Twierdzenie Je˙zeli funkcje f i g s¸a ca lkowalne na przedziale [a

Ca lka oznaczona

1 Definicja i w lasno´sci ca lki oznaczonej

Je˙zeli funkcja f jest ci¸ag la w przedziale [a; b], to Z b

a

f (x) dx = F (b) − F (a),

gdzie F oznacza dowoln¸a funkcj¸e pierwotn¸a funkcji f w tym przedziale (tzn. F⁰(x) = f (x) dla x ∈ [a; b]).

Uwaga Zamiast F (b) − F (a) b¸edziemy pisa´c [F (x)]^b_a= F (x)|^b_a. Przyk lady

Z 2

−1

e^−x dx =−e^−x2

−1 = −e⁻²+ e¹ = e − 1 e², Z 4

1

√dx

x = 2√

x |⁴₁ = 2 · (2 − 1) = 2,

Z ^π₃

π 6

sin x dx = − cos x |^π/3_π/6 = −1 2 +

√3 2 =

√3 − 1 2 . Twierdzenie Je˙zeli funkcje f i g s¸a ca lkowalne na przedziale [a; b], to

Z b a

(f (x) + g(x)) dx = Z b

a

f (x) dx + Z b

a

g(x) dx, Z b

a

(f (x) − g(x)) dx = Z b

a

f (x) dx − Z b

a

g(x) dx, Z b

a

(λf (x)) dx = λ Z b

a

f (x) dx, λ ∈ R.

Przyk lady Z 4

1

 2

√x + 5√

x − 1 x√

x



dx = 2 Z 4

1

x⁻¹² dx + 5 Z 4

1

x¹² dx − Z 4

1

x⁻³² dx =

=h 4x¹²i4

1

+ 10 3 x³²

4 1

−h

−2x⁻¹²i4 1

= 4 · (2 − 1) + 10

3 · (8 − 1) + 2 · 1 2− 1



= 79 3 ,

Z ^π₂

0

sin²x dx = 1 2

Z ^π₂

0

(1 − cos 2x) dx = 1 2

 x − 1

2sin 2x

^π₂

0

= π 4. Twierdzenie Je˙zeli funkcje f i g maj¸a ci¸ag le pochodne w przedziale [a; b], to

Z b a

f (x)g⁰(x) dx = [f (x)g(x)]^b_a− Z b

a

f⁰(x)g(x) dx.

Przyk lady Z e

1

ln x dx =

&

f (x) = ln x g⁰(x) = 1 f⁰(x) = ¹_x g(x) = x

%

= [x ln x]^e₁− Z e

1

dx = 1,

Poniewa˙z Z

x sin x dx =

&

f (x) = x g⁰(x) = sin x f⁰(x) = 1 g(x) = − cos x

%

= −x cos x + Z

cos x dx = −x cos x + sin x + C,

to Z π

−π

x sin x dx = [−x cos x + sin x]^π_−π = 2π.

Twierdzenie Je˙zeli

1. funkcja ϕ : [α; β] → [a; b] ma ci¸ag l¸a pochodn¸a w przedziale [α; β], 2. ϕ(α) = a, ϕ(β) = b,

3. funkcja f jest ci¸ag la na przedziale [a; b], to

Z b a

f (x) dx = Z β

α

f (ϕ(t)) ϕ⁰(t) dt.

Uwaga Je˙zeli funkcja ϕ jest rosn¸aca, to Z b

a

f (x) dx =

Z ϕ⁻¹(b) ϕ⁻¹(a)

f (ϕ(t)) ϕ⁰(t) dt.

Przyk lady Z 3

2

(2x − 5)⁹ dx =











2x − 5 = t 2dx = dt dx = ¹₂dt









= 1 2

Z 1

−1

t⁹ dt = 1 20t¹⁰1

−1 = 0,

Poniewa˙z Z

x√

1 + x dx =











1 + x = t² x = t² − 1 dx = 2tdt









= Z

(t² − 1) · t · 2t dt = 2 Z

(t⁴− t²) dt =

= 2 5t⁵−2

3t³+ C = 2 5

p(1 + x)⁵− 2 3

p(x + 1)³+ C, to

Z 1 0

x√

1 + x dx = 2 5

p(1 + x)⁵−2 3

p(x + 1)³

1 0

= 4 15

√

2 + 1 .

Twierdzenie Je˙zeli funkcja f jest ca lkowalna w przedziale [a; b] oraz c ∈ (a; b), to Z b

a

f (x) dx = Z c

a

f (x) dx + Z b

c

f (x) dx.

Przyk lady Z 3

−1

|2x − 4| dx = Z 2

−1

(4 − 2x) dx + Z 3

2

(2x − 4) dx =4x − x²2

−1+x²− 4x3 2 = 10,

Z π

−π

sign (cos x) dx =

Z −π/2

−π

(−1) dx + Z π/2

−π/2

1 dx + Z π

π/2

(−1) dx = 0.

Twierdzenie Je˙zeli funkcja f jest ca lkowalna w przedziale [a; b] oraz m ≤ f (x) ≤ M dla ka˙zdego x ∈ [a; b], to

m(b − a) ≤ Z b

a

f (x) dx ≤ M (b − a).

