Ćwiczenia
Metody numeryczne Lista nr 2
rok akademicki 2018/2019, semestr zimowy
Październik 2018 r.
·rozwiązywanie układów równań liniowych metodami Gaussa oraz rokładów,
1. (1pkt) Znaleźć rozkłady Doolittle’a, Crouta, Cholesky’ego macierzy
A :=
60 30 20 30 20 15 20 15 12
.
Podać warunki istnienia tych rozkładów.
2. (2pkt) Podaj pseudokod podstawowej wersji algorytmu Gaussa. Rozwiąż za jego pomocą układ
A :=
2 3 −6
1 −6 8 3 −2 1
x1 x2 x3
=
1 2 3
.
3. (2pkt) Podaj pseudokod algorytmu Gaussa ze skalowanym wyborem wier- szy głównych a następnie za jego pomocą rozwiąż układ z poprzedniego zadania.
4. (3pkt) Podaj pseudokod algorytmu Gaussa z pełnym wyborem elemetów głównych. Zastosuj tą metodę do rozwiązania układu równań z zadania 2.
5. (3pkt) Zaproponuj algorytm odwracania macierzy oparty na algorytmie Gaussa z wyborem elementu głównego? Czy algorytm z częściowym wy- borem jest wystarczający?
6. (2pkt) Wyprowadź wzory na odwrotność macierzy trójkątnej dolnej o mniej- szej złożoności niż w poprzednim zadaniu.
7. (2pkt) Zaproponuj efektywny algorytm rozwiązywania układu równań li- niowych z macierzą trójprzekątniową.
1
8. (2pkt) Pokaż jak wyrażone są macierze L i U uzyskane metodą Gaussa z częściowyn wyborem elementu głównego?
9. (3pkt) Wyporwadź metodę Choleskiego obliczania rozkładu LLT dla ma- cierzy A symetrycznej i dodatnio określonej.
10. (1pkt) Jak policzyć efektywnie wyznacznik macierzy kwadratowej?
11. (2pkt) Czym różni się metoda eliminacji Gaussa od metody eliminacji Gaussa Jordana?
2
