   Konstrukcja przedziałów ufności za pomocą funkcji centralnej (wiodącej) Przedziały ufności –estymacja przedziałowa

Przedziały ufności –estymacja przedziałowa

Niech X(X₁,...,X_n)będzie próbą prostą z rozkładu P_P {P_:}.

Definicja. Losowy przedział [L(X U), (X)], gdzie  P_(L(X)U(X))1, taki, że dla zadanego )

1 , 0

(

 P_(L(X)g()U(X))1 , nazywamy 100(1)%przedziałem ufności dla parametru g()R. Statystyki L(X)i ^U(X) nazywamy odpowiednio dolnym i górnym końcem przedziału a współczynnik 1 nazywamy poziomem ufności.

Interpretacja. Prawdziwa nieznana, nielosowa wartość g()z prawdopodobieństwem 1 należy do losowego przedziału (jest pokryta losowym przedziałem) [L(X U), (X)]. Nie można tu mówić o prawdopodobieństwie, że nieznany parametr będzie zawarty w jakimś stałym przedziale. Takie zdanie miałoby sens gdyby nieznany parametr był zmienną losową a nie jest.

Konstrukcja przedziałów ufności za pomocą funkcji centralnej (wiodącej)

Definicja. Niech X(X₁,...,X_n)próbą prostą z rozkładu P_P {P_:}. Funkcja Q X( ,g()) (to nie jest statystyka) nazywa się funkcją centralną dla parametru g()R, jeżeli jej rozkład prawdopodobieństwa nie zależy od parametru .

Przykłady

 Niech X(X₁,...,X_n)będzie próbą prostą z rozkładu N(m,₀²), gdzie ₀² znane. Funkcja

0

) ) (

,

( 

m X m n

Q X   mająca rozkład N(0,1) jest funkcją centralną dla m

 Niech Niech X(X₁,...,X_n) będzie próbą prostą z rozkładu N(m,²). Oznaczmy





 ⁿ

i n Xi

X

1

1 i

2 1

1

2 1 (X X)

S

n

i

n i







 . Funkcja

S m X m n

X X

Q _n ( )

) , ,...,

( ₁ 

 mająca rozkład tn-1 (t - Studenta z n-1 stopniami swobody) jest funkcją centralną dla m.

Funkcja ₂

2 2 1

) 1 ) ( , ,...,

(X X  ⁿ ^S

Q _n 

 mająca rozkład _n²_1 jest funkcją centralną dla ².

 Niech X(X₁,...,X_n)będzie próbą prostą z rozkładu o ciągłej dystrybuancie F_F . Ponieważ )

(X_i

F ma rozkład jednostajny U(0,1), wiec funkcja ( , ) ( _i)

n

X F F

Q ^{X }



Załóżmy, że dysponujemy funkcją centralną Q X( ,g()). Przedział ufności konstruujemy w następujący sposób:

Wybieramy liczby a i b tak aby spełniały nierówność:



(aQ( ,g())b)1

P X  ñ P(aQ(X,g())b)1 , bo rozkład funkcji centralnej Q X( ,g()) nie zależy od parametru .

Gdy funkcja centralna Q X( ,g())jest ciągłą i ściśle monotoniczną funkcją parametru g()R, to nierówność aQ(X,g())bjest równoważna nierówności [L(X,a,b)g()U(X,a,b)]. Stąd przedział[L(X,a,b),U(X,a,b)] jest 100(1)%przedziałem ufności dla parametru g()R.

 Przedział ufności dla m w rozkładzie N(m,₀²), gdzie ₀² znane.

Funkcja centralna

0 1

) ) (

, ,...,

( 

m X m n

X X

Q _n   ma rozkład N(0,1). Wobec tego

Rozkład N(0,1)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

z_a/2 z_1-a/2

a/2 a/2

 m 

 ^{   }



 ) 1

)|

(| ( _{(1 /2)}

0

m z X

P_m n

co jest równoważne

 m   



     

 _{ } ) 1

( _{(1 /2)} ⁰ _{(1 /2)} ⁰ n z

X m n z

X P_m

otrzymaliśmy wiec przedział ufności [ _{(1 /2)} ⁰ , _{(1 /2)} ⁰] n z

X n z

X  



 

