Mechanika i wytrzymałość materiałów

(1)

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

Wykład Nr 12

Zginanie prętów prostych

naprężenia towarzyszące zginaniu, zginanie czyste, zginanie proste, oś obojętna, linia ugięcia belki, rozkład naprężeń w pręcie zginanym, warunek bezpieczeństwa na zginanie, wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, dobór wymiarów przekrojów poprzecznych prętów zginanych, przykłady obliczeniowe

(2)

12.1. Zginanie belek – siły wewnętrzne i naprężenia

𝑵 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒙 = 𝝉_𝒛𝒙

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒚 = 𝝉_𝒛𝒚

𝑨 𝒅𝑨

𝑴_𝒈𝒙 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒚 𝒅𝑨

𝑴_𝒈𝒚 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒙 𝒅𝑨

𝑴_𝑺 = 𝝉_𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉_𝒛𝒙 𝒚

𝑨 𝒅𝑨

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie - skręcanie

Czyste zginanie – przypadek obciążenia kiedy w przekroju poprzecznym belki działa jedynie moment zginający.

Proste zginanie – przypadek obciążenia kiedy wypadkowy moment zginający w przekroju poprzecznym belki działa wzdłuż jednej z głównych osi bezwładności, tj. M_gx 0  M_gy 0 lub M_gx  0  M_gy  0.

𝑴_𝒈𝒚

𝑴_𝐒

𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒏

𝑴

_𝒊

𝒒

_𝒊

z≡ n x

y

O≡C

dA

y

A

𝝉_𝒛𝒚

𝑻_𝒙 𝑵

𝑻_𝒚

𝝈

_𝒛

𝑴_𝒈𝒙

x, y – główne osie bezwładności

© T. Machniewicz

(3)

12.2. Czyste zginanie 𝑷

y

z

a

𝑹 𝑹 ^𝒏 𝑭_𝒊𝒚

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑴_𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎

𝑹_𝐀 = 𝑹_𝐁 = 𝑹 = 𝑷

T

z

M_g

z

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂

z

𝑴_𝒈(𝒛) = −𝑷 ∙ 𝒛

𝑴_{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒂)} = −𝑷𝒂

z

𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂 + 𝒍

a l

𝑷

A B

𝑷

−𝑷𝒂

𝑷 𝑷

z₁

𝑴_𝒈(𝒛) = −𝑷 ∙ 𝒛 + 𝑷 𝒛 − 𝒂 = −𝑷𝒂 𝟎 ≤ 𝒛_𝟏 ≤ 𝒂

𝑴_{𝒈(𝒛𝟏)} = −𝑷 ∙ 𝒛_𝟏

𝑴_{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴_{𝒈(𝒛𝟏=𝒂)} = −𝑷𝒂 Czyste zginanie – przypadek obciążenia kiedy w przekroju poprzecznym belki działa jedynie moment zginający.

Czyste zginanie

© T. Machniewicz

(4)

12.3. Odkształcenia pręta pod wpływem czystego zginania

𝑴_𝒈 𝑴_𝒈

Przekroje poprzeczne odkształconej belki pozostają płaskie.

Warstwy ściśnięte (skrócone)

Warstwy rozciągnięte (wydłużone)

© T. Machniewicz

(5)

12.3. Odkształcenia pręta pod wpływem czystego zginania

𝑴_𝒈 𝑴_𝒈

Warstwy rozciągane (wydłużone)

Warstwy ściskane (skrócone)

Warstwa obojętna – warstwa prostopadła do przekrojów poprzecznych belki, w której odległość pomiędzy tymi przekrojami nie ulega zmianie.

 Warstwa obojętna dzieli przekroje belki na część rozciąganą i ściskaną.

 W warstwie obojętnej włókna materiału belki nie ulegają zmianom długości

 naprężenia normalne w tej warstwie są równe zeru (zgodnie z prawem Hooke’a).

Oś obojętna – ślad warstwy obojętnej na płaszczyźnie przekroju poprzecznego belki

Linia ugięcia – linia łącząca środki ciężkości przekrojów poprzecznych odkształconej belki.

Linia ugięcia

© T. Machniewicz

(6)

12.4. Naprężenia normalne w pręcie poddanym zginaniu

𝑴_𝒈 𝑴_𝒈

dz

y

dz

y 

y d

𝒅𝒛 = 𝝆 ∙ 𝒅𝝋

𝒅𝒛 + ∆𝒅𝒛 = (𝝆 + 𝒚) ∙ 𝒅𝝋 𝜺 = 𝒅𝒛 + ∆𝒅𝒛 − 𝒅𝒛

𝒅𝒛 = (𝝆 + 𝒚) ∙ 𝒅𝝋 − 𝝆 ∙ 𝒅𝝋

𝝆 ∙ 𝒅𝝋 = 𝒚 𝝆 Zgodnie z prawem Hooke’a: 𝝈𝒈 = 𝑬 ∙ 𝜺

𝝈

_𝒈

= 𝑬

𝝆 𝒚

y

_g

© T. Machniewicz

(7)

