Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy

WYKLAD Z ANALIZY ZESPOLONEJ z dn. 17 marca 2020r.

Ciag dalszy tematu Ca lka zespolona z funkcji zmienej zespolonej_, Twierdzenie (o istnieniu funkcji pierwotnej)

Niech D ⊂ bedzie obszarem wypuk lym, f : D → C b_, edzie funkcj_, a ci_, ag la. Je´_, sli dla ka˙zdego tr´ojkata ∆ ⊂ D_,

Z

∂∆⁺

f (z)dz = 0, to funkcja F (z) =Rz

z0f (ζ)dζ jest funkcja pierwotn_, a funkcji f w D. (Symbol ∂∆_, ⁺ oznacza, ˙ze brzeg tr´ojkata jest zorientowany dodatnio wzgl_, edem jego wn_, etrza)_,

Wa˙zne: w powy˙zszym twierdzeniu ca lkujemy po podcinku lacz_, acym punkty z_{, 0} i z. W dalszych wyk ladach symbol F (z) = Rz

z0f (ζ)dζ bedzie oznacza´_, c, ˙ze ca lkujmy po dowolnej kawa lkami g ladkiej krzywej lacz_, acej oba punkty._,

Dow´od

Niech z bedzie dowolnym punktem z obszaru D. Definiujemy funkcj_, e_, F (z) :=

Z z zo

f (ζ)dζ, (0.1)

ca lkujemy wzd lu˙z odcinka lacz_, acego z_{, 0} i z zawartego w D (korzystamy z za lo˙zenia, ˙ze D jest wypuk ly). Niech |h| bedzie tak ma le, aby odcinek l_, acz_, acy z i z + h by l zawarty ca lkowicie w_, D. Suma odcink´ow laczacych z_{, 0} i z, z i z + h oraz z + h i z₀ tworzy trojkat, kt´_, orego brzeg orientujemy dodatnio wzgledem wn_, etrza (patrz Rys. 1 - w odzielnym pliku). ∂∆ jest krzyw_, a_, g ladka poza sko´_, nczona ilo´sci_, a punkt´_, ow. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze

Z

∂∆⁺

f (ζ)dz = Z z

z0

f (ζ)dζ + Z z+h

z

f (ζ)dζ + Z z0

z+h

f (ζ)dζ = 0. (0.2) Przepiszemy powy˙zsze r´ownanie

Z z z0

f (ζ)dζ −



− Z z0

z+h

f (ζ)dζ



= − Z z+h

z

f (ζ)dζ. (0.3)

Obie strony powy˙zszego r´ownania mno˙zymy przez -1. Nastepnie, korzystaj_, ac z definicji funkcji_, F (z) (patrz (0.1) i faktu, ˙ze R

BAf (z)dz = −R

ABf (z)dz otrzymamy, ˙ze F (z + h) − F (z) =

Z z+h z

f (ζ)dζ.

F (z + h) − F (z)

h = 1

h Z z+h

z

f (ζ)dζ F (z + h) − F (z)

h − f (z) = 1 h

Z z+h z

f (ζ)dζ − f (z) h

Z z+h z

dζ = Rz+h

z [f (ζ) − f (z)]dζ

h (∗)

(*) Dlaczego Rz+h

z dζ = h? Funkcja podca lkowa jest funkcja sta l_, a r´_, owna 1. Ma ona funkcj_, e_, pierwotna r´_, owna ζ. St_, ad_,

Z z+h z

dζ = [ζ]^z=h_z = (z + h) − z = h.

Zatem

Z z+h z

[f (ζ) − f (z)]dζ    

≤ Z z+h

z

|f (ζ) − f (z)| |dζ|.

Poniewa˙z f jest ciag la (faktycznie jest jednostajnie ci_, ag la bo ∆ jest zwarty. Do przeprowa-_, dzenia dalszej czesci dowodu wystarczy sama ci_, ag lo´s´_, c), zatem

∀ > 0 ∃δ() > 0 ∀ζ ∈ ∆ |ζ − z| < δ ⇒ |f (ζ) − f (z)| < .

Wstawiajac to oszacowanie do poprzedniej nier´_, owno´sci otrzymamy, ˙ze 

Z z+h z

[f (ζ) − f (z)]dζ    

≤  Z z+h

z

1|dζ| = |h|.

