Ćwiczenia
Metody numeryczne Lista nr 1
rok akademicki 2018/2019, semestr zimowy
Październik 2018 r.
·reprezentacja liczb w arytmetyce zmiennipozycyjnej,
·przybliżanie pochodnej ilorazem różnicowym, wybrane algorytmy numeryczne
1. (1pkt) Jaki zakres liczb całkowitych możemy reprezentować na m bitach?
2. (2pkt) Zdefiniujmy zbiór liczb zmienno-pozycyjnych F . Przyjmijmy ozna- czenia
β ∈ N i β 2 – podstawa,
t – dokładność,
d1, . . . , dt∈ {0, . . . , β − 1}, – cyfry, z = {−1, 1} – bit znaku,
L, U ∈ Z (L < U ) – zakres cechy e ∈ Z, tzn. L ¬ e ¬ U . Wówczas x ∈ F ma wartość
x = z d1 β + d2
β2 + . . . + dt βt
!
| {z }
mantysa
·β cecha
z}|{e .
Jak rozłożone na osi liczbowej są liczby ze zbioru F dla β = 2, t = 3, L = −1 i U = 2 ?
3. (2pkt) Oblicz poniżej jakiej wartości mamy niedomiar numeryczny dla re- prezentacji zmiennopozycyjnej liczb rzeczywistych.
4. (2pkt) Oblicz największą co do wartości bezwzględnej liczbę rzeczywistą reprezentowalną dokładnie w reprezentacji zmiennopozycyjnej.
5. (2pkt) Oblicz długość największego przedziału w zakresie od najmniejszej do największej reprezentowalnej liczby rzeczywistej, w ktorym nie ma żad- nej liczby reprezentowanej dokładnie w reprezentacji zmiennopozycyjnej.
1
6. (3pkt) Co to jest błąd bezwzględny oraz błąd względny? Wykaż, że błąd względny reprezentacji zmiennopozycyjnej jest stały.
7. (2pkt) Jaki jest błąd względny podstawowych operacji arytmetycznych w arytmetyce zmiennopozycyjnej? Pokaż, że operacje dodawania/odejmowania w arytmetyce zmiennopozycyjnej nie są łączne.
8. (3pkt) Co to jest notacja O(h) i O(h2)? Jak aproksymować pochodną funkcji różniczkowalnej z dokładnością O(h2)?
9. (3pkt) W jakiej kolejności sumować liczby, aby oszacowanie błędu względ- nego było najmniejsze?
10. (3pkt) Który z algortmów wyznaczania wartości wielomianu wymaga mniej operacji - algorytm Hornera czy algorytm naiwny? Wykaż, że algorytm Hornera ma błąd wyględny tego samego rzędu co algorytm naiwny.
11. (2pkt) Jakie zadanie nazywamy zadaniem źle uwarunkowanym a jakie do- brze uwarunkowanym? Pokazać interpretację tych pojęć na przykładzie za- dania rozwiązywania układów równań liniowych.
2