 

 o stałej długości

z n n

l( ,)2 _(1/2)⁰

Tą konstrukcję można powielić konstruując asymptotyczny przedział ufności dla pojedynczego parametru estymowanego MNW

   



 

 _{ }

(ˆ _{(1 /2)}   ˆ _{(1 /2)} )1 z n

z n

P ^{as as}

gdzie za asymptotyczną wariancję _as² i_^1 należy przyjąć jej estymator. Dokładniej w informacji Fishera i_ =i() za parametr  należy przyjąć ˆ =ENW[]. Poprawność tej konstrukcji jest prostym wnioskiem z asymptotycznych własności estymatorów NW i twierdzenia Słuckiego.

 Przedział ufności dla m w rozkładzie N(m,²), gdzie ² nieznane.

Funkcja centralna

S m X m n

X X

Q _n ( )

) , ,...,

( ₁   ma rozkład tn-1 (t - Studenta z n-1 stopniami swobody) . Wobec tego

 (m,²) _   _  



 ) 1

)|

(| ( _{( 1,1 /2)}

) ,

(m tn

S m X P n

co jest równoważne

 



₎(  _{( 1,1 /2)}    _{( 1,1 /2)} )1

,

( n

t S X n m

t S X

P_{m n n}

otrzymaliśmy wiec przedział ufności [ _{( 1,1 /2)} , _{( 1,1 /2)} ] n t S

n X t S

X _{n }  _{n } o losowej długości

n t S

n

l( ,)2_{(n1,1/2)} o wartości oczekiwanej długości

n const n t

t E n

S t E

n l

E_{m n} ^m _n ⁿ _{(n 1,1 /2)}

2 1 )

2 / 1 , 1 ( )

, ( ) 2 / 1 , 1 ( )

,

( ( ) 2

) 2 2 (

) ,

( _ ^ _{ }





  _{ }  _{ }  ^  _{ }

 Przedział ufności dla ² w rozkładzie N(m,²)

Funkcja ₂

2 2

1

) 1 ) ( , ,...,

(  n S

X X

Q _n 

 ma rozkład _n²_1 . Wobec tego

Rozkład chi²n-1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

chi²n-1,a/2 chi²n-1,1-a/2

a/2 a/2

 (m,²)  

 _  _

 _ ( 1)  _{ } )1

( ₂ ²_{1,1 /2}

2 2 2 / , 1 ) ,

(m n n

S

P n

co jest równoważne

 (m,²) 

 

 _{ }

      







1 ) ) 1 ( )

1

(( ₂

2 / , 1

2 2

2 2 / 1 , 1

2 )

, (

n n

m

S n S

P n

otrzymaliśmy wiec przedział ufności ( 1) ] ) ,

1

[( ₂

2 / , 1

2 2

2 / 1 , 1

2



 

 _{  }





n n

S n S

n o losowej długości

1 ) ( 1

) 1 ( ) ,

( ₂

2 / 1 , 1 2

2 / , 1 2







 













n n

S n n

l o wartości oczekiwanej długości

1 ) ( 1

) 1 ( 1 )

)( 1 ( ) 1 ( ) ,

( ₂

2 / 1 , 1 2

2 / , 1 2 2

2 / 1 , 1 2

2 / , 1 2 )

, (











  



 

























n n

n n

m l n n E S n

E

W przypadku symetrycznego rozkładu funkcji centralnej wybór liczb a i b tak aby spełniały nierówność P_(a  Q(X₁,...,X_n,)  b)=1-  wydaje się oczywisty. W przypadku rozkładu niesymetrycznego wybór nie jest już oczywisty. Można postawić problem takiego doboru a i b, aby długość l(a,b) przedziału [L(X1,...,Xn, a,b), U(X1,...,Xn, a,b)] (gdy jest nielosowa) lub wartość

oczekiwana długości była minimalna. Mówimy wtedy o najkrótszych przedziałach ufności na poziomie 1-.. Jeżeli F oznacza dystrybuantę rozkładu funkcji centralnej, to należy rozwiązać następujące zagadnienie optymalizacyjne

Rozkład tn-1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

tn-1, a/2 tn-1,1-a/2

/2

/2

pod warunkiem

F(b)-F(a)=1-. W rozważanym powyżej problemie

 l(a,b)(n1)²(_a¹_b¹)

 _  _  



( ) 2 ( ) 1

1 2

1 b F a

F

n n

Aby rozwiązać powyższy problem ekstremum warunkowego tworzymy funkcję Lagrange’a ))

1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) 1 ( )

; ,

( 2

1 2

1

1

2 1  



     _  _  



 b F a

F n

b a L

n

b n

a .