Tutaj korzystamy z za lo˙zenia, ˙ze punkty z i z + h laczy l odcinek o d lugo´s´_, ci |h| a liczymy ca lke_, krzywoliniowa niezorientowan_, a z funkcji 1. Jej warto´s´_, c to d lugo´s´c luku. Zatem

F (z + h) − F (z)

h − f (z)

≤ |h|

|h| = .

Przechodzac do granicy otrzymamy, ˙ze_, F⁰(z) = lim

h→0

F (z + h) − F (z)

h = f (z).

Stad F_, ⁰(z) = f (z).

Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy

A. Podstawowe twierdzenie ca lkowe Cauchy

Najpierw udowodnimy to twierdzenie dla tr´ojkat´_, ow tzn.

Twierdzenie (Podstawowe twierdzenie ca lkowe Cauchy dla tr´ojkat´_, ow) Niech ∆ ⊂ C bedzie tr´, ojkatem, f ∈ H(∆). Wtedy_,

Z

∂∆⁺

f (z)dz = 0.

Dow´od

∆ ⊂ C jest tr´ojkatem. Niech K := ∂∆ jest zorientowany dodatnio. Podzielimy tr´_, ojkat_,

∆ na 4 przystajace tr´_, ojkaty ∆_, ⁽¹⁾₁ , ∆⁽²⁾₁ , ∆⁽³⁾₁ , ∆⁽⁴⁾₁ o brzegach zorientowanych dodatnio, kt´ore oznaczymy przez K₁⁽¹⁾, K₁⁽²⁾, K₁⁽³⁾, K₁⁽⁴⁾ (patrz Rys. 2 w oddzielnym pliku). Wtedy

Z

K

f (z)dz = Z

K₁⁽¹⁾

f (z)dz + Z

K₁⁽²⁾

f (z)dz + Z

K₁⁽³⁾

(z)dz + Z

K₁⁽⁴⁾

f (z)dz,

bo ca lki wzd lu˙z wsp´olnych brzeg´ow znosza si_, e. Wsr´_, od tr´ojkat´_, ow ∆⁽ⁱ⁾₁ , i = 1, 2, 3, 4 istnieje

∆⁽ⁱ₁¹⁾, i₁ ∈ {1, 2, 3, 4} taki, ˙ze 1 4     Z

K

f (z)dz    

≤      Z

K₁⁽ⁱ¹⁾

f (z)dz      . Gdyby tak nie by lo, to w´owczas:

     Z

K₁⁽ⁱ¹⁾

f (z)dz     

< 1 4     Z

K

f (z)dz     . Wtedy

    Z

K

f (z)dz    

=     

3

X

i=0

Z

K₁⁽ⁱ⁾

f (z)dz     

≤

3

X

i=0

     Z

K₁⁽ⁱ⁾

f (z)dz     

≤ 4 ·1 4     Z

K

f (z)dz     ,

co jest sprzeczno´scia._, Dzielac ∆_{, 1}⁽ⁱ¹⁾ znowu na 4 przystajace tr´_, ojkaty ∆_, ⁽ⁱ⁾₂ , i ∈ {1, 2, 3, 4}

znajdziemy wsr´od nich ∆⁽ⁱ₂²⁾ taki, ˙ze 1 4      Z

K₁⁽ⁱ¹⁾

f (z)dz     

≤      Z

K₂⁽ⁱ²⁾

f (z)dz      .

Postepuj_, ac tak dalej dostaniemy ci_, ag tr´_, ojkat´_, ow ∆⁽¹⁾n , ∆⁽²⁾n , ∆⁽³⁾n , ∆⁽⁴⁾n , n ∈ N, z kt´orych ka˙zdy jest ”1/4 poprzedniego ”. Niech d_n oznacza d lugo´sc Kn⁽ⁱⁿ⁾. Wtedy d_n= ₂¹d_n−1. Stad d_{, n}= ₂^dn.

Niech z₀ ∈T∞

n=1∆⁽ⁱnⁿ⁾ (przeciecie jest niepuste, bo mamy ci_, ag zst_, epuj_, acy zbior´_, ow zwartych) Poniewa˙z f ∈ H(D), to istnieje f⁰(z0). Zatem

∀ > 0 ∃δ > 0 |z − z0| < δ ⇒    

f (z) − f (z₀)

z − z₀ − f⁰(z0)    

< ,

czyli f (z) = f (z₀)+f⁰(z₀)(z −z₀)+η(), gdzie η() w kole {z : |z −z₀| < δ} spe lnia nier´owno´s´c

|η(z)| <  oraz η() = o(|z − z₀|) tzn. lim_→0|z−z^η()

0| = 0. W tym kole le˙za wszystkie tr´_, ojkaty_, poczawszy od pewnego n = N . Zatem dla n ≥ N_,

Z

K⁽ⁱⁿ⁾n

f (z)dz = Z

Kn⁽ⁱⁿ⁾

f (z₀)dz + Z

Kn⁽ⁱⁿ⁾

f⁰(z₀)(z − z₀)dz + Z

K⁽ⁱⁿ⁾n

η()dz.

