Oblicz całkę nieoznaczoną Z 1 (2x + 1)x2 dx

Analiza matematyczna 2, WNE

rok akademicki 2018/19, semestr letni, D – rozwiązania Sprawdzian I, 4 kwietnia 2019

1. Oblicz całkę nieoznaczoną

Z 1

(2x + 1)x² dx. odpowiedź:...

Z 1

(2x + 1)x² dx =

Z  4

2x + 1 − 2 x + 1

x²



dx = 2 ln |2x + 1| − 2 ln |x| − 1 x+ C.

2. Obliczyć całkę oznaczoną

e

Z

1

x⁻¹cos(ln(x)) dx. odpowiedź:...

e

Z

1

x⁻¹cos(ln(x)) dx =∈¹₀ cos t dt = sin t|¹₀ = sin 1

3. Obliczyć całkę niewłaściwą

∞

Z

0

x²e^−xdx. odpowiedź:...

Przez części

Z

x²e^−xdx = −e^−x(x²+ 2x + 2) + C, więc

∞

Z

0

x²e^−x dx = lim

b→∞(−e^−x(x²+ 2x + 2))|^b₀ = lim

b→∞

−(b²+ 2b + 2)

e^b + 2 = 0 + 2 = 2.

4. Czy zbiór {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ¬ 1, |x| > 1/2} jest:

otwarty Tak/Nie: ...

domknięty Tak/Nie: ...

ograniczony Tak/Nie: ...

zwarty Tak/Nie: ...

spójny Tak/Nie: ...

wypukły Tak/Nie: ...

To są dwie części koła jednostkowego po zewnętrznych stronach linii x = ±1/2 bez linii ale z wycinkami okręgu

Więc jest ograniczony, ale nie otwarty, nie domknięty, nie zwarty i nie spójny i nie wypukły.

5. Znajdź granicę lub określ, że ona nie istnieje:

n→∞lim

ln 3n n , ³ⁿ√

n, ^1 + 1 n

3n!

,

odpowiedź: ...

Granica to (0, 1, e³).

6. Znajdź granicę lub ustal, że ona nie istnieje:

lim

(x,y)→(0,0)

xy² x²+ y⁴

odpowiedź: ...

Nie istnieje x = 1/n, y = 0 mamy 0, a dla x = 1/n, y = 1/n², mamy 1/2.

7. Sprawdź czy funkcja f : R² → R,

f (x, y) =







(x²+ y²)²arctan

 1

x²+ y²



for (x, y) 6= (0, 0)

1 for (x, y) = (0, 0)

jest ciągła. Tak/Nie:...

Dla r =√

x²+ y² mamy

lim

(x,y)→(0,0)(x²+ y²)²arctan

 1

x² + y²



= lim

r→0

arctan 1/r² 1/r⁴ = lim

r→0

−4_r¹5 ·_1/r¹4+1

−2_r¹3

= 0,

więc nie jest ciągła.

8. Niech f : R³ → R będzie funkcją zadaną wzorem

f (x, y, z) = ln(2x²− 2x + 2zy + z²− 2z + 1).

Jaki wektor jednostkowy v definiuje kierunek największego wzrostu f w punkcie (0, 0, 0) ? odpowiedź: ...

f⁰(x, y, z) =

=^h(2x − 2)/(2x²+ 2zy + z² + 1), 2z/(2x²+ 2zy + z²+ 1), (2y + 2z − 2)/(2x²+ 2zy + z² + 1)ⁱ, f⁰(0, 0, 0) = [−2, 0, −2],

v = [−2, 0, −2]

√8 .

9. Niech f : będzie funkcją opisaną w poprzednim pytaniu. Znajdź wartość pochodnej kierunkowej

∂f

∂v(0, 0, 0)

gdzie v = (1, 2, 3).

odpowiedź: ...

h(−2, 0, −2), (1, 2, 3)i = −8.

10. Niech (u, v) to współrzędne w R² oraz niech f : R² → R będzie funkcją określoną we współrzędnych (u, v). Niech g(x, y) = f (x + y, x − y). Znajdź A oraz B takie, że

∂g

∂x(x, y) − ∂g

∂y(x, y) = A∂f

∂u(u, v) + B∂f

∂v(u, v).

Podpowiedź: Oblicz ^∂g_∂x oraz ^∂g_∂y używając wzoru na pochodną złożenia.

odpowiedź: ...

h(x, y) = (2x − y, x + y), zatem

h⁰ =

"

2 −1

1 1

#

, zatem

g⁰ =

"

2∂f

∂u + ∂f

∂v, −∂f

∂u + ∂f

∂v

#

. Więc,

∂g

∂x(x, y) −∂g

∂y(x, y) = 2∂f

∂u +∂f

∂v − −∂f

∂u +∂f

∂v

!

= 3∂f

∂u. Więc, A = 3, B = 0.