Statystyczna Analiza Danych – ćwiczenia Właściwości estymatorów, przedziały ufności, MLE Dorota Celińska-Kopczyńska

Statystyczna Analiza Danych – ćwiczenia

Właściwości estymatorów, przedziały ufności, MLE

Dorota Celińska-Kopczyńska

Uniwersytet Warszawski

Zajęcia 2 12 marca 2021

Właściwości estymatorów

I Estymator θ_n= θ_n(X₁, . . . , X_n) parametru θ z próby losowej X1, . . . , Xnjest nieobciążony, gdy E (θn) = θ

I Obciążenie estymatora b(θ_n) = E (θ_n) − θ

I Estymator efektywny to estymator o najniższej wariancji I Estymator θ_nparametru θ jest zgodny, jeśli dla każdego

ε > 0 lim_n→P(|θ_n− θ| ­ ε) = 0

Przedziały ufności na poziomie ufności 1 − α

1. X₁, . . . , X_n– próba losowa z rozkładu normalnego N(µ, σ²) o nieznanym µ i znanym σ

I µ ∈ ( ¯Xn± q1−^α₂ √σ n)

2. X1, . . . , Xn– próba losowa z rozkładu normalnego N(µ, σ²) o nieznanych µ i σ

I µ ∈ ( ¯Xn± t1−^α₂ √Sn

n−1)

3. X1, . . . , Xn– próba losowa z rozkładu normalnego N(µ, σ²) o nieznanych µ i σ

I σ²∈ (_χ2^nS2n

1− α2,n−1

,_χ2^nSn2

α 2,n−1

)

Estymacja Największej Wiarogodności – schemat

1. Określamy postać funkcji gęstości

2. Obliczamy postać funkcji wiarogodności (mnożymy n funkcji gęstości). Funkcję wiarogodności oznaczamy przez

L(X1, X2, . . . , Xn, par1, par2, . . . , park)

3. Logarytmujemy funkcję wiarogodności log(L)

4. Optymalizacja: liczymy pochodzą po parametrach z log(L), przyrównujemy ją do 0

5. Sprawdzamy, że jest to maksimum (liczymy drugą

pochodną,...) – dla poprawności formalnej należy ten krok wykonać.