Dwie pierwsze ca lki po prawej stronie r´owne sa zeru (korzystamy z przyk ladu podstawowego_, dobierajac odpowiednio n=0 i n=1), za´s_,

    Z

Kn⁽ⁱⁿ⁾

η()dz    

≤ Z

Kn⁽ⁱⁿ⁾

|η()||dz| ≤ d²_n, bo droga ca lkowania ma d lugo´s´c d_n. Zatem

    Z

K

f (z)dz    

≤ 4ⁿ     Z

Kn⁽ⁱⁿ⁾

f (z)dz    

≤ 4ⁿ d²

2²ⁿ = d². Z dowolno´sci  → 0 wynika, ˙ze R

Kf (z)dz = 0.

Definicja

Krzywa kawa lkami g ladk_, a, zamkni_, et_, a i bez samoprzeci_, ec oraz zorientowan_, a dodatnio wzgl_, edem_, obszaru, kt´orego jest brzegiem nazywamy konturem.

Metody zaprezentowane w dowodzie Podstawowego twierdzenia ca lkowego Cauchy sa bar-_, dzo ubogie i nie pozwalaja na udowodnienie tego twierdzenia w wersji og´_, olnej. Poni˙zsze twierdzenie ilustruje maksimum tego co mo˙zna udowodni´c korzystajac z tych metod._,

Twierdzenie Niech K ⊂ C bedzie konturem i niech f b, edzie funkcj_, a holomorficzn_, a we_, wnetrzu i na brzegu ∆. Wtedy_,

Z

K

f (z)dz = 0.

Dow´od

(a) Za lo˙zmy, ˙ze K jest suma bok´_, ow wielokata. zorientowanego dodatnio. Dzielimy wielok_, at_, na tr´ojkaty przek_, atnymi. Wtedy ca lka po brzegu wielok_, ata jest sum_, a ca lek wzd lu˙z brzeg´_, ow

tr´ojkat´_, ow. Zatem z poprzedniego kroku ca lka bedzie r´_, owna zeru. (patrz. Rys. 3 - w oddziel- nym pliku)

(b) Przypadek og´olny. Sprowadzimy go do przypadku poprzedniego. W n-tym kroku wy- bierzmy na konturze K punkty z_k oraz dyski D_k = {z : |z − z_k| < r}, k = 1, . . . , n dla pewnego r tak aby funkcja f by la holomorficzna na D_r := D₀ ∪ Sn

k=1D_k, gdzie D₀ to obszar t.˙ze ∂D₀ = K. Tworzymy ciag sum ca lkowych I_{, n} = Pn

k=1f (ζ_k)(z_k − z_k−1), gdzie ζ_k ∈ z_k−1z_k, n ∈ N. Wtedy In→R

Kf (z)dz. Wybierzmy n takie, ˙ze 

   Z

K

f (z)dz − I_n    

< 1

2. (0.4)

Gdy n jest dostatecznie du˙ze, to d lugo´sci odcink´ow z_kz_k+1 sa dowolnie ma le i lamana Γ_{, n} o wierzcho lkach w punktach z₁, . . . , z_n le˙zy ca lkowiecie w obszarze D_r. (patrz. Rys. 4 - w oddzielnym pliku)

Mo˙zemy przy tym za lo˙zy´c, ˙ze zachodzi nier´owno´s´c |f (z)−f (ζ_k)| < _2d^, gdzie d oznacza d lugo´s´c konturu K tzn. d = |K|. Policzymy ca lke z f wzd lu˙z lamanej Γ_{, n}.

Z

Γn

f (z)dz =

n

X

k=1

Z zk

zk−1

f (z)dz

Niech η_k(z) := f (z) − f (ζ_k). Wtedy z ciag lo´sci f wynika, ˙ze dla du˙zych n,_,

|η_k(z)| <  2d. Wtedy

Z

Γn

f dz =

n

X

k=1

Z zk

zk−1

f (z)dz =

n

X

k=1

Z zk

zk−1

[f (ζ_k) + η_k]dz = I_n+

n

X

k=1

Z zk

zk−1

η_k.

