szczególne problemu przepływowego

Uwzgl˛ednienie dodatkowych zało˙zeń odno´snie produkcji, powoduje nało˙zenie dodatkowych wymagań (ograniczeń) wzgl˛edem poszukiwanego harmonogramu. Ze wzgl˛edu na dodatkowe ograniczenia problem przepływowy tworzy nowe szczególne przypadki. W niniejszej pracy porównywać b˛edziemy ze sob ˛a trzy przypadki szczegól- ne:

• permutacyjny problem przepływowym (ang. permutation flow shop problem) - w którym wymaga si˛e aby kolejno´s´c wykonywania zada´n na wszystkich maszynach była jednakowa, [4, 5];

• problem przepływowy bez czekania (ang. no-wait flow shop problem) - w którym

˙z ˛ada si˛e aby rozpocz˛ecie wykonywania danego zadania na kolejnej maszynie roz- poczynało si˛e bezzwłocznie po zako´nczeniu obróbki na maszynie wcze´sniejszej, [6, 9];

• (permutacyjny) problem przepływowym bez przestojów (ang. no-idle flow shop problem) - ˙z ˛ada si˛e, aby ka˙zda z maszyn pracowała bez przestoju, [2, 8].

Kolejne wymienione problemy w notacji Grahama [3] oznacza si˛e jako F^∗||C_max, F |no − wait|C_maxi F |no − idle|C_max. Własno´sci problemu bez czekania wymuszaj ˛a, i˙z rozwi ˛azanie dopuszczalne jest z definicji rozwi ˛azaniem permutacyjnym. Przeciwnie, sa- mo ograniczenie bez przestojów nie wymusza permutacyjnego charakteru harmonogramu. Jednak˙ze, w dalszej cz˛e´sci pracy odnosz ˛ac si˛e do rozwi ˛aza´n bez przestojów, b˛edziemy mieli na uwadze wył ˛acznie permutacyjne harmonogramy bez przestojów. Najcz˛e-

´sciej dodatkowe ograniczenia bez czekania i bez przestojów wydłu˙zaj ˛a harmonogram, lecz nie jest to reguł ˛a. Inne bardzo ciekawe własno´sci powy˙zszych problemów opisane

(3)

Harmonogram permutacyjny

maszyna 1 J₁ J₂ J₃

Harmonogram z ograniczeniem bez czekania

Harmonogram z ograniczeniem bez przestojów

Rys. 1. Harmonogramy problemu przepływowego z dodatkowymi ograniczeniami s ˛a w pracy [1]. Przykładowe harmonogramy analizowanych problemów przedstawione zostały na rys. 1.

2.2. Model perutacyjno–grafowy

W ka˙zdym z wymienionych powy˙zej przypadków, dopuszczalny harmonogram mo˙ze być jednoznacznie zdefiniowany przez sekwencj˛e wykonywania zadań. Dlatego wygodnie jest stosować model permutacyjno–grafowy, w którym zmienn ˛a decyzyjn ˛a jest permutacja π zbioru zdań J ; π = (π(1), π(2), . . . , π(n)). Zbiór wszystkich mo˙z- liwych permutacji oznaczamy przez Π. Warto´sci ˛a kryterium jest długo´sć najdłu˙zszej

´scie˙zki w skierowanym grafie:

G(π) = (J × M, E^T ∪ E^K(π)). (1)

Wierzchołek (j, l), j ∈ J , l ∈ M reprezentuje operacj˛e (j, l) i ma obci ˛a˙zenie pj,l. Zbiór nieobci ˛a˙zonych łuków E^T reprezentuje zbiór ogranicze´n technologicznych;

E^T = ^[

j∈J m [

l=2

n(j, l − 1), (j, l)^o. (2)

(4)

π(1), 1

π(1), 2

...

π(1), m

π(2), 1

π(2), 2

...

π(2), m

· · ·

π(n),1

π(n),2

...

π(n), m

maszyna 1

maszyna 2 ...

maszyna m

zadanie π(1) · · · zadanie π(n) a)

π(1), 1

π(1), 2

...