Przyk lad Mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze funkcja f (x) = exp[x²], x ∈ [−1; 1] spe lnia nier´owno´s´c 1 ≤ f (x) ≤ e, −1 ≤ x ≤ 1,

a wi¸ec

2 ≤ Z 1

−1

exp[x²] dx ≤ 2e.

Niech funkcja f b¸edzie ca lkowalna w przedziale [a; b]. Warto´sci¸a ´sredni¸a funkcji f w przedziale [a; b] nazywamy liczb¸e

f_sr = 1 b − a

Z b a

f (x) dx.

Przyk lad Poziom wody w zbiorniku retencyjnym wyra˙za si¸e (w metrach) wzorem H(t) = 100 + 20 sinπt

24,

gdzie 0 ≤ t ≤ 24, oznacza czas liczony w godzinach. Obliczymy ´sredni poziom wody w tym zbiorniku w ci¸agu doby.

H_sr = 1 24

Z 2 0

4



100 + 20 sinπt 24



dt = 1 24



100t −480

π cosπt 24

24 0

= 100 +40

π ≈ 112, 73.

Twierdzenie Je˙zeli funkcja f jest ca lkowalna w przedziale [a; b], to istnieje taki punkt c ∈ (a; b), ˙ze

Z b a

f (x) dx = f (c)(b − a).

Przyk lad Niech f (x) = 3x², −1 ≤ x ≤ 3.

Z 3

−1

3x² dx =x³3

−1 = 28.

Wobec tego mamy 28 = 3c²· 4, sk¸ad c =q

7

3 ≈ 1, 53.

2 Zastosowania ca lek oznaczonych

2.1 Pole obszaru p laskiego

Niech funkcje d i g b¸ed¸a ci¸ag le w przedziale [a; b] oraz d(x) ≤ g(x) dla ka˙zdego x ∈ [a; b]. Wtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz prostymi x = a, x = b, wyra˙za si¸e wzorem

|D| = Z b

a

[g(x) − d(x)] dx.

Przyk lady

1. Obliczymy pole obszaru D ograniczonego krzywymi y = x⁴, y = 2 − x².

|D| = Z 1

−1

2 − x²− x⁴ dx =



2x −1

3x³− 1 5x⁵

1

−1

= 44 15.

2. Obliczymy pole obszaru D ograniczonego krzyw¸a y = cos x, osi¸a Ox oraz prostymi x = 0 i x = π.

|D| = Z π/2

0

[cos x − 0] dx + Z π

π/2

[0 − cos x] dx = [sin x]^π/2₀ + [− sin x]^π_π/2 = 2.

3. Obliczymy pole obszaru D ograniczonego krzywymi y = x³, x = y³.

|D| = 2 Z 1

0

√₃

x − x³

dx = 2 3 4

√3

x⁴− 1 4x⁴

1 0

= 1.

2.2 D lugo´s´c krzywej

Niech funkcja f ma ci¸ag l¸a pochodn¸a w przedziale [a; b]. Wtedy d lugo´s´c krzywej L : y = f (x), x ∈ [a; b], wyra˙za si¸e wzorem

|L| = Z b

a

p1 + [f⁰(x)]² dx.

Przyk lad Obliczymy d lugo´s´c krzywej L : 9y² = 4x³, 0 ≤ x ≤ 3, y ≥ 0.

Przyjmujemy f (x) = ²₃√

x³, sk¸ad f⁰(x) =√

x. czyli

|L| = Z 3

0

√1 + x dx =











1 + x = t² x = t²− 1 dx = 2tdt









= Z 2

1

2t² dt =  2 3t³

2 1

= 14 3 .

2.3 Obj¸eto´s´c i pole powierzchni bry ly obrotowej

Niech dany b¸edzie krzywa o r´ownaniu y = f (x), x ∈ [a; b], gdzie f jest funkcj¸a ci¸ag l¸a wraz z pochodn¸a i nieujemn¸a. W´owczas obj¸eto´s´c bry ly obrotowej ograniczonej powierzchni¸a, kt´ora powstaje, gdy krzywa obraca si¸e dooko la osi Ox, obliczamy wed lug wzoru

V = π Z b

a

f²(x) dx.

Pole powierzchni obrotowej powsta lej przez obr´ot krzywej dooko la osi Ox, obliczamy wed lug wzoru

S = 2π Z b

a

f (x)p

1 + [f⁰(x)]² dx.

Przyk lad Obliczymy obj¸eto´s´c i pole powierzchni bry ly powsta lej przez obr´ot dooko la osi Ox krzywej L : y² = 4x, 0 ≤ x ≤ 3, y ≥ 0.

Przyjmujemy f (x) = 2√ x.

V = π Z 3

0

2√ x2

dx = π Z 3

0

4x dx = π2x²3

0 = 18π.

Poniewa˙z f⁰(x) = ^√1_x, wi¸ec

S = 2π Z 3

0

2√ x

r 1 + 1

x dx = 4π Z 3

0

√x + 1 dx = 4π 2 3

p(x + 1)³

3 0

= 56 3 π.