Zatem

    Z

Γn

f (z)dz − I_n    

≤

n

X

k=1

Z zk

zk−1

η_k(z)dz     

≤  2d

n

X

k=1

|z_k− z_k−1| ≤  2, bo dlugo´s´c |Γ_n| ≤ d. Stad i z (0.4) otrzymamy, ˙ze_,

    Z

K

f (z)dz − Z

Γn

f (z)dz    

≤     Z

K

f (z)dz − I_n    

+     Z

Γn

f (z)dz − I_n    

≤ .

Poniewa˙z R

Γnf (z)dz = 0 z poprzedniego kroku, to modu l z ca lki   R

Kf (z)dz

 jest dowolnie ma ly. Zatem ca lka R

Kf (z)dz=0.

Zaprezentowane wy˙zej metody pozwali ly dowie´s´c Podstawowe twierdzenie ca lkowe Cauchy tylko dla waskiej klasy krzywych. Do udowodnienia wersji og´_, olnej tego twierdzenia potrze- bujemy definicji homotopii krzywych (ju˙z o niej wspominali´smy na poprzednim wyk ladzie) Definicja

Dwie krzywe K₁, K₂ parametryzowane odpowiednio funkcjami

z₁ : < 0, 1 > 3 t 7→ z(t) ∈ K₁ z₂ : < 0, 1 > 3 t 7→ z(t) ∈ K₂,

o wsp´olnych poczatkach i ko´_, ncach z₁(0) = z₂(0) = A, z₂(1) = z₂(1) = B nazywamy homo- topijnie r´ownowa˙znymi (homotopijnymi) w obszarze D, je´sli istnieje ciag le przekszta lcenie_, H(s, t) :< 0, 1 > × < 0, 1 > 3 (s, t) 7→ H(s, t) ∈ D

(1) H(0, t) = z₁(t) H(1, t) = z₂(t), t ∈ I, (2) H(s, 0) = A H(s, 1) = B, s ∈ I.

Je˙zeli krzywe K₁ i K₂ sa zamkni_, ete, to warunek (2) w definicji homotopi zast_, epuj_, emy warun-_, kiem

(2⁰) H(s, 0) = H(s, 1) = ustalony punkt np. A, s ∈ I.

Relacja homotopijnej r´ownowa˙zno´sci krzywych jest relacja r´_, ownowa˙zno´sci. Dzieki temu_, wszystkie krzywe w obszarze D majace ten sam pocz_, atek i koniec lub wszystkie krzywe za-_, mkniete mo˙zna podzieli´_, c na klasy krzywych homotopijnych. W´sr´od nich wa˙zna rol_, e odgrywa_, klasa dr´og homotopijnych z punktem.

Definicja

Obszar D ⊂ C nazywamy jednosp´ojnym, je´sli ka˙zda krzywa zamknieta K ⊂ D jest homoto-_, pijna z punktem. W przeciwnym przypadku m´owimy, ˙ze obszar jest wielosp´ojny.

Twierdzenie

Je˙zeli funkcja f ∈ H(D) a krzywe kawa lkami g ladkie K1, K2 ⊂ D o wsp´olnych ko´ncach sa_, homotopijnie r´ownowa˙zne w D, to

Z

K1

f (z)dz = Z

K2

f (z)dz.

Bez dowodu. Jego dow´od mo˙zna znale´z´c w ksia´_,zce Szabata wymienionej na poczatku wyk ladu._, Wynika stad, ˙ze warto´_, s´c ca lki zale ˙zy nie od krzywej ale od klasy homotopii krzy- wej.

Wniosek

Je˙zeli funkcja f ∈ H(D) a kontury K₁, K₂ ⊂ D sa homotopijnie r´_, ownowa˙zne w D, to Z

K1

f (z)dz = Z

K2

f (z)dz.

Twierdzenie (Podstawowe twierdzenie Cauchy-wersja og´olna)

D ⊂ C, D-obszar jednosp´ojny, f ∈ H(D). Wtedy dla ka˙zdego konturu K ⊂ D Z

K

f (z)dz = 0.

Twierdzenie to w wynika z poprzedniego twierdzenia oraz z za lo˙zenia, ˙ze obszar D jest jed- nosp´ojny.

Uwaga

Podstawowe twierdzenie Cauchy (wersja og´olna) daje sie uog´_, olni´c na przypadek gdy f ∈ H(D) i f ciag la na ¯_, D, a ¯D jest konturem. Wtedy

Z

∂D

f (z)dz = 0.