π(1), m

π(2), 1

π(2), 2

...

π(2), m

· · ·

π(n),1

π(n),2

...

π(n), m

N W_π(1) N W_π(n)

b)

π(1), 1

π(1), 2

...

π(1), m

π(2), 1

π(2), 2

...

π(2), m

· · ·

π(n),1

π(n),2

...

π(n), m

N I₁

N Im

c)

Rys. 2. Modele grafowe harmonogramów: a) permutacyjny, b) z ograniczeniem bez czekania, c) permutacyjny z ograniczeniem bez postojów

Zbiór nieobci ˛a˙zonych łuków E^K(π) reprezentuje ograniczenia kolejno´sciowe wynika- j ˛ace z przyj˛etej kolejno´sci wykonywania zada´n;

E^K(π) =

n [

i=2 [

l∈M

n(π(i − 1), l), (π(i), l)^o. (3) Graf G(π) dla permutacyjnego problemu przepływowego przedstawiony jest na rys. 2a.

Poniewa˙z długo´s´c najdłu˙zszej ´scie˙zki w grafie G(π) oznaczonej przez C_max(π) równa si˛e momentowi wykonania wszystkich zada´n, analizowany problem sprowadza si˛e do znalezienia

π^∗ ∈ arg min

π∈ΠC_max(π). (4)

W przypadku uwzgl˛edniania dodatkowego ograniczenia bez-czekania, najwy- godniej jest transformowa´c analizowany problem do asymetrycznego problemu komi- woja˙zera [10]. Jednak˙ze mo˙zna tak˙ze uwzgl˛edni´c ograniczenie bez czekania dodaj ˛ac do

(5)

grafu G(π) zbiór obci ˛a˙zonych łuków E^{N W} = ^[

j∈J

n(j, m), (j, 1)^o. (5)

Łuk ł ˛acz ˛acy ostatni ˛a i pierwsz ˛a operacj˛e zadania j ∈ J jest obci ˛a˙zony ujemn ˛a sum ˛a trwania wszystkich operacji tego zadania;

N W_j = − ^X

l∈M

p_j,l. (6)

Graf reprezentuj ˛acy rozwi ˛azanie π problemu z ograniczeniem bez czekania przedsta- wiony jest na rys.2b. W przypadku gdy uwzgl˛edni si˛e ograniczenie bez przestojów, model grafowy nale˙zy rozbudowa´c o zbiór obci ˛a˙zonych łuków:

E^{N I} = ^[

l∈M

n(π(n), l), (π(1), l)^o. (7) Graf reprezentuj ˛acy sekwencje zada´n π z ograniczeniem bez przestojów przedstawiony jest narys.2c. Łuk ł ˛acz ˛acy ostatni ˛a i pierwsz ˛a operacje wykonywan ˛a na maszynie l ∈ M obci ˛a˙zony jest sum ˛a czasów trwania operacji wykonywanych na tej maszynie;

N I_l = −^X

j∈J

p_j,l. (8)

W modelach permutacyjno–grafowych analizowanych problemów wyst˛epuj ˛a pewne po- dobieństwa. Struktura grafu prezentuj ˛acego harmonogram z ograniczeniem bez czekania jest taka sama jak struktura grafu harmonogramu permutacyjnego z ograniczeniem bez przestojów; rys.2. Maj ˛ac tylko sam graf reprezentuj ˛acy jedno z wymienionych uszerego- wań, (przy niewidocznych nazwach wierzchołków) nie w sposób jest rozpoznać, który z harmonogramów jest modelowany. Mimo podobieństwa grafów modeluj ˛acych rozwi ˛a- zania, wła´sciwo´sci omawianych problemów s ˛a ró˙zne. Ró˙znica wynika w zmianach jakie nast˛epuj ˛a w grafach dla ró˙znych permutacji zadań π ∈ Π. Problem z ograniczeniem bez czekania byłby równowa˙zny permutacyjnemu problemowi bez przestojów gdyby była ustalona kolejno´sć wykonywania zadań, a zmienn ˛a decyzyjn ˛a była by sekwencja maszyn. Podobnie, gdyby w permutacyjnym problemie bez przestojów nale˙zało wybrać sekwencj˛e maszyn a kolejno´sci zadań była by ustalona to odpowiadało by to dokładnie zagadnieniu bez czekania. Ró˙znica w omawianych problemach widoczna jest tak˙ze w akceleracji obliczania warto´sci funkcji celu dla kolejno´sci zadań π ∈ Π. W przypadku ograniczenia bez czekania mo˙zna dokonać wst˛epnych obliczeń (o zło˙zono´sci oblicze- niowej O(mn²)) wyznaczaj ˛ac przyrost długo´sci harmonogramu dla ka˙zdej pary zadań.