Z WK otrzymujemy układ























































0 ) 1 ( ) ( ) (

0 ) (

0 ) (

2 1 2

1

2 2 1

2

2 2 1

2

) 1 (

) 1 (





















a F b F

b f

a f

n n

n n

L b n b L

a n a L







































 









 

1 ) ( ) (

) (

) (

2 1 2

1

2 1 2

2 1 2

) 2 1 (

) 2 1 (

a F b F

b f b

a f a

n n

n n

n n

Niech ( ) 2 ( )

1

2f x

x x

n

 _



(x)

X u

Y

a b

Należy tak dobrać poziom uaby para {a,b}^1[{u}] spełniała warunek _  _  



 ( ) 2 ( ) 1

1 2

1 b F a

F n n

Uzupełnienie. Wielowymiarowy rozkład normalny

Wielowymiarowy rozkład normalny może być zdefiniowany poprzez funkcję gęstości względem odpowiedniej wielowymiarowej miary Lebesgue’a , lecz sposób ten prowadzi często do uciążliwych rachunków. Wygodniej jest wprowadzić n wymiarowy rozkład normalny w oparciu o

twierdzenie Cramera-Wolda głoszące, że rozkład n wymiarowej zmiennej losowej X jest całkowicie określony poprzez podanie jednowymiarowych rozkładów funkcji liniowych l^TX dla wszystkich l  Rⁿ (symbol ^T oznacza transpozycję wektora traktowanego jako macierz kolumnową). To podejście może być także użyte do zdefiniowania rozkładu normalnego w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach funkcyjnych Banacha czy Hilberta: wystarczy postulować aby dowolny funkcjonał liniowy miał jednowymiarowy rozkład normalny (Frechet 1951).

Niech X=

















Xn

X M

1

będzie n wymiarową zmienną losową, m=E(X) wektorem wartości oczekiwanych a V

=V(X) macierzą kowariancyjną.

Def. Zmienna losowa X ma n wymiarowy rozkład normalny Nn(m,V) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wektora l  R ⁿ jednowymiarowa zmienna losowa l^TX ma rozkład normalny N(l^Tm, l^TVl).

Z powyższej definicji łatwo wynikają następujące własności:

 jeżeli A jest macierzą typu (q,n) a n wymiarowa zmienna losowa X ma rozkład N_n(m,V) , to q wymiarowa zmienna losowa Y=AX ma rozkład normalny Nq(Am, AVA^T)

 rozważmy p+q wymiarową zmienną losową X= 



 





2 1

X

X przy czym p pierwszych składowych

tworzy p wymiarową zmienną X₁ a pozostałe q wymiarową zmienną losową X₂. Dokonując odpowiedniego podziału na bloki możemy przedstawić wektor wartości oczekiwanych m i macierz kowariancyjną V w postaci blokowej m= 



 





2 1

m

m V= 



 





22 21

12 11

V V

V

V . Jeżeli 



 





2 1

X X 

N_p+q 









 



 



 



 





22 21

12 11 2 1 ,

V V

V V m

m , to X₁ N_p(m₁,V₁₁) , X₂ N_q(m₂,V₂₂)

X1| X2  Np





1 22 12 11 2 2 1 22 12

1 V V (X m ),V V V V

m  ^   ^

X2| X1  Nq





1 11 21 22 1 1 1 11 21

2 V V (X m ),V V V V

m  ^   ^

 jeżeli macierz kowariancyjna V n wymiarowej zmiennej losowej X o rozkładzie Nn(m,V) jest nieosobliwa, to istnieje gęstość tego rozkładu względem n wymiarowej miary Lebesgue’a i

wyraża się wzorem ^{( ) ( )}

|

| ) 2 (

1 2 ¹

1 2 / 1 2

) /

( ^{x m V x m}

x V ^{  }

 n e ^T 

f_{n }