(1)Residua, Twierdzenie Cauchy’ego o residuach, obliczanie ca lek za pomoca, residu´ow Definicja 1

Residua, Twierdzenie Cauchy’ego o residuach, obliczanie ca lek za pomoca_, residu´ow

Definicja 1.

Je˙zeli f ∈ H(P (z₀, 0, δ)),K jest dowolnym konturem zawartym w pier´scieniu i zawierajacym w_, swym wnetrzu z_, 0, to liczbe_{, 2πi}¹ R

Kf (z)dz nazywamy residuum funkcji w punkcie z0i oznaczamy res_z0f (z).

Wniosek 1.

Je˙zeli punkt z₀ jest punktem regularnym lub punktem pozornie osobliwym funkcji f , to res_z0f (z) = 0.

Uwaga 1.

res_z0f (z) = c−1, gdzie c−1 jest wsp´o lczynnikiem rozwniecia f w szereg Laurenta w P (z_{, 0}, 0, δ).

Uwaga 2.

Je˙zeli punkt z₀ jest biegunem k-krotnym to f (z) = c−k

(z − z₀)^k + c−k+1

(z − z₀)^k−1 + . . . + c−1

z − z₀ +

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ,

gdzie c−k 6= 0. Wtedy residuum funkcji w punkcie z₀ liczymy ze wzoru res_z0f (z) = lim

z→z0

1 (k − 1)!

d^k−1

dz^k−1 (z − z₀)^kf (z) . W szczeg´olno´sci dla k = 1

res_z0f (z) = lim

z→z0

(z − z₀)f (z).

Uwaga 3.

Residuum funkcji w punkcie istotnie osobliwym obliczamy rozwijajac funkcj_, e f w szereg_, Laurenta w otoczeniu nak lutym tego punktu.

Twierdzenie 1. (Cauchy’ego o residuach)

Niech D ⊂ C bedzie obszarem jednosp´_, ojnym, ∂D jest konturem. Je˙zeli f jest holomorficzna w ¯D poza wyjatkiem sko´_, nczenie wielu punkt´ow osobliwych izolowanych a₁, a₂, . . . , a_n∈ D, to

Z

∂D

f (z)dz = 2πi

n

X

k=1

res_akf (z).

Definicja 2.

Niech funkcja f holomorficzna w P (0, R, ∞) = {z : R < |z| < ∞} ma w niesko´nczono´sci punkt izolowany. Wtedy residuum res∞f (z) definiujemy jako

res∞f (z) = 1 2πi

Z

K

f (z)dz,

gdzie K jest konturem obiegajacym zero zorientowanym zgodnie z ruchem wskaz´owek zegara (czyli dodatnio wobec nieograniczonej sk ladowej ¯C \ K).

Poniewa˙z f rozwija sie w szereg Laurenta f (z) =_, P∞

k=−∞c_nzⁿw P (0, R, ∞) = {z : R < |z| <

∞}, to ca lkujac ten szereg wyraz po wyrazie wzd lu˙z konturu K otrzymamy, ˙ze_, res∞f (z) = −c₁.

Minus przed wyrazem c1 bierze sie st_, ad, ˙ze kontur K jest skierowany zgodnie z ruchem_, wskaz´owek zegara.

Twierdzenie 2.(o pe lnej sumie residu´ow)

Je˙zeli f jest holomorficzna w C z wyjatkiem punkt´_, ow a₁, a₂, . . . , a_n, to

n

X

k=1

res_akf (z) + res∞f (z) = 0.

Wpropadzamy oznaczenia: Niech R ∈ R⁺, odcinek [−R, R] bedzie podzbiorem osi OX, Γ_{, R}= {z : |z| = R, Imz ≥ 0}- p´o lokrag,_,

Γ := Γ_R∪ [−R, R].

Lemat 1. (Jordana)

Niech f bedzie funkcj_, a holomorficzn_, a w {z : Imz ≥ 0} z wyj_, atkiem sko´_, nczonej ilo´sci punkt´ow, niele˙zacych na osi OX oraz M (R) = max_{, ΓR}|f (z)| → 0 dla R → ∞. W´owczas dla dowolnego λ > 0

Z

ΓR

f (z)e^iλzdz → 0 dla R → ∞.

Lemat 2.

Niech f bedzie funkcj_, a holomorficzn_, a w {z : Imz ≥ 0} z wyj_, atkiem sko´_, nczonej ilo´sci punkt´ow

a_k, k = 1, . . . , n, niele˙zacych na osi OX. Ponadto zak ladamy, ˙ze f jest rzeczywista na osi 0X_, oraz dla |z| ≥ r spe lnia warunek |f (z)| ≤ _|z|^Mα, gdzie α > 1, M > 0 . W´owczas ca lka z funkcji f (x) istnieje i wyra˙za sie wzorem_,

Z ∞

−∞

f (x)dx = 2πi

n

X

k=1

resa_kf (z).

Uwaga 4.

Lemat 1 i Lemat 2 sa tak˙ze prawdziwe dla dolnej p´_, o lp laszczyzny.

1. Obliczy´c

Z ∞

−∞

cos kx

x²+ a²dx, k > 0, a > 0.

Jako funkcje zespolon_, a bierzemy f (z) =_{, z}^e2^ikz+a², kt´ora ma bieguny w punktach ±ai.