Nast˛epnie wyznaczenie długo´sci harmonogramu polega na wyznaczeniu sumy przyro- stów odpowiednich warto´sci ka˙zdej pary s ˛asiednich zadań w permutacji π. Zło˙zono´sć obliczenia wyznaczenia długo´sci harmonogramu (nie uwzgl˛edniaj ˛ac jednorazowych ob- liczeń wst˛epnych) wynosi w tym przypadku O(n). Podobnej akceleracji nie mo˙zna za- stosować w przypadku ograniczenia bez postoju, dla którego zło˙zono´sć wyznaczenia długo´sci harmonogramu wynosi O(nm).

3. Badania eksperymentalne

W niniejszej cz˛e´sci przebadany zostanie wpływ dodatkowych ogranicze´n typu bez czekania, oraz bez przestoju na długo´s´c harmonogramu. Badania podzielone zostały na trzy cz˛e´sci w których porównywano kolejno:

(6)

Tabela 1

´Srednia długo´s´c wzgl˛edna losowych harmonogramów

Grupa Typ harmonogramu

instancji Permutacyjny Bez czekania Bez przestojów

n × m F_min F_avg F_max F_dev F_min F_avg F_max F_dev F_min F_avg F_max F_dev 20 × 5 1.00 1.17 1.40 0.055 1.35 1.61 1.84 0.067 1.10 1.28 1.52 0.058 20 × 10 1.00 1.16 1.35 0.047 1.45 1.73 1.98 0.075 1.26 1.47 1.76 0.068 20 × 20 1.00 1.12 1.26 0.035 1.47 1.75 2.00 0.076 1.50 1.71 1.96 0.061 50 × 5 1.00 1.11 1.27 0.037 1.53 1.71 1.87 0.046 1.08 1.21 1.39 0.042 50 × 10 1.00 1.11 1.25 0.033 1.75 1.97 2.16 0.056 1.19 1.36 1.56 0.051 50 × 20 1.00 1.10 1.21 0.027 1.93 2.18 2.40 0.064 1.50 1.69 1.92 0.056 100 × 5 1.00 1.09 1.21 0.028 1.64 1.78 1.90 0.033 1.05 1.15 1.29 0.032 100 × 10 1.00 1.08 1.19 0.025 1.94 2.11 2.27 0.042 1.19 1.31 1.49 0.038 100 × 20 1.00 1.07 1.16 0.020 2.22 2.42 2.61 0.050 1.42 1.58 1.78 0.046 200 × 10 1.00 1.06 1.14 0.018 2.10 2.22 2.34 0.031 1.14 1.23 1.37 0.029 200 × 20 1.00 1.05 1.12 0.016 2.50 2.66 2.80 0.039 1.33 1.45 1.60 0.037 500 × 20 1.00 1.04 1.08 0.011 2.81 2.92 3.02 0.027 1.22 1.31 1.42 0.026 Wszystko 1.00 1.10 1.22 0.029 1.89 2.09 2.27 0.050 1.25 1.40 1.59 0.045

• wpływ dodatkowych ogranicze´n na ´sredni ˛a długo´sci harmonogramu;

• korelacja długo´sci rozwi ˛aza´n problemów przepływowych z dodatkowymi ograniczeniami;

• jako´s´c generowanych rozwi ˛aza´n generowanych dedykowanymi algorytmami typu wstaw.