12.5. Rozkład naprężeń w pręcie zginanym

𝑴_𝒈𝒚 = 𝟎 x

y

O

dA

y

A

𝑵 = 𝟎

𝝈

_𝒈

𝑴_𝒈𝒙

x

y 𝝈_𝒈 = 𝑬

𝝆𝒚

𝑴_𝒈𝒚 = 𝝈_𝒈

𝑨 𝒙 𝒅𝑨 𝑵 = 𝝈_𝒈

𝑨 𝒅𝑨

𝑺_𝒙 = 𝟎

≡C

x – oś centralna

= 𝑬

𝝆 ∙ 𝒚

𝑨 𝒅𝑨 = 𝑬

𝝆 ∙ 𝑺_𝒙 = 𝟎 (1) 𝑺_𝒙

= 𝑬

𝝆 ∙ 𝒙 ∙ 𝒚

𝑨 𝒅𝑨 = 𝟎 𝑱_𝒙𝒚

𝑱_𝒙𝐲 = 𝟎

x-y – główne osie bezwładności (2) Wnioski:

 Osie x-y to główne (2) centralne (1) osie bezwładności.

 W przypadku czystego (i prostego) zginania oś obojętna pokrywa się z centralną (i główną) osią bezwładności, zgodną z kierunkiem działania momentu gnącego

© T. Machniewicz

(8)

12.5. Rozkład naprężeń w pręcie zginanym

𝑴_𝒈𝒚 = 𝟎 x

y

O≡C

dA

y

A

𝑵 = 𝟎

𝝈

_𝒈

𝑴_𝒈𝒙

x

y 𝝈_𝒈 = 𝑬

𝝆𝒚 𝑴_𝒈𝒙 = 𝝈_𝒈

𝑨 𝒚 𝒅𝑨 = 𝑬

𝝆 ∙ 𝒚^𝟐

𝑨 𝒅𝑨

𝑱_𝒙 𝑴_𝒈𝒙 = 𝑴_𝒈 = 𝑬

𝝆 ∙ 𝑱_𝒙 𝟏

𝝆 = 𝑴_𝒈

𝑬 ∙ 𝑱_𝒙 (𝑬 ∙ 𝑱_𝒙) - sztywność giętna 𝝈_𝒈 = 𝑬

𝝆𝒚 𝟏

𝝆 = 𝝈_𝒈 𝑬 ∙ 𝒚 𝝈_𝒈

𝑬 ∙ 𝒚 = 𝑴_𝒈

𝑬 ∙ 𝑱_𝒙 𝝈_𝒈 = 𝑴_𝒈 𝑱_𝒙 𝒚 Warunek bezpieczeństwa na zginanie

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_𝒈

𝑱_𝒙 ∙ 𝒚_𝒎𝒂𝒙≤ 𝒌_𝒈

𝒌_𝒈- dopuszczalne naprężenia przy zginaniu

© T. Machniewicz

(9)

12.6. Warunek bezpieczeństwa na zginanie

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = ^𝑴_𝑱^𝒈

𝒙 ∙ 𝒚_𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝒌_𝒈 (𝒌_𝒓, 𝒌_𝒄) 𝒌_𝒈- dopuszczalne naprężenia przy zginaniu

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈

𝑾_𝒈- wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie:

x C

y y

y max

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝑾_𝒈 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙 gdzie

… 𝐦𝐦^𝟑

𝐜𝐦^𝟑 𝐦^𝟑

…

𝑴_𝒈

Uwaga: Wskaźniki wytrzymałości przekrojów nie są addytywne (nie można ich dodawać ani odejmować)

© T. Machniewicz

(10)

12.7. Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie

𝑾_𝒈𝒙 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙 𝑱_𝒙 = 𝑱_𝒚 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟒

𝟔𝟒

𝒚_𝒎𝒂𝒙 = 𝒅 𝟐

𝑾_𝒈𝒙 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 𝟑𝟐

𝑱_𝒙 = 𝑱_𝒚 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 𝟔𝟒

y

O x O x

y

y max 𝒚_𝒎𝒂𝒙 = 𝑫

y max 𝟐

𝑾_𝒈𝒙 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙 𝑾_𝒈𝒙 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒

𝟔𝟒 ∙ 𝟐 𝑫

𝑾_𝒈𝒙 = 𝝅 ∙ 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 𝟑𝟐𝑫

𝑾_𝒈𝒙 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙 𝑱_𝒙 = 𝑩 ∙ 𝑯^𝟑

𝟏𝟐

𝒚_𝒎𝒂𝒙 = 𝑯 𝟐

𝑾_𝒈𝒙 = 𝑩 ∙ 𝑯^𝟐 𝟔

𝑾_𝒈𝒙 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙 𝑾_𝒈𝒙 = 𝑩 ∙ 𝑯^𝟑 − 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑

𝟏𝟐 ∙ 𝟐 𝑯

𝑾_𝒈𝒙 = 𝑩 ∙ 𝑯^𝟑 − 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟏𝟐𝑯

C x y

y max

B

H O

ymax

B

Hh

y

x

b 𝑱_𝒙 = 𝑩 ∙ 𝑯^𝟑 − 𝒃 ∙ 𝒉^𝟑 𝟏𝟐

𝒚_𝒎𝒂𝒙 = 𝑯 𝟐

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈 𝑾_𝒈 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙

gdzie Wskaźniki wytrzymałości przekrojów nie są addytywne, np. :

(11)

12.8. Wymiarowanie elementów poddanych zginaniu - przykłady

Przykład 12.1:

Belka o przekroju jak na rysunku obciążona jest maksymalnym momentem M_max= 40 kNm.

