Ćwiczenia 9, AM 2, semestr letni, 1.06.2017
Dywergencja, rotacja w R3. Całkowanie k-form na rozmaitościach. Twierdzenie Stokes’a.
Zadanie 1. Oblicz całkę Z
(M,+)
dy ∧ dz
x +dz ∧ dx
y +dx ∧ dy
z , M = {(x, y, z) : 1 < z < 2, z2= x2+ y2},
gdzie (M, +) oznacza powierzchnię M zorientowaną tak, że jej strona dodatna jest widoczna z punktu (0, 0, −1).
Zadanie 2. Niech T oznacza torus powstały w wyniku obrotu okręgu o promieniu 7 i środku (13, 0, 0) leżącego w płaszczyźnie y = 0 wokół osi OZ. Torus jest zorientowany tak, że dodatnia strona jest widoczna z zewnątrz.
Znaleźć Z
Tx dy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy.
Zadanie 3. Znaleźć strumień przepływu pola wektorowego F (x, y, z) = [xzexy, −yzexy, z] przez powierzchnię M = {(x, y, z) : 5x2+ 2y2+ 6z2+ 2xy − 2yz − 2zx = 89, z 0}
zorientowaną na zewnątrz (zewnętrznym wektorem normalnym w punkcie (−1, −4, 2) jest 5311 [−11, −11, 17].
Zadanie 4. Niech v = [v1, v2, v3], w = [w1, w2, w3], a = (x, y, z) ∈ M = R3. Wykazać, że przyporządkowanie
(a, v, w) 7→ det
v1 v2 v3
w1 w2 w3
1 + sin x y cos x 0
określa pewną 2-formę różniczkową na R3. Proszę obliczyć całkę z tej formy po zbiorze M = {(x, y, z) : y2+z2= (1−sin x)2, 0 ¬ x ¬ π/6}. Przyjmujemy, że zewnętrznym wektorem normalnym do M w punkcie (0, 0, 1) jest wektor [1, 0, 1]/√
2.
Zadanie 5. Rozważmy sferę M ⊂ R3 o promieniu 1, środku w (0, 0, 0) i atlas dla M składający się z dwóch rzutów stereograficznych, odpowiednio z punktów N = (0, 0, 1) i S = (0, 0, −1) na płaszczyznę {z = 0}. Oznaczmy współrzędne w tych mapach przez (u, v) i (u′, v′), odpowiednio.
(a) Znajdź Jakobian ∂(u∂(u,v)′,v′).
(b) Wykazać, że sfera jest orientowalna. Wskazać atlas zorientowany. Czy wskazana orientacja sfery M = ∂B(0, 1) pokrywa się z orientacją brzegu dziedziczoną z kuli B(0, 1) ⊂ R3?
(c) Znajdź
ω = du ∧ dv (1 + u2+ v2)2
we współrzędnych (u′, v′) i wykaż, że ω jest dobrze określoną formą na całej sferze M.
(d) ObliczR
Mω.
Zadanie 6. Niech M (wstęga M¨obiusa) będzie obrazem przekształcenia Ψ : R × (−1, 1) → R3, Ψ(θ, t) = 2(cos 2θ, sin 2θ, 0) + t[cos θ cos 2θ, cos θ sin 2θ, sin θ].
Wskazać atlas M złożony z dwóch map i sprawdzić, czy jest on zorientowany.
Zadanie 7. Na rozmaitości M wymiaru m mamy zadany atlas zorientowany A = {φα}α oraz dodatkowo rozważa- my mapę φ : U ∩ M → V ⊂ Rm, której obraz jest spójny. Niech L : Rm → Rm, L(x1, . . . , xm) = (−x1, x2, . . . , xm). Wykazać, że któryś z atlasów A+= A ∪ {φ} lub A−= A ∪ {L ◦ φ} jest zorientowany.
Zadanie 8. Wywnioskować, że wstęga M¨obiusa nie jest orientowalna.
Zadanie 9. Niech F będzie zbiorem tych dwukrotnie różniczkowalnych w sposób ciągły w otoczeniu kuli domkniętej B(0, r = 2016) ⊂ R¯ n funkcji, które zerują się we wszystkich punktach sfery ∂B(0, 2016). Na przestrzeni liniowej F definiujemy iloczyn skalarny
hf, gi = Z
B
f gdσn
oraz operator
(∆f)(x) = ∂2f
∂x21 +∂2f
∂x22 + . . . + ∂2f
∂x2n.
Udowodnij, że dla każdej funkcji f ∈ F zachodzi nierówność h∆f, fi ¬ 0, przy czy staje się ona równością wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = 0 dla każdego x ∈ B.
Zadanie 10. Obliczyć całkę z 2-formy
ω = (y2− x2)dy ∧ dz + (z − x)dz ∧ dx + (2xz − y)dx ∧ dy
po powierzchni M powstałej w wyniku obrotu cykloidy opisanej parametrycznie x(t) = t − sin t, y(t) = 0, z(t) = 1−cos t, 0 ¬ t ¬ π, wokół prostej x = π, y = 0. (Wektor normalny w punkcie (π, 0, 2) orientujący M to [0, 0, 1]).
Zadanie 11. Znaleźć 1-formę pierwotną 2-formy kąt bryłowy na obszarze {(x, y, z) : x2+ y2 > 0}. Czy ta formą jest dokładna na obszarze {(x, y, z) : x2+ y2> 0 lub z < 0}?
Zadanie 12. Obliczyć całkę z (k − 1)-formy
ω = Xk j=1
(−1)jxjdx1∧ dx2∧ . . . ∧ ddxj∧ . . . ∧ dxk
na sferze S(0, 1) ⊂ Rk.
Zadanie 13. Zastosuj twierdzenie Stokes’a do obliczenia całki Z
S(0,R)
rα(xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy),
gdzie α 0, r =p
x2+ y2+ z2.