Poniewa˙z do obszaru ograniczonego Γ nale˙zy tylko jeden biegun ai to z twierdzenia Cauchy’ego o liczeniu ca lek za pomoca residu´_, ow otrzymamy,

Z

Γ

e^ikz

z²+ a²dz = 2πires_ai

 e^ikz z² + a²

 . Policzymy residuum f w biegunie ai.

res_aif (z) = lim

z→ai(z − ai) e^ikz

(z − ai)(z + ai) = lim

z→ai

e^ikz

(z + ai) = e^−ak 2ai , czyli R

Γf (z)dz = 2πi^e_2ai^−ak = _ae^πak. Z

Γ

f (z)dz = Z

ΓR

e^ikz

z²+ a²dz + Z R

−R

e^ikx x²+ a²dx.

Dla R → ∞ zachodzi, ˙ze  _z2+a¹ ₂

→ 0 (korzystamy z lematu Jordana) oraz Z R

−R

e^ikx

x²+ a²dx → Z ∞

−∞

e^ikx

x²+ a²dx = Z ∞

−∞

cos kx

x²+ a²dx + i Z ∞

−∞

sin kx x²+ a²dx.

Tak wiec dostaniemy, ˙ze_, π ae^ak =

Z

Γ

f (z)dz = Z ∞

−∞

cos kx

x²+ a²dx + i Z ∞

−∞

sin kx x²+ a²dx.

Zatem

π ae^ak =

Z ∞

−∞

cos kx x²+ a²dx.

2. Zastosowanie twierdzenia Cauchy’ego o liczeniu ca lek za pomoca residu´_, ow do ca lek postaci

Z 2π 0

f (cos φ, sin φ)dφ.

Wprowadzamy zmienna z = e_, ^iφ, φ ∈ [0, 2π]. Wtedy cos φ = e^iφ+ e^−iφ

2 = z + z⁻¹

2 , sin φ = e^iφ− e^−iφ

2i = z − z⁻¹ 2i , Z 2π

0

f (cos φ, sin φ)dφ = Z

|z|=1

f (z + z⁻¹

2 ,z − z⁻¹ 2i )dz

iz. Zastosujemy to do obliczenia ca lki

Z 2π 0

dφ

5 + 4 sin(φ) = Z

|z|=1

dz iz

5 + 4^z−z_2i⁻¹ = Z

|z|=1

dz

5iz + 2z(z − z⁻¹) = Z

|z|=1

dz 2z²+ 5iz − 2 Z

|z|=1

dz

2(z + 2i)(z + ¹₂i) = 2πires₋¹

2i

1

2z²+ 5iz − 2 = 2πi lim

z→−¹₂i

dz

2(z + 2i)(z + ¹₂i) = 2π 3 . 3. Wykaza´c, ˙ze

Z ∞ 0

sin x x = π

2.

Niech r < R, γ_r = {z : z = re^it, t ∈ [0, π]}, [−R, −r], [r, R] odcinki zawarte w osi OX. Tworzymy zamkniet_, a krzyw_, a Γ := Γ_{, R}∪ [−R, −r] ∪ γ_r∪ [r, R], kt´ora orientujemy_, dodatnio wzgledem obszaru D, kt´_, ory ona ogranicza.

Niech f (z) = ^e_z^iz, wtedy f ∈ H(D). Zatem z podstawowego tw. Cauchy’ego

0 = Z

Γ

f (z)dz = Z

ΓR

e^iz z dz +

Z −r

−R

e^ix x dx +

Z R r

e^ix x dx +

Z

γr

e^iz

z dz. (1)

Dla z ∈ Γ_R mamy

e^iz z

= |e^i(x+iy)|

R = |e^ix|e^−y

R = e^−y R → 0

dla R → ∞, bo y > 0. Stad_,

Z

ΓR

e^iz

z dz → 0.

Dla z ∈ γ_R mamy e^iz

z = 1 + iz +^(iz)_2!² + ^(iz)_3!³ = . . .

z = 1

z + i + −z

2! + − − iz²

3! + . . . = 1

z + g(z) Stad_,

Z

γr

e^iz z dz =

Z

γr

1 zdz +

Z

ΓR

g(z)dz.

Policzymy kolejno ca lki. Dla z ∈ γ_r, z = re^it, t ∈ [0, π]

Z

γr

1

zdz = − Z π

0

1

re^itire^itdt = −iπ.

Na γ_r |g(z)| ≤ M , zatem    R

γrg(z)dz  

≤ M πr → 0 dla r → 0. Stad_, limr→0

Z

γr

e^iz

z dz = −iπ + 0 = −iπ. (2)

Dla R → ∞ i r → 0

Z −r

−R

e^ix x dx +

Z R r

e^ix x dx



⇒ Z 0

−∞

e^ix x dx +

Z ∞ 0

e^ix x dx.

Je´sli w ca lceR0

−∞

e^ix

x dx dokonamy podstawienia x = −t, to otrzymamy ca lke −_, R∞ 0

e^−ix x dx.

Tak wiec z (1) i (2) wynika, ˙ze dla R → ∞ i r → 0_, 0 = 0 +

Z 0

−∞

e^ix x dx +

Z ∞ 0

e^ix

x dx − iπ.

Zatem iπ =

Z ∞ 0

e^ix− e^−ix

x dx =

Z ∞ 0

(e^ix− e^−ix)2i

x2i dx = 2i Z ∞

0

sin x

x dx ⇒

Z ∞ 0

sin x

x dx = π 2.