Badania przeprowadzone zostały na znanych literaturowych 120 przykładach zapropo- nowanych w pracy [7]. Przykłady te podzielone s ˛a na 12 grup po 10 instancji. Grupy ró˙zni ˛a si˛e rozmiarem instancji, tj liczb ˛a zada´n n i/lub liczb ˛a maszyn m. Ka˙zda grupa identyfikowana jest par ˛a n × m.

3.1. ´Srednia długo´s´c harmonogramów

Badaniu poddany został wpływ dodatkowych ogranicze´n w problemie przepły- wowym na ´srednie długo´sci harmonogramów w poszczególnych grupach instancji. Dla ka˙zdej z instancji problemu wyznaczono zestaw k = 10 000 pseudolosowych sekwencji wykonywania zada´n. Nast˛epnie na ich podstawie wyznaczono 3 zestawy harmonogra- mów dla problemów przepływowych: permutacyjnego, z ograniczeniem bez czekania i ograniczeniem bez przestojów. Dokładniej, dla ka˙zdej sekwencji stworzono odpowiednio po jednym harmonogramie danego typu. Sekwencj˛e długo´sci harmonogramów per- mutacyjnych oznaczyli´smy przez X = (x1, x₂, . . . , x_k),sekwencj˛e długo´sci harmono- gramów z ograniczeniem bez czekania jako ci ˛ag Y = (y₁, y₂, . . . , y_k),a sekwencj˛e dłu- go´sci harmonogramów z ograniczeniem bez przestojów jako ci ˛ag Z = (z₁, z₂, . . . , z_k).

Nast˛epnie wyznaczono referencyjn ˛a długo´sć jako długo´sć najkrótszego wygenerowane- go harmonogramu permutacyjnego; ref = min_i=1,...,kx_i. Dla ka˙zdego z harmonogra- mów wyznaczono F wzgl˛edn ˛a długo´sć harmonogramu w stosunku do warto´sci referen- cyjnej ref . Dla ka˙zdej z instancji i ka˙zdego ograniczenia, dysponuj ˛ac zestawem wzgl˛ed-

(7)

Tabela 2 Korelacje wzgl˛ednych długo´sci harmonogramów

Typ harmonogramu: X - prermutacyjny; Y - bez czekania; Z -bez postoju

n × m CorrXY CorrXZ CorrY Z n × m CorrXY CorrXZ CorrY Z

20 × 5 0.19 0.64 0.20 100 × 5 0.07 0.65 0.06

20 × 10 0.19 0.40 0.14 100 × 10 0.05 0.37 0.04

20 × 20 0.12 0.22 0.12 100 × 20 0.03 0.22 0.02

50 × 5 0.11 0.62 0.10 200 × 10 0.02 0.39 0.02

50 × 10 0.08 0.41 0.06 200 × 20 0.01 0.24 0.01

50 × 20 0.07 0.20 0.05 500 × 20 0.01 0.24 0.00

Wszystko 0.08 0.38 0.07 — — — —

x y

x z

y z

Rys. 3. Wizualizacja korelacji przeskalowanych długo´sci: x harmonogramów permuta- cyjnych, y harmonogramów bez czekania i z harmonogramów bez przestojów nych długo´sci, wyznaczono kolejno: Fmin minimaln ˛a, Favg ´sredni ˛a, Fmax maksymaln ˛a wzgl˛edn ˛a długo´s´c, oraz F_dev jej odchylenie standardowe. U´srednione, dla ka˙zdej grupy, warto´sci powy˙zszych parametrów zawarte zostały w tabeli 1.

3.2. Korelacja długo´sci harmonogramów

Badaniu poddana została korelacja pomi˛edzy długo´sciami harmonogramów permutacyjnych, bez czekania i bez postojów. W tej cz˛e´sci testu wykorzystano zestawy wzgl˛ednych długo´sci harmonogramów uzyskanych w wcze´sniejszym eksperymencie.