B. Twierdzenie Cauchy dla obszar´ow wielosp´ojnych

Poni˙zej korzystamy z jeszcze innej definicji jednosp´ojno´sci obszar´ow D ⊂ C (analogia dla D ⊂ R²).

Definicja

Obszar D ⊂ C jest n − sp´ojny wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg ∂D ma n-sk ladowych (one nie musza by´_, c krzywymi!!). W szczeg´olno´sci obszar D ⊂ C jest jednosp´ojny wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg ∂D ma dok ladnie 1 -sk ladowa._,

Twierdzenie (Twierdzenie Cauchy dla obszar´ow wielosp´ojnych) Niech D bedzie domkni_, etym obszarem n-sp´_, ojnym postaci

D = (D₀∪ K₀) \

n−1

[

i=1

D_i

gdzie ∀i 6= j, D_i ∩ D_j = ∅, ∀i D_i ⊂ D₀, ∂D_i = K_i, i = 0, . . . , n − 1, K_i-kontury dodatnio zorientowane wzgledem D_i. Je˙zeli f jest holomorficzna w D, to

Z

K0

f (z)dz =

n−1

X

i=1

Z

Ki

f (z)dz.

Uwaga

• W tym twierdzeniu rozpatrujemy obszary n-sp´ojne, gdzie sk ladowe brzegu nie tylko sa_, krzywymi. ˙Zadamy wi_, ecej. Maj_, a by´_, c konturami, bo po takich krzywych umiemy ca lkowa´c.

• Zb´or D jest domnkniety, zatem za lo˙zenie f ∈ H(D) oznacza, ˙ze f jest holomorficzna_, tak˙ze na ∂D.

Dow´od

Dow´od podamy dla obszaru 2-sp´ojnego. Podzielimy obszar D na dwa obszary jednosp´ojne

∆₁, ∆₂ krzywymi L₁, L₂ lacz_, acymi kontury K_{, 0} i K₁. Niech Γ_i, oznacza brzeg obszaru ∆_i, i = 1, 2. Jest to krzywa g ladka poza sko´nczona liczb_, a punkt´_, ow. Dla takich krzywych przenosza_, sie wszystkie poznane dotychczas twiedzenia o ca lkowaniu. Wybieramy na Γ_{, i}, orientacje_, dodatnia wzgl_, edem obszaru ∆_{, i}, i = 1, 2. Zatem

Γ⁺₁ = ∂∆1 := K₀₁⁺ ∪ L⁻₁ ∪ K₁₁⁻ ∪ L⁻₂, Γ⁺₂ = ∂∆2 := K₀₂⁺ ∪ L⁺₂ ∪ K₁₂⁻ ∪ L⁺₁

(patrz Rys. 5- w odzielnym pliku). Na mocy podstawowego twierdzenia ca lkowego Cauchy R

Γif (z)dz = 0, i = 1, 2. Stad_, 0 =

Z

Γ1

f (z)dz + Z

Γ2

f (z)dz = Z

K⁺₀₁

f (z)dz + Z

L⁻₁

f (z)dz + Z

K₁₁⁻

f (z)dz + Z

L⁻₂

f (z)dz+

Z

K₀₂⁺

f (z)dz + Z

L⁺₁

f (z)dz + Z

K₁₂⁻

f (z)dz + Z f

L⁺₂

(z)dz = Z

K₀⁺

f (z)dz − Z

K₁⁺

f (z)dz i w konsekwencji

Z

K₀⁺

f (z)dz = Z

K⁺₁

f (z)dz.

C. Wz´or ca lkowy Cauchy

Poni˙zsze twierdzenie odegra kluczowa rol_, e w dowodzie Twierdzenia Taylora (!)_,

Twierdzenie (Wz´or ca lkowy Cauchy)

Je˙zeli funkcja f jest holomorficzna wewnatrz obszaru jednosp´_, ojnego D i na jego brzegu ∂D, kt´ory jest konturem, to ∀z ∈ D

f (z) = 1 2πi

Z

∂D

f (ζ) ζ − zdζ.