Sprawdzić, czy spełniony jest warunek bezpieczeństwa, jeżeli k_g=160 MPa.

Dane: Szukane:

M_gmax= 40 kNm, k_g=160 MPa _max=?

20

20200

200 y 𝒚_𝑪 = 𝑺_𝒙

𝑨

x

= 𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎

𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟎 + 𝟐 ∙ 𝟐𝟎𝟎 = 𝟓𝟓 mm

x_c

y c = 55

𝑱_𝒙𝑪 = 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎 − 𝟓𝟓 ^𝟐 + +𝟐𝟎 ∙ 𝟐𝟎𝟎^𝟑

𝟏𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟎 ∙ 𝟓𝟓^𝟐 (𝐦𝐦^𝟒) 𝑱_𝒙𝑪 = 𝟑 𝟏𝟔𝟐 ∙ 𝟏𝟎^𝟒 (𝐦𝐦^𝟒)

𝑾_𝒈 = 𝑱_𝒙𝑪

𝒚_𝒎𝒂𝒙 = 𝟑 𝟏𝟔𝟐 ∙ 𝟏𝟎^𝟒

𝟏𝟓𝟓 = 𝟐𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟎^𝟑 (𝐦𝐦^𝟑) 𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝑾_𝒈 = 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎^𝟔

𝟐𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟎^𝟑 = 𝟏𝟗𝟔 𝐌𝐏𝐚 > 𝒌_𝐠 Warunek bezpieczeństwa nie jest spełniony ! y max= 155

(12)

Przykład 12.2:

Dobrać wymiar przekroju poprzecznego belki jak na rysunku.

Dane: Szukane:

q= 400 N/m, l=1 m, k_g=120 MPa d=?

A

y

z B

l

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍

𝑴_𝒈(𝒛) = −𝟐𝒒𝒍 ∙ 𝒛 − 𝒒𝒛^𝟐 𝟐 𝑴_{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎

𝑹_A

𝑻_(𝒛) = 𝟐𝒒𝒍 + 𝒒𝒛 𝒒

𝑻_(𝒛=𝟎) = 𝟐𝒒𝒍 𝑻_(𝒛=𝒍) = 𝟑𝒒𝒍

𝑷 = 𝟐𝒒𝒍

z

T z

𝑴_𝑼

Q_(z)=qz

𝑷 𝟑𝒒𝒍

𝑹_A

M_g z

𝑴_{𝒈(𝒛=𝒍)} = −𝟓 𝟐𝒒𝒍^𝟐

−𝟓 𝟐𝒒𝒍^𝟐 𝑴_U

𝟐𝒒𝒍

y x

d

𝟐 𝟑𝒅

𝑴_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = −𝟓

𝟐𝒒𝒍^𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎

(13)

Przykład 12.2:

Dobrać wymiar przekroju poprzecznego belki jak na rysunku.

Dane: Szukane:

q= 400 N/m, l=1 m, k_g=120 MPa d=?

A

y

z B

l

𝑹_A 𝒒 ^{𝑷 = 𝟐𝒒𝒍}

z

T z

𝑴_𝑼

Q_(z)=qz

𝑷 𝟑𝒒𝒍

𝑹_A

M_g z

−𝟓 𝟐𝒒𝒍^𝟐 𝑴_U

𝟐𝒒𝒍

y x

d

𝟐 𝟑𝒅

𝑴_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈

𝑾_𝒈 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙 𝑱_𝒙 = 𝒅^𝟒

𝟏𝟐 − 𝝅 𝟐 𝟑 𝒅

𝟒

𝟔𝟒 𝒚_𝒎𝒂𝒙 = 𝒅

𝟐

= 𝒅^𝟒

𝟏𝟐 𝟏 − 𝝅 𝟐𝟕

= 𝒅^𝟑

𝟔 𝟏 − 𝝅 𝟐𝟕 𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝟔 ∙ 𝑴_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝒅^𝟑 𝟏 − 𝝅𝟐𝟕

≤ 𝒌_𝒈

𝒅 ≥ 𝟔 ∙ 𝑴_{𝒈𝒎𝒂𝒙} 𝒌_𝒈 𝟏 − 𝝅

𝟐𝟕

𝟑 = 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟎^𝟑

𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟏 − 𝝅 𝟐𝟕

𝟑

Mechanika i wytrzymałość materiałów