Dla ka˙zdej instancji, na podstawie ci ˛agów X, Y i Z wzgl˛ednych długo´sci harmonogra- mów wyliczono korelacje pomi˛edzy nimi. U´srednione wyniki dla ka˙zdej z grup przed- stawiono w tabeli 2. Długo´sci harmonogramów z dwoma ró˙znymi ograniczeniami stwo- rzonymi dla tej samej sekwencji zada´n tworz ˛a par˛e liczb któr ˛a mo˙zna zaznaczy´c na wy- kresie punktem. Uwzgl˛ednienie całej serii punktów, generuje zbiór punktów w postaci chmury. W artykule zostały zamieszczone wykresy korelacji dla jednej instancji. Instan- cja ta(62-instancja Taillarda) z grupy 100 × 5 charakteryzuje si˛e najwi˛eksz ˛a warto´sci ˛a korelacji powy˙zej 0.7, uzyskan ˛a pomi˛edzy Z długo´sciami harmonogramów bez prze- stojów a X długo´sciami harmonogramów permutacyjnych. W przypadku pozostałych instancji, korelacje maj ˛a mniejsze warto´sci, a wykresy przybieraj ˛a podobny charakter, lecz s ˛a bardziej rozmyte.

(8)

Tabela 3

´Srednia długo´s´c wzgl˛edna harmonogramów otrzymanych algorytmami klasy NEH

Grupa Typ harmonogramu

instancji Permutacyjny Bez czekania Bez przestojów

n × m N EH N EH^{N W} N EH^{N I} N EH N EH^{N W} N EH^{N I} N EH N EH^{N W} N EH^{N I}

20 × 5 0.96 1.02 1.13 1.40 1.18 1.43 1.11 1.16 1.23

20 × 10 0.95 1.05 1.13 1.58 1.23 1.55 1.30 1.34 1.44

20 × 20 0.95 1.04 1.13 1.66 1.26 1.56 1.61 1.66 1.65

50 × 5 0.95 1.01 1.11 1.49 1.22 1.51 1.07 1.12 1.20

50 × 10 0.91 1.03 1.11 1.80 1.32 1.70 1.18 1.29 1.34

50 × 20 0.92 1.03 1.10 2.06 1.44 1.86 1.56 1.62 1.65

100 × 5 0.96 1.00 1.09 1.49 1.23 1.56 1.04 1.07 1.15

100 × 10 0.92 1.02 1.07 1.84 1.37 1.79 1.17 1.27 1.31

100 × 20 0.90 1.04 1.06 2.28 1.52 2.01 1.44 1.56 1.56

200 × 10 0.93 1.01 1.05 1.92 1.41 1.89 1.10 1.19 1.23

200 × 20 0.90 1.01 1.05 2.47 1.62 2.22 1.31 1.40 1.42

500 × 20 0.91 1.03 1.04 2.66 1.69 2.41 1.17 1.30 1.33

Wszystko 0.93 1.02 1.09 1.89 1.37 1.79 1.26 1.33 1.38

3.3. Algorytmy typu wstaw

Algorytm typu wstaw, N EH [4] jest dedykowanym algorytmem konstrukcyjnym dla permutacyjnego problemu przepływowego z kryterium b˛ed ˛acym momentem zakoń- czenia wykonywana wszystkich zadań. Ogólnie pisz ˛ac algorytm N EH działa iteracyj- nie, tzn w ka˙zdym kroku iteracji umieszcza w budowanym harmonogramie kolejne zadanie. Posługuj ˛ac si˛e modelem permutacyjno–grafowymdo, mo˙zna powiedzieć, ˙ze do cz˛e-

´sciowej sekwencji zada´n dodawany jest numer kolejno szeregowanego zadania. Dokład- ny opis algorytmu bazuj ˛acy na wymienionym modelu przedstawiony jest w pracy [5].

