Metody numeryczne Lista nr 5
rok akademicki 2017/2018, semestr zimowy
Grudzień 2017 r.
aproksymacja średniokwadratowa za pomocą wielomianów
Dla danego zbioru Z = {(xi, f (xi))}Ni=1 aproksymacja średniokwadratow, a nazy-, wamy funkcję postaci
F (x) = a0ϕ0(x) + a1ϕ1(x) + . . . + amϕm(x) (1) gdzie ϕ0, ϕ1, . . . , ϕmsa funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej przestrzeni liniowej, Xm+1 a {a0, a1, a2, . . . , am} są współczynnikami rzeczywistymi wyznaczonymi w taki sposób, aby zminimalizować norme,
||F (x) − f (x)|| =
N
X
i=0
[F (xi) − f (xi)]2. (2) Minimum normy (2) osiągane jest dla wektora a = (a0, a1, . . . , am), który jest rozwiazaniem układu równań normalnych, tzn.,
DTDa = DTf (3)
gdzie
D =
ϕ0(x1) . . . ϕm(x1) ϕ0(x2) . . . ϕm(x2) . . . . ϕ0(xN) . . . ϕm(xN)
, f =
f1 f2 ... fN
.
1. Rozwiazać układ (3) dla tablicy w, ezłów,
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2
y 0 1/2 √
2/2 √
3/2 1
Jako funkcje bazowe przyjać ϕ, i(x) = xi, i = 0, . . . , m = 2.
Ciag wielomanów Czebyszewa I rodzaju zdefiniowany jest nast, epuj, acymi zależ-, nościami rekurencyjnymi zachodzącymi dla x ∈ [−1, 1]
T0(x) = 1, (4)
T1(x) = x, (5)
Tk(x) = 2x · Tk−1(x) − Tk−2(x), k = 2, . . . . (6) 1
Dla x ∈ [a, b] zdefiniujmy przeskalowane przesuniete wielomiany Czebyszewa I, rodzaju jako
T˜k(x) = Tk 2
b − a · x +a + b a − b
!
k = 0, . . . . (7)
Zauważmy, że dla x ∈ [a, b] mamy b−a2 · x +a+ba−b ∈ [−1, 1].
2. Rozwiazać układ (3) dla tablicy w, ezłów,
x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2
y 1 2 1.5 3 6 7
Jako funkcje bazowe przyjać ϕ, i(x) = ˜Ti(x), i = 0, . . . , m = 2.
2
