Cwiczenie 2. Niech θ ´ 1 , . . . , θ n ∈ (K n ) ∗ . Wyka˙z, ˙ze (θ 1 ∧ . . . ∧ θ n )(e 1 , . . . , e n ) := X

(1)

ALGEBRA I R

Permutacje, formy alternuj¸ ace, wyznaczniki i ´ slady Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Sprawdzi´ ´ c, ˙ze wz´ or 3x + 3 − 25E(x/8) okre´sla permutacj¸ a zbioru X = {0, . . . , 24}; b) roz lo˙zyć σ na cykle ro l¸aczne; c) obliczyć sgn σ d) obliczyć ord σ i znale´zć (je˙zeli istnieje) rozk lad σ na trzy cykl d lugo´sci 8 (niekoniecznie roz l¸ aczne).

Cwiczenie 2. Niech θ ´ ¹ , . . . , θ ⁿ ∈ (K ⁿ ) ^∗ . Wyka˙z, ˙ze (θ ¹ ∧ . . . ∧ θ ⁿ )(e ₁ , . . . , e _n ) := X

σ∈S

n

(−1) ^sgσ θ ¹ (e _σ(1) ) · . . . · θ ⁿ (e _σ(n) ),

gdzie e ₁ , . . . , e _n to dowolne elementy K ⁿ , to n-forma liniowa antysymetryczna.

Cwiczenie 3. Dane s¸ ´ a macierzy

A = a ₁₁ a 12

a ₂₁ a ₂₂

∈ M 2 (K), B =





a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃



 ∈ M 3 (K)

odwzorowa´ n liniowych T _A : K ² → K ² i T _B : K ³ → K ³ w bazach kanonicznych. Udowod- nij, ˙ze det T _A = a ₁₁ a ₂₂ − a ₂₁ a ₁₂ i

det T _B = a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ + a ₁₂ a ₂₃ a ₃₁ + a ₁₃ a ₂₁ a ₃₂ − a ₁₂ a ₂₁ a ₃₃ − a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃ − a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ . Cwiczenie 4. Niech E b¸edzie przestrzeni¸ ´ a liniow¸ a sko´ nczonego wymiaru. Oblicz ´slad i wyznacznik morfizmu T : E → E spe lniaj¸ acego T ² = T .

Cwiczenie 5. Obliczy´ ´ c ´slad i wyznacznik operatora liniowego F dzia laj¸ acego w przestrzeni wielomian´ ow R 2 [t] i danego wzorem:

(F w)(t) = w(0) + t · w ⁰ (t) +

1

Z

−1

w(t)dt, w(t) ∈ R 2 [t].

Cwiczenie 6. Dane jest odwzorowanie liniowe T : E → E, gdzie E to przestrze´ ´ n liniowa niesko´ nczonego wymiaru. Udowodnij, ˙ze det T = 0 wtedy i tylko wtedy gdy ker T 6= 0.

1

Cwiczenie 2. Niech θ ´ 1 , . . . , θ n ∈ (K n ) ∗ . Wyka˙z, ˙ze (θ 1 ∧ . . . ∧ θ n )(e 1 , . . . , e n ) := X

ALGEBRA I R

Permutacje, formy alternuj¸ ace, wyznaczniki i ´ slady Javier de Lucas

Cwiczenie 2. Niech θ ´ 1 , . . . , θ n ∈ (K n ) ∗ . Wyka˙z, ˙ze (θ 1 ∧ . . . ∧ θ n )(e 1 , . . . , e n ) := X

σ∈S

(−1) sgσ θ 1 (e σ(1) ) · . . . · θ n (e σ(n) ),

gdzie e 1 , . . . , e n to dowolne elementy K n , to n-forma liniowa antysymetryczna.

Cwiczenie 3. Dane s¸ ´ a macierzy

A =  a 11 a 12

a 21 a 22



∈ M 2 (K), B =





a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33



 ∈ M 3 (K)

odwzorowa´ n liniowych T A : K 2 → K 2 i T B : K 3 → K 3 w bazach kanonicznych. Udowod- nij, ˙ze det T A = a 11 a 22 − a 21 a 12 i

det T B = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 31 a 22 a 13 − a 11 a 23 a 32 . Cwiczenie 4. Niech E b¸edzie przestrzeni¸ ´ a liniow¸ a sko´ nczonego wymiaru. Oblicz ´slad i wyznacznik morfizmu T : E → E spe lniaj¸ acego T 2 = T .

Cwiczenie 5. Obliczy´ ´ c ´slad i wyznacznik operatora liniowego F dzia laj¸ acego w przestrzeni wielomian´ ow R 2 [t] i danego wzorem:

(F w)(t) = w(0) + t · w 0 (t) +

1

Z

−1

w(t)dt, w(t) ∈ R 2 [t].

Cwiczenie 6. Dane jest odwzorowanie liniowe T : E → E, gdzie E to przestrze´ ´ n liniowa niesko´ nczonego wymiaru. Udowodnij, ˙ze det T = 0 wtedy i tylko wtedy gdy ker T 6= 0.

1

Cwiczenie 2. Niech θ ´ ¹ , . . . , θ ⁿ ∈ (K ⁿ ) ^∗ . Wyka˙z, ˙ze (θ ¹ ∧ . . . ∧ θ ⁿ )(e ₁ , . . . , e _n ) := X

(−1) ^sgσ θ ¹ (e _σ(1) ) · . . . · θ ⁿ (e _σ(n) ),

gdzie e ₁ , . . . , e _n to dowolne elementy K ⁿ , to n-forma liniowa antysymetryczna.

A = a ₁₁ a 12

a ₂₁ a ₂₂

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

odwzorowa´ n liniowych T _A : K ² → K ² i T _B : K ³ → K ³ w bazach kanonicznych. Udowod- nij, ˙ze det T _A = a ₁₁ a ₂₂ − a ₂₁ a ₁₂ i

(F w)(t) = w(0) + t · w ⁰ (t) +