Ćwiczenia (5), AM I, 29.3.2019 Przebieg zmienności funkcji Zadanie 1. Znajdź przedziały, na których funkcja

Ćwiczenia (5), AM I, 29.3.2019 Przebieg zmienności funkcji

Zadanie 1. Znajdź przedziały, na których funkcja f ściśle rosnąca, ściśle malejąca, ściśle wy- pukła, ściśle wklęsła. Wyznacz punkty przegięcia i znajdź asymptoty funkcji f . Oblicz granice funkcji f i f⁰ w punktach nie należacych do ich dziedzin. Korzystając z uzyska- nych informacji naszkicuj wykres funkcji f .Korzystając z uzyskanych informacji naszkicuj wykres funkcji f . Funkcja f dana jest wzorem

(a) f (x) = x⁴(1 + x)⁻³; (b) f (x) = ln(x +√

1 + x²);

(c) f (x) = sin x sin(3x);

(d) f (x) = ^{q5 (x+1)2}_x^(x−1)6. Dla x 6= 0, 1, −1 zachodzą równości

f⁰(x) = 1

5(7x²+ 4x + 1)⁵

s x − 1

x⁶· (x + 1)³, f⁰⁰(x) = 2(7x⁴+ 8x³− 10x²+ 4x + 3) 25^q5 x¹¹(x + 1)⁸(x − 1)⁴

.

Wielomian 7x²+ 4x + 1 nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wielomian 7x⁴+ 8x³− 10x² + 4x+ ma dokładnie dwa pierwiastki: x1 ≈ −1.96, x₂ = −0.36. W jakich punktach f jest różniczkowalna?

(e) f (x) = ^q5 x(x²− 1)⁴(x − 2)³. Zachodzą równości

f⁰(x) = 2(6x³− 9x² − 2x + 1)

5 ·^q5 x⁴(x²− 1)(x − 2)², f⁰⁰(x) = 4 · (21x⁶− 63x⁵+ 12x⁴+ 78x³− 49x²+ x − 4) 25 ·^q5x⁹(x²− 1)⁶(x − 2)⁷

.

Pierwiastkami 6x³ − 9x² − 2x + 1 są x₁ ≈ −0.397, x₂ ≈ 0.256 i x₃ ≈ 1.641. Pier- wiastkami 21x⁶− 63x⁵+ 12x⁴+ 78x³− 49x²+ x − 4 są x4 ≈= 1.132, x₅ ≈ 2.189.

Zadanie 2. Funkcja f : R → (0, +∞) jest jednostajnie ciągła i ograniczona. Uzasadnij, że funkcja x 7→ f (x)^{f (x)} jest jednostajnie ciągła.

Zadanie 3. Czy funkcja (1, +∞) 3 x 7→ (√ x ln x)

√x ln x jest jednostajnie ciągła?

Zadanie 4. Niech a₀ = c ∈ R, an+1= _1+e⁶_an − 3. Dla jakich c ∈ R ciąg (an) jest zbieżny?

Zadanie 5. Wykazać, że istnieje δ > 0, że z nierówności 0 < x < δ wynika nierówność

x · ³

s

1 − x²

2 < sin x.

Zadanie 6. Funkcja f : [0, +∞) → R jest ciągła oraz istnieją stałe a, b ∈ R takie, że f (x) ¬ ax + b dla dowolnej liczby x ∈ R. Czy f musi być jednostajnie ciągła?

Zadanie 7. Uzasadnij, że jeśli f : [0, +∞) → R jest rosnąca i wklęsła, to jest jednostajnie ciągła.

Zadanie 8. Czy istnieje funkcja f : R → R, różna od stałej i taka, że |f⁽ⁿ⁾(x)| < ₂¹n dla każdej liczby n = 0, 1, 2, . . ..

Zadanie 9. Wykazać, że niezależnie od wyboru liczb a, b ∈ R równanie tg x = ax + b ma w przedziale (−^π₂,^π₂) co najmniej jedno, ale nie więcej niż trzy rozwiązania.