Pokaza´c, ˙ze ∆n = σ1

Algebraiczne Aspekty Kryptografii

LISTA 5: Kombinatoryczna teoria grup i kryptografia Grupa warkoczy

E.Artin udowodni l, ˙ze grupa warkoczy geometrycznych ma nast¸epuj¸ace przed- stawienie:

B_n= hσ₁, ..., σ_n−1|{σ_iσ_j = σ_jσ_i : 1 ≤ i < j − 1 ≤ n − 2}

{σiσi+1σi = σi+1σiσi+1 : 1 ≤ i < n}i.

Dla w ∈ B_n niech π_w b¸edzie permutacj¸a zbioru {1, ..., n} odpowiadaj¸ac¸a permutacji nici (przy standardowej numeracji nici).

1. Pokaza´c, ˙ze odwzorowanie σ_i → 1, i < n, definiuje nietrywialny homomorfizm B_n → Z (zwykle oznaczany przez wt, tzn. ’waga’).

Warkocz podstawowy (lub fundamentalny) ∆_n w grupie B_n jest definiowany przez indukcj¸e:

∆₂ = σ₁ , ∆_n= ∆_n−1σ_n−1· ... · σ₁ .

2. Pokaza´c, ˙ze ∆_n = σ₁· ... · σ_n−1· ∆_n−1.

3. Pokaza´c, ˙ze ’automorfizm obrotowy’ τ , zdefiniowany przez wzory τ (σ_i) = σ_n−i, i < n, jest sprz¸e˙zeniem ∆⁻¹_n · w · ∆_n .

4. Pokaza´c, ˙ze ∆² nale˙zy do centrum grupy B_n.

5. Pokaza´c, ˙ze z dok ladno´sci¸a do domno˙zenia przez pewn¸a ∆^ε_n, ka˙zdy σ⁻¹_i jest r´owny w B_n warkoczowi pozytywnemu, tzn. s lowu bez σ⁻¹_j , j < n.

Gdy w jest warkoczem pozytywnym, zbiorem pocz¸atkowym nazywamy zbi´or S(w) = {i : w = σ_i · w⁰ dla pewnego pozytywnego w⁰}, a zbiorem ko´ncowym nazywamy S(w) = {i : w = w⁰· σ_i dla pewnego pozytywnego w⁰}.

Niech S_n⁺ ⊂ B_n b¸edzie zbiorem wszystkich pozytywnych w ∈ B_n posiadaj¸acych tak¸a posta´c geometryczn¸a, ˙ze ka˙zda para nici przecina si¸e nie wi¸ecej ni˙z tylko raz.

Ka˙zda permutacja z S_n mo˙ze by´c zrealizowana przez taki warkocz.

6. Pokaza´c, ˙ze warkocze w i v ∈ S_n⁺ s¸a r´owne, je´sli π_w = π_v. 7. Pokaza´c, ˙ze dla w ∈ S_n⁺ nast¸epuj¸ace warunki s¸a r´ownowa˙zne:

- i ∈ s(w),

- π_w(i + 1) < π_w(i),

- nici i i i + 1 przecinaj¸a si¸e w geometrycznym przedstawieniu w.

1

8. Dla w ∈ S_n⁺, σ_i· w ∈ S_n⁺ wtedy i tylko wtedy gdy i 6∈ S(w); w · σ_i ∈ S_n⁺ wtedy i tylko wtedy gdy i 6∈ F (w).

Piszemy w ≤ w⁰, gdy dla pewnych warkoczy pozytywnych w₁ i w₂ zachodzi w₁· w · w₂ = w⁰.

Twierdzenie 1. Zb´or S_n⁺ sk lada si¸e ze wszystkich warkoczy pozytywnych w takich, ˙ze w ≤ ∆_n.

Twierdzenie 2. Ka˙zdy warkocz pozytywny w ma jedyny rozk lad w = w_ρw⁰, gdzie w_ρ∈ S_n⁺, w⁰ jest pozytywny i S(w⁰) ⊆ F (w_ρ). W przypadku rozk ladu w = u · u⁰ dla pozytywnych u, u⁰ z u ∈ S_n⁺, istnieje pozytywny v taki, ˙ze w_ρ= u · v.

Twierdzenie 3. (Posta´c Garside’a) Ka˙zdy warkocz w ma jedyny rozk lad w =

∆^r_n· w₁ · ... · w_l, gdzie w_i ∈ S_n⁺\ {∆_n} i S(w_i+1) ⊆ F (w_i).

9. Znale´z´c posta´c Garside’a warkocza w = σ₁σ₃σ₂²σ₃σ₁σ₃σ₂σ₃σ₂ ∈ B₄ i warkocza w⁰ = σ1σ⁻¹₃ σ2 ∈ B4.

2