Dow´od

Niech z ∈ D, K(z, r) = {w : |w − z| < r} ⊂ D, r tak ma le aby K(z, r) ⊂ D (patrz Rys 6- w oddzielnym pliku). Poniewa˙z funkcja ^{f (ζ)}_ζ−z jest funkcja holomorficzn_, a w obszarze_, D₁ : ¯D \ K(z, r), to z uog´olnienia twierdzenia Cauchy dla obszar´ow wielosp´ojnych otrzymamy,

˙ze Z

∂D

f (ζ) ζ − zdζ =

Z

∂K

f (ζ) ζ − zdζ,

gdzie ∂K jest zorientowany dodatnio. Ca lke po prawej stronie mo˙zna zapisa´_, c jako sume ca lek_, Z

∂K

f (ζ)

ζ − zdζ = f (z) Z

∂K

dζ ζ − z +

Z

∂K

f (ζ) − f (z)

ζ − z dζ. (0.5)

Z przyk ladu podstawowego wynika, ˙ze pierwsza z ca lek po prawej stronie (0.5) r´owna sie_, f (z)

Z

∂K

1

ζ − zdζ = f (z)2πi.

Nale˙zy pokaza´c, ˙ze druga z ca lek po prawej stronie (0.5) zeruje sie. Wybierzmy r tak ma le_, aby dla |ζ − z| = r zachodzilo, ˙ze |f (ζ) − f (z)| < _2π^ . Wynika to z faktu, ˙ze f ∈ C(D). Zatem

    Z

∂K

f (ζ) − f (z) ζ − z dζ

≤ Z

∂K

|f (ζ) − f (z)|

|ζ − z| |dζ| ≤ 2πr r

 2π = , gdzie R

∂K|dζ| = 2πr. Z dowolno´sci  mamy, ˙ze R

∂K

f (ζ)−f (z)

ζ−z dζ = 0.

Wniosek

Je˙zeli funkcja f jest holomorficzna wewnatrz obszaru jednosp´_, ojnego D i na jego brzegu ∂D, kt´ory jest konturem, to

Z

∂D

f (ζ)

ζ − zdζ = 2πif (z).

Wniosek

Wz´or ca lkowy Cauchy m´owi, ˙ze warto´sci funkcji holomorficznej w dowolnym punkcie z nale˙zacym_, do obszaru D sa wyznaczone przez warto´sci funkcji na brzegu obszaru._,

Przyk lad Obliczy´c

Z

|z|=2

dz z²+ 1.

Obszar D ograniczony okregiem {z : |z| = 2} zawiera dwa punkty z_{, 1} = i, z₂ = −i w kt´orych funkcja podca lkowa nie jest holomorficzna. Zdefiniujmy ma le dyski

D₁ = {z : |z − i| < 1

2}, D₂ = {z : |z + i| < 1 2}.

Niech K_i = ∂D_i, i = 1, 2, beda dodatnio zorientowanymi konturami. Korzystaj_, ac z twierdze-_, nia Cauchy dla obszar´ow wielosp´ojnych otrzymamy, ˙ze

Z

|z|=2

dz z²+ 1 =

Z

K1

dz z²+ 1 +

Z

K2

dz z²+ 1. Ca lki po prawej stronie zapiszemy w nastepujacy spos´_, ob:

Z

K1

dz z²+ 1 =

Z

K1

1 z+idz

z − i oraz Z

K2

dz z²+ 1 =

Z

K2

1 z−idz z + i.

Nale˙zy zauwa˙zy´c, ˙ze funkcje: f1(z) = _z+i¹ ∈ H(D1), f2(z) = _z−i¹ ∈ H(D2), zatem korzystajac_, ze wzoru ca lkowego Cauchy odpowiednio do obszar´ow D₁ i D₂ otrzymamy

Z

K1

1 z+idz z − i +

Z

K2

1 z−idz

z + i = 2πi(f₁(i) + f₂(−i)) = 2πi 1 2i + 1

−2i



= 0.

Twierdzenie (o warto´sci ´sredniej funkcji holomorficznej)

Je˙zeli f jest funkcja holomorficzn_, a w obszarze D, z ∈ D, D(z, r) ⊂ D, to_, f (z) = 1

2π Z 2π

0

f (z + re^it)dt.

Dow´od

Niech z ∈ D, K = ∂D(z, r) = {ζ : |ζ − z| = r} = {ζ : ζ = z + re^it, t ∈ [0, 2π)} ⊂ D. Z twierdzenia o wzorze ca lkowym Cauchy wynika, ˙ze

f (z) = 1 2πi

Z

K

f (ζ)

ζ − zdζ = 1 2πi

Z 2π 0

f (z + re^it)

re^it ire^itdt = 1 2π

Z 2π 0

f (z + re^it)dt,

∂D jest zorientowany dodatnio.