Miejsce dokładanego zadania wybierane jest jako najlepsze z dost˛epnych pozycji. Kry- terium oceny jako´sci miejsca jest takie same jak kryterium rozwi ˛azywanego problemu.

Dokładniej, w k-tym kroku kolejne zadanie mo˙zna umie´sci´c w k pozycjach. Tworzonych jest wi˛ec k próbnych harmonogramów analizuj ˛acych ka˙zde mo˙zliwe wło˙zenie zadania.

Najlepszy z tych harmonogramów wyznacza szukan ˛a pozycj˛e dla dodawanego zadania.

Poniewa˙z, analizujemy trzy przypadki problemu przepływowego z ró˙znymi ogranicze- niami, automatycznie generuje to trzy wersje algorytmu N EH, N EH^{N W} i N EH^{N I}. Poszczególne wersje ró˙zni ˛a si˛e mi˛edzy sob ˛a tworzonymi cz˛e´sciowymi harmonograma- mi. Klasyczny algorytm N EH ocenia cz˛e´sciowe sekwencje na podstawie długo´sci per- mutacyjnego harmonogramu. Analogicznie algorytmy N EH^{N W} i N EH^{N I} oceniaj ˛a cz˛e´sciowe sekwencje zada´n na podstawie długo´sci harmonogramów z ograniczeniami bez czekania i bez przestojów. Załó˙zmy, i˙z ostatecznym wynikiem działania ka˙zdego z omówionych algorytmów nie jest harmonogram lecz sekwencja wykonywania zada´n.

Wtedy, dla ka˙zdej sekwencji odpowiadaj ˛a harmonogramy z narzuconymi ograniczeniami (harmonogram permutacyjny, bez czekania i permutacyjny bez przestojów). Oznacza to i˙z, dla ka˙zdego z analizowanych problemów mo˙zna zastosowa´n ka˙zdy z wariantów algorytmu N EH. Badania polegały na wygenerowaniu dla ka˙zdej instancji 3 sekwencji

(9)

wykonywania zada´n, przy pomocy algorytmów N EH, N EH^{N W} i N EH^{N I}. Nast˛epnie wyznaczono po 3 harmonogramy dla ka˙zdego z analizowanych problemów (ł ˛acznie 9 harmonogramów dla danej instancji). Wyznaczono długo´sci wzgl˛edne (wzgl˛edem rozwi ˛azania referencyjnego z pierwszego testu) ka˙zdego z otrzymanych rozwi ˛aza´n. U´srednione długo´sci harmonogramów z analizowanymi ograniczeniami otrzymane ka˙zd ˛a z wersji algorytmu zawarte s ˛a w tabeli 3.

4. Podsumowanie

Porównuj ˛ac modele grafowe ograniczenia bez czekania i bez przestojów, mo˙zna spodziewać si˛e i˙z, ka˙zde z tych ograniczeń w podobny sposób b˛edzie wydłu˙zać harmonogram produkcji. Badania numeryczne potwierdzaj ˛a przypuszczenia. Widoczne jest to na przykładach w których liczba maszyn jest taka sama jak liczba zadań. Przy braku sy- metrii, gdy liczba zadań przewy˙zsza liczb˛e maszyn ograniczenie bez czekania powoduje znacznie wi˛ekszy wzrost długo´sci harmonogramu w stosunku wzrostu długo´sci wywo- łanego ograniczeniem bez przestojów.

Badania wykazały, znacz ˛ac ˛a ró˙znic˛e w przypadku analizy korelacji długo´sci har- monogramów ró˙znych typów. Jedyna istotna korelacja długo´sci uszeregowania wyst˛e- puje pomi˛edzy długo´sci ˛a rozwi ˛azania bez ograniczenia i z ograniczeniem bez przesto- jów. Nawet w przypadku instancji o rozmiarze 20 × 20 istotna korelacja wyst˛epuje tylko pomi˛edzy tymi typami harmonogramów.

Ograniczenie typu bez przestojów bardzo utrudnia konstrukcj˛e efektywnego algorytmu typu wstaw. Dzieje si˛e tak dlatego, i˙z dodanie kolejnego zadania w dowolne miejsce cz˛e´sciowego rozwi ˛azania zaburza cały harmonogram. Nawet w przypadku do- dania zadania na ko´ncu uszeregowania nast˛epuj ˛a zmiany momentów rozpocz˛ecia operacji od pocz ˛atkowych fragmentów harmonogramu. W przypadku pozostałych analizowanych problemów takie zjawisko nie wyst˛epuje.

W przypadku problemu z ograniczeniem bez przestojów badania numeryczne potwierdziły nisk ˛a efektywno´s´c algorytmu typy wstaw. Dla tego problemu algorytm N EH^{N I} daje rozwi ˛azania ´srednio o 10% gorsze ni˙z algorytm wybieraj ˛acy najlepsze rozwi ˛azanie z 10 tysi˛ecy losowych harmonogramów. Analogiczne algorytmy w przypadku problemu permutacyjnego i problemu z ograniczenim bez czekania dostarczaj ˛a rozwi ˛azania odpowiednio o 7% i o 28% lepsze ni˙z analogiczny algorytm losowy.

Wykorzystuj ˛ac istnienie istotnej korelacji pomi˛edzy jako´sci ˛a rozwi ˛azania permutacyjnego i bez przestojów, proponuje si˛e aby drugi z problemów rozwi ˛azać algorytmem dedykowanym dla problemu pierwszego. Nast˛epnie na otrzymane rozwi ˛azanie nało˙zyć ograniczenia problemu drugiego. W ten sposób uzyskano rozwi ˛azania problemu bez przestojów klasycznym algorytmem N EH. Jako´sć otrzymanych rozwi ˛azań jest lepsza o około 10% lepsza ni˙z w przypadku zastosowania algorytm dedykowanego N EH^{N W} i jest na poziomie najlepszego z 10 tysi˛ecy rozwi ˛azań losowych.

LITERATURA

1. Frits C.R. Spieksma, Gerhard J. Woeginger, The no-wait flow-shop paradox, Ope- rations Research Letters, vol. 33(6), 2005, str. 603–608.

(10)

2. Goncharov Y., Sevastyanov S., The flow shop problem with no-idle constraints:

A review and approximation, European Journal of Operational Research, vol.

196(2), 2009, str. 450–456.

3. Graham R., Lawler E., Lenstra J., Rinnooy Kan A.: Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling: a survey, Annals of Discrete Mathematics, vol. 5, 1979, str. 287–326.

4. Nawaz M, Enscore Jr. EE, Ham I. A heuristic algorithm for the m-machine, n-job flow-shop sequencing problem. The International Journal of Management Scien- ce, vol 11, 1983, str. 91–96.

5. Nowicki E., Makuchowski M., Metoda wstawie´n w klasycznych problemach szeregowania. Cze´s´c I. Problem przepływowy. Komputerowo Zintegrowane Zarz ˛a- dzanie, Tom II, WNT Warszawa 2001, str. 113–122.

6. Röck, H., The Three-Machine No-Wait Flow Shop is NP-Complete, Journal of Association for Computing Machinery, vol. 31(2), 1984, str. 336–345.

7. Taillard E.: Benchmarks for basic scheduling problems, European Journal of Ope- rational Research, vol. 64, 1993, str. 278–285.

8. Saadani N., Guinet A., Moalla M., 2005. A travelling salesman approach to solve the F/no-idle/Cmax problem, European Journal of Operational Research, Else- vier, vol. 161(1), str. 11–20.

9. Sviridenko, M., Makespan Minimization in No-Wait Flow Shops: A Polynomial Time Approximation Scheme, Journal on Discrete Mathematics, vol. 16(2), 2003, str. 313–322.

10. Wismer D.A., Solution of the flow shop scheduling problem with no intermediate queues, Operational Research, vol. 20, 1972, str